เล่ม3เรื่องเอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี

๔เรื่อง เซต

เล่มท่ี ๓ เรอ่ื ง เอกภพสมั พทั ธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์

ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการพิเศษ

โรงเรียนกมลาไสย

อาเภอกมลาไสย จังหวัดกาฬสนิ ธุ์
สานกั งานเขตพนื้ ทก่ี ารศึกษามัธยมศึกษา เขต ๒๔
สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ

1

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรอ่ื ง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

คานา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง เซต วิชาคณติ ศาสตร์ (ค 31101) ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4
จัดทาขนึ้ เพอ่ื ยกระดบั ผลสมั ฤทธิ์ทางการเรียน ในภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2560 โดยจดั ทาขน้ึ
ท้งั หมด 7 เลม่ เล่มนี้คือเลม่ ท่ี 3 เรื่อง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต แบบฝึกทกั ษะเลม่ น้ี
เปน็ แบบฝึกทกั ษะทน่ี กั เรียนสามารถเรยี นร้ไู ด้ด้วยตนเอง มสี าระสาคัญ จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ของแต่
ละแบบฝกึ ทักษะ สาระการเรียนรมู้ ีตวั อยา่ งแสดงใหผ้ ู้เรียนไดศ้ กึ ษากอ่ น เมอ่ื เขา้ ใจแล้วจึงทาแบบฝกึ
ทักษะ มเี ฉลยเพ่อื ให้นกั เรียนไดต้ รวจสอบคาตอบ

ในการสร้างแบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต
ประกอบด้วยคาชแ้ี จง ในการใชแ้ บบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ
ภาคผนวก เฉลยแบบฝึกทกั ษะ เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน-หลงั เรียน

หวังเปน็ อย่างย่ิงวา่ แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์เลม่ น้ี จะเป็นส่วนหนง่ึ ของเคร่ืองมือ
ท่ีจะช่วยใหผ้ ูเ้ รียนเกดิ การเรยี นรู้อยา่ งสมบรู ณ์ มีประสทิ ธภิ าพ เออ้ื ประโยชน์แกผ่ ู้เรียน
ครผู สู้ อน ที่มคี วามสนใจตามสมควร

นางพรพมิ าน ยุบลวัฒน์

2

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรอ่ื ง เอกภพสมั พัทธ์ สบั เซตและเพาเวอร์เซต

สารบัญ

เร่อื ง หน้า

คานา 1
สารบัญ 2
คาช้ีแจง 3
คาชี้แจงการใชแ้ บบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์สาหรบั นกั เรยี น 5
สาระ/มาตรฐาน/ตัวชว้ี ัด/จุดประสงค์การเรยี นรู้ 6
แบบทดสอบกอ่ นเรยี น 7
สาระการเรยี นรู้
11
ใบความรู้ที่ 3.1 16
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.1 17
แบบฝึกทักษะท่ี 3.2 18
แบบฝึกทักษะท่ี 3.3 19
ใบความรทู้ ี่ 3.2 21
แบบฝึกทกั ษะท่ี 3.4 23
แบบฝกึ ทักษะท่ี 3.5 24
แบบทดสอบหลงั เรียน 28
แบบฝึกหดั เพ่มิ เตมิ เสริมทักษะ 29
ตารางบันทกึ คะแนน 30
บรรณานุกรม

3

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรือ่ ง เอกภพสมั พทั ธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

คาชแี้ จง

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ รายวิชาคณติ ศาสตร์ (ค 31101) หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 1
เรือ่ ง เซต ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 จดั ทาขนึ้ จานวน 7 เลม่ เลม่ นเ้ี ป็นเลม่ ท่ี 3 เรอ่ื ง เอกภพ
สัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต ประกอบดว้ ย

1. คาชี้แจงในการใช้แบบฝกึ ทักษะสาหรับนักเรียน
2. สาระ/มาตรฐาน/ตวั ชีว้ ัด/จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
3. แบบทดสอบก่อนเรยี น
4. คาอธบิ ายเนอื้ หา ตวั อยา่ งบทเรยี นทเี่ รยี นในชดุ น้ันๆ
5. แบบฝกึ ทกั ษะ
6. แบบทดสอบหลงั เรยี น
7. เฉลยแบบฝึกทักษะ
8. เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี นและหลังเรียน
แบบฝึกทกั ษะเล่มที่ 3 เร่อื ง เอกภพสมั พัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต ใชเ้ วลาในการ
เรยี นรู้ 2 ชว่ั โมง นักเรียนสามารถทาแบบฝึกทกั ษะไดต้ ามลาดบั ข้นั ตอนทกี่ าหนดไว้ซึ่งจะทาให้

นกั เรยี นไดร้ บั ประโยชนต์ อ่ ตนเองและสามารถนาไปประยุกต์ใช้ในชวี ิตประจาวนั ได้

4

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรื่อง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

คาชีแ้ จงสาหรบั ครู

 เตรียมเอกสารแบบฝกึ ทกั ษะ ให้เพียงพอกับจานวนนักเรียน
 ผสู้ อนต้องศกึ ษาเน้อื หา ในบทเรียนให้เข้าใจล่วงหน้าอย่างละเอยี ด
 ช้แี จงบทบาทของนกั เรียนในการใชแ้ บบฝึกทกั ษะ
 คอยให้คาปรึกษาแก่นกั เรียนทกุ ข้นั ตอนอยา่ งใกล้ชดิ ในขณะที่นกั เรียนปฏิบตั ิ

กจิ กรรม
 เก็บข้อมลู ของนักเรยี น เพอ่ื พฒั นาความก้าวหน้า

ฉลาดคิด ฉลาดเรียนรู้ จ้า

5

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เร่อื ง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

คาชแี้ จงในการใชแ้ บบฝกึ ทกั ษะสาหรับนักเรียน

1. นักเรียนอ่านคาชแี้ จงและคาแนะนาในการทาแบบฝึกทกั ษะให้เข้าใจก่อนทากจิ กรรม
ทุกครง้ั

2. นักเรียนอา่ นจดุ ประสงค์การเรยี นรู้ของแบบฝึกทักษะเพ่อื ใหท้ ราบวา่ เมื่อเรียนจบ
แลว้ นักเรยี นจะมีความรใู้ นเรือ่ งใดบา้ ง

3. นักเรียนทาแบบทดสอบก่อนเรยี น เพื่อวัดความรพู้ ้นื ฐานของนกั เรียน และนกั เรียน
ไมค่ วรดเู ฉลยกอ่ นทาการทดสอบ เมือ่ นกั เรยี นทาแบบทดสอบเสรจ็ แลว้ จึงค่อยตรวจตามเฉลย

4. ศึกษาสาระการเรียนร้ขู องชดุ แบบฝึกทกั ษะให้เขา้ ใจแล้วลงมอื ทาแบบฝกึ ทกั ษะ
ตามลาดับ

5. เม่อื นกั เรียนมีปัญหาหรอื ทาแบบฝกึ ทักษะไม่ได้ ให้กลบั ไปอ่านสาระการเรยี นรู้หรอื
ศึกษาตวั อยา่ งอกี คร้ังหรอื ปรกึ ษาครูผู้สอน

6. การเขยี นคาตอบของแบบฝกึ ทักษะใหน้ กั เรยี นทาดว้ ยความรอบคอบ ให้ผลงาน
มีความถกู ต้อง สะอาดเรยี บร้อย สวยงาม

7. ฝึกปฏบิ ตั ติ ามแบบฝึกทกั ษะแล้วตรวจสอบคาตอบตามเฉลย ถ้าทาไดน้ อ้ ยกวา่ 80%
ของแต่ละแบบฝกึ ทักษะให้กลับไปทบทวนใหม่

8. นักเรียนทาแบบทดสอบหลงั เรียน ตรวจและใหค้ ะแนนตามเฉลย ถ้าต่ากว่า 8 ข้อ
ใหก้ ลับไปศกึ ษาแบบฝกึ ทกั ษะอกี ครงั้

9. สรุปผลการเรียน ประเมิน ปรบั ปรุงและพฒั นาตนเอง
10. การศึกษาตามแบบฝึกทกั ษะเล่มนี้จะไมบ่ รรลผุ ลสาเร็จ ถา้ นกั เรียนขาดความ
ซ่ือสัตย์ในการทาแบบฝึกทักษะ

6

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรื่อง เอกภพสมั พทั ธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

สาระ / มาตรฐาน / ตวั ชว้ี ัด /จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

สาระที่ 4 พีชคณิต

มาตรฐาน ค 4.1 เขา้ ใจและวเิ คราะห์แบบรูป (pattern) ความสมั พันธ์ และฟังก์ชนั
ม.4-6/1 มีความคดิ รวบยอดในเรือ่ งเซตและการดาเนินการของเซต

มาตรฐาน ค 4.2 ใช้นพิ จน์ สมการ อสมการ กราฟ และตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์ (mathematical
model) อ่ืน ๆ แทนสถานการณ์ตา่ ง ๆ ตลอดจนแปลความหมายและนาไปใช้แก้ปัญหา

ม.4-6/1 เขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์แสดงเซต และนาไปใชแ้ กป้ ญั หา
ม.4-6/2 ตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการให้เหตผุ ลโดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

จุดประสงค์การเรยี นรู้

 หาสับเซตและเพาเวอรเ์ ซตของเซตตา่ งๆได้
 บอกได้วา่ เซตทกุ เซตเปน็ สับเซตของตัวเอง และเซตว่างเป็นสบั เซตของทุกเซต

เพ่ือความสาเร็จในการเรียนรู้
อยา่ ลมื ใช้ ฟัง คดิ ถาม และเขียนบนั ทกึ
นะคะ

7

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เร่ือง เอกภพสัมพทั ธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

แบบทดสอบก่อนเรียนแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
เล่มท่ี 3 เร่ือง เอกภพสัมพัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

คาชีแ้ จง

1. แบบทดสอบฉบบั นม้ี จี านวน 10 ขอ้ ใช้เวลาทา 10 นาที

2. นกั เรยี นโปรดอย่าเขยี นข้อความหรือทาเครอื่ งหมายใด ๆ ลงบนแบบทดสอบ

3. ใหน้ กั เรียนเขยี นหัวกระดาษให้สมบูรณ์ และอา่ นคาช้ีแจงกอ่ นตอบขอ้ สอบ

4. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั เลือกตอบชนิด 4 ตวั เลอื ก ให้นักเรยี นเลือกคาตอบทถี่ กู ทส่ี ดุ

เพียงข้อเดยี วดว้ ยเคร่อื งหมาย X ในกระดาษคาตอบ

ตวั อยา่ ง ถา้ นักเรยี นตอ้ งการตอบขอ้ ก ใหท้ าดงั น้ี

ขอ้ 0. ก ข คง

(X) ( ) () ()

ถา้ นกั เรียนตอ้ งการเปลย่ี นคาตอบจากข้อ ก เปน็ ขอ้ ค ให้ทาดังนี้

ข้อ 0. ก ข คง

(X) ( ) (X ) ( )

5. เม่อื นกั เรยี นทาขอ้ สอบเสร็จหรอื หมดเวลาแลว้ ใหส้ ง่ กระดาษคาตอบพร้อมกับแบบทดสอบ

นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์
ครูผ้สู อน

8

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เร่ือง เอกภพสมั พทั ธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

1. กาหนดให้ A = 2, {4, 6} ข้อใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ ง

ก. P(A) = , 2, {4, 6}, {2, {4, 6}}
ข. P(A) = , {2}, {4, 6}, {2, {4, 6}}
ค. P(A) = , 2, {4, 6}, {2, {4, 6}}
ง. P(A) = , {2}, {{4, 6}}, {2, {4, 6}}
2. เซตใดต่อไปนไี้ มม่ ีสับเซตแท้

ก. A = 
ข. B = xQ x2 – 9 = 0
ค. C = x I x2 – 5x + 6 = 0
ง. D = xQx2 – 9 = 0

3. ถ้า A = a, b, {c, d} แลว้ เพาเวอร์เซตของ A มจี านวนสมาชกิ กี่ตวั
ก. 16 ตวั
ข. 12 ตวั
ค. 8 ตวั
ง. 6 ตวั

4. ถ้า A และ B เปน็ เซตใดๆ จงพิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้

1). ถ้า A  B แล้ว A = B 2). ถ้า A = B แลว้ A  B
ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี ูกตอ้ ง
ก. ขอ้ ความ 1) และ 2) เป็นจริง
ข. ข้อความ 1) เทา่ นนั้ ที่เป็นจริง
ค. ข้อความ 2) เทา่ นั้นทเี่ ปน็ จริง
ง. ข้อความ 1) และ 2) ไม่เป็นจริง
5. จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนี้
1) เซตว่างเป็นสบั เซตแทข้ องทกุ เซต
2) ถ้า A เปน็ เซตใดๆ แลว้ จะมีสบั เซตแทข้ อง A อย่างนอ้ ยหนึง่ เซต
ขอ้ ความใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. ขอ้ ความ 1) และ 2) เป็นจรงิ
ข. ขอ้ ความ 1) เทา่ นัน้ ทีเ่ ป็นจรงิ
ค. ข้อความ 2) เท่าน้ันท่เี ป็นจริง
ง. ขอ้ ความ 1) และ 2) ไม่เปน็ จริง

9

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่ือง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

6. กาหนดให้ A = xx เป็นจานวนเตม็ บวกค่ี และ x  10  แล้วจานวนสบั เซตแท้
ของ A ทีไ่ มเ่ ท่ากับเซตวา่ ง ตรงกับขอ้ ใด
ก. 30 เซต
ข. 31 เซต
ค. 62 เซต
ง. 63 เซต

7. กาหนดให้ A = {1}, {2, 3}, {1, 2, 3},  แล้ว n(P(A)) เท่ากบั ขอ้ ใด
ก. 4 ตัว
ข. 8 ตวั
ค. 16 ตัว
ง. 32 ตัว

8. กาหนดให้ A เปน็ เซตของจานวนเต็มบวก
B เปน็ เซตของจานวนเต็มบวกคู่
C เปน็ เซตของจานวนเตม็ คี่
D เปน็ เซตของจานวนนบั ท่ีเปน็ จานวนเฉพาะ

จงพจิ ารณาว่าขอ้ ใดตอ่ ไปนเ้ี ป็นจริง

ก. B  P(A)

ข. D  P(B)

ค. C  P(A)

ง. C  P(B)

9. กาหนดให้ A = x x เปน็ จานวนนบั คู่ และเปน็ จานวนเฉพาะ จงหา P(A)

ก. {2}

ข. {}, {2}

ค. , {2}

ง. {, 2}

10. กาหนดให้ A = , 0, , 1, 2 จานวนสบั เซตแท้ของ A ตรงกบั ข้อใด
ก. 31
ข. 32
ค. 33
ง. 34

10

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรือ่ ง เอกภพสัมพทั ธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

ใบความรทู้ ่ี 3.1
เรื่อง เอกภพสมั พัทธ์ และสับเซต

เอกภพสมั พทั ธ์ ( Relative Universe )

บทนิยาม
เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชิกทงั้ หมดในขอบขา่ ยท่ีกาลังพิจารณาอยู่ใน

ขณะน้นั เขียนแทนด้วย U

เชน่
U = { x  x เปน็ อักษรในภาษาอังกฤษ }
A = { x  x เปน็ สระในภาษาอังกฤษ }
B = { x  x เปน็ อกั ษรในภาษาองั กฤษในคาวา่ “ Math “ }
ดงั นน้ั A  U และ B  U

ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ A = { 1 , 2 , 3 , . . . , 20 } จงหาเอกภพสมั พทั ธ์มา 3 เซต

เอกภพสมั พัทธ์ (U) 3 เซต เช่น ตงั้ ใจศกึ ษาเรียนรู้ใหม้ าก ๆ นะคะ
1. { 1 , 2 , 3 , . . . , }
2. { x  x เปน็ จานวนเต็มบวก }
3. { x  x เปน็ จานวนเตม็ }

ตัวอยา่ งท่ี 2 กาหนดให้ U เปน็ เซตของจานวนเต็มบวก
1. A = { 1 , 2 , 3 , . . . }
2. B = { -1 , -2 , -3 , . . . }
3. C = { 0 , 1 , -1 , 2 , -2 , 3 , -3 , . . . }

ดงั นั้นจะได้วา่ A  U , B  U , และ C  U

11

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอื่ ง เอกภพสมั พทั ธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

ตัวอยา่ งที่ 3 กาหนดเอกภพสัมพทั ธ์ ( U ) เป็นเซตจานวนนับ จงเขยี นเซตต่อไปน้ี
แบบแจกแจงสมาชิก

1) A = { x  x  10 }
2) B = { x  x2 + x – 12 = 0 }

3) C = { x  x เป็นจานวนนับที่ 5 หารลงตัว }

วิธีทา

1) จาก A เป็นเซตจานวนนบั ที่นอ้ ยกว่าหรอื เท่ากับ 10

A = { 1 , 2 , 3 , . . . , 10 }

2) จาก B เป็นเซตจานวนนับทส่ี อดคล้องกับสมการ x2 + x – 12 = 0
พิจารณา x2 + x – 12
=0

( x + 4) (x – 3) = 0

x = 3 , -4

จะได้ 3 เปน็ จานวนนบั แต่ -4 ไมเ่ ป็นจานวนนบั

ดงั น้ัน B = { 3 }

3) จาก C เป็นจานวนนับที่ 5 หารลงตัว

C = { 5 , 10 , 15 , . . . }

ฉลาดคดิ ฉลาดเรยี นรู้ จา้

12

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่ือง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

สับเซต ( Subset )

บทนยิ าม
กาหนดให้ A และ B เปน็ เซตใด ๆ เรากลา่ วว่า A เปน็ สับเซตของ B กต็ อ่ เมื่อ

สมาชิกทกุ ตวั ของ A เป็นสมาชกิ ของ B เขยี นแทนด้วย A  B

เช่น A = { 1 , 2 , 3 }
B = {4,3,2,1}

จะได้ A  B เพราะสมาชิกทุกตัวของ A เปน็ สมาชิกของ B
C = {1,5,7}

D = {7,5,1}
จะได้ C  D เพราะสมาชิกทกุ ตวั ของ C เป็นสมาชิกของ D
เซต A ไม่เป็นสับเซตของ B ถ้ามสี มาชกิ อย่างน้อยหน่ึงตวั ของ A ทไี่ ม่เป็นสมาชิก
ของ B เขยี นแทนดว้ ย A  B
เชน่ A = { a , b , c , d , e }

B = {a,e,i,o,u}
จะได้ A  B เพราะวา่ สมาชกิ บางตวั ของ A ได้แก่ b , c , d ไมเ่ ป็นสมาชกิ ของ B
และจะได้ว่า B  A เพราะวา่ สมาชิกบางตัวของ B ได้แก่ i , o , u ไม่เปน็
สมาชิกของ A

ตง้ั ใจศกึ ษาเรยี นรู้
เพื่ออนาคตทีส่ ดใส

13

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เรื่อง เอกภพสัมพทั ธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

ตัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาวา่ เซตใดเป็นสบั เซตของเซตใดบ้าง
1) A = { a , b , c } } , B = { a , b , c , d , e , f }
2) A = { x  x เปน็ จานวนคู่ } , B = { x  x = 2n และ n  I+ }

วิธที า
1) A = { a , b , c } } , B = { a , b , c , d , e , f }

ดังนน้ั A  B เพราะสมาชกิ ทุกตวั ของ A เปน็ สมาชิกของ B

2) A = { x  x เป็นจานวนคู่ }

 A = { 0 , 2 , 4 , 6 , . . . }
B = { x  x = 2n และ n  I+ }
จาก x = 2n , n  I+ จะได้ x = 21 , 22 , 23 , 24 , . . . .

 B = { 2 , 4 , 8 , 16 , . . . }

ดงั น้ัน A  B เพราะสมาชิกทกุ ตวั ของ B เป็นสมาชิกของ A

ตวั อยา่ งที่ 2 จงพิจารณาเซตทกี่ าหนดใหต้ ่อไปน้ี

A = {0,1} จะเรียนรูไ้ ดด้ จี ะตอ้ งมีสตนิ ะคะ
B = {0,1,2}

C = {0}

D = {0,1,2,3}
วิธที า

จะได้

1) A  B , A  C

2) B  D

3) C  A , C  B , C  D

4) D  A , D  B , D  C

5) Ø  A , Ø  B , Ø  C และ Ø  D

6) A  A , B  B , C  C และ D  D

14

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่อื ง เอกภพสมั พทั ธ์ สบั เซตและเพาเวอร์เซต

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงพจิ ารณาขอ้ ต่อไปน้ีถกู หรือผดิ พรอ้ มเหตผุ ล
1) { 0 }  Ø
ผดิ เพราะ 0  { 0 } แต่ 0  Ø
2) { 0 , { 1 } }  { -1 , 0 , {1 } }
ถกู เพราะ 0 , { 1 }  { 0 , { 1 } } และเป็นสมาชิกของ { -1 , 0 , {1 } }
3) { 1 , { 2 } }  { { 1 } , 2 }
ผดิ เพราะ 1  { 1 , { 2 } } แต่ 1  { { 1 } , 2 }
4) Ø  { { 4 } }
ถูก เพราะว่า Ø เปน็ สบั เซตของทกุ เซต

ตัวอย่างท่ี 4 จงพิจารณาเซตท่ีกาหนดใหต้ อ่ ไปนี้
A = {1,2} , B = {1,2,4}
C = {2} , D = {0,1,2,4}

วธิ ที า จะไดว้ ่า
1) A  B , A  D
2) B  D
3) C  A , C  B , C  D
4) D  A , D  B , D  C
5) Ø  A , Ø  B , Ø  C และ Ø  D
6) A  A , B  B , C  C และ D  D

มสี ติ คิดอย่างรอบคอบ แล้วปัญญาจะเกดิ

15

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่ือง เอกภพสัมพทั ธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

สับเซตแท้ ( Proper Subset )
A เปน็ สบั เซตแทข้ อง B กต็ ่อเม่อื A  B แต่ A  B
เช่น { a , i , o } เป็นสบั เซตแท้ของ { a , e , i , o , u }
และ { a , e , i , o , u } เปน็ สับเซตของ { a , e , i , o , u }

ขอ้ สังเกต
1. เซตทกุ เซตเปน็ สบั เซตของตัวมนั เอง นน่ั คือ ถ้า A เป็นเซตใด ๆ แลว้ A  A
2. เซตวา่ งเปน็ สบั เซตของทุกเซต น่ันคือ A เป็นเซตใด ๆ แล้ว Ø  A
3. จานวนสบั เซตของเซต มไี ด้เทา่ กบั 2n สับเซต เม่อื n แทนจานวนสมาชิกของเซต A
4. ถา้ เซตสองเซตเป็นสับเซตซึ่งกนั และกนั กล่าวคือ A  B และ B  A แลว้
เซต A จะเท่ากบั เซต B หรือ A = B

ใช้หวั ใจนกั ปราชญ์ สุ จิ ปุ ลิ
ในการเรยี นรนู้ ะคะ

16

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เร่อื ง เอกภพสมั พัทธ์ สบั เซตและเพาเวอร์เซต

แบบฝกึ ทักษะที่ 3.1

คาสงั่ ใหน้ กั เรียนทาเครอ่ื งหมาย ลงในช่องทีแ่ สดงความสัมพนั ธ์ของเซตต่อไปน้ี

ข้อ เซตทีก่ าหนด ความสมั พันธ์
A เปน็ สับเซต B A ไม่เปน็ สบั เซต B
A = {2, 4},

B = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

1 A = {1, 2} , B = { 1, 2, 3, 4}

2 C = {3, 4, 5} , D = { 1, 2, 3, 4}

3 E = {a, b} , F = { a, b, c, d}

4 G = {1, 2, 3, 4} ,

H ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

5 I = {5, 10, 15, 20}
J = {5, 10, 15, 20, 25, 30}

6 K = {a, b, c} , L = { a, b, d, e, f}

7 M = {1, 2, 3, 4, 6} , N ={1, 2, 3, 4, 5}

8 O = { } , P = { 1, 2, 3}

9 Q = {a, b, c, d} , R = { a, b, c, e, f, g}

10 S = {1, 2, 3} , T = { 1, 2, 3}

ความพยายามอยู่ทไี่ หน ความสาเรจ็ อยูท่ ี่น่นั

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ตอบถกู ได้ 1 คะแนน ตอบผิดได้ 0 คะแนน
คะแนนเตม็ 10 คะแนน ได้.....................คะแนน

17

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอื่ ง เอกภพสมั พทั ธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

แบบฝึกทกั ษะที่ 3.2

คาสั่ง ให้นักเรยี นเขียนสับเซตทั้งหมดของเซตท่ีกาหนดให้ตอ่ ไปน้ี

 A=
สับเซตคอื ...........................................................................................

 B = 2
สับเซตคอื ...........................................................................................

 C = 2, 3
สบั เซตคอื ...........................................................................................

 D = 2, 3, 4
สบั เซตคือ ...........................................................................................

 E = 2, 3, 4, 5
สบั เซตคือ ...........................................................................................

 F = 
สบั เซตคอื ...........................................................................................

 G = , {}
สบั เซตคอื ...........................................................................................

 H = , 1, {1}
สบั เซตคอื ...........................................................................................

 I = 1, {1}, {{1}}
สบั เซตคือ ...........................................................................................

 J = , 0, {, 0}
สับเซตคือ ...........................................................................................

เกณฑ์การให้คะแนน ตอบถูกได้ 1 คะแนน ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน
คะแนนเต็ม 10 คะแนน ได.้ ....................คะแนน

18

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอ่ื ง เอกภพสัมพัทธ์ สบั เซตและเพาเวอร์เซต

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3.3

คาสงั่ กาหนดให้ A = 2, 4, 6, 8 จงหาสิง่ ต่อไปนี้

 จานวนสบั เซตของ A
ตอบ ...........................................................................................

 จานวนสับเซตแท้ของ A
ตอบ ...........................................................................................

 จานวนสบั เซตไม่แทข้ อง A
ตอบ ...........................................................................................

 จานวนสับเซตแท้ของ A ที่ไมใ่ ช่เซตว่าง
ตอบ ...........................................................................................

 จานวนสับเซตของ A ที่มีสมาชิก 1 ตัว
ตอบ ...........................................................................................

 จานวนสบั เซตของ A ที่มสี มาชิก 2 ตัว
ตอบ ...........................................................................................

 จานวนสบั เซตของ A ทีม่ ีสมาชิก 3 ตัว
ตอบ ...........................................................................................

 จานวนสบั เซตของ A ทม่ี สี มาชิก 4 ตวั
ตอบ ...........................................................................................

 จานวนสบั เซตของ A ทีม่ สี มาชิก 0 ตวั
ตอบ ...........................................................................................

 สับเซตท่เี ป็นสบั เซตไม่แทข้ อง A คอื
ตอบ ...........................................................................................

เกณฑ์การให้คะแนน ตอบถกู ได้ 1 คะแนน ตอบผิดได้ 0 คะแนน
คะแนนเต็ม 10 คะแนน ได้.....................คะแนน

19

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรอ่ื ง เอกภพสัมพัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

ใบความรู้ท่ี 3.2
เรื่อง เพาเวอรเ์ ซต

เพาเวอรเ์ ซต ( Power Set )

บทนิยาม
กาหนดให้ A เปน็ เซตใดๆ เพาเวอรเ์ ซตของ A คือ เซตท่ีมีสับเซตทง้ั หมดของ A

เขียนแทนด้วย P(A) เขยี นอยู่ในรปู เซต น่นั คือ P(A) = { x  x  A }

ถา้ A เปน็ สบั เซตใด ๆ ทมี่ ีสมาชกิ n ตัว แล้วจานวนสับเซตของ A เทา่ กับ 2n

การเขยี นสบั เซต จะตอ้ งเขียนเซตซ่ึงประกอบด้วย

1. เซตวา่ ง

2. เซตท่ปี ระกอบด้วยสมาชกิ 1 ตัว

3. เซตท่ปี ระกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว

4. เซตทปี่ ระกอบดว้ ยสมาชิก n ตัว ตัง้ ใจศกึ ษาเรยี นรู้
เชน่ A = { a , b } เพือ่ อนาคตท่สี ดใส
จะไดส้ บั เซตของ A คอื Ø , { a } , { b } , { a , b }

ดังนนั้ เพาเวอร์เซตของเซต A คอื { Ø , { a } , { b } , { a , b } }

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาจานวนสับเซตทง้ั หมดของเซต A
เมอ่ื กาหนด A = { 3 , 5 }

วธิ ที า
A = { 3 , 5 } จานวนสมาชกิ ของเซต A เทา่ กับ 2
ดังน้ัน จานวนสับเซตของเซต A เทา่ กับ 22 = 4
คอื Ø , { 3 } , { 5 } , { 3 , 5 }
ดังนนั้ P(A) = { Ø , { 3 } , { 5 } , { 3 , 5 } }

20

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เร่ือง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาจานวนสบั เซตท้ังหมดของเซต B
กาหนดให้ B = { 1 , 3 , { 1 , 2 } }

วธิ ีทา
B = { 1 , 3 , { 1 , 2 } } จานวนสมาชกิ ของ B มี 3 ตัว
จานวนสบั เซตทั้งหมดของเซต B เทา่ กับ 23 = 4 สบั เซต
คือ { 1 } , { 3 } , { { 1 , 2 } } , { 1 , 3 } , { 1 , { 1 , 2 } },
{3,{1,2}},{1,3,{1,2}},{ }
ดังน้นั P(B) = { { 1 } , { 3 } , { { 1 , 2 } } , { 1 , 3 } , { 1 , { 1 , 2 } },
{3,{1,2}},{1,3,{1,2}},{ }}

ตวั อยา่ งท่ี 3 กาหนดให้ C = { Ø , { 1 } } จงหา P(C)
วธิ ีทา

C = { Ø , { 1 } } จานวนสมาชิกของ C มี 2 ตวั
จานวนสบั เซตท้งั หมดของเซต C เทา่ กับ 22 = 4 สับเซต
คือ Ø, { Ø } , { { 1 } } , { Ø , { 1 } }
ดังนั้น P(C) = { Ø, { Ø } , { { 1 } } , { Ø , { 1 } } }

เรยี นรู้อยา่ งมีสติกนั ทกุ ๆ คน
นะคะ

21

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรือ่ ง เอกภพสมั พัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

แบบฝึกทักษะที่ 3.4

คาส่ัง 1. กาหนด A, B และ C เปน็ เซต จงพจิ ารณาวา่ ข้อต่อไปน้ีถกู หรอื ผดิ
โดยทาเคร่อื งหมาย หรอื  หนา้ ข้อท่ีกาหนด

 ตัวอย่าง : A B กต็ ่อเมอ่ื AB
1. P(A)
2.   P(A)
3. {} P(A)
4. {}P(A)
5. AP(A)
6. {A}  P(A)
7. {A}P(A)
8. ถ้า A เป็นเซตอนนั ต์ P(A) กจ็ ะเปน็ เซตอนนั ตด์ ว้ ย
9. ถา้ A  B แลว้ จะได้ P(A)  P(B)
10. ถ้า AP(B) แลว้ จะได้ A  B
ถ้าข้อไหนไม่เขา้ ใจหรือ
ทาไมไ่ ดก้ ก็ ลับไปศกึ ษาเรียนรู้อกี ครง้ั นะคะ

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ตอบถกู ได้ 1 คะแนน ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน
คะแนนเตม็ 10 คะแนน ได.้ ....................คะแนน

22

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอ่ื ง เอกภพสมั พทั ธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

คาส่งั 2. ให้นกั เรียนบอกจานวนสมาชกิ ของ P(A) เมอื่ กาหนดเซต A ดังต่อไปนี้

เซต จานวนสมาชกิ ของ P(A)
00. A = {1, 2}, {3} 4
1. A = 
2. A =  ………………..
3. A = 2, 3, {2, 3} , 4 ………………..
4. A = {1}, {1, 2} ………………..
5. A = {1}, {2},  ………………..
6. A = , 1, {1}, {2} ………………..
7. A = a, 1, b, 2, c, 3 ………………..
8. A =  2, {4, 5}, 4 ………………..
9. A = , {} ………………..
10. A = 1234 ………………..
………………..

ฉลาดคิด ฉลาดศึกษาฉลาด
เรียนรู้กันทุก ๆ คน นะคะ

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ตอบถูกได้ 1 คะแนน ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน
คะแนนเต็ม 10 คะแนน ได้.....................คะแนน

23

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เร่ือง เอกภพสมั พทั ธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

แบบฝกึ ทักษะท่ี 3.5

คาส่ัง ใหน้ ักเรยี นหาเพาเวอรเ์ ซตจาก เซตท่ีกาหนดให้ตอ่ ไปน้ี

A=
ตอบ P(A) = ………………………………………………..

 B = a
ตอบ P(B) = ………………………………………………..

 C = a, b
ตอบ P(C) = ………………………………………………..

 D = a, b, 
ตอบ P(D) = ………………………………………………..

 E = , {}
ตอบ P(E) = ………………………………………………..

 F = 2, {4, 6}
ตอบ P(F) = ………………………………………………..

 G = xx  I และ 1  x  4 
ตอบ P(G) = ………………………………………………..

 H = xx2 + 2x - 3 = 0 
ตอบ P(H) = ………………………………………………..

 ถา้ P(A) = {0}, 
ตอบ A = ………………………………………………..

 ถา้ P(B) = {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}, 
ตอบ B = ………………………………………………..

เกณฑ์การให้คะแนน ตอบถูกได้ 1 คะแนน ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน
คะแนนเต็ม 10 คะแนน ได้.....................คะแนน

24

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอ่ื ง เอกภพสัมพัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

แบบทดสอบหลังเรียนแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์
เล่มที่ 3 เรือ่ ง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

คาชีแ้ จง

1. แบบทดสอบฉบับนี้มจี านวน 10 ข้อ ใช้เวลาทา 10 นาที

2. นกั เรยี นโปรดอย่าเขียนข้อความหรอื ทาเคร่อื งหมายใด ๆ ลงบนแบบทดสอบ

3. ใหน้ กั เรยี นเขียนหวั กระดาษให้สมบูรณ์ และอา่ นคาช้แี จงก่อนตอบข้อสอบ

4. แบบทดสอบเปน็ แบบปรนยั เลอื กตอบชนิด 4 ตัวเลอื ก ใหน้ กั เรยี นเลือกคาตอบทถ่ี กู ทสี่ ุด

เพยี งข้อเดยี วดว้ ยเครอื่ งหมาย X ในกระดาษคาตอบ

ตัวอยา่ ง ถา้ นกั เรียนตอ้ งการตอบขอ้ ก ใหท้ าดงั น้ี

ขอ้ 0. ก ข คง

(X) ( ) () ()

ถา้ นักเรียนตอ้ งการเปลีย่ นคาตอบจากขอ้ ก เป็นข้อ ค ให้ทาดังน้ี

ข้อ 0. ก ข คง

(X) ( ) (X ) ( )

5. เมอื่ นกั เรียนทาขอ้ สอบเสรจ็ หรอื หมดเวลาแล้วให้สง่ กระดาษคาตอบพรอ้ มกับแบบทดสอบ

นางพรพิมาน ยบุ ลวฒั น์
ครูผู้สอน

25

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรือ่ ง เอกภพสัมพทั ธ์ สบั เซตและเพาเวอร์เซต

1. ถ้า A = a, b, {c, d} แลว้ เพาเวอรเ์ ซตของ A มีจานวนสมาชกิ กต่ี ัว
ก. 16 ตวั
ข. 12 ตวั
ค. 8 ตัว
ง. 6 ตัว

2. จงพจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี
1) เซตวา่ งเป็นสับเซตแท้ของทกุ เซต
2) ถ้า A เป็นเซตใดๆ แล้วจะมีสับเซตแทข้ อง A อย่างน้อยหนง่ึ เซต

ข้อความใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ ง
ก. ขอ้ ความ 1) และ 2) เปน็ จรงิ
ข. ข้อความ 1) เทา่ นั้นท่ีเป็นจริง
ค. ขอ้ ความ 2) เทา่ น้นั ท่ีเปน็ จริง
ง. ขอ้ ความ 1) และ 2) ไม่เปน็ จริง
3. เซตใดต่อไปน้ีไมม่ สี ับเซตแท้

ก. A = 
ข. B = xQ x2 – 9 = 0
ค. C = x I x2 – 5x + 6 = 0
ง. D = xQx2 – 9 = 0
4. กาหนดให้ A เปน็ เซตของจานวนเต็มบวก

B เปน็ เซตของจานวนเต็มบวกคู่
C เป็นเซตของจานวนเตม็ ค่ี
D เปน็ เซตของจานวนนบั ท่เี ปน็ จานวนเฉพาะ
จงพจิ ารณาว่าข้อใดต่อไปน้เี ป็นจรงิ

ก. B  P(A)
ข. D  P(B)

ค. C  P(A)
ง. C  P(B)

26

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรอ่ื ง เอกภพสัมพัทธ์ สบั เซตและเพาเวอร์เซต

5. กาหนดให้ A = xx เป็นจานวนเตม็ บวกคี่ และ x  10  แล้วจานวนสบั เซตแท้
ของ A ทีไ่ ม่เท่ากบั เซตวา่ ง ตรงกบั ข้อใด
ก. 30 เซต
ข. 31 เซต
ค. 62 เซต
ง. 63 เซต

6. กาหนดให้ A = xx เปน็ จานวนนับคู่ และเปน็ จานวนเฉพาะ จงหา P(A)

ก. {2}

ข. {}, {2}

ค. , {2}

ง. {, 2}

7. กาหนดให้ A = , 0, { }, 1, 2 จานวนสับเซตแท้ของ A ตรงกับข้อใด
ก. 31
ข. 32
ค. 33
ง. 34

8. ถ้า A และ B เป็นเซตใดๆ จงพิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้

1). ถ้า A  B แลว้ A = B

2). ถ้า A = B แลว้ A  B
ข้อใดต่อไปน้ถี ูกต้อง
ก. ข้อความ 1) และ 2) เป็นจรงิ
ข. ขอ้ ความ 1) เท่านั้นที่เปน็ จริง
ค. ขอ้ ความ 2) เท่านนั้ ที่เปน็ จริง
ง. ข้อความ 1) และ 2) ไมเ่ ปน็ จรงิ

27

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรื่อง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

9. กาหนดให้ A = 2, {4, 6} ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถูกตอ้ ง
ก. P(A) = , 2, {4, 6}, {2, {4, 6}}
ข. P(A) = , {2}, {4, 6}, {2, {4, 6}}
ค. P(A) = , 2, {4, 6}, {2, {4, 6}}
ง. P(A) = , {2}, {{4, 6}}, {2, {4, 6}}

10. กาหนดให้ A = {1}, {2, 3}, {1, 2, 3},  แล้ว n(P(A)) เท่ากับขอ้ ใด
ก. 4 ตวั
ข. 8 ตวั
ค. 16 ตัว
ง. 32 ตัว

28

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรื่อง เอกภพสัมพัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

แบบฝึกหดั เพิ่มเตมิ เสริมทกั ษะ
เลม่ ท่ี 3 เร่อื ง เอกภพสัมพทั ธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

1. คาชี้แจง ให้นกั เรยี นเติมคาตอบลงในช่องวา่ งแต่ละข้อต่อไปนีใ้ ห้ถูกต้องสมบูรณ์

ขอ้ ท่ี เซตทกี่ าหนดให้ สับเซตท้ังหมดของเซตท่ีกาหนดให้ จานวนสบั เซตทัง้ หมดของเซตท่ี
กาหนดให้

1.1 A = { }

1.2 A = {2}

1.3 A = {2, 3}

1.4 A = {2, 3, 4}

2. จงกาเครื่องหมาย / หนา้ ขอ้ ที่เห็นว่าถกู และกาเครือ่ งหมาย  หน้าข้อท่เี หน็ ว่าผดิ

…………. 2.1 ถา้ A  B แล้ว B  A
…………..2.2 ถ้า A  B และ a  A แลว้ a  B
…………..2.3 ถา้ A  B และ B = C แล้ว A  C
…………..2.4 กาหนด A = {1, 2, {2, 5}} แล้ว {2, 5}  A
………….2.5 ถ้า A = {1, 3} แลว้ จานวนสับเซตของ A เท่ากบั 4 เซต

…………..2.6 ถา้ A = {a, b, c} แล้ว   A
3. คาชแ้ี จง จงเตมิ คาตอบลงในช่องวา่ งแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ใหถ้ กู ต้องสมบรู ณ์

1. กาหนด A = {6} จะได้ P(A) = ………………………………………………..
2. กาหนด A = {7, 5} จะได้ P(A) = ………………………………………………
3. กาหนด B = {6, 7, 9} จะได้ P(B) = ……………………………………………..
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
4. ถ้า A = {2} จงหา P(P(A))
P(P(A)) = …………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………
5. ถ้า A เป็นเซตทีม่ ีสมาชิก 6 ตัวแลว้ P(A) จะมสี มาชกิ ………………. ตัว

29

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอ่ื ง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

ตารางบันทึกคะแนน

แบบฝึกทกั ษะท่ี คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้

3.1 10
3.2 10
3.3 10
3,4 20
3.5 10
แบบทดสอบหลังเรยี น 10

คะแนนรวม 70

30

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรื่อง เอกภพสมั พัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

บรรณานุกรม

กนกวลี อุษณกรกุลและรณชยั มาเจริญทรพั ย.์ แบบฝึกหดั และประเมนิ ผลการเรยี นรู้
คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 เลม่ 1. กรงุ เทพฯ : เดอะบคุ ส์, 2548.

กรมวิชาการ. หลักสตู รการศกึ ษาข้ันพืน้ ฐานพุทธศักราช 2551 สาระและมาตรฐานการเรียนรู้
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์. กรุงเทพฯ: องค์การรับสง่ สินคา้ และพสั ดภุ ณั ฑ์, 2551.

จารัส อินสม. คมู่ ือคณิตศาสตร์ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรยี นท่ี 1. กรงุ เทพฯ : แม็ค,
2547.

จีระ เจรญิ สขุ วิมลและวนิ จิ วงศ์รตั นะ. สรปุ สตู รหลัก&สตู ร คณติ ศาสตร์ ม.4 เล่ม 1-2.
กรุงเทพฯ: ไฮเอ็ดพบั ลิชชงิ่ จากดั ,ม.ป.ป.

ทรงวทิ ย์ สวุ รรณธาดา. แบบฝึกคณติ ศาสตรม์ ัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 ภาคเรียนที่ 1. กรงุ เทพฯ :
แมค็ , 2549.

สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธกิ าร. คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน
คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 4-6 กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์
ตามหลกั สตู รแกนกลางการศกึ ษาข้ันพน้ื ฐานพทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพฯ :
โรงพมิ พค์ รุ ุสภาลาดพรา้ ว, 2556.
. หนงั สือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4-6 กลุม่ สาระ
การเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาข้ันพน้ื ฐานพทุ ธศักราช 2551.
กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พค์ รุ ุสภาลาดพรา้ ว, 2556.

เซตและวธิ ีการเขียนเซต. (ออนไลน์) ; https://www.sites.google.com. เข้าถงึ เมอ่ื 18
มกราคม 2560.

เซต. (ออนไลน)์ ; https :// www.trueplookpanya.com. เขา้ ถงึ เมอ่ื 18 มกราคม 2560.
. https :// www.thaigoodview.com. เขา้ ถึงเมอ่ื 18 มกราคม 2560.
. https :// www. mathsetter.wordpress.com. เขา้ ถึงเม่ือ 18 มกราคม 2560.

Images for เซตและการดาเนนิ การของเซต. (ออนไลน์) ; https://www.google.co.th/search?.
เขา้ ถงึ เม่ือ 19 มกราคม 2560.