การดำเนินการของฟังก์ชัน

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์
เร่ืองการดาเนินการของฟังกช์ ัน

ชั้นมัธยมศกึ ษาปี ที่ 4

ช่ือ................................................................................................

ชนั้ ..................................................เลขท่ี...........................................
ครูผสู้ อน.............................................................................................

คานา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่อื งการดาเนนิ การของฟังกช์ นั ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 จดั ทาขนึ้ เพ่ือใชเ้ ป็น
นวตั กรรมประกอบการจดั กิจกรรมการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ เพ่ือสง่ เสรมิ และสนบั สนนุ ใหน้ กั เรียนทกุ
คนมีความสามารถในการเรียนรูพ้ ฒั นาทกั ษะวชิ าคณิตศาสตรเ์ ก่ียวกบั ฟังกช์ นั ฝีกฝนเพ่ือใหเ้ กิดทกั ษะการคดิ
คานวณและสามารถสรา้ งองคค์ วามรูด้ ว้ ยตนเอง

ผจู้ ดั ทาหวงั เป็นอยา่ งย่งิ วา่ แบบฝึกทกั ษะวิชาคณิตศาสตรช์ ดุ นีจ้ ะเป็นประโยชนแ์ กน่ กั เรยี นในการเรยี น
วิชาคณิตศาสตรท์ งั้ ในและนอกหอ้ งเรียน เป็นประโยชนส์ าหรบั ครูผสู้ อน ท่ีจะนาไปใชใ้ นการจดั การเรียนการ
สอน และเหมาะสาหรบการซอ่ มเสรมิ อยา่ งดีนอกจากนีย้ งั ชว่ ยพฒั นาคณุ ภาพการเรียนการสอนใหส้ ามารถ
บรรลจุ ดุ ประสงคก์ ารเรียนรูต้ ามเปา้ หมายท่ีตงั้ ไว้

อนวุ ฒั น์ สมาน

สารบัญ

ใบความรู้ เร่ืองการดาเนนิ การของฟังชนั 1
แบบฝีกหดั 5
เฉลยแบบฝึกหดั 6

1

การดาเนินการของฟังกช์ ัน

การดาเนินการของฟังกช์ นั เป็นการสรา้ งฟังกช์ นั ใหมจ่ ากฟังกช์ นั เดมิ ท่ีมีอยแู่ ลว้ โดยฟังชนั ท่ีนามา
ดาเนนิ การจะมีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซ็ตของจานวนจริงใดๆ โดยมีการดาเนนิ การในเชิงพีชคณิต หมายถงึ
สามารถนาฟังกช์ นั ตา่ งๆ เหลา่ นนั้ มาบวกลบคณู หารกนั ไดเ้ หมือนจานวนจรงิ ท่วั ไป

บทนิยาม กาหนดให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั ใดๆ โดยท่ีมีโดเมนและเรนจเ์ ป็นซบั เซตของจานวนจรงิ การ
ดาเนนิ การของฟังกช์ นั ดงั กลา่ ว ไดแ้ ก่ การบวก การลบ การคณู และการหาร เราเขียนแทนดว้ ย
f + g , f - g ,f ∙ g , และ f ตามลาดบั

g

โดยกาหนดให้ (f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f – g) (x) = f(x) - g(x)

(f ∙ g ) (x) = f(x) ∙ g(x)

(gf )(x) = f(x) , (x) ไมเ่ ทา่ กบั 0

g(x)

จากนิยามจะเห็นวา่

1. คา่ ของ x ท่ีเรานาไปแทนคา่ ในฟังกช์ นั ใหมน่ นั้ เป็นโดเมนของ f + g , f - g , f ∙ g , และ f คา่ x นนั้

g

เป็นเซตของจานวนจรงิ ท่ีเกิดจาก โดเมนของf ∩ โดเมนของg แตถ่ า้ ฟังกช์ นั ใหมอ่ ยใู่ นรูปของการหาร f(x)

g(x)

นอกจาก โดเมนของ(f) ∩ โดเมนของ(g) แลว้ คา่ x ท่ีอย่ใู น g(x) จะตอ้ งไมท่ าให้ g(x) = 0 ดว้ ย

2. โดเมนของแตล่ ะฟังกช์ นั ท่ีมาดาเนนิ การ เม่ือนาโดเมนเหลา่ นนั้ มาอนิ เตอรเ์ ซ็กชนั จะตอ้ งไมเ่ ทา่ กบั เซต
วา่ ง

วิธีการหาคา่ ฟังกช์ นั ท่ีเกิดจากการดาเนนิ การดงั กลา่ ว เราจะใชห้ ลดั พีชคณิตโดยท่วั ไป โดยพจิ ารณาท่ีคา่
ของ x หรือคา่ โดเมนตอ้ งเหมือนกนั เม่ือไดค้ า่ โดเมนท่ีเหมือนกนั แลว้ ใหน้ าคา่ y หรือคา่ เรนจม์ าบวกลบคณู หาร
กนั

2

ตามโจทยก์ าหนด เชน่ กาหนดให้ f(x) = {(1,2),(3,4),(5,6)} และ g(x) = {(1,1),(3,2),(4,6)} จะได้
(f + g)(x) = {(1,3),(3,6)},โดเมนของf ∩ โดเมนของg = {1,3}
(f – g) (x) = {(1,1),(3,2)},โดเมนของf ∩ โดเมนของg = {1,3}
(f ∙ g ) (x) = {(1,2),(3,8)},โดเมนของf ∩ โดเมนของg = {1,3}

(f)(x) = {(1,2),(3,2)},โดเมนของf ∩ โดเมนของg = {1,3}

g

3. กรณีการหาคา่ พีชคณิตของฟังกช์ นั ท่ีโจทยบ์ อกมาในรูปแบบเง่ือนไข ก่อนอ่ืนตอ้ งตรวจสอบวา่
เราสมารถหาคา่ ของพีชคณิตไดห้ รือไม่ โดยจากนยิ าม เราพจิ ารณาท่ีคา่ โดเมนหรือคา่ ของ x ท่ีนามาอนิ เตอร์
เซ็กกนั จะตอ้ งไมเ่ ทา่ กบั เซตว่าง

เม่ือทราบวา่ คา่ x นนั้ ไมเ่ ทา่ กบั เซตวา่ งแลว้ จงึ นาคา่ y ท่ีอยใู่ นรูปของ x มาบวกลบคณู หารกนั ตามโจทย์
กาหนด
ถา้ กาหนดให้ f(x) = x2 + 4 , g(x) = 5x เราสามารถหาคา่ พีชคณิตของฟังกช์ นั ตา่ งๆไดด้ งั นี้

โดเมนของ f(x) = R โดเมนของ g(x) = R
จะได้ โดเมนของf ∩ โดเมนของg = R ดงั นนั้ หาคา่ พีชคณิตของฟังกช์ นั ได้
(f + g)(x) = x2 +5x + 4
(f – g) (x) = x2 – 5x + 4
(f ∙ g ) (x) = (x2+ 4)(5x)
(f )(x) = x2+4 , x ≠ 0

g 5x

3

ในกรณีฟังกช์ นั ประกอบ ให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั ลองพจิ ารณาแผนภาพตอ่ ไปนี้

A f(x) B g(x) C

1 กA

2ขB

3

คC

จากแผนภาพเราจะหาคา่ ฟังกช์ นั ไดด้ งั นี้

f(1) = ข , f(2) = ก , f(3) = ค , g(ก) = b ,g(ข) = c , g(ค) = a

พิจารณา g(ก) = b แต่ f(1) = ก ดงั นนั้ g(f(2)) = b

พจิ ารณา g(ข) = c แต่ f(2) = ข ดงั นนั้ g(f(1)) = c

พจิ ารณา g(ค) = a แต่ f(3) = ค ดงั นนั้ g(f(3)) = a

ดงั นนั้ ฟังกช์ นั ประกอบจะเกิดจากการหาคา่ ฟังกช์ นั จากเซต A ไป C เราเรยี นกฟังชนั นีว้ า่ gof (จีโอเอฟ) ซง่ึ เป็น
ฟังช่นั ประกอบของ f และ g ดงั กลา่ ว

บทนิยาม ถา้ ให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั และ เรนจข์ อง f ∩ โดเมนของ g ≠ ∅ แลว้ ฟังกช์ นั ประกอบของ f และ
g คือ gof โดย gof(x) = g(f(x))

จากนยิ าม หมายความวา่ ในการหาฟังกช์ นั ประกอบนนั้ ถา้ เราพบวา่ เรนจข์ อง f ∩ โดเมนของ g ≠ ∅
แลว้ จะหาคา่ ฟังกช์ นั ประกอบนนั้ ไมไ่ ด้

ดงั นนั้ ทกุ ครงั้ ท่ีมีการหาคา่ gof ตอ้ งตรวจสอบเรนจข์ อง f ∩โดเมนของ g กอ่ น ถา้ ปรากฏว่าเรนจข์ อง f
∩∩ โดเมนของ g ≠ ∅ จงึ หาคา่ gof ตอ่ ไป

4

ตวั อย่าง 1 กาหนดให้ f = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} , g = {(2,5),(4,3),(5,1),(3,8)} จงหา gof
การหา gof และ fog ตอ่ ไป
ตรวจสอบ เรนจข์ อง f ∩ โดเมนของ g ≠ ∅ กอ่ น ดงั นี้
การหา fog เรนจf์ = {2,3,4,5} โดเมน g = {2,4,5,3} จะได้ เรนจของ f ∩ โดเมนของ g ≠ ∅
: หา gof ได้
gof = {(1,5),(2,8),(3,3),(4,1)}
ตรวจสอบ เรนจข์ อง g ∩โดเมนของ f ≠ ∅ ก่อน ดงั นี้
เรนจg์ = {5,3,1,8} โดเมน f = {1,2,3,4} จะได้ เรนจข์ อง g ∩ โดเมนของ f ≠ ∅
: หา fog ได้
fog = {(5,2),(4,4)}

ตวั อยา่ ง 2 กาหนดให้ f(x) =2X , g(x) = x2 จงหา gof
การหา gof ตรวจสอบ เรนจข์ อง f ∩ โดเมนของ g ≠ ∅ กอ่ น ดงั นี้
เรนจf์ = R, โดเมน g = R จะได้ เรนจของ f ∩ โดเมนของ g ≠ ∅ : หา gof ได้
gof = g(f(x)) = g(2x) =(2x)² =4x²

ตวั อยา่ ง 3 กาหนดให้ f(x) = 5x -1 , g(x) =√ จงหา fog
การหา fog ตรวจสอบ เรนจข์ อง g ∩ โดเมนของ f ≠ ∅ กอ่ น ดงั นี้
เรนจg์ = [0,∞) ,โดเมน f = R จะได้ เรนจข์ อง g ∩ โดเมนของ f ≠ ∅ : หา fog ได้
fog = f(g(x)) = f(√ ) = 5√ – 1

5

แบบฝึกหดั

กาหนดให้ f = {(1,4),(2,5),(3,6)} , g = {(4,8),(5,2),(7,6)} , h = {(8,1),(2,7),(6,9)} จงหาคา่ ตอ่ ไปนี้
1. fog = ……………………………………………………………………………………………………………………………
2. gof = ……………………………………………………………………………………………………………………………
3. foh = ……………………………………………………………………………………………………………………………
4. goh = …………………………………………………………………………………………………………………………
5. hog = …………………………………………………………………………………………………………………………
กาหนดฟังกช์ นั f(x) = x , g(x) = √ , h(x) = x² - 1 จงหาคา่ ฟังกช์ นั ประกอบตอ่ ไปนี้
6. fog(x)
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
7. gof(x)

………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
8. foh(x)

………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
9. goh(x)

………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
10.hog(x)

………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………

6

เฉลยแบบฝึ กหดั

1. fog = {(5,5)}
2. gof = {(1,8),(2,2)}
3. foh = {(8,4)}
4. goh = {(2,6)}
5. hog = {(4,1),(5,7),(7,9)}
6. fog(x) = √
7. gof(x) = √

8. foh(x) = x² - 1

9. goh(x) = √ 2 − 1

10.hog(x) = x-1