Modul Statistika

SITI FATIMAH AZ-ZAHRO STATISTIKA “PROBABILITAS”



[Type here]

STATISTIKA
“PROBABILITAS”

Pendidikan Sains
Program Pascasarjana
Universitas Negeri Yogyakarta

2020

[Type here] KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan rahmat
dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan “Modul Statistika” dengan tema
“PROBABILITAS”. Modul ini diajukan guna memenuhi tugas akhir semester mata kuliah
Statistika. Penulis mengucapkan terima kasih kepada bapak Dr. Drs. Supahar, M.Si. Selaku
dosen pengampu mata kuliah Statistika dan semua pihak yang telah membantu sehingga
modul ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya.

Modul ini adalah hasil saduran dari beberapa penulis pada beberapa literatur.
Penulis menyadari bahwa tanpa Rahmat Tuhan, serta bimbingan, bantuan, doa, dan
dorongan dari berbagai pihak, modul ini tidak mungkin dapat terselesaikan, terutama
kepada para penulis dalam beberapa literatur yang menjadi saduran atau referensi dalam
penulisan modul ini. Terimakasih telah memberikan kontribusi yang sangat besar kepada
kemudahan penulisan modul ini.

Penulis menyadari bahwa modul ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu,
kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penulis harapkan demi kesempurnaan
modul ini. Semoga dengan adanya modul ini mampu memberikan informasi bagi
pembelajaran dan masyarakat, serta dapat bermanfaat untuk pengembangan wawasan dan
peningkatan ilmu pengetahuan bagi kita semua.

Yogyakarta, 30 Desember 2020

Penulis

STATISTIKA “PROBABILITAS” i

[Type here] DAFTAR ISI

Halaman Judul ................................................................................................... i
Kata Pengantar ................................................................................................... ii
Daftar Isi ................................................................................................... ii
Daftar Gambar ................................................................................................... iv
Daftar Tabel ................................................................................................... 1
Pendahuluan
Kegiatan Belajar I ................................................................................................... 2

A. Konsep Dasar ................................................................................................... 4
Probabilitas
................................................................................................... 5
B. Prinsip
Penghitungan ................................................................................................... 8
Dasar ................................................................................................... 8
................................................................................................... 10
C. Jenis
Probabilitas ................................................................................................... 11

D. Aturan ................................................................................................... 12
Probabilitas
................................................................................................... 13
E. Komplemen ................................................................................................... 15
Tugas I
Kegiatan Belajar II ................................................................................................... 16

A. Probabilitas ................................................................................................... 17
Bersyarat ................................................................................................... 19

B. Peristiwa ................................................................................................... 20
Independen dan ................................................................................................... 21
Dependen ................................................................................................... 22
................................................................................................... 23
C. Aturan ................................................................................................... 25
Perkalian

Tugas II
Kegiatan Belajar III

A. Mutually
Exclusif

B. Aturan
Penjumlahan

Tugas III
Kegiatan Belajar IV

A. Permutasi
B. Kombinasi
Tugas IV
Kesimpulan : Intisari
Daftar Pustaka

STATISTIKA “PROBABILITAS” ii

[Type here] DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. Diagram ...................................................................................... 3
Pohon ...................................................................................... 5
...................................................................................... 8
Gambar 2. Diagram ...................................................................................... 9
Pohon
...................................................................................... 16
Gambar 3. Skala
Probabilitas ...................................................................................... 16

Gambar 4. Diagram
Venn

Gambar 5. A dan B
Mutually
Exclusiv

Gambar 6. A dan B
Tidak
Mutually
Exclusiv

STATISTIKA “PROBABILITAS” iii

[Type here] DAFTAR TABEL

Tabel 1. Hasil ...................................................................................... 12
Pendataan IQ ...................................................................................... 19
dan Gen ...................................................................................... 23

Tabel 2.Data Golongan
Darah

Tabel 3.Intisari
Probabilitas

STATISTIKA “PROBABILITAS” iv

[Type here] PENDAHULUAN

Teori probabilitas adalah adalah cabang Matematika yang berusaha
menggambarkan atau memodelkan chance behavior. Mulanya, teori probabilitas
dilahirkan di meja judi pada abad ke-17 ketika para bangsawan kalah dalam permainan.
Sehingga untuk mengatasi kekalahan tersebut, mereka bukannya berhenti berjudi tetapi
justru bertanya kepada seseorang yang lebih cerdas untuk menghitung kemungkinan
mereka mendapat kemenangan. Hasil-hasil nya terangkum dalam teori probabilitas dengan
aplikasi yang sangat luas dalam berbagai bidang. Seperti teori genetik, kinetik, riset
operasi, aktuaria, desain, dan analisis sistem operasi komputer.

Modul ini merupakan ulasan singkat teori probabilitas yang sudah anda kenal dalam
buku Elementary Statistic: Picturing The World. Setelah mempelajarai modul ini, secara
umum anda diharapkan dapat menjelaskan konsep probabilitas sebagai ukuran
ketidakpastian suatu peristiwa atau kejadian.

Secara khusus anda diharapkan:

 Memahami konsep dasar probabilitas dan perhitungan
 Mengidentifikasi probabilitas bersyarat dan aturan perkalian dalam probabilitas
 Memahami aturan penjumlahan
 Memahami beda permutasi dan kombinasi dalam probabilitas

Masalah probabilitas sejatinya adalah masalah frekuensi suatu kejadian. Oleh sebab
itu, probabilitas suatu kejadian dapat diatasi sebagai perbandingan frekuensi kejadian
itu dengan kejadian seluruhnya. Teori probabilitas sebetulnya memberikan cara
pengukuran kuantitatif tentang kemungkinan atau tingkat kepastian tentang terjadinya
satu peristiwa.

STATISTIKA “PROBABILITAS” 1

[Type here] KEGIATAN BELAJAR I

A. Konsep Dasar Probabilitas

Sebagai awal pengetahuan, sebelum menelisik lebih dalam tentang probabilitas,
maka anda perlu memahami terlebih dahulu konsep probabilitas termasuk istilah-istilah
di dalam nya.

Probabilitas merupakan suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat
terjadinya suatu kejadian yang acak (Supranto, 2008). Dengan kata lain, probabilitas
bisa diartikan sebagai kemungkinan dari suatu peristiwa. Probabilitas juga dapat
diartikan sebagai ukuran kemungkinan bagi suatu peristiwa untuk terjadi dalam suatu
percobaan atau eksperimen yang dilaksanakan dalam kondisi tertentu.

Terdapat beberapa istilah dasar yang harus dipahami dalam probabilitas, antara
lain:

1) Hasil, merupakan keluaran atau output tertentu dalam sebuah eksperimen
probabilitas. Bisa juga diartikan sebagai kemungkinan yang dihasilkan dari
suatu percobaan.

2) Ruang Sampel, yaitu kumpulan semua hasil yang mungkin dari suatu
eksperimen probabilitas

3) Kejadian/ peristiwa, merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.
Peristiwa selalu dilambangkan dengan huruf besar, seperti A, B, C, dan
seterusnya. Peristiwa yang terdiri dari satu hasil disebut peristiwa sederhana.

Bila suatu percobaan dapat menimbulkan sejumlah n hasil yang berbeda serta
memiliki kesempatan m untuk dapat terwujud dan bila dari hasil di atas merupakan
peristiwa A, maka probabilitas peristiwa A, dapat dirumuskan menjadi:

( ) = = ∑


Contoh

 Tentukan probabilitas ketika seseorang menggulir dadu dengan kejadian
munculnya dadu sisi genap.
Maka dari pertanyaan tersebut dapat diidentifikasi:
- Eksperimen Probabilitas: Menggulir dadu enam sisi
- Ruang Sampel (S) = {1,2,3,4,5,6}

STATISTIKA “PROBABILITAS” 2

[Type here]

- Peristiwa A: Muncul sisi genap {2, 4, 6}
- Hasil = {2}
- Probabilitas P(A):

( ) =


( ) = 3 ≈ 0,5
6

 Tentukan probabilitas dari melempar koin dan dadu enam sisi secara
bersamaan, tentukan pula jumlah hasil dan identifikasi ruang sampel !
Solusi:
- Ada 2 ruang sampel saat melempar koin: Kepala (H), dan Ekor (T)
- Ada 6 ruang sampel saat menggulir dadu: 1, 2, 3, 4, 5, atau 6

Jika dadu dan koin dilempar secara bersamaan maka ruang sampel dapat
ditemukan dengan menggunakan diagram pohon.

Gambar 1. Diagram Pohon

- Dari diagram pohon dapat ditentukan ruang sampel dari melempar dadu
dan koin secara bersamaan adalah, S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2,
T3, T4, T5, T6}.

- Banyak anggota ruang sampel n(S) = 12

STATISTIKA “PROBABILITAS” 3

[Type here]

B. Prinsip Penghitungan Dasar

Pada beberapa kasus, suatu peristiwa dapat terjadi dengan begitu banyak cara yang
berbeda sehingga tidak praktis untuk menuliskan semua hasilnya. Sehingga apabila hal
tersebut terjadi kita dapat menggunakan prinsip penghitungan dasar. Prinsip
penghitungan dasar dapat digunakan untuk menemukan jumlah dari dua cara atau lebih
dalam suatu peristiwa yang dapat terjadi secara berurutan.

Misalkan jika satu peristiwa dapat terjadi dalam m cara, dan peristiwa kedua dalam
n cara, maka jumlah cara untuk kedua peristiwa dapat berurutan melalui m x n. Dengan
kata lain, jumlah seluruh cara dalam suatu kejadian dapat terjadi secara berurutan
dengan mengalikan jumlah cara pada tiap kejadian (Larson & Farber, 2012)

Contoh

Anda akan membeli mobil baru, dimana pilihan produsen, ukuran mobil, dan warna
telah dicantumkan.

- Terdapat tiga Produsen, yaitu = Ford, GM, Honda
- Terdapat dua kuran mobil, yaitu = Besar, Sedang
- Terdapat empat warna, yaitu = white (W), red (R), black (B), green (G)
Berapa banyak cara yang dapat anda gunakan untuk memilih satu produsen, satu
ukuran mobil dan satu warna? Gunakan diagram pohon untuk membuktikan.
Solusi;
Dalam peristiwa tersebut diidentifikasi bahwa terdapat 3 cara, yaitu:
- Cara 1, berdasarkan produsen = 3
- Cara 2, berdasarkan ukuran = 2
- Cara 3, berdasarkan warna = 4

Maka banyak cara dalam memilih mobil adalah: 3 x 2 x 4 = 24, sehingga terdapat
24 cara yang dapat dipilih.

Hasil tersebut dapat dibuktikan dengan diagram pohon berikut:

STATISTIKA “PROBABILITAS” 4

[Type here]

Gambar 2. Diagram Pohon

C. Jenis Probabilitas

Probabilitas memiliki metode penghitungan yang berbeda-beda, perbedaan
penghitungan tersebut dipengaruhi oleh jenis probabilitas nya. Terdapat tiga jenis
probabilitas, yaitu: 1) probabilitas klasik, 2) probabilitas empiris, dan 3) probabilitas
subjektif.

Probabilitas suatu peristiwa E yang akan terjadi dapat ditulis dengan P(E) dan
dibaca “Probabilitas dari peristiwa E”

1) Probabilitas Klasik
Probabilitas klasik adalah probabilitas yang berlaku ketika hasil dari sebuah

percobaan memiliki peluang yang sama untuk terjadi. Jika peristiwa tersebut
dimisalkan sebagai peristiwa E, dan terjadi dalam m cara dari seluruh n cara
yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara tersebut memiliki kesempatan
yang sama untuk muncul, maka probabilitas klasik dapat dihitung dengan
persamaan:

( ) = = ∑
∑

Contoh

Budi melempar dadu enam sisi. Tentukan probabilitas dari setiap peristiwa :
 P(A) : muncul sisi 3
 P(B) : muncul sisi 7
 P(C) : muncul angka kurang dari 5
Solusi :
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

STATISTIKA “PROBABILITAS” 5

[Type here]

 Ada satu hasil dalam peristiwa A = {3}, sehingga: P(A) = 1 ≈ 0.167
6

 Karena 7 tidak masuk dalam ruang sampel, sehingga tidak ada hasil untuk

Peristiwa B.

Sehingga: P(B) = ≈ 0

6

 Karena ada 4 hasil dalam peristiwa C, yaitu = {1,2,3,4},

maka P(C) = 4 = 2 ≈ 0.667

63

2) Probabilitas Empiris
Probabilitas empiris adalah probabilitas suatu peristiwa yang muncul,

dimana peristiwa tersebut merupakan bagian dari peristiwa serupa yang telah
terjadi sebelumnya. Dalam perumusan empiris, perhitungan probabilitas
dilakukan berdasarkan frekuensi relatif dari terjadinya suatu kejadian dengan
syarat banyaknya pengamatan atau banyaknya sampel n sangat besar.

Bila n bertambah besar sampai tak terhingga, maka probabilitas dari
peristiwa E sama dengan nilai limit dari frekuensi relatif kejadian E tersebut.
Jika peristiwa E terjadi sebanyak m kali dari keseluruhan pengamatan sebanyak
n, dimana n sangat besar atau mendekati tak hingga, maka proabilitas empiris
dari kejadian E dapat dihitung menggunakan persamaan:

( ) = lim

→∞

Contoh

Sebuah perusahaan sedang melakukan survei telepon terhadap individu yang
dipilih secara acak untuk mendapatkan kesan mereka secara keseluruhan
selama satu dekade terakhir (2000-an). Sejauh ini, 1504 orang telah disurvei.
Distribusi frekuensi menunjukkan hasil sebagaimana dalam tabel. Berapa
probabilitas orang yang disurvei berikutnya memiliki kesan keseluruhan yang
positif dari tahun 2000-an?

STATISTIKA “PROBABILITAS” 6

[Type here]

Solusi:

Peristiwa yang terjadi adalah respon "positif" atau kita beri simbol ‘P’. Dari
tabel dapat dilihat frekuensi peristiwa P ini adalah 406. Karena total frekuensi
adalah 1504, maka probabilitas empiris orang berikutnya yang memiliki kesan
keseluruhan positif tahun 2000-an adalah:

( ) = 406 ≈ 0.270
1504

3) Probabilitas Subjektif
Probabilitas subjektif adalah probabilitas yang dihasilkan dari intuisi,

tebakan, perkiraan, dan perasaan subyektif. Dalam perumusannya, probabilitas
dirumuskan berdasarkan pada keyakinan dan pandangan pribadi terhadap
probabilitas terjadinya suatu peristiwa.

Contoh

 Mengingat kesehatan pasien dan tingkat cedera yang dialami, dokter
mungkin merasa bahwa pasien memiliki peluang 90% untuk sembuh total.

 Memperkirakan bahwa anda akan menikah sebelum usia 30 tahun,
mengingat pada usia tersebut anda sudah memiliki pekerjaan dan sudah
memiliki pasangan.

STATISTIKA “PROBABILITAS” 7

[Type here]

D. Aturan Probabilitas

Sebuah probabilitas tidak boleh negatif atau lebih besar dari 1. Jadi, probabilitas
dari sebuah peristiwa E adalah antara 0 dan 1, inklusif, seperti yang dinyatakan dalam
aturan berikut.

Jika probabilitas suatu peristiwa adalah 1, peristiwa tersebut pasti akan terjadi. Jika
probabilitas suatu peristiwa adalah 0, peristiwa tersebut tidak mungkin. Probabilitas 0,5
menunjukkan bahwa suatu peristiwa memiliki peluang yang sama untuk terjadi.

Gambar 3. Skala Probabilitas

Suatu peristiwa yang terjadi dengan probabilitas 0,05 atau kurang biasanya
dianggap tidak biasa. Peristiwa yang tidak biasa sangat tidak mungkin terjadi. Peristiwa
tidak biasa ini akan dipelajari pada bab statistik inferensial.

E. Komplemen Probabilitas

Jumlah probabilitas dari semua hasil dalam ruang sampel adalah 1 atau 100%. Hal
yang paling penting untuk diingat adalah bahwa ketika anda mengetahui probabilitas
suatu peristiwa E, maka anda juga dapat menemukan probabilitas pelengkap peristiwa
E tersebut.

Komplemen peristiwa E adalah serangkaian semua hasil dalam ruang sampel yang
tidak termasuk dalam peristiwa E. Komplemen acara E ditandai oleh Ec. atau dengan
kata lain Ec terdiri dari elemen-elemen ruang sampel yang tidak berada dalam E.

Contoh

Anda melempar dadu dengan peristiwa E adalah munculnya ‘sisi ≥ 5’, maka
komplemen dari peristiwa E atau Ec adalah ‘sisi yang kurang dari 5’. Sehingga
disimbolkan:
E= {5, 6} dan Ec = {1, 2, 3, 4}

STATISTIKA “PROBABILITAS” 8

[Type here]

Berdasarkan definisi dari komplen suatu peristiwa dan fakta bahwa hasil dari
probabilitas adalah 1, maka dapat ditentukan sebuah persamaan:

P(E) + P(Ec) = 1 P(E) = 1 – P(Ec) P(Ec) = 1 – P(E)

Diagram Venn pada gambar 2 menggambarkan hubungan antara ruang sampel,
peristiwa E, dan komplemen E.

Gambar 4. Diagram venn komplemen E

Area persegi panjang mewakili probabilitas total ruang sampel, Area
lingkaran mewakili probabilitas peristiwa E, dan area di luar lingkaran mewakili
probabilitas komplemen peristiwa E atau Ec.

STUDY TIP!!!

Probabilitas dapat ditulis dalam bentuk
pecahan, desimal, ataupun persen.

STATISTIKA “PROBABILITAS” 9

TUGA[STypIe here]

1) Anda melakukan pengamatan usia siswa pada ulang tahun terakhirnya.
Tentukan jumlah hasil dalam setiap peristiwa, kemudian tentukan apakah
peristiwa tersebut termasuk peristiwa sederhana atau tidak apabila diketahui:
 Peristiwa C: Usia siswa antara 18 dan 23 tahun
 Peristiwa D: Usia siswa 20 tahun

2) Kode akses untuk sistem keamanan mobil terdiri dari empat digit. Setiap digit
bisa menjadi angka berapapun dari 0 hingga 9.

Berapa banyak kode akses yang dimungkinkan jika:
 Setiap digit hanya dapat digunakan sekali dan tidak diulang?
 Setiap digit dapat diulang?
 Setiap digit dapat diulang tetapi digitu pertama tidak boleh 0 atau 1?

AYO KERJAKAN !

.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................

STATISTIKA “PROBABILITAS” 10

[Type here] KEGIATAN BELAJAR II

A. Probabilitas Bersyarat

Pada kegiatan ini, kita akan mempelajari cara menemukan probabilitas dari dua
peristiwa yang terjadi secara berurutan, namun terlebih dahulu kita harus mempelajari
probabilitas bersyarat.
Salah satu konsep yang paling banyak digunakan dalam terori probabilitas adalah
probabilitas bersyarat. Ada dua alasan. Pertama, dalam kenyataan kita sering tertarik
untuk menghitung probabilitas apabila tersedia informasi parsial, yang mengartikan
bahwa probabilitas yang dicari bersyarat. Kedua, dalam menghitung probabilitas yang
diinginkan sering harus didahului dengan kebersyaratan (Boediono, 2014).
Probabilitas bersyarat adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat
peristiwa lain harus terjadi dan peristiwa-peristiwa tersebut saling mempengaruhi.
Probabilitas bersyarat dituliskan dengan P(A|B) yang dibaca sebagai “probabilitas A
bila diketahui B telah terjadi”, dimana A dan B menyatakan kejadian acak. Probabilitas
bersyarat dapat dihitung menggunakan persamaan:

( | ) = ( ∩ )
( )

Keterangan:

( ∩ ) = Probabilitas bersama A dan B

P(B) = Probabilitas B

Contoh

Tabel di bawah ini menunjukkan hasil penelitian yang dilakukan peneliti untuk
memeriksa IQ seorang anak dan keterkaitannya dengan keberadaan gen tertentu pada
anak tersebut. Temukan kemungkinan seorang anak memiliki IQ yang tinggi,
mengingat bahwa anak tersebut memiliki gen.

STATISTIKA “PROBABILITAS” 11

[Type here]

Tabel 1. Hasil Pendataan IQ dan Gen

Gen Gen not
Present Total

Present

High IQ 33 19 52

Normal IQ 39 11 50

Total 73 30 102

Solusi:

Terdapat total 72 anak yang memiliki gen. Jadi, ruang sampel terdiri dari 72 anak

tersebut, seperti yang ditunjukkan pada tabel di atas. Dari jumlah tersebut, sebanyak

33 anak memiliki IQ yang tinggi. Sehingga:

( | ) = 33 ≈ 0.458
72

Jadi, probabilitas seorang anak memiliki IQ yang tinggi karena memiliki gen

tertentu adalah sebesar 0.458

B. Peristiwa Independen dan Dependen

Dalam beberapa eksperimen, satu peristiwa tidak mempengaruhi probabilitas dari

peristiwa yang lain. Misalnya, jika anda menggulir dadu dan melempar koin, hasil dari

guliran dadu tidak mempengaruhi hasil dari lemparan koin tersebut. Dua peristiwa ini

adalah peristiwa independen. Independen dari dua peristiwa atau lebih merupakan hal

penting bagi para peneliti di bidang-bidang seperti pemasaran, kedokteran, dan

psikologi. Untuk menentukan apakah suatu peristiwa itu independen, maka bisa

menggunakan probabilitas bersyarat.

Dua peristiwa dikatan independen apabila salah satu peristiwa tidak

mempengaruhi kemungkinan dari peristiwa yang lain. Dua peristiwa A dan B disebut

independen apabila :

( ∩ ) = ( ). ( )

Dengan menggunakan persamaan diata, bentuk tersebut mengakibatkan A dan B

independen jika:

( | ) = ( ) atau ( | ) = ( )

STATISTIKA “PROBABILITAS” 12

[Type here]

Untuk menentukan apakah A dan B independen, pertama-tama hitung probabilitas
peristiwa B. Kemudian hitung probabilitas B jika diketahui A. Jika nilainya sama,
berarti peristiwa tersebut independen. Jika P(B|A) ≠ P(B) maka A dan B adalah
peristiwa yang dependen. Dengan kata lain kejadian yang tidak independent berarti
dependen.

Contoh
 Probabilitas tertariknya kartu AS dari setumpukan kartu adalah 4/52 = 1/13.
Jika kartu itu dikembalikan sehingga tumpukan kartu itu lengkapi lagi dan
dikocok kembali, probabilitas tertariknya sebuah kartu AS pada kesempatan
kedua adalah serupa yaitu 1/13. Ini dinamakan peristiwa independen
(peristiwa bebas)
 Akan tetapi, jika kartu AS tadi ditarik pada kesempatan pertama dan tidak
dikembalikan lagi, maka probabilitas tertariknya sebuah kartu AS pada
kesempatan kedua adalah 3/51, karena kini hanya ada 3 kartu AS dalam
tumpukan 51 kartu yang tidak lengkap. Ini dinamakan peristiwa
dependen (peristiwa tak bebas)

C. Aturan Perkalian

Untuk menemukan probabilitas dari dua peristiwa yang terjadi secara berurutan, maka
dapat digunakan aturan perkalian.

Probabilitas bahwa dua peristiwa akan terjadi secara berurutan adalah:

( ∩ ) = ( ) . ( | )

namun jika kejadian A dan B tidak saling berkaitan maka:
( ∩ ) = ( ). ( )

Aturan yang disederhanakan ini dapat diperluas pada sejumlah peristiwa independen
dan peristiwa dependen.

.

STATISTIKA “PROBABILITAS” 13

[Type here]

Contoh

 Pada sebuah kotak terdapat 3 bola putih dan 7 bola hitam. Jika diambil 2 bola satu
persatu tanpa disertai pengembalian, maka berapa probabilitas bola pertama yang
terambil adalah putih dan bola kedua adalah hitam ?
Solusi:
A = Peristiwa bola putih
B = peristiwa bola hitam
n = jumlah seluruh bola
a = jumlah bola terambil (1 putih, 1 hitam)

maka dapat diselesaikan dengan:

( ∩ ) = ( ) . ( | )

( ∩ )
= × −

( ∩ ) 37 21
= 10 × 10 − 1 = 90 ≈ 0.23

Karena pengambilan bola dilakukan tanpa pengembalian, maka ini disebut
peristiwa dependent.

 Sebuah koin dilemparkan dan sebuah dadu digulirkan. Temukan kemungkinan
memperoleh sisi gambar koin dan memperoleh sisi 6 dadu.
Solusi:

( ∩ 6) = ( ) . (6)

( ∩ 6) 11 1
= 2−6 = 12 ≈ 0.083

Karena peristiwa ini tidak saling mempengaruhi, maka ini disebut peristiwa
independent.

STUDY TIP!!!

Langkah penggunaan aturan perkalian:

1. Temukan probabilitas peristiwa pertama
2. Temukan probabilitas peristiwa kedua, setelah

peristiwa pertama terjadi
3. Kalikan kedua probabilitas tersebut

STATISTIKA “PROBABILITAS” 14

TUGAS[TIypIe here]

1) Probabilitas bahwa operasi lutut berhasil adalah 0.85, maka:
a. Temukan kemungkinan bahwa tiga operasi lutut berhasil
b. Temukan kemungkinan bahwa tidak ada dari tiga operasi lutut yang berhasil
c. Temukan kemungkinan bahwa setidaknya satu dari tiga operasi lutut
berhasil

2) Anda mempunyai kotak berisi 20 sekring. Lima diantaranya cacat, bila dua
sekring dikeluarkan dari kotak satu demi satu secara acak (tanpa
mengembalikan yang pertama kedalam kotak). Berapakah probabilitas kedua
sekring itu cacat?

3) Tentukan apakah peristiwa berikut independen atau dependen:
a. Merokok satu bungkus per hari dan meningkatkan penyakit emfisema atau
penyakit paru-paru kronis
b. Sering berolahraga dan memiliki rata-rata nilai dikelas 4.0

AYO KERJAKAN !

.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................

STATISTIKA “PROBABILITAS” 15

[Type here] KEGIATAN BELAJAR III

A. Mutually Eksklusif

Pada bagian sebelumnya, kita telah mempelajari cara menemukan probabilitas dari
dua peristiwa A dan B, yang terjadi secara berurutan. Probabilitas tersebut ditandai
dengan P (A ∩ B).

kemudian pada bagian ini, kita akan mempelajari cara menemukan probabilitas
yang menunjukkan bahwa setidaknya terdapat satu dari dua peristiwa akan terjadi.
Probabilitas seperti ini ditandai oleh ( ∪ ) dan tergantung pada apakah peristiwa
tersebut saling eksklusif.

If two events cannot occur simultaneously, that is, one “excludes” the other, then
two events are said to be mutually exclusif (Freud & William, 2003). Dengan kata lain,
dua peristiwa dikatakan saling eksklusif jika terjadinya peristiwa yang satu tidak
menyebabkan terjadinya peristiwa yang lain (Sudjana, 2005). A dan B saling eksklusif
apabila A dan B tidak dapat terjadi dalam waktu yang bersamaan. Secara matematik,
dua kelompok A dan B dikatakan eksklusif secara bersamaan atau terpisah bila dan
hanya bila mereka tidak memiliki unsur yang sama A ∩ B = Ꝋ.

Diagram veen menunjukkan hubungan antara peristiwa yang saling eksklusif dan
peristiwa yang tidak saling eksklusif.

Gambar 5. A dan B Mutually Eksklusif Gambar 6. A dan B tidak Mutually Eksklusif

Contoh

 peristiwa A : memunculkan sisi 6 pada dadu yang digulirkan,
peristiwa B : memunculkan sisi 4 pada dadu yang digulirkan.
Solusi: dengan dadu yang sama, peristiwa A memiliki hasil 6 dan peristiwa B
memiliki hasil 4. hasil ini tidak akan dapat terjadi pada waktu yang sama. Sehingga
peristiwa ini disebut peristiwa mutually eksklusif

STATISTIKA “PROBABILITAS” 16

[Type here]

 peristiwa A : pilih siswa laki-laki secara acak,
peristiwa B : pilih secara acak jurusan perawat.
Solusi: karena siswa laki-laki bisa juga seorang perawat, maka peristiwa ini tidak
eksklusif.

B. Aturan Penjumlahan

Jika aturan perkalian digunakan untuk menentuka probabilitas dari peristiwa
independen dan dependen. Maka aturan perkalian digunakan untuk menentukan
probabilitas yang saling eksklusif (Mutually Exclusif) dan yang tidak saling eksklusif
(Not Mutually Exclusif).
Dua peristiwa dikatakan non-mutually exclusif apabila keduanya dapat terjadi pada
waktu yang bersamaan, atau ∩ ≠ ∅ , sehingga probabilitas terjadinya peristiwa A
atau peristiwa B didefinisikan sebagai:

( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )
Namun, jika peristiwa A dan peristiwa B berupa mutually exclusif maka dapat
digunakan:

( ∪ ) = ( ) + ( )

Contoh

1) Andi melempar dadu. Temukan probabilitas menggulir angka kurang dari 3 dan
menggulir angka ganjil.

2) Bila sebuah dadu digulirkan sekali, berapakah probabilitas timbulnya mata
dadu 1 atau mata dadu 5?

Solusi:
1) Peristiwa ini tidak saling eksklusif karena 1 adalah hasil dari kedua peristiwa,

seperti yang ditunjukkan dalam diagram Venn. Sehingga, probabilitas
menggulir angka kurang dari 3 atau angka ganjil adalah:

( < 3 ∪ ) = (< 3) + ( ) − (< 3 ∩ )

STATISTIKA “PROBABILITAS” 17

[Type here]

231
= 6 + 6 − 6 ≈ 0.667

2) Peristiwa ini eksklusif karena tidak akan bisa terjadi secara bersamaan,
melainkan hanya salah satu peristiwa yang akan terjadi. Sehingga:
( ∪ ) = ( ) + ( )
11 2
=6+6≈6

STUDY TIP!!!
Dengan melakukan pengurangan ( ∩ ),
bertujuan untuk menghindari perhitungan
ganda dari kemungkinan hasil yang terjadi
pada A dan B.

STATISTIKA “PROBABILITAS” 18

TUGAS[TIyIpIe here]

1) bank darah menggolongkan jenis darah menjadi faktor Rh-Positif dan Rh-

Negatif, yang diberikan oleh pendonor selama lima hari terakhir. Jumlah

pendonor ditunjukkan dalam tabel. Pendonor dipilih secara acak.

a. Temukan probabilitas bahwa pendonor memiliki darah tipe O atau tipe A

b. Temukan probabilitas bahwa pendonor memiliki darah tipe B atau Rh-

Negatif

Tabel 2. Data Golongan Darah

Tipe Darah

O A B AB Total

Positif 156 139 37 12 344
Rh-Factor

Negatif 28 25 8 4 65

Total 184 164 45 16 409

2) Dari sebuah survey terhadap 100 responden, diketahui bahwa 60 responden
suka film action, 50 suka drama, dan 10 suka keduanya. Jika dari 100 responden
tersebut diambil secara acak, berapakah probabilitas menemukan responden
yang suka film action atau responden yang suka drama?

AYO KERJAKAN!

.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................

STATISTIKA “PROBABILITAS” 19

[Type here] KEGIATAN BELAJAR IV

A. Permutasi

Dalam kegiatan belajar III, anda mengetahui bahwa prinsip penghitungan dasar
digunakan untuk menemukan jumlah cara dua peristiwa atau lebih dapat terjadi secara
berurutan. Pada kegiatan belajar ini, anda akan mempelajari beberapa teknik lain untuk
menghitung jumlah cara suatu peristiwa dapat terjadi. Aplikasi penting dari prinsip
penghitungan dasar adalah menentukan jumlah cara agar n objek dapat diatur berdasarkan
urutan atau dalam sebuah permutasi.

Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari satu kumpulan objek yang
diambil sebagian atau seluruhnya (Boediono, 2014).

Simbol n! dibaca sebagai n factorial dan didefinisikan sebagai berikut:
! = ∙ ( − 1) ∙ ( − 2) ∙ ( − 3) … . .3 ∙ 2 ∙ 2

Khusus 0! = 1. Berikut terdapat nilai lain dari n!:

1! = 1, 2! = 2 ∙ 1 = 2, 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6, 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

Jumlah permutasi dari n objek yang berbeda adalah jumlah susunan yang berbeda

yang dimungkinkan dari objek tersebut.

= ( !
− )!

Jika semua objek digunakan dalam susunan, maka permutasi dituliskan dengan nPn.
Namun, jika hanya sebagian objek saja (r) yang disusun dari n jumlah objek yang ada (r <
n) maka permutasinya ditulis dengan nPr atau .

Contoh

 Dari 20 undian, dua diambil untuk hadiah pertama dan kedua. Hitunglah

banyaknya titik sampel dalam ruang S.

Solusi:

n = 20

r=2

202 = 20! = 20! = 20 ∙ 19 ∙ 18 ∙ 17 ∙ … … .3 ∙ 2 ∙ 1 = 20 ∙ 19 = 380
(20 − 2)! 18! 18 ∙ 17 ∙ … … .3 ∙ 2 ∙ 1

STATISTIKA “PROBABILITAS” 20

[Type here]

B. Kombinasi

Jika anda ingin membeli tiga DVD dari pilihan lima pilihan DVD dengan label A,

B, C, D, dan E. Ada 10 cara untuk membuat pilihan anda, yaitu:

ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE

Dalam setiap seleksi, urutan tidak menjadi masalah (ABC adalah set yang sama

dengan BAC). Jumlah cara untuk memilih pbjek r dari objek n tanpa

memperhatikan urutannya disebut kombinasi objek n yang diambil r pada satu

waktu.

Dengan kata lain, kombinasi adalah susunan yang dibentuk dari anggota suatu

himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan tanpa

memperhatikan urutan dari anggota susunan tersebut.

= ( ! !
− )!

Contoh

Departemen transportasi negara berencana untuk mengembangkan jalan
raya antar negara dengan menerima 16 tawaran untuk proyek tersebut. Negara
berencana untuk mempekerjakan 4 dari perusahaan penawar. Berapa banyak yang
dapat dikombinasikan dari 4 perusahaan yang berasal dari 16 perusahaan tersebut?

Solusi:

Negara memilih 4 perusahaan dari 16 kelompok perusahaan , sehingga n = 16 dan
r = 4. Karena urutan tidak penting, maka:

164 = 16! = 16! = 16 ∙ 15 ∙ 14 ∙ 13 ∙ 12! = 1820
− 4)! 4! 12! 4! 12! ∙ 4!
(16

Jadi, ada 1820 kombinasi berbeda dari 4 perusahaan yang dipilih dari 16 kelompok
perusahaan.

STATISTIKA “PROBABILITAS” 21

TUGAS[TIyVpe here]

1) bila ada 4 orang elektro dan 3 orang informatika. Carilah banyaknya panitia 3 orang
yang dibuat yang beranggotakan 2 elektro dan 1 informatika

2) Temukan jumlah cara untuk membentuk 4 digit kode, dimana dalam kode tersebut tidak
ada digit yang diulang.

AYO KERJAKAN!

.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................
.......................................... .......................................... ........................................................................

STUDY TIP!!!
Semakin besar nila n maka angka nya akan
semakin meningkat, maka anda perlu mempelajari
cara menggunakan faktorial dengan kalkulator

STATISTIKA “PROBABILITAS” 22

[Type here] KESIMPULAN

Tabel 3. Intisari Probabilitas

Jenis dan

Atruran In Words In Symbols
Probabilitas

Probabilitas Jumlah hasil dalam ruang sampel ( ) = ℎ ℎ
Klasik telah diketahui dan setiap hasil ℎ ℎ
memiliki peluang yang sama
untuk terjadi

Probabilitas Frekuensi hasil dalam ruang ( ) = ℎ
Empirik sampel diperkirakan dari ℎ ℎ
eksperimen sebelumnya

Aturan Rentang Probabilitas suatu peristiwa 0 ≤ ( ) ≤ 1
Probabilitas berada pada rentang 0 sampai 1,
inklusif.

Komplemen peristiwa E adalah

Komplemen suatu semua hasil dalam ruang sampel ( ′) = 1 − ( )

Peristiwa yang tidak termasuk dalam E,
yang ditandai dengan E’

Aturan Aturan multiplikasi digunakan ( ) = ( ) . ( | )
Multiplikasi untuk menemukan probabilitas
dari dua peristiwa yang terjadi ( ) = ( ). ( ) : Peristiwa
Aturan secara berurutan Independen

Aturan penjumlahan digunakan ( ) = ( ) + ( ) − ( )
untuk menemukan probabilitas
( ) = ( ) + ( ) : Peristiwa

Penjumlahan dari satu atau dua peristiwa yang Mutualy eksklusif
terjadi

Prinsip Jika satu peristiwa dapat terjadi m.n
Penghitungan dengan m cara, dan peristiwa
kedua dapat terjadi dengan n cara,
Dasar maka jumlah kedua cara dalam
peristiwa dapat terjadi secara
berurutan dengan m . n

STATISTIKA “PROBABILITAS” 23

[Type here] Pengaturan urutan berbeda dari n!
Permutasi n objek yang berbeda
Kombinasi Jumlah permutasi dari n objek = ( !
yang berbeda adalah jumlah − )!
susunan yang berbeda yang
dimungkinkan dari objek !
tersebut 1! ∙ 2! … … . !

Jumlah permutasi objek n yang = ( ! !
dapat dibedakan berdasarkan − )!
jenis, tipe, dan sebagainya

Jumlah kombinasi dari r objek
dipilih dari kelompok n objek
tanpa memperhatikan urutan

STATISTIKA “PROBABILITAS” 24

[Type here] DAFTAR PUSTAKA

Boediono, D. (2014). Statistika dan Probabilitas . Bandung: ROSDA.

Freud, R., & William, J. (2003). Statistical Methods, Second Edition. USA: Academic
Press.

Larson, R., & Farber, B. (2012). Elemetary Statistic: Picturing the World Fifth Edition.
Boston: Pearson Education, Inc.

Sudjana. (2005). Metode Statistika, Edisi 6. Bandung: Tarsito Bandung.

Supranto, J. (2008). Statistik Teori dan Aplikasi, Edisi Ke-Tujuh Buku 1 dan 2. Jakarta:
Penerbit Erlangga.

STATISTIKA “PROBABILITAS” 25

[Type here] TENTANG PENULIS

Siti Fatimah Az-Zahro, lahir pada tanggal 17 Juli

1997, di daerah pantura perbatasan Jawa Timur dan
Jawa Tengah sebut saja ‘Tuban’. Saat ini sedang
menempuh studi pascasarjana di Universitas Negeri
Yogyakarta dengan program studi Pendidikan IPA.
Mencoba menguak arti hidup melalui travelling dan
hiking sebagai hobinya, serta melakukan banyak hal
yang dapat bermanfaat untuk sesama, karena menjadi
orang kaya yang dapat memberi manfaat bagi seluruh mahluk adalah impiannya. “Hidup
yang tak diuji tak layak dijalani” menjadi motto hidup yang menguatkan langkah nya untuk
tidak pernah menyerah dalam menjalani segala fase kehidupan.

STATISTIKA “PROBABILITAS” 26