เซตและเลขยกกำลัง

เซต
และ

เลขยกกำลัง

จัดทำโดย
นายนพัฐกานต์ จงจิตต์โพธา

ม.6/5 เลขที่ 5

เซต

ความหมายของเซต

ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "เซต" หมายถึง กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง ชุด เเละเมื่อกล่าว
ถึงเซตของสิ่งใดๆ จะทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้นมีอะไรบ้าง เราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า
'สมาชิก'

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่อเเละสมาชิกของเซต
1. สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่างๆ ได้
2. ชื่อเซตนิยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...

∈3. สัญลักษณ์ แทนคำว่า " เป็ นสมาชิกของ "
∉ แทนคำว่า " ไม่เป็ นสมาชิกของ "

ลักษณะของเซต

∅เซตว่าง (Empty Set) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก เขียนแทนด้วย " { } " หรือ

เช่น เซตของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 2
เซตของสระในคำว่า " กรกนก "

∅เซตจำกัด (Finite Set) คือ เซตที่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้
เช่น มีจำนวนสมาชิกเป็ น 0
{ 1, 2, 3, ... , 75 } มีจำนวนสมาชิกเป็ น 75

เซตอนันต์ (Infinite Set) คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้
เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, 4, ... }

การเขียนเซต

1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular form)
หลักการเขียน
1. เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปี กกา
2. สมาชิกเเต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องจุลภาค (,)
3. สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว
4. ในกรณีที่มีจำนวนสมาชิกมากๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้อย 3 ตัว เเล้วใช้จุด 3

จุด (Tripple dot) เเล้วจึงเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย

2. การเขียนเซตแบบบแกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต (Set builder form)
หลักการเขียน
1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปี กกา
2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย

l ( l อ่านว่า โดยที )
เเล้วตามโดยเงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ { x l เงื่อนไขของ x }

ความสัมพันธ์ของเซต

1. เซตที่เท่ากัน (Equal Sets) คือ เซตสองเซตจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมี
สมาชิกเหมือนกัน

≠สัญลักษณ์ เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย A = B
เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วย A B
2. เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets) คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และ
สมาชิกของเซตจับคู่กันได้พอดีแบบหนึ่งต่อหนึ่ง
สัญลักษณ์ เซต A เทียบเท่ากับ เซต B แทนด้วย A ⟷ B
* หมายเหตุ 1. ถ้า A = B แล้ว A ⟷ B

2. ถ้า A ⟷ B แล้ว ไม่อาจสรุปได้ว่า A = B

สับเซต

ถ้า สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็ นสมาชิกในเซต B เเล้ว เซต A จะเป็ นสับเซตของเซต

B B

⊂สัญลักษณ์ เซต A เป็ นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B
⊄เซต B ไม่เป็ นสับเซตของเซต A เขียนแทนด้วย A

สมบัติของสับเซต
⊂1. A A ( เซตทุกเซตเป็ นสับเซตของมันเอง )
⊂2. A U ( เซตทุกเซตเป็ นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
∅ ⊂3. A ( เซตว่างเป็ นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂ ∅ ∅4. ถ้า A
เเล้ว A =
⊂ ⊂ ⊂5. ถ้า A B เเละ B C เเล้ว A C (สมบัติการถ่ายทอด)
⊂ ⊂6. A = B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ B A

7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2^n ( 2 ยกกำลัง n )

สับเซต

สับเซตแท้

⊂ ≠นิยาม A เป็ นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A
B เเละ A B

∅ตัวอย่าง กำหนดให้ A = { a, b, c } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A
วิธีทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่ , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b,

c}

หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตแท้ของเซต A จะมีทั้งสิ้น 2^n-1

(2 ยกกำลัง n-1) สับเซต

เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ของสับเซตออกมาในรูปแผนภาพได้ดังนี้

⊂A B

การเขียนเซต

1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular form)
หลักการเขียน
1. เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปี กกา
2. สมาชิกเเต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องจุลภาค (,)
3. สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว
4. ในกรณีที่มีจำนวนสมาชิกมากๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้อย 3 ตัว เเล้วใช้จุด 3

จุด (Tripple dot) เเล้วจึงเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย

2. การเขียนเซตแบบบแกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต (Set builder form)
หลักการเขียน
1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปี กกา
2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย

l ( l อ่านว่า โดยที )
เเล้วตามโดยเงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ { x l เงื่อนไขของ x }

เพาเวอร์เซต

ถ้า A เป็ ตเซต เเล้ว เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกประกอบ
ไปด้วยสับเซตของ A ทั้งหมด
สัญลักษณ์ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) = {สับเซต
ทั้งหมดของ A}

ตัวอย่าง A = {1, 2}

∅วิธีทำ สับเซตของ A คือ , {1}, {2}, {1,2}
∅ดังนั้น P(A) = { , {1}, {2}, {1 ,2} }

สมบัติของเพาเวอร์เซต
กำหนดให้ A และ B เป็ นเซตใดๆ

∅ ∈ ∅ ⊂1. P(A) เพราะ A เสมอ
∅ ⊂2. P(A) เพราะเซตว่างเป็ นสับเซตของทุกเซต เเล้ว P(A) ก็เป็ นเซตเช่น
∈ ⊂กัน

3. A P(A) เพราะ A A เสมอ
4. ถ้า A เป็ นเซตจำกัด เเละ n(A) คือจำนวนสมชิกของ A เเล้ว P(A) จะมี

สมาชิก 2^ n(A) ( 2 ยกกำลัง n(A) ) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ A)

⊂ ⊂5. A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)
∩ ∩6. P(A) P(B) = P(A B)
∪ ⊂ ∪7. P(A) P(B) P(A B)

เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะกล่าวถึงสิ่งที่เป็ น
สมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นใดที่ไม่เป็ นสมาชิกของเซตนี้ โดย
ทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ U แทนเซตที่เป็ นเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
A = {1, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 8}

∈ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ U = { x N | 1 < x < 20 }
∈A = { x N | x = n + 3 เมื่อ n เป็ น

จำนวนนับคี่ } ∈B = { x N | x = n + 3 เมื่อ n เป็ น

จำนวนนับคู่ }

นั่นคือ ทั้ง A และ B เป็ นสับเซตของ U

แผนภาพของเวนน์ - ออยเออร์

แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ คือ แผนภาพแสดงความเกี่ยวข้องของเซต
ต่างๆ ซึ่งชื่อที่ใช้เรียกเป็ นชื่อของนักคณิตศาสตร์สองคน คือ จอห์น เวน
น์ เเละ เลโอนาร์ด ออยเลอร์

การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์
การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ มักเขียนเเทนเอกภพสัมพัทธ์ U
ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปปิ ดใดๆ ส่วนเซต A, B, C, D, ... ซึ่งเป็ น
เซตย่อยของ U อาจเขียนแทนด้วยวงกลมหรือวงรีหรือรูปปิ ดใดๆ โดย
ให้ภาพที่แทนเซตย่อยอยู่ในรูปปิ ดใดๆ ที่แทนเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่าง
กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
A = { 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, C = { 3, 5,

6, 7 }
เราจะสามารถจะเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ แสดงภาพภพ

สัมพัทธ์ U ของเซตย่อยต่างๆ ดังแผนภาพต่อไนี้

ถ้าเซต A เเละเซต B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

ถ้าเซต A เเละ เซต B มีสมาชิกร่วมกันบางส่วน (แต่ไม่ทั้งหมด) แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

⊂ ≠ถ้าเซต A B เเต่ A B แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

การดำเนินการบนเซต

การดำเนินการระหว่างเซต คือ การนำเซตต่างๆ มากระทำกันเพื่อให้เกิดเป็ นเซตใหม่
ซึ่งทำได้ 4 วิธี คือ

1. ยูเนียน (Union)

ยูเนียนของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A หรือ เซต

∪B B
เขียนแทนด้วย A

∪ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection)

อินเตอร์เซกชันของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A

∩เเละเซต B B
เขียนแทนด้วย A

∩ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

ดังนั้น A B = { 3 }

เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

3. คอมพลีเมนต์ (Complement)
คอมพลีเมนต์ของของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็ นสมาชิกของเอกภพ

สัมพัทธ์ แต่ไม่เป็ นสมาชิกของ A
เขียนแทนด้วย A'

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }
ดังนั้น A' = { 4, 5}

เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

4. ผลต่างของเซต (Difference)
ผลต่างของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็ นสมาชิกของเซต A แต่ไม่

เป็ นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A - B

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A - B = { 1, 2 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

สัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้อง

สมบัติการดำเนินการบนเซต

∪ ∅ ∪1. A = A, A U = U
∩ ∅ ∅ ∩A = , A U = A

∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪2. A B C = A (B C) = (A B) C
∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩A B C = A (B C) = (A B) C

∪ ∩ ∪ ∩ ∪3. A (B C) = (A B) (A C)
∩ ∪ ∩ ∪ ∩A (B C) = (A B) (A C)

4. (A')' = A B'
B'
∪ ∩(A B)' = A'
∩ ∪(A B)' = A'

∩5. A - B = A B'

การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด

1. เซตจำกัด 2 เซต B)]

∪ ∩n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)
∪ ∩n[(A - B) (B - A)] = n(A) + n(B) - 2[n(A

2. เซตจำกัด 3 เซต B) - n(A C) - n(B

∪ ∪ ∩ ∩n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A
∩ C)

∩ ∩+ n(A B C)

O-NET

แบบฝึ กหัด

แบบฝึ กหัด

เลขยกกำลัง

เลขยกกำลัง คือ การเขียนตัวเลขที่มีการคูณซ้ำหลาย ๆ ครั้งในรูปแบบย่อ ให้สามารถ
อ่านได้เข้าใจได้ง่ายขึ้นและไม่สับสน จึงเขียนในรูปแบบของ เลขยกกำลัง โดยมีส่วน
ประกอบทั้งหมด 2 ส่วน คือ ฐานของเลขยกกำลัง และ เลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง
2^5 เป็ นเลขยกกำลัง ที่มี 2 เป็ นฐานหรือตัวเลข

และมี 5 เป็ นเลขชี้กำลัง
2^5 = 2x2x2x2x2 = 32

5^3 เป็ นเลขยกกำลัง ที่มี 5 เป็ นฐานหรือตัวเลข และมี 3 เป็ น
เลขชี้ กำลัง

5^3 = 5x5x5 = 125

สมบัติต่าง ๆ ของเลขยกกำลัง







ตัวอย่างโจทย์ปั ญหาเกี่ยวกับเลขยกกำลัง



O-NET



แบบฝึ กหัด