เซตและเลขยกกำลัง

เซต และ

เเลลขขยยกกกกำำลัง

น.ส.กัญญารัตน์ สุทัศนมาลี ม.6/5 เลขที่ 15

เซตความหมายของเซในตทางคณิตศาสตร์ คำว่า "เซต" หมายถึง กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง

ชุด เเละเมื่อกล่าวถึงเซตของสิ่งใดๆ จะทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้นมี
อะไรบ้าง เราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า 'สมาชิก'

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่อเเละสมาชิกของเซต
1. สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่างๆ ได้
2. ชื่อเซตนิยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...

∈3. สัญลักษณ์ แทนคำว่า " เป็นสมาชิกของ "
∉ แทนคำว่า " ไม่เป็นสมาชิกของ "

ลักษณะของเซต

∅เซตว่าง (Empty Set) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก เขียนแทนด้วย " { } " หรือ

เช่น เซตของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 2
เซตของสระในคำว่า " กรกนก "

เซตจำกัด (Finite Set) คือ เซตที่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้

เช่น ∅ มีจำนวนสมาชิกเป็น 0

{ 1, 2, 3, ... , 75 } มีจำนวนสมาชิกเป็น 75

เซตอนันต์ (Infinite Set) คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถบอกจำนวน

สมาชิกได้

เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, 4, ... }

การเขียนเซต

1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular form)
หลักการเขียน
1. เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกา
2. สมาชิกเเต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องจุลภาค (,)
3. สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว
4. ในกรณีที่มีจำนวนสมาชิกมากๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้อย 3 ตัว

เเล้วใช้จุด 3 จุด (Tripple dot) เเล้วจึงเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย

2. การเขียนเซตแบบบแกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต (Set builder
form)

หลักการเขียน
1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปีกกา
2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย
l ( l อ่านว่า โดยที )
เเล้วตามโดยเงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ { x l เงื่อนไขของ x }

1. เซตที่เท่ากัน (Equal Sets) คือ เซตสองเซตจะเท่ากัน ก็

ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน
สัญลักษณ์ เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย A = B

เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วย A ≠ B

2. เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets) คือ เซตที่มีจำนวน

สมาชิกเท่ากัน และสมาชิกของเซตจับคู่กันได้พอดีแบบหนึ่ง

ต่อหนึ่ง
สัญลักษณ์ เซต A เทียบเท่ากับ เซต B แทนด้วย A ⟷

B
* หมายเหตุ 1. ถ้า A = B แล้ว A ⟷ B
2. ถ้า A ⟷ B แล้ว ไม่อาจสรุปได้ว่า Aค=วาBมขสอัมงเพซันตธ์

ถ้า สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกในเซต B เเล้ว เซต A จะเป็นสับเซตของเซต B

⊂สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B
⊄เซต B ไม่เป็นสับเซตของเซต A เขียนแทนด้วย A B

สมบัติของสับเซต
⊂1. A A ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของมันเอง )
⊂2. A U ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์) สับเซต

∅ ⊂3. A ( เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂ ∅ ∅4. ถ้า A
เเล้ว A =
⊂ ⊂ ⊂5. ถ้า A B เเละ B C เเล้ว A C (สมบัติการถ่ายทอด)
⊂ ⊂6. A = B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ B A

7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2^n ( 2 ยกกำลัง n ) สับเซต

⊂สับเซตแท้
นิยาม A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ A ≠ B

∅ตัวอย่าง กำหนดให้ A = { a, b, c } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A
วิธีทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่ , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}

หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตแท้ของเซต A จะมีทั้งสิ้น 2^n-1

(2 ยกกำลัง n-1) สับเซต

เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ของสับเซตออกมาในรูปแผนภาพได้ดังนี้

⊂A B

เพาเวอร์เซต

ถ้า A เป็ตเซต เเล้ว เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตที่มี
สมาชิกประกอบไปด้วยสับเซตของ A ทั้งหมด
สัญลักษณ์ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A)
= {สับเซตทั้งหมดของ A}

ตัวอย่าง A = {1, 2}

∅วิธีทำ สับเซตของ A คือ , {1}, {2}, {1,2}
∅ดังนั้น P(A) = { , {1}, {2}, {1 ,2} }

สมบัติของเพาเวอร์เซต
กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ

∅ ∈ ∅ ⊂1. P(A) เพราะ A เสมอ
∅ ⊂2. P(A) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต เเล้ว P(A) ก็เป็นเซตเช่น

กัน

∈ ⊂3. A P(A) เพราะ A A เสมอ

4. ถ้า A เป็นเซตจำกัด เเละ n(A) คือจำนวนสมชิกของ A เเล้ว P(A) จะมี
สมาชิก 2^ n(A) ( 2 ยกกำลัง n(A) ) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ A)

⊂ ⊂5. A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)
∩ ∩6. P(A) P(B) = P(A B)
∪ ⊂ ∪7. P(A) P(B) P(A B)

เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะ
กล่าวถึงสิ่งที่เป็นสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่น
ใดที่ไม่เป็นสมาชิกของเซตนี้ โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ U แทน
เซตที่เป็ นเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
A = {1, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 8}

∈ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ U = { x N | 1 < x < 20 }
∈A = { x N | x = n + 3 เมื่อ n

เป็นจำนวนนับคี่ } ∈B = { x N | x = n + 3 เมื่อ n

เป็นจำนวนนับคู่ }

นั่นคือ ทั้ง A และ B เป็นสับเซตของ U

แผนภาพของเวนน์ - ออยเออร์

แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ คือ แผนภาพแสดงความ
เกี่ยวข้องของเซตต่างๆ ซึ่งชื่อที่ใช้เรียกเป็นชื่อของนัก
คณิตศาสตร์สองคน คือ จอห์น เวนน์ เเละ เลโอนาร์ด
ออยเลอร์

การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์
การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ มักเขียนเเทน
เอกภพสัมพัทธ์ U ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปปิด
ใดๆ ส่วนเซต A, B, C, D, ... ซึ่งเป็นเซตย่อยของ U
อาจเขียนแทนด้วยวงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใดๆ โดย
ให้ภาพที่แทนเซตย่อยอยู่ในรูปปิดใดๆ ที่แทนเอกภพ
สัมพัทธ์

แผนภาพของเวนน์ - ออยเออร์

ตัวอย่าง
กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
A = { 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, C = { 3, 5, 6, 7 }
เราจะสามารถจะเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ แสดงภาพภพสัมพัทธ์ U

ของเซตย่อยต่างๆ ดังแผนภาพต่อไนี้

ถ้าเซต A เเละเซต B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

ถ้าเซต A เเละ เซต B มีสมาชิกร่วมกันบางส่วน (แต่ไม่ทั้งหมด) แผนภาพจะมีลักษณะ
ดังนี้

⊂ถ้าเซต A B เเต่ A ≠ B แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

ถ้าเซต A = B แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

การดบำนเเนซินตการ

การดำเนินการระหว่างเซต คือ การนำเซตต่างๆ มากระทำกันเพื่อให้เกิดเป็นเซต
ใหม่ ซึ่งทำได้ 4 วิธี คือ

1. ยูเนียน (Union)

∪ยูเนียนของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A หรือ เซต B

เขียนแทนด้วย A B

∪ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
อินเตอร์เซกชันของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A

เเละเซต B

∩เขียนแทนด้วย A B
∩ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

ดังนั้น A B = { 3 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

3. คอมพลีเมนต์ (Complement)
คอมพลีเมนต์ของของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์

แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A
เขียนแทนด้วย A'

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }
ดังนั้น A' = { 4, 5}

เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

4. ผลต่างของเซต (Difference)
ผลต่างของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่

เป็นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A - B

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A - B = { 1, 2 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

สัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับ
จำนวน

สมบัติการดำเนินการบน
เซต

∪ ∅ ∪1. A = A, A U = U
∩ ∅ ∅ ∩A = , A U = A

เพิ่มเติม ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪2. A B C = A (B C) = (A B) C
∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩A B C = A (B C) = (A B) C
⊂ถ้า A B เเล้ว ∪ ∩ ∪ ∩ ∪3. A (B C) = (A B) (A C)
∅1. A - B = ∩ ∪ ∩ ∪ ∩A (B C) = (A B) (A C)
∩2. A B = A
∪3. A B = B

4. (A')' = A B'
B'
∪ ∩(A B)' = A'
∩ ∪(A B)' = A'

การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด ∩5. A - B = A B'

1. เซตจำกัด 2 เซต B)]

∪ ∩n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)
∪ ∩n[(A - B) (B - A)] = n(A) + n(B) - 2[n(A

2. เซตจำกัด 3 เซต B) - n(A

∪ ∪ ∩ ∩n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A
∩C) - n(B C)

∩ ∩+ n(A B C)

O-NET

หมู่บ้านแห่งหนึ่งมี 60 ครอบครัว ที่มีอาชีพ ทำนา ทำสวน หรือ
เลี้ยงสัตว์
ถ้าทำนา 34 ครอบครัว ทำสวน 30 ครอบครัว
ทำนา และ ทำสวน 8 ครอบครัว
ทำนา และ เลี้ยงสัตว์ 23 ครอบครัว
ทำสวน และ เลี้ยงสัตว์ 20 ครอบครัว
ทำนาอย่างเดียว 6 ครอบครัว
แล้ว มีทั้งหมดกี่ครอบครัวที่มีอาชีพเพียงอาชีพเดียว (O-Net 59)

กำหนดให้ A = {1, 2, a, b, d} – {1, b, c}
B = {2, 3 , c} ⋃ {2, b, d}
C = {1, 2, 3, b} ⋂ {3, a, b}

จำนวนสมาชิกของเซต B ⋂ (A ⋃ C) เท่ากับเท่าใด (O-Net 60)

จากการถาม เรื่องความชอบไอศครีมรสวนิลาและรสส้ม ของเด็ก
อนุบาลจำนวน 40 คน พบว่า
มี 25 คน ชอบรสวนิลา
10 คน ชอบรสส้ม
8 คน ไม่ชอบทั้งรสวนิลาและรสส้ม
มีเด็กอนุบาลที่ชอบทั้งรสวนิลาและรสส้มกี่คน (O- Net 60)

แบบฝึกหัด

1. ให้ A เป็นเซตของตัวอักษรในคำว่า “ seven “ เขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิกได้
ตรงกับข้อใด
ก. {seven}
ข. {s e v n}
ค. {s , e , v , n}
ง. {s , e , v , e , n}
2. ให้ n(A)=40,n(Bฺ )=60 และ n(A n B)=25 จงหา n(AUB)
ก. 55
ข. 65
ค. 75
ง. 85

∩3. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ใช่ส่วนที่แรเงา

ก. A B′
ข. B−A

∩ค. A′ B
∪ง. (A B)−A

4. แผนภาพในข้อใด แทน AUB
ก.

ข.

ค.

ง.

แบบฝึกหัด 5. แผนภาพในข้อใดแทน A-B
ก.

ข.

ค.

ง.

6. A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {4 , 5 , 6 , 7 } ข้อใดเป็นเอกภพสัมพัทธ์ของเซต A
และ B
ก. U = {0 , 1, 2, 3, 6 , 7 , 8 , 9}
ข. U = {0 , 1, 2, 3, 4, 5 , 7 , 8 , 9,10}
ค. U = {0 , 1, 2, 3, 5, 6 , 7 , 8 , 9, 10}
ง. U = {0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7 , 8 , 9, 10}

7. จากแผนภาพ U ตรงกับข้อใด
ก. {2, 4, 5, 6, 8}
ข. {2, 5, 8}
ค. {2, 4}
ง. {6}

8. กําหนดให้ B = {a, b, c, d} จํานวนสับเซต ทั้งหมดของเซต B เท่ากับข้อใด
ก. 4
ข. 8
ค. 16
ง. 32

9. ถ้า A = {0, 1} ข้อใดเป็นเพาเวอร์เซต ของ A
ก. {{ }, 0, 1}
ข. {{ }, {0, 1}}
ค. {{ }, {0}, {1}}
ง. {{ }, {0}, {1}, {0, 1}}

10. ข้อใดเป็นเซตที่เท่ากัน
ก. A = {5, 7, 9} และ B = {7, 7, 9}
ข. A = {5, 9, 7} และ B = {5, 5, 9, 5}
ค. A = {5, 9, 11} และ B = {5, 7, 9, 11}
ง. A = {7, 9, 11} และ B = {11, 7, 7, 9}

เลขยกกำลัง เลขยกกำลัง
คืออะไร ?
เลขยกกำลัง คือ การเขียนตัวเลขที่มีการ
คูณซ้ำหลาย ๆ ครั้งในรูปแบบย่อ ให้
สามารถอ่านได้เข้าใจได้ง่ายขึ้นและไม่
สับสน จึงเขียนในรูปแบบของ เลขยกกำลัง
โดยมีส่วนประกอบทั้งหมด 2 ส่วน คือ
ฐานของเลขยกกำลัง และ เลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง
2^5 เป็นเลขยกกำลัง ที่มี 2 เป็นฐานหรือตัวเลข และมี 5 เป็น

เลขชี้กำลัง
2^5 = 2x2x2x2x2 = 32

5^3 เป็นเลขยกกำลัง ที่มี 5 เป็นฐานหรือตัวเลข และมี 3 เป็นเลขชี้กำลัง
5^3 = 5x5x5 = 125

สมบัติต่าง ๆ ของเลขยกกำลัง





ตัวอย่าง ทำให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง ในรูปผลสำเร็จ ตัวอย่างโจทย์
วิธีทำ

จาก 2 x 2 = 4
ยกกำลังอยู่ด้านนอกคูณเข้าในได้
ฐานเดียวกัน กำลังคูณกัน ได้ กำลังบวก

ตัวอย่าง ทำให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง ในรูปผลสำเร็จ
วิธีทำ

นำมาคูณกัน จัดตัวที่เหมือนกันอยู่ใกล้กัน …… ทำเป็นระเบียบ ไม่หลง ไม่ตกหล่น

ฐานเดียวกัน กำลังคูณกัน ได้ กำลังบวก

ตัวอย่าง ทำให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง ในรูปผลสำเร็จ ตัวอย่างโจทย์
วิธีทำ

มอง ให้เป็นกลุ่ม
ยกกำลัง ติดลบ แปลงเป็นบวก กลับเศษเป็นส่วน

ยกกำลังอยู่ด้านนอกคูณ ยกกำลังเข้าใน

ตัวอย่าง ทำให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง ในรูปผลสำเร็จ
วิธีทำ ฐานเท่ากัน คูณกัน นำกำลังมาบวกกัน

O-NET

O-NET

แบบฝึกหัด

แบบฝึกหัด