ลิมิตของฟังก์ชัน

หนั งสืออิเล็กทรอนิ กส์

เรื่องลิมิตของฟั งก์ชัน

จัดทำโดย
นางสาวกานต์ธิดา ทองนวล
เลขที่ 27 ชั้นมัธยมศึ กษาปี ที่ 6/8

เสนอ

อาจารย์ศุภลักษณ์ สุวรรณ์

ภาคเรียนที่ 1 ปี การศึ กษา 2565

โรงเรียนสุ ราษฎร์พิทยา

ลิมิตของฟั งก์ชัน

ลิมิตของฟังก์ชัน (limit of a function)
หมายถึง f มีค่าเข้าใกล้ a แล้ว f(x) จะมีค่า

เข้าใกล้ L สำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ใดๆ ที่มีโดเมน
และเรนจ์ เป็นสับเซตของเซตจำนวนจริง
ลิมิตทางซ้ายของ f ที่ a คือค่าของ f(x) เมื่อ x เข้า
ใกล้ a ทางซ้าย ลิมิตทางขวาของ f ที่ a คือ ค่า
ของf(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวา
เขียนแทนด้วย

ถ้าไม่มีจำนวนถ้าไม่มีจำนวนจริง L เมื่อ x เข้าใกล้

a แล้ว f ไม่มีลิมิตที่ a จะเขียนได้ว่า หาค่าไม่ได้

ในการหาลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a

≠จะพิจารณาค่าของ f(x) ว่าเข้าใกล้จำนวนจริงค่าใด

ขณะที่ x เข้าใกล้ a แต่ x a แสดงว่าไม่พิจารณาค่า
ของ f(x) ที่ x=a ดังนั้น ฟังก์ชัน f อาจนิยามหรือไม่
นิยามที่ x=a แต่ฟังก์ชัน f จะต้องนิยามในแต่ละที่
ใกล้a

ลิมิตด้านซ้ายและลิมิตด้านขวา

ตัวอย่างกราฟฟั งก์ชัน

โจทย์ต้องการหาลิมิตที่จุด x = 1 เมื่อพิจารณาจากกราฟ
จะได้คำตอบว่า f(1) = 6 ให้สังเกตที่ จุดทึบไม่ใช่จุดโปร่ง

ส่วนลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ทางซ้าย เมื่อ
พิจารณาจากกราฟค่าของฟังก์ชันจะเข้าใกล้ 4 ในขณะที่ลิมิต
ของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ทางขวามีค่าเข้าใกล้ 2

สรุปได้ว่า ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้1 ไม่มีค่า
เพราะลิมิตทางซ้ายและขวาไม่เท่ากันนั่นเอง

สรุปได้ว่า

≠ถ้า L1 = L2 แสดงว่าลิมิตของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับ L

แต่ถ้า L1 L2 แสดงว่าลิมิตของฟังก์ชันนั้น หาค่าไม่ได้ หรือ
ไม่มีลิมิต

ลิมิตสองด้าน

เป็ นการพิจารณาลิมิตของฟั งก์ชันทั้งทางซ้ายและ
ทางขวาของจำนวนจริงจำนวนหนึ่งนั้น คือ ต้องการ
พิจารณาค่าของf(x) ในขณะที่ f เข้าใกล้ a ซึ่งคำว่าเข้า
ใกล้ หมายถึง เข้าใกล้ทั้งสองด้านทั้งด้าซ้ายมือของ a
และขวามือของ a

ตัวอย่างกราฟ

）กำหนดให้ฟังก์ชัน f(x และ a เป็นจำนวนจริง

นั่นคือ ก็ต่อเมื่อ

การหาลิมิตของฟั งก์ชัน

การหาลิมิตฟังก์ชัน จะแทนค่า x = a ก่อนเป็นอันดับแรก
แต่ถ้าบางกรณีที่ไม่สามารถคำนวณ f(a) ซึ่งได้กรณีที่การหาร
ด้วยศูนย์ในกรณีนี้จะมีกรอบของลิมิต ดังนี้

1.ถ้าตัวตั้งไม่เป็นศูนย์แต่ตัวหารเป๋ นศูนย์ สรุปได้ทันทีว่า หาค่าไม่ได้

2.ถ้าตัวตั้งเป็ นศูนย์แต่ตัวหารไม่เป็ นศูนย์สรุปได้ทันทีว่า

3.ถ้าตัวตั้งเป็นศูนย์แล้วตัวหารเป็นศูนย์ต้องจัดรูป f(x) ใหม่ก่อน
เป้ าหมายในการเปลี่ยนแปลงรูป f(x) เพื่อให้เกิดการตัดกันของ x-a
จากนั้นแทน a ลงไปใหม่ การเปลี่ยนรูป f(x)จะใช่การแยก
ตัวประกอบ หรือ คอนทูเกทคูณ

คอนทูเกทคูณ หรือ สังยุค หมายถึง การจัดรูปของฟังก์ชันให้อยู่
ในรูปการแยกตัวประกอบพหุนามของผลต่างกำลังสอง

ตัวอย่างโจทย์

สรุ ปหลักการลิมิตของฟั งก์ชัน

ตัวอย่างโจทย์

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต

ทฤษฎีบทที่ 1

เมื่อฟังก์ชัน a, L และ M เป็นจำนวนจริงใดๆ
ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็น
สับเซตของจำนวนจริง โดยที่

จะได้ว่า

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต

ทฤษฎีบทที่ 2

• ถ้า p(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามแล้วสำหรับจำนวนจริงใดๆ
• ถ้า p(x) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ โดยที่

เมื่อ p(x) และ q(x)เป็นฟังก์ชันพหุนามแล้ว

≠สำหรับจำนวนจริงใดๆที่ q(a) 0

ตัวอย่างโจทย์ทฤษฎีบท
เกี่ยวกับลิมิต

ตัวอย่างโจทย์ทฤษฎีบท
เกี่ยวกับลิมิต

ลิมิตของฟั งก์ชันแยกช่วง

ลิมิตฟั งก์ชันแยกช่วงมีแค่ลิมิตทางด้านซ้ายและ
ทางด้านขวาเท่ากัน

ตัวอย่าง

ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ทางซ้ายมีค่าเท่ากับ
3 ซึ่งเท่ากับลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ทางขวา แต่
เมื่อ x มีค่าเท่ากับ 1 ค่าของ f(1) ไม่เท่ากับลิมิตทางซ้าย
และทางขวา ในกรณีนี้แสดงว่าค่าของฟังก์ชันที่จุด a ไม่
ต้องเท่ากับลิมิตของฟังก์ชันทางซ้ายและขวา แต่ลิมิตของ
ฟั งก์ชันทางซ้ายและขวาจะต้องเท่ากัน

ดังนั้น จากตัวอย่างนี้ เราจึงถือว่าลิมิตของฟังก์ชัน
เมื่อ x เข้าใกล้ 1 มีค่าเท่ากับ 3

สรุ ปการมีลิมิตของฟั งก์ชัน

1.ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย มีค่า
เท่ากับลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวา
แสดงว่าฟังก์ชันนั้น มีลิมิต

2.ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย มีค่า
เท่ากับลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวา
แต่ค่าของ f(a) เมื่อ x เท่ากับ a ไม่เท่ากับลิมิตทาง
ซ้ายและขวาของฟังก์ชัน แสดงว่าฟังก์ชันนั้น มีลิมิต
อยู่

3.ค่าของ f(a) เมื่อ x เท่ากับ a เท่ากับลิมิตทางใดทาง
หนึ่ง (ซ้ายหรือขวาก้ได้) แต่ค่าของลิมิตของฟังก์ชัน
เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย ไม่เท่ากับค่าของลิมิตของ
ฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวา แสดงว่าฟังก์ชัน
นั้น ไม่มีลิมิต

Thank you