เพาเวอร์เซต

สมาชิก

นางสาว ฐิดาพร กิจเกียรติ์ เลขที่ 8
นางสาว ปวิตรา โททอง เลขที่ 9
นางสาว วิรสิรี สง่างาม เลขที่ 10
นางสาว สุปราณี แจ้งกิตติ เลขที่ 23
นางสาว พรรณวิษา บุญแท้ เลขที่ 24

สารบัญ

เรื่อง หน้า

ความหมายของเซต 4
การเขียนเซต 5
ลักษณะของเซต 6
การดำเนินการบนเซต 7
สับเซต 8
พาวเวอร์เซต 9
แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ 10
บรรณานุกรม 11

ความหมายของเซต

เซต(Set) หมายถึง ลักษณะนามท่ี่เราใช้เรียกกลุ่มของสิ่งต่างๆ เช่น
กลุ่มของคน สัตว์ สิ่งของหรือสิ่งต่างๆท่ี่อยูรวมกันเป็นกลุ่ม โดยจะทราบ
อย่างแน่ชัดว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มและสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่มที่เรากำลังกล่าวถึง
เช่นเซตของวันในหน่ึงสัปดาห์หมายถึงกลุ่มของ วันจันทร์ วันอังคาร วัน
พุธ วันพฤหัสบดี วันศุกร์ วันเสาร์และวันอาทิตย์หรือเซตของรูปสี่เหลี่ยม
มุมฉาก หมายถึง กลุ่มของรูปสี่เหลี่ยมซึ่ง ประกอบด้วย สี่เหลี่ยมจัสตุรัส
สี่เหลี่ยมผืนผ้า เป็นต้น

คำว่าเซตนั้นมีคุณสมบัติที่สำคัญคือ ต้องสามารถระบุได้ว่า อะไร
อยู่ในเซต อะไรไม่อยู่ในเซต เช่น เมื่อยกตัวอย่าง เซตของวันในหนึ่ง
สัปดาห์ จะสามารถระบุได้ว่า วันจันทร์อยู่ในเซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ วัน
สงกรานต์ไม่อยู่ในเซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ นอกจากนี้สิ่งที่อยู่ในเซตเรา
เรียกว่าสมาชิก (Elements) ต้องมีคุณสมบัติที่ระบุได้ชัดเจน (Well-
Defined) เช่น ถ้าพูดถึงเซตคนหน้าตาดีบางครั้งหากเราลองพิจารณาดู
มาตรฐานความหน้าตาดีก็จะแตกต่างกันไปทำให้ไม่สามารถระบุได้ชัดเจน

ตัวอย่าง ข้อความต่อไปนี้เป็นเซตหรือไม่

1. นักศึกษาที่ลงทะเบียนเรียนวิชา มธ.151
2. นักศึกษาที่ลงทะเบียนเรียนวิชา มธ.151 ที่มีหน้าตาดี
3. นักฟุ ตบอลทีมแมนเชตเตอร์ยูไนเต็ดที่เล่นเก่ง

การเขียนเซต




เขียนได้ 2 แบบ คือ แบบแจกแจงสมาชิก และแบบกำหนดเงื่อนไข
การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก


เขียนสมาชิกทุกตัวของเซตลงในเครื่องหมายวงเล็บปีกกา "{ }" และใช้
เครื่องหมายจุลภาค "," คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัวโดยใช้ตัวอักษรภาษา
อังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่แทนชื่อเซต
เช่น ถ้าให้ A เป็นเซตของสีประจำวันในหนึ่งสัปดาห์

A = {แดง,เหลือง,ชมพู,เขียว,แสด,ฟ้า,ม่วง}
ถ้าให้ B เป็นเซตของจำนวนเต็ม

B = {...,-2,-1,0,1,2,...} เป็นต้น

การเขียนเซตแบบกำหนดเงื่อนไข
ใช้วิธีบอกเป็นเงื่อนไข(บรรยายลักษณะ) ของสมาชิก หลังตัวอักษรภาษา

อังกฤษตัวพิมพ์เล็กแทนสมาชิกของเซต / ภายในเครื่องหมายวงเล็บปีกกา
เช่น

A = {x/x เป็นวันต่างๆ ในหนึ่งสัปดาห์}
B = {y/y เป็นจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 100}
หรือ B = {y/y I และ 1
เครื่องหมาย "/" อ่านว่า โดยที่
ในการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก จะต้องกำหนดเซตขึ้นมาหนึ่งเซต
เรียกว่า เอกภพสัมพัทธ์

ลักษณะของเซต



เซตว่าง (Empty Set) หมายถึง เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือพูดได้ว่า
มีสมาชิก 0 ตัว สัญลักษณ์ : { } หรือ ø

…….→เช่น เซตของจำนวนนั บที่น้ อยกว่า 0 เป็นเซตว่าง เพราะว่า
ไม่มีจำนวนนั บใดน้ อยกว่า 0

เซตจำกัด (finite set) หมายถึง เซตที่บอกจำนวนสมาชิกได้เป็น

จำนวนเต็มบวกใด ๆ หรือศูนย์

…….จำนวนสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย n (A)
…….→ เช่น A = { 2, 3, 5, 7 } ดังนั้ น n (A) = 4

เซตอนันต์ (Infinite set) หมายถึง เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัดหรือ
เซตที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้

…….→ เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก, เซตของจำนวนนั บ,
A = { 1, 2, 3, … }, B = { x | x > 10 }

♥ เซต A เท่ากับเซต B ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว

……….เขียนแทนด้วย A = B

♥ ถ้าเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน (n(A) = n(B)) เรียกว่า เซตที่เทียบเท่ากัน
↔……….เขียนแทนด้วย A B

การดำเนิ น
การของเซต




การดำเนิ นการของเซต(Operation With set) เป็นการสร้างเซตขึ้นมาใหม่จาก
การนำเซตที่กำหนดให้ มาดำเนิ นการตามต้องการ ซึ่งจะมีการดำเนิ นการหลายแบบ

ยูเนียน (Union)

ยูเนี ยน (Union) มีนิ ยามว่า เซต A ยูเนี ยนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ

∪เซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A B

ตัวอย่างเช่น A ={1,2,3}

∴ B = {3,4,5}
A U B = {1,2,3,4,5}



อินเตอร์เซกชัน

อินเตอร์เซกชัน (Intersection) มีนิ ยามคือเซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่

∩เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A B
ตัวอย่างเช่นA ={1,2,3}

B = {3,4,5}

∴ ∩

A B = {3}

คอมพลีเมนต์


คอมพลีเมนต์ (Complements) มีนิ ยามคือ ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว คอมพลีเมนต์

ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถ

เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A’
ตัวอย่างเช่น U = {1,2,3,4,5}

A ={1,2,3}

∴

A’ = {4,5}

ผลต่าง


ผลต่าง(Differnce) บทนิ ยาม ถ้า A และ B ต่างก็เป็นสับเซตของเซต U ผลต่างของเซต A และ B
คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย A - B

ตัวอย่าง กำหนดเซต A และ B จงหา A - B
กำหนด A = {3, 9}
B = {4, 6, 7}

A - B = {3, 9}

สับเซต (subset) หรือ “เซตย่อย” คือ เซตที่เล็กกว่าหรือเท่ากันกับเซตที่กำหนด โดยต้องใช้
สมาชิกร่วมกับเซตที่กำหนดเท่านั้ น

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “ A เป็นสับเซตของ B” คือ A B และจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ
สมาชิกทุกตัวของเซต A นั้ นเป็นสมาชิกของเซต B ด้วย หรือเมื่อ A เป็นเซตว่างก็ได้

⊂เช่น {1,2} {1,2,3}เนื่ องจากทั้ง 1 และ 2 เป็นสมา
ชิกของ {1,2,3}
⊂"รูปแบบ เซต (เล็ก) เซต(ใหญ่)"




สมบัติของสั บเซต

⊂1. A A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)
⊂2. A U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
⊂3. Ø A (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂4. ถ้า A ø แล้ว A = ø
⊂ ⊂ ⊂5. ถ้า A B และ B C แล้ว A C (สมบัติการถ่ายทอด)
⊂ ⊂6. A = B ก็ต่อเมื่อ A B และ B A

7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2n สับเซต

การหาสั บเซตทั้งหมดของA

จำนวนสับเซตทั้งหมดหาได้จาก 2n เมื่อ n = จำนวนสมาชิกในเซต

เพาเวอร์เซต

เพาเวอร์เซต (Power Set) คำว่าเพาเวอร์เซตเป็นคำศัพท์
เฉพาะ ซึ่งใช้เป็นชื่อเรียกของเซตเซตหนึ่งที่เกี่ยวของกับ
เรื่องสับเซต

เพาเวอร์เซต A เขียนแทนด้วย P(A)
P(A) คือเซตที่มีสับเซตทั้งหมดของ A เป็ นสมาชิก

คุณสมบัติของเพาเวอร์เซต
กำหนดให้ A และ B เป็นจำนวนใดๆ

∅∈ ∅⊂1. P(A) เพราะ A เสมอ
∅⊂2. P(A) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต

แล้ว P(A) ก็เป็นเซตเช่นกัน

∈ ⊂3. A P(A) เพราะ A Aเสมอ

4. ถ้า A เป็นเซตจำกัด และ n(A) คือจำนวนสมาชิกของ
แล้วP(A)จะมีสมาชิก2n(A) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ A)

⊂ ⊂5. A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)
∩ ∩6. P(A) P(B)=P(A B)

แผนภาพเวนน์ -ออยเลอร์

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagram) เป็นแผนภาพที่ใช้
แทนเซตช่วยให้ความคิดเกี่ยวกับเซตชัดเจนขึ้น ชื่อของแผนภาพเป็น
ชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อ จอห์น เวนน์(John Venn) และ
นักวิทยาศาสตร์ชาวสวิสชื่อ เลโอนาร์ค ออยเลอร์ (Le’onard Euler)

การเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

การเขียนแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์มักเขียนแทนเอกภพสัมพัทธ์U
ด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปปิดใดๆ ส่วนเซต A,B,C,D,… ซึ่งเป็นเซต
ย่อยของ Uอาจเขียนแทนด้วยวงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใดๆโดยให้
ภาพที่แทนเซตย่อยอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แทนเอกภพสัมพัทธ์

บรรณานุกรม

ความหมายของเซต
http://mathstat.sci.tu.ac.th/~suramase/TU151/CH1.pdf
การเขียนเซต
http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/trang/daru
nee_K/set/set2.html
การดำเนินการของเซต
https://sites.google.com/site/math58112031833/bth-thi-3-kar-
danein-kar-khxng-set
สับเซต
http://www.digitalschool.club/digitalschool/math2_2_1/math19_
1/more/page1.php
ลักษณะของเซต
https://krupraiwan.wordpress.com/2012/06/04/finite_set/
เพาว์เวอร์เซต
https://www.opendurian.com/learn/subset_and_powerset/
แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
https://tuemaster.com/blog/เซต-set-แผนภาพของเวนน์-ออย/