Estatistica 2020

Medidas de Achatamento ou
Curtose

Essas medidas procuram caracterizar a forma da distribuição
quanto ao seu achatamento.
O termo médio de comparação é dado pela Distribuição
Normal, que é um modelo teórico de distribuição a ser
estudado no capítulo relacionado à Probabilidades.
Quanto ao achatamento, podemos ter as seguintes situações:
Platicúrticas, Mesocúrticas e Leptocúrticas.

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Medidas de Achatamento ou
Curtose

A caracterização do achatamento de uma distribuição só tem
sentido, em termos práticos, se a distribuição for
aproximadamente Simétrica.

Entre as possíveis medidas de achatamento, destacamos o
Coeficiente de Curtose.

O Coeficiente de Curtose é obtido pelo quociente do momento
centrado de 4ª ordem pelo quadrado da variância, ou seja:

a4 = m4 = m4

(S 2 ) 2 S 4
X X

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Medidas de Achatamento ou
Curtose

Trata-se de coeficiente adimensional, permitindo a sua
classificação:

a4 < 3,0 => Distribuição Platicúrtica;
a4 = 3,0 => Distribuição Mesocúrtica;
a4 > 3,0 => Distribuição Leptocúrtica.

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Medidas de Achatamento ou
Curtose

Exemplo: 50 determinações do tempo (em segundos) gasto por
um funcionário

Assim, basta criamos

duas novas colunas

com: X 3 fi e X 4 fi .
i i

684

E utilizarmos momento centrado de 4ª ordem:

nn n
4 3 2
= Σ X i fi − 4X Σ X i fi +6X 2 Σ X i fi −3X 4

m4 i =1 i =1 i =1

n n n 54

Medidas de Achatamento ou
Curtose

Exemplo: 50 determinações do tempo (em segundos) gasto por
um funcionário

a4 = m4 = m4 ≅ 2,21 => Distribuição ligeiramente
Platicúrtica.
(S 2 )2 S 4
X X

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Medidas de Achatamento ou
Curtose

Outra medida de achatamento mais simples pode ser obtido
pelo Grau de Curtose, dado pelo coeficiente:

K = Q3 − Q1
2(P90 − P10 )

em que,

Q3 = é o 3º Quartil;
Q1 = é o 1º Quartil;
P90 = é o 90º Percentil;
P90 = é o 10º Percentil.

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Medidas de Achatamento ou
Curtose

Quartis => dividem um conjunto de dados em quatro partes
iguais.

0% 25% 50% 75% 100%

Q1 Q2 Q3

em que,

Q1 = o 1º Quartil deixa 25% dos elementos;
Q2 = o 2º Quartil deixa 50% dos elementos e coincide com a

Mediana;

Q3 = o 3º Quartil deixa 75% dos elementos. 57

Medidas de Achatamento ou
Curtose

9 Fórmulas para cálculo de Q1 e Q3 para o caso de variáveis
quantitativas contínuas

(a) Determinação de Q1:

(i) Calcula-se: N ;
4

(ii) Identifica-se a classe de Q1 pela Fi (freq. acumulada);

(iii) Aplica-se a fórmula:

Q1 = LQ1 + (n / 4) − Fa h
fQ1

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Medidas de Achatamento ou
Curtose

9 Fórmulas para cálculo de Q1 e Q3 para o caso de variáveis
quantitativas contínuas (continuação)

(b) Determinação de Q3:

(i) Calcula-se: 3N
4

(ii) Identifica-se a classe de Q3 pela Fi (freq. acumulada);

(iii) Aplica-se a fórmula:

Q3 = LQ3 + (3n / 4) − Fa h
fQ3

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Medidas de Achatamento ou
Curtose

Exemplo: Dada a distribuição, determinar os Quartis (Q1 e Q3)
e a mediana.

Classes fi Fi Classe Q1
66
7 – 17 15 21 Classe mˆ d
17 – 27 20 41
27 – 37 10 51 Classe Q3
37 – 47 5 56
47 – 57

Q1 = LQ1 + (n / 4) − Fa h mˆ d = Li + (n / 2) − Fa hmd Q3 = LQ3 + (3n / 4) − Fa h
fQ1 f md fQ3

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Medidas de Achatamento ou
Curtose

Exemplo: Dada a distribuição, determinar os Quartis (Q1 e Q3)
e a mediana.

Classes fi Fi n = 56;

7 – 17 66 n = 56
17 – 27 4 4
27 - 37 15 21 Q1 = = 14 o elemento
37 - 47
47 - 57 20 41

10 51 Q3 = 3n = 3.56 = 42o elemento
5 56 4 4

⎜⎛ n ⎟⎞ + ⎜⎛ n +1⎞⎟ ⎛⎜ 56⎞⎟ + ⎜⎛ 56 +1⎟⎞
mˆ d = ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠=⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ = 28o e 29o elementos
2 2
61

Medidas de Achatamento ou
Curtose

Exemplo: Dada a distribuição, determinar os Quartis (Q1 e Q3)
e a mediana.

Classes fi Fi Q1 = LQ1 + (n / 4) − Fa h
7 – 17 f Q1
17 – 27 66
27 - 37 15 21 mˆ d = Li + (n / 2) − Fa hmd
20 41 f md

37 - 47 10 51 Q3 = LQ3 + (3n / 4) − Fa h
47 - 57 5 56 fQ3

Para Q1 temos: Para mˆ d temos: Para Q3 temos:
LQ1 = 17 ; n = 56 ; Fa = 6; Li = 27 ; n = 56 ; Fa = 21;
LQ3 = 37; n = 56 ;Fa = 41;

h = 10 ; fQ1 = 15 h = 10 ; f mˆ d = 20 h = 10 ; fQ3 = 10 62

Medidas de Achatamento ou
Curtose

Exemplo: Dada a distribuição, determinar os Quartis (Q1 e Q3)
e a mediana.

Q1 = LQ1 + (n / 4) − Fa h = 17 + ⎜⎛ 56 − 6 ⎟⎞ = 22,33
fQ1 ⎝ 2 ⎠ .10
15

mˆ d = Li + (n / 2) − Fa hmd = 27 + ⎛⎜ 56 − 21⎟⎞ = 30,50
f md ⎝ 2 ⎠ .10

15

Q3 = LQ3 + (3n / 4) − Fa h = 37 + ⎛⎜ 3.56 − 41⎟⎞ .10 = 38,00
fQ3 ⎝ 4 ⎠
10

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Medidas de Achatamento ou
Curtose

Exemplo: Dada a distribuição, determinar os Quartis (Q1 e Q3)
e a mediana.

Q1 Q2 Q3

25% 25% 25% 25%

7,00 22,33 30,50 38,00 57,00

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Medidas de Achatamento ou
Curtose

Decis => são os valores que dividem um conjunto de dados em
10 partes iguais.

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

em que,

D1 = o 1º Decil deixa 10% dos elementos;

D...2 = o 2º Decil deixa 20% dos elementos;
...

D9 = o 9º Decil deixa 90% dos elementos.

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Medidas de Achatamento ou
Curtose

Determinação de um Decil Di:

(i) Calcula-se: i.N em que i = 1, 2, ..., 9;
10

(ii) Identifica-se a classe de Di pela Fi (freq. acumulada);

(iii) Aplica-se a fórmula: Di = Li + (i.N / 10) − Fa h
em que, f Di

Li = limite inferior da classe Di ;
n = tamanho da amostra;

Fa = soma das freqüências das classes anteriores a que Di

;fDi= freqüência da classe Di;

h = amplitude da classe Di. 66

Medidas de Achatamento ou
Curtose

Percentis => são os valores que dividem um conjunto de dados
em 100 partes iguais.

0% 1% 2% 3% ... 50% ... 97% 98% 99% 100%

P1 P2 P3 ... P50 ... P97 P98 P99

em que,

P1 = o 1º Percentil deixa 1% dos elementos;

P...2 = o 2º Percentil deixa 2% dos elementos;
...

P99 = o 99º Percentil deixa 99% dos elementos.

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Medidas de Achatamento ou
Curtose

Determinação de um Percentil Pi:

(i) Calcula-se: i.N em que i = 1, 2, ..., 98, 99;
100

(ii) Identifica-se a classe de Pi pela Fi (freq. acumulada);

(iii) Aplica-se a fórmula: Pi = Li + (i.N /100) − Fa h
em que, f Pi

Li = limite inferior da classe Pi;
n = tamanho da amostra;

Fa = soma das freqüências das classes anteriores a que Pi;

fPi= freqüência da classe Pi;

h = amplitude da classe Di. 68

Medidas de Achatamento ou
Curtose

Exemplo: Dada a distribuição, determinar o Grau de Curtose

(K). fi Fi K = Q3 − Q1
2(P90 − P10 )
Classes 6 6 Já tínhamos obtidos:
7 – 17 15 21
17 – 27 Q1 = 22,33 e Q3 = 38,00
27 - 37 20 41

37 - 47 10 51 Pi = Li + (i.N /100) − Fa h
47 - 57 5 56 f Pi

Para P10 temos: Para P90 temos:
LP10 = 7 ; n = 56 ; Fa = 0; LP90 = 37 ; n = 56 ; Fa = 41;
h = 10 ; fP10 = 6 h = 10 ; fP90 = 10

P10 = 16,33 P90 = 46,40 69

Medidas de Achatamento ou
Curtose

Exemplo: Dada a distribuição, determinar o Grau de Curtose
(K).

Classes fi Fi K = Q3 − Q1
2(P90 − P10 )
7 – 17 66
17 – 27
27 - 37 15 21
37 - 47 20 41 Agora temos tudo:
47 - 57 Q1 = 22,33 e Q3 = 38,00
10 51

5 56 P10 = 16,33 e P90 = 46,40

K = Q3 − Q1 = 38,00 − 22,33 = 0,2606
2(P90 − P10 ) 2(46,40 −16,33)

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Medidas de Achatamento ou
Curtose

Assim o Grau de Curtose, de ser classificado da seguinte
forma:

K = Q3 − Q1
2(P90 − P10 )

K = 0 ,263 => Distribuição de freqüência Mesocúrtica;

K > 0 ,263 => Distribuição de freqüência Platicúrtica;

K < 0 ,263 => Distribuição de freqüência Leptocúrtica.

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