E-Modul Matematika

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 1

DESKRIPSI MODUL

E-modul matematika untuk menstimulasi kemampuan berpikir kombinatoris
merupakan suatu bahan ajar matematika elekteronik yang dapat diakses secara offline ataupun
online. Pada prinsipnya e-modul matematika ini merupakan pengembangan modul
pembelajaran yang disusun untuk menstimulasi kemampuan berpikir kombinatoris peserta
didik serta memfasilitasi peserta didik dalam menumbuhkan sikap kemandirian belajar. Secara
umum e-modul ini memiliki dua karakteristik yaitu :

1. Penggunaannya menggunkan media elektronik
Modul elektronik (e-modul) merupakan sebuah bentuk penyajian bahan belajar

mandiri yang disusun secara sistematis untuk mencapai tujuan belajar yang disajikan
dalam media elektronik. Penggunaan e-modul ini sesuai dengan pembelajaran abad 21
yang membuat peserta didik menjadi lebih aktif dan interaktif sehingga peserta didik
memiliki pengalaman dalam belajar bukan hanya menggunakan modul cetak. Produk
berupa bahan ajar e-modul yang dihasilkan dengan platform anyflip yang tersedia.
Dalam penggunannya e-modul ini lebih praktis dibandingkan dengan modul cetak,
karena bentuk fisiknya e-modul tidak menimbulkan beban bawaan bagi peserta didik
dan sangat mudah untuk mengaksesnya.
2. Menstimulasi kemampuan berpikir kombinatoris

E-modul matematika untuk menstimulasi kemampuan berpikir kombinatoris ini
difokuskan untuk peserta didik sekolah menengah atas pada materi kombinasi dan
permutasi. E-modul ini memuat permasalahan dan pembahasan soal permutasi dan
kombinasi serta dibahas dengan empat tingkatan berpikir kombinatoris yaitu
menyelidiki kemungkinan berapa kasus, menemukan seluruh kemungkinan kasus,
menggeneralisasi secara sistematis, dan mengubah masalah menjadi masalah
kombinatorial lain. Tingkatan berpikir kombinatoris ini yang akan menunjukkan bahwa
peserta didik telah berpikir kombinatoris. Pada e-modul ini juga memuat soal
kombinasi dan permutasi yang open-ended, penggunaan soal terbuka dapat
menstimulasi kreativitas, kemampuan berpikir original, dan inovasi dalam matematika.
E-modul ini disusun berdasarkan aturan kurikulum 2013 yang memuat konsep-konsep
ilmu matematika.

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 2

KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT karena berkah-Nya penyusunan E-Modul
Matematika untuk menstimulasi kemampuan berpikir kombinatoris untuk peserta didik
sekolah menengah atas materi permutasi dan kombinasi sebagai pendukung pembelajaran
matematika dapat diselesaikan.
E-Modul Matematika ini berisi materi permutasi dan kombinasi untuk membantu
peserta didik agar mampur belajar secara mandiri. Penyusun berharap e-modul ini dapat
dijadikan sebagai panduan dalam pembelajaran matematika dimanapun dan kapanpun. Sekian,
semoga segala upaya yang dilakukan dapat bermanfaat untuk memajukan pendidikan di
Indonesia, khususnya pada bidang matematika.

Purworejo, April 2021

Wahyu Ramadani

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 3

DAFTAR ISI
Halaman Sampul.................................................................. 1
Deskripsi Modul................................................................... 2
Kata Pengantar ..................................................................... 3
Daftar Isi .............................................................................. 4
Kata Kunci ........................................................................... 4
Kompetensi Dasar ................................................................ 4
Pengalaman Belajar.............................................................. 4
Peta Konsep ......................................................................... 5
Pengertian Permutasi ........................................................... 7
Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda............................ 8
Permutasi dari beberapa unsur yang sama ........................... 11
Permutasi Siklis ................................................................... 14
Pengertian Kombinasi .......................................................... 17
Rangkuman .......................................................................... 24
Evaluasi................................................................................ 25

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 4

Kata Kunci
Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda.
Permutasi dari beberapa unsur yang sama.
Permutasi Siklis
Kombinasi

Kompetensi Dasar
Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah.

Pengalaman Belajar
Menerapkan rumus permutasi untuk menyelesaikan soal.

Menggunakan permutasi dalam menyelesaikan masalah kehidupan sehari-hari.
Menerapkan rumus kombinasi untuk menyelesaikan soal.
Menggunakan kombinasi dalam menyelesaikan masalah kehidupan sehari-hari.

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 5

PETA KONSEP MATERI

Materi

Permutasi Kombinasi

Permutasi dari unsur-unsur Permutasi dari beberapa Permutasi Siklis
yang berbeda unsur yang sama

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 6

PERMUTASI

Apakah yang dimaksud dengan
Permutasi?

Pengertian Permutasi

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menghadapi masalah pengaturan suatu objek
yang terdiri dari beberapa unsur yang disusun dengan mempertimbangkan urutan sesuai dengan
posisi yang diinginkan. Misalnya untuk menentukan banyak susunan kepanitiaan, menentukan
tempat duduk yang akan disusun, menentukan tempat duduk pada meja bundar dan lain-lain.
Susunan unsur dimana urutan itu penting untuk diperhatikan dinamakan permutasi.

Sebelum lebih jauh membahas permutasi, kita perlu mengenal terlebih dahulu notasi
faktorial yang nantinya akan digunakan untuk merumuskan permutasi. Notasi faktorial akan
digunakan untuk menyingkat penulisan bentuk perkalian bilangan Asli secara berurutan.
Definisi :

Perkalian dari n bilangan Asli pertama dinyatakan dengan n !, dirumuskan :
n ! = n (n-1) (n-2) (n-3) . … . 3.2.1
Notasi n ! dibaca “n faktorial”

Contoh :

Jabarkan bentuk berikut :

a. 3! b. 5! c. 30!

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 7

Penyelesaian :

a. 3! = 3.2.1 = 6
b. 5! = 5.4.3.2.1 = 120
c. 30! = 30.29.28.27. … . 3.2.1

Dari definisi diatas, dapat diperoleh sifat-sifat notasi faktorial berikut.

Untuk setiap bilangan Asli n berlaku :

n ! = n (n-1) 1!=1 0!=1

Dengan sifat tersebut kita dapat mengubah notasi faktorial ke notasi faktorial lain yang lebih
sederhana. Sebagai contoh, 10! = 10.9! = 10.9.8! = 10.9.8.7! dan seterusnya sehingga
menyederhanakan perhitungan.

Contoh :

5!

Tentukan nilai dari 3!
Penyelesaian :

5! = 5.4.3.2.1 = 20

3! 3.2.1

Pada kali ini akan mempelajari 3 (tiga) kasus berkenaan dengan permutasi yaitu
permutasi dengan unsur berlainan, permutasi dengan unsur sama dan permutasi siklis
(melingkar).

1. Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda
Misalkan dari empat huruf A, B, C, dan D akan disusun suatu tulisan yang terdiri

atas dua huruf dengan yang tidak mempunyai huruf yang sama. Karena urutan huruf
yang berbeda mempunyai tulisan yang berbeda. Sebagai contoh, tulisan AB, BA, BD,
dan DB merupakan hasil-hasil yang berbeda. Dikatakan bahwa banyaknya permutasi 2
huruf dari 4 huruf yang tersedia adalah 12.

Secara umum, untuk permutasi r unsur dari sejumlah n unsur yang tersedia
dirumuskan sebagai berikut :

!
= ( − )! , ≤

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 8

Berdasarkan rumus diatas, banyaknya permutasi 2 huruf dari 4 huruf berbeda
yang tersedia dalam ilustrasi di atas dapat diselesaikan sebagai berikut :

Banyak susunan huruf yang dapat dibentuk 4P 2.

= ! = 4! = 4! = 4.3.2.1 = 4.3 = 12
( − )! (4−2)! 2! 2.1

Dari rumus di atas dapat kita turunkan bentuk-bentuk khusus dari permutasi,
untuk setiap bilangan asli n berlaku :

a. nPn = n!
b. nP 1 = n
c. nP0 = 1

Contoh :

Hitunglah permutasi dibawah ini!

a. 3P 3
b. 3P 1
c. 3P 0

Penyelesaian :

a. 3P 3 = 3! = 3! = 3! = 3! = 3.2.1 = 6
(3−3)! 0! 1

b. 3P 1 = 3! = 3! = 3.2.1 = 3
(3−1)! 2! 2.1

c. 3P 0 = 3! = 3! = 1
(3−0)! 3!

Contoh soal :

1. Dari 4 orang calon ketua, diambil 2 orang untuk dijadikan ketua dan bendahara.
Jika setiap orang berhak untuk menduduki posisi itu, berapa banyaknya susunan
pengurus yang dapat dibentuk?

Kita akan menyelesaikan persoalan di atas dengan menggunakan empat tingkatan
berpikir kombinatoris.

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 9

Penyelesaian : Lembar penyelesaian
Tingkatan Berpikir
Ketua Bendahara
No
Kombinatoris

1. Menyelidiki
beberapa kasus

2. Menemukan seluruh
kemungkinan kasus

3. Menggeneralisasi AB BA CA DA
secara sistematis AC BC CB DB

AD BD CD DC

4. Mengubah masalah 4P 2 =

kombinatorial yang ! 4! 4! 4.3.2.1
lain (rumus) = ( − )! = (4 − 2)! = 2! = 2.1 = 4.3 = 12

Jadi, susunan pengurus yang dapat dibentuk adalah 12 cara.

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 10

2. Dari 5 orang calon ketua, diambil 2 orang untuk dijadikan ketua dan wakil Jika

setiap orang berhak untuk menduduki posisi itu, berapa banyaknya susunan

pengurus yang dapat dibentuk?

Penyelesaian :

Banyak susunan pengurus yang dapat dibentuk 5P 2.

= ! = 5! = 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4 = 20
( − )! (5−2)! 3! 3.2.1

Jadi, banyak cara untuk menentukan banyaknya susunan pengurus adalah 20 cara.

2. Permutasi dari beberapa unsur yang sama

Untuk memahami permutasi ini,perhatikan huruf-huruf dalam kata “APA”.
Berapa banyak susunan berbeda yang dapat di peroleh ? Di sini terdapat 3 huruf dan
akan dibuat susunan ketiga huruf terebut. Karena ada dua huruf sama, yaitu huruf A,
maka agar ‘seolah-olah’ berbeda, masing-masing diberi indeks A1 dan A2. Sekarang
kita punya tiga huruf : A1, P, dan A2.

Semua susunan ketiga huruf yang mungkin dapat didaftar sebagai berikut :

A1PA2 A1A2P PA2A1 PA1A2 A2A1P A2PA1

Jelas jika kedua huruf A dianggap berbeda, terdapat 6 permutasi (dapat dihitung dengan
3P3= 3! = 3.2.1 = 6. Jika indeks dihilangkan (karena nyatanya kedua A sama) maka
susunan tersebut menjadi :

APA AAP PAA PAA AAP APA

Tampak ada susunan yang sama. Jadi susunan yang berbeda adalah :

APA, PAA, dan AAP

Berarti terdapat 3 susunan yang berbeda. Ini didapat karena diantara 3! susunan (jika
kedua A dianggap berbeda) terdapat 2! susunan yang sama (karena ada 2 huruf A yang
pertukaran letaknya memberikan hasil sama). Berarti banyaknya permutasi adalah

3! 3.2.1
2! = 2.1 = 3

Secara umum banyaknya permutasi dari sejumlah unsur, jika terdapat beberapa unsur
sama dirumuskan sebagai berikut :

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 11

Permutasi n unsur, dengan k unsur sama dan n unsur (n ≥ k) dapat kita rumuskan

sebagai berikut :

!
= !

Rumus tersebut dapat kita perluas untuk beberapa jenis unsur sama
Banyaknya permutasi n unsur, jika terdapat k1 unsur sama, k2 unsur sama,…, dan kn
unsur sama adalah

!
= 1! 2! … !

Contoh soal :
1. Tentukan banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata “BUKU”!

Kita akan menyelesaikan persoalan di atas dengan menggunakan empat
tingkatan berpikir kombinatoris.

Penyelesaian :

Tingkatan Berpikir Lembar penyelesaian
No B-U-K-U

Kombinatoris

1. Menyelidiki
beberapa kasus

2. Menemukan seluruh
kemungkinan kasus

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 12

Jika benar mengerjakannya, hasil dari seluruh diagram
pohon tersebut adalah :

3. Menggeneralisasi BUKU UKBU KUBU UBUK
secara sistematis BUUK UKUB KUUB UBKU

BKUU UUBK KBUU UUBK

BKUU UUKB KBUU UUKB

BUKU UBUK KUUB UKBU

BUUK UBKU KUBU UKUB

Amatilah 24 susunan huruf tersebut. Tampak ada
beberapa susunan huruf yang sama sehingga
permutasinya menjadi :

BUKU UKBU UUKB KUBU

BUUK UKUB UBUK KUUB

BKUU UUBK UBKU KBUU

4. Mengubah masalah 4P 2 =

kombinatorial yang = ! = 4! = 4! = 4.3.2.1 = 4.3
lain (rumus) ( − )! (4−2)! 2! 2.1

= 12

Jadi, susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata “BUKU” adalah 12 cara.

2. Tentukan banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata “STATISTIKA”!
Perhatikan kata STATISTIKA terdiri dari 10 huruf, berarti n = 10. Beberapa unsur
sama : 2 huruf S, 3 huruf T, 2 huruf A, 2 huruf I sedangkan 1 lainnya berlainan.
Banyaknya permutasi ke-10 huruf tersebut adalah:

= ! = 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 75.600

1! 2!… ! 2!3!2!2! 2.1 . 3.2.1 . 2.1 . 2.1

Jadi, terdapat 75.600 susunan berbeda yang mungkin.

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 13

3. Tentukan banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata “ALJABAR”!

Perhatikan kata “ALJABAR” terdiri dari 7 huruf, berarti n = 7. Beberapa unsur

sama : 3 huruf A sedangkan 4 lainnya berlainan. Banyaknya permutasi ke-7 huruf

tersebut adalah :

= ! = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 7.6.5.4 = 840
! 3! 3.2.1

Jadi, terdapat 840 susunan berbeda yang mungkin.
3. Permutasi siklis

Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara
melingkar menurut arahan putaran tertentu. Sangat umum soal pada permutasi ini
biasanya tentang susunan orang di meja makan, meja rapat, dan sebagainya.

Rumus dari permutasi siklis :

Psiklis = (n-1)!

Contoh soal :
1. Pada suatu ruangan ada 4 orang yang masing-masing diberi nama A, B, C, dan D.

Keempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar. Carilah cara keempat
orang itu duduk melingkari meja!

Kita akan menyelesaikan persoalan di atas dengan menggunakan empat tingkatan
berpikir kombinatoris.

Penyelesaian :

Tingkatan Berpikir Lembar penyelesaian
No A-B-C-D

Kombinatoris

1. Menyelidiki
beberapa kasus

2. Menemukan seluruh
kemungkinan kasus

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 14

3. Menggeneralisasi ABCD ABDC ACBD
secara sistematis ACDB ADBC ADCB

4. Mengubah masalah = P siklis

kombinatorial yang = (n-1)! = (4 – 1)! = 3! = 3.2.1 = 6

lain (rumus)

Jadi, banyaknya susunan yang dapat terjadi ada 6 macam.

2. Perhatikan gambar dibawah ini!

Ada 6 orang menempati 6 buah kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa
banyak susunan yang dapat dibentuk?
Penyelesaian:
Banyak unsur n = 6 maka banyak permutasi siklis dari 6 unsur itu seluruhnya adalah :
P siklis = (n-1)! = (6 – 1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
Jadi, banyaknya susunan yang dapat terjadi ada 120 macam.

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 15

Lembar Kegiatan Peserta didik

Bacalah dan pahami beberapa permasalahan di kehidupan sehari-hari!
1. Pada suatu organisasi terdapat 5 calon ketua, akan dipilih 2 orang untuk mengisi jabatan
ketua dan sekretaris. Jika setiap orang berhak untuk menduduki posisi itu, berapa
banyaknya susunan pengurus yang dapat dibentuk?
2. Di SMA Negeri 5 Semarang terpadat ekstrakulikuler olahraga basket. Jumlah
anggotanya ada 20 anak, disaat pemilihan pengurus baru untuk posisi (ketua, wakil,
sekretaris, bendahara, humas), terdapat sekitar seperempat sampai setengah dari
anggota yang ingin mencalonkan diri menjadi pengurus. Jika dibutuhkan 5 orang untuk
menjadi pengurus, maka berapa banyak cara untuk memilih pengurus ekstrakullikuler
tersebut?

Lembar Kerja Peserta didik
Coba diskusikan bersama temanmu dan kerjakan soal diatas dengan benar!
Kemudian diskusikan dengan temanmu dan jelaskan perbedaan dari Permutasi dari unsur-
unsur yang berbeda, Permutasi dari unsur-unsur yang sama, dan permutasi siklis!

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 16

KOMBINASI

Apakah yang dimaksud dengan
Kombinasi?

Pengertian Kombinasi
Kombinasi adalah susunan beberapa unsur dari unsur yang tersedia tanpa

memperhatikan urutan. Dikatakan tanpa memperhatikan urutan berarti bahwa kombinasi
tersebut dianggap sama asal memuat unsur-unsur yang sama, meskipun dengan urutan yang
berbeda.
Untuk membedakan antara kombinasi dengan permutasi, simaklah contoh berikut ini.
Contoh :

Identifikasi dan jelaskan permasalahan berikut termasuk kombinasi ataukan permutasi
(urutan diperhatikan ataukah tidak diperhatikan):

a. Memilih 3 orang dari 5 orang yang ada untuk menjadi pengurus kelas.
b. Membentuk pengurus kelas terdiri dari ketua dan bendahara.
Penyelesaian :
a. Kombinasi, sebab urutan ketiga orang yang terpilih tidak penting (hasilnya

ditentukan oleh siapa yang termasuk dalam 3 orang yang dipilih).
b. Permutasi, sebab hasil dianggap berbeda jika orang yang duduk sebagai ketua,

bendahara, atau pun bendahara berlainan (misalkan ketua : A dan bendahara : B
berbeda dengan ketua : B dan bendahara : A)

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 17

Sebagai kaidah pencacahan maka masalah yang penting untuk dibicarakan dalam
kombinasi adalah menentukan banyaknya kombinasi beberapa unsur dari sejumlah unsur yang
tersedia. Banyaknya kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia, dinyatakan dengan C(n,r)
atau nCr dirumuskan dengan :

!
= ! ( − )!

Contoh :

Tentukan nilai dibawah ini!

a. 5C 3
b. 5C 2
c. 5C 1
d. 5C 5
e. 5C 0

Penyelesaian :

a. 5C 3 = 5! = 5! = 5.4.3.2.1 = 5.2 = 10
3!(5−3)! 3! 2!
3.2.1 . 2.1

b. 5C 2 = 5! = 5! = 5.4.3.2.1 = 5.2 = 10
2!(5−2)! 2! 3!
2.1 . 3.2.1

c. 5C 1= 5! = 5! = 5.4.3.2.1 = 5
1!(5−1)! 1! 4! 1 . 4.3.2.1

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 18

d. 5C 5 = 5! = 5! = 5.4.3.2.1 = 1
5!(5−5)! 5! 0! 5.4.3.2.1 . 1

e. 5C 0 = 5! = 5! = 5.4.3.2.1 = 1
0!(5−0)! 1 . 5.4.3.2.1
0! 5!

Dari contoh diatas kita mendapatkan petunjuk tentang sifat-sifat yang berlaku pada
kombinasi :
Untuk sembarang bilangan asli n dan r dengan r ≤ n berlaku :

1. nCr = nC(n-r) Contoh 5C 3 = 5C2 , atau 10C 6 = 10C 4
2. nCn = 1 Contoh 5C 5 = 1 , atau 7C 7 = 1 , atau 10C 10 = 1
3. nC 1 = n Contoh 5C 1 = 5 , atau 7C 1 = 7 , atau 10C 1 = 10
4. nC0 = 1 Contoh 5C 0 = 1 , atau 7C 0 = 1 , atau 10C 0 = 1

Contoh soal :

1. Sebuah kelompok belajar terdiri dari 7 peserta didik yang terdiri dari 4 laki-laki dan
3 perempuan. Dari kelompok itu akan dipilih 3 laki-laki dan 2 perempuan untuk
mengikuti kompetisi matematika. Berapa banyak cara memilih peserta didik untuk
mengikuti kompetisi tersebut?
Kita akan menyelesaikan persoalan diatas dengan menggunakan empat tingkatan berpikir
kombinatoris.
Penyelesaian :

Tingkatan Berpikir Lembar penyelesaian
No

Kombinatoris

1. Menyelidiki
beberapa kasus

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 19

2. Menemukan seluruh Laki-laki :

kemungkinan kasus ABC

BCD

CDA

DAB

Perempuan :

EF

FG

GE

3. Menggeneralisasi ABCEF BCDEF CDAEF DABEF
secara sistematis ABCFG BCDFG CDAFG DABFG

ABCGE BCDGE CDAGE DABGE

4. Mengubah masalah = 4C 3 . 3C 2

kombinatorial yang = 4! . 2! 3!
lain (rumus) 3! .(4−3)! .(3−2)!

= 4! . 3!

3! . 1! 2! . 1!

= 4.3

=12

Jadi, banyak cara untuk membentuk kelompok belajar adalah 12 cara.

2. Berapa banyak cara yang dapat disusun suatu regu cerdas cermat yang terdiri dari
3 peserta didik yang dapat dibentuk dari 5 peserta didik yang ada?

Kita akan menyelesaikan persoalan diatas dengan menggunakan empat tingkatan berpikir
kombinatoris.

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 20

Penyelesaian : Lembar penyelesaian
Tingkatan Berpikir A–B–C–D-E

No
Kombinatoris

1. Menyelidiki
beberapa kasus

2. Menemukan seluruh
kemungkinan kasus

Jika benar mengerjakannya, hasil dari seluruh diagram
pohon tersebut adalah :

3. Menggeneralisasi ABC BAC CAB DAB EAB
secara sistematis ABD BAD CAD DAC EAC
ABE BAE CAE DAE EAD
ACB BCA CBA DBA EBA
ACD BCD CBD DBC EBC
ACE BCE CBE DBE EBD
ADB BDA CDA DCA ECA
ADC BDC CDB DCB ECB
ADE BDE CDE DCE ECD
AEB BEA CEA DEA EDA
AEC BEC CEB DEB EDB
AED BED CED DEC EDC
Karena pemilihan 3 orang untuk regu cerdas cermat
tidak memperhatikan urutan maka dari 60 susunan itu
terdapat 10 susunan yang berbeda. Kesepuluh susunan

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 21

tersebut adalah ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE,
BCD, BCE, BDE, dan CDE.

4. Mengubah masalah = 5C 3

kombinatorial yang = 3! . 5!
lain (rumus) (5−3)!

= 5!

3! . 2!

= 5.4.3.2.2

3.2.1 . 2.1

= 10

Jadi, banyak cara untuk membentuk regu cerdas cermat adalah 10 cara.

3. Pada suatu kelas terdapat 8 laki-laki dan 12 perempuan, akan dipilih 5 laki-laki dan

3 perempuan untuk membentuk kelompok senam yang akan mengikuti kegiatan

lomba senam tingkat Sekolah Menengah Atas (SMA) se-jawa tengah. Berapa

banyak cara untuk membentuk kelompok tersebut?

Untuk menentukan kemungkinan berapa cara kelompok senam yang terdiri atas 5

laki-laki dan 3 perempuan yang dapat dipilih dari 8 laki-laki dan 12 perempuan,

terdiri dari 2 tahap yaitu memilih 5 laki-laki dari 8 laki-laki dan memilih 3

perempuan dari 12 perempuan yang tersedia. Dengan kaidah perkalian dan rumus

kombinasi dapat dihitung.

Penyelesaian :

Banyak cara memilih kelompok siswi

12C 3 = 12! = 12! = 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 12.11.10 = 220
3!(12−3)! 3.2.1 . 9.8.7.6.5.4.3.2.1
12! . 9! 3.2.1

Banyak cara memilih kelompok siswi adalah 220 cara

8C 5 = 8! = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 8.7.6 = 56
5!(8−5)! 5! . 3! 5.4.3.2.1 . 3.2.1 3.2.1

Banyak cara memilih kelompok peserta didik adalah 56 cara

Jadi, banyak cara untuk membentuk kelompok senam adalah

220 x 56 = 12.320 cara.

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 22

Lembar Kegiatan Peserta didik

Bacalah dan pahami beberapa permasalahan di kehidupan sehari-hari!
1. Sebuah toko buku terdiri dari 4 karyawan dan 2 karyawati yang bekerja. Kerena pemilik
toko tersebut telah membuka sebuah toko cabang yang baru, akan dipilih 2 karyawan
dan 1 karyawati untuk pindah ke toko yang baru. Berapa banyak cara memilih
karyawan dan karyawati untuk pindah ke toko yang baru?
2. Wahyu mengikuti suatu ujian. Ia harus mengerjakan 10 soal dari 12 soal yang tersedia.
Jika soal genap harus dikerjakan, berapa banyak pilihan komposisi soal yang dikerjakan
Wahyu?
3. Ashari mempunyai sebuah botol yang berisi kelereng. Di dalam botol tersebut terdapat
10 kelereng berwarna merah dan putih. Jika kelereng merah lebih banyak dari putih dan
terdapat lebih dari dua kelereng warna merah. Maka berapa banyak cara pengambilan
2 kelereng hijau dari wadah tersebut?

Lembar Kerja Peserta didik
Coba diskusikan bersama temanmu dan kerjakan soal diatas dengan benar!

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 23

RANGKUMAN

Empat tingkatan berpikir kombinatoris yaitu menyelidiki kemungkinan berapa
kasus, menemukan seluruh kemungkinan kasus, menggeneralisasi secara
sistematis, dan mengubah masalah menjadi masalah kombinatorial lain.
Permutasi adalah susunan beberapa unsur dari unsur-unsur yang tersedia dengan
memperhatikan urutan.
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur
itu berbeda.

= ! , ≤
( − )!

Banyaknya permutasi n unsur, dengan k1 unsur sama, k2 unsur sama, …, dan kn
unsur sama dari n unsur (k1 + k2 + … + kn) ≤ n, yaitu:

= !

1! 2!… !

Banyaknya permutasi siklis dari n unsur adalah Psiklis = (n-1)!

kombinasi adalah suatu susunan beberapa unsur dari unsur-unsur yang tersedia

tanpa memperhatikan urutan.

Banyaknya kombinasi dari r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia

dinotasikan dengan C(n,r) atau nCr dirumuskan dengan

= !
!( − )!

Agar lebih memahami perbedaan antara permutasi dan kombinasi, simaklah tabel
berikut :

Unsur Permutasi Kombinasi

ABCD 4P 2= 4! = 4! 4C 2= 2! 4! = 4!
KLMNO (4−2)! 2! .(4−2)! 2! . 2!

= 4.3.2.1 = 12 = 4.3.2.1 = 6

2.1 2.1 . 2.1

5P 3= 5! = 5! 5C 3= 3! 5! = 5!
(5−3)! 2! .(5−3)! 3! . 2!

= 5.4.3.2.1 = 60 = 5.4.3.2.1 = 10

2.1 3.2.1 . 2.1

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 24

Lembar Evaluasi

A. Pilihan Ganda
1.

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua, bendahara dan sekretaris, dari 8 calon

yang memenuhi kriteria. Banyak susunan yang mungkin dari 8 calon tersebut
adalah…

a. 56 d. 1.206

b. 560 e. 266

c. 336
2. Banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata “NASIONAL”

adalah…cara

a. 10.080 d. 180

b. 1.080 e. 1.880

c. 108

3. Berapakah banyaknya cara duduk melingkar dari 7 orang peserta rapat yang

mengelilingi meja bundar, jika dua orang harus selalu berdekatan?

a. 12 cara d. 120 cara

b. 24 cara e. 1.240 cara

c. 144 cara

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 25

4. Seorang peserta didik ingin menyusun kata dari 8 huruf. Tentukan berapa banyak

susunan 5 huruf yang bisa dibuat oleh peserta didik tersebut!

a. 56 cara d. 6.720 cara

b. 336 cara e. 20.160 cara

c. 1.680 cara

5. Seorang satpam bank ingin

mencetak nomor antrian nasabah

yang terdiri dari tiga angka. Jika

nomor antrian tersebut tidak memuat

angka yang sama yang dibentuk dari

angka 0, 1, 2, 3. Banyak pilihan

nomor antrian yang dapat dibuat
adalah…

a. 20 cara d. 120 cara

b. 60 cara e. 12 cara

c. 15 cara
6. Banyak susunan berbeda dari huruf-huruf pembentuk kata MERDEKA adalah…

a. 120 susunan d. 2.520 susunan

b. 240 susunan e. 720 susunan

c. 1.260 susunan

7. Sebuah kantong berisi 6 kelereng putih, 4 kelereng biru dan 3 kelereng merah.
Banyak cara pengambilan 3 kelereng putih dari kantong tersebut adalah…

a. 20 cara d. 60 cara

b. 30 cara e. 50 cara

c. 40 cara

8. Sebuah perusahaan akan memilih 4

orang karyawan dari 10 orang yang

lulus seleksi. Berapa cara perusahaan

memilih keempat orang tersebut
adalah …

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 26

a. 21 cara d. 420 cara
b. 210 cara e. 22 cara
c. 42 cara
9. Riska ingin membeli 6 jenis boneka di toko
yang menjual 9 jenis boneka. Jika 2 jenis
boneka sudah pasti dibeli, berapa banyak
kombinasi 6 boneka yang mungkin dibeli
Riska?

a. 70 cara d. 140 cara

b. 35 cara e. 7 cara

c. 45 cara

10. Linda akan mengambil 2 teko dan 3 mangkok dari lemari dapur yang menyimpan

6 teko dan 4 mangkok. Hitung banyak cara Linda bisa mengambil teko dan

mangkok?

a. 240 cara d. 30 cara

b. 120 cara e. 15 cara

c. 60 cara

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 27

B. Uraian
1. Kelompok belajar ANAK PINTAR yang beranggotakan 6 orang akan memilih
ketua dan wakil, ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil
ketua dapat dipilih?
2. Sebanyak 8 orang mengadakan pertemuan. Mereka duduk menghadap sebuah meja
bundar. Berapa banyak cara mereka menempati kursi yang disusun melingkar?
3. Pada kompetisi bola Volley yang diikuti oleh regu, panitia menyediakan 6 tiang
bendera, Berapakah banyak cara susunan yang berbeda untuk memasang bendera
tersebut?
4. Sebuah kelas akan memilih 4 putra dan 5 putri untuk menjadi paduan suara. Jumlah
peserta didik di kelas tersebut adalah 20 orang. Jika terdapat 9 orang putra di kelas
tersebut, berapakah banyak cara memilih paduan suara dari kelas tersebut?
5. Seorang peserta didik diminta mengerjakan 7 soal dari 10 soal yang tersedia. Jika
soal nomor 1 sampai nomor 5 wajib dikerjakan, berapa banyak pilihan bagi peserta
didik tersebut untuk mengerjakan soal?

“Hanya pendidikan yang bisa
menyelamatkan masa depan,
tanpa pendidikan Indonesia

tak mungkin bertahan”
~Najwa Shihab~

E-MODUL MATEMATIKA UNTUK MENSTIMULASI KEMAMPUAN BERPIKIR KOMBINATORIS 28