MODUL PERSAMAAN KUADRAT KEL.1

1|MODUL PERSAMAAN KUADRAT

2|MODUL PERSAMAAN KUADRAT

PETA KONSEP

Mengenal
Persamaan

Bentuk Umum
Persamaan

Persamaan Penyelesaian 1. Faktorisasi
Kuadrat Persamaan 2. Kuadrat

Sempurna
3. Rumus

Kuadrat

Jenis-jenis 1. Biasa
Persamaan 2. Murni
3. Tak

Lengkap
4. Rasional

Menyusun 1. Diketahui
Persamaan Akarnya-
akarnya

2. Jumlah dan
Hasil Kali
Akar-
akarnya

3|MODUL PERSAMAAN KUADRAT

1. Mengenal Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat
tertinggi sama dengan dua (2)(Pelajaran et al., n.d.). Adapun bentuk umum
persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.

Ayo Mengingat

ax2 + bx + c = 0
Keterangan:
a, b = koefisien (a ≠ 0);
x = variabel; dan
c = konstanta.

2. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Untuk dapat mendeskripsikan bentuk umum persamaan kuadrat, simaklah
beberapa persamaan berikut ini.
•x2 – 3 = 0
•x2 – 12x = 0
•x2 – 6x + 10 = 0
•3x2 – 2x + 5 = 0
Perhatikan bahwa, setiap persamaan di atas mempunyai pangkat tertinggi bagi
peubah x sama dengan dua (x2). Persamaan yang memiliki bentuk seperti itu
disebut persamaan kuadrat dalam variabel (peubah) x atau persamaan
berderajat dua dalam variabel x. Berdasarkan keterangan tersebut, bentuk umum
atau bentuk baku dari persamaan kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut.

4|MODUL PERSAMAAN KUADRAT

Ayo Mengingat

Misalkan a, b dan c merupakan bilangan real dan a ≠ 0, maka persamaan
yang berbentuk
ax2 + bx + c = 0
dinamakan persamaan kuadrat dalam variabel x.
Dalam persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a adalah koefisien dari x2, b adalah
koefisien dari x dan c adalah suku tetapan atau konstanta. Sebagai contoh, nilai-
nilai a, b dan c pada persamaan-persamaan kuadrat di atas adalah sebagai
berikut.
•x2 – 3 = 0, nilai a = 1, b = 0 dan c = –3
•x2 – 12x = 0, nilai a = 1, b = –12 dan c = 0
•x2 – 6x + 10 = 0, nilai a = 1, b = –6 dan c = 10
•3x2 – 2x + 5 = 0, nilai a = 3, b = –2 dan c = 5

3. Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Ada tiga cara untuk mencari akar-akar dalam menyelesaikan persamaan kuadrat,
yaitu dengan faktorisasi, kuadrat sempurna dan dengan menggunakan rumus
abc.

1) Faktorisasi
Faktorisasi atau pemfaktoran merupakan cara mencari akar-akar persamaan
kuadrat dengan mencari nilai yang jika dikalikan akan menghasilkan nilai lain.
Ada tiga bentuk persamaan kuadrat dengan faktorisasi akar-akar yang berbeda
seperti berikut:

5|MODUL PERSAMAAN KUADRAT

Ayo Mengingat

ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat.

Selanjutnya, coba kita kerjakan contoh soal di bawah ini:
Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0
Jawab:
x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 atau x – 1 = 0
x = 3 atau x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

Ayo Berlatih

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)2 = x – 2.
Jawab :..........................................................................

2. Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0.
Jawab :..........................................................................

3. Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan cara faktorisasi
5x2+13x+6=0
Jawab :..........................................................................

6|MODUL PERSAMAAN KUADRAT

2) Kuadrat Sempurna
Tidak semua persamaan kuadrat bisa diselesaikan dengan cara faktorisasi, cara
lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan
kuadrat sempurna. Bentuk persamaan kuadrat sempurna adalah bentuk
persamaan yang menghasilkan bilangan rasional. Penyelesaian persamaan
kuadrat dengan melengkapkan kuadrat menggunakan rumus:

Ayo Mengingat

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan
mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.

Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.
Jawab:
x2 – 6 x + 5 = 0
x2 – 6 x + 9 – 4 = 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4
x – 3 = 2 atau x – 3 = –2
x = 5 atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
3. Rumus Kuadrat
Selain menggunakan faktorisasi dan dengan melengkapi kuadrat sempurna,
persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadrat
atau biasa dikenal dengan rumus abc.

7|MODUL PERSAMAAN KUADRAT

Selanjutnya, coba kerjakan contoh soal berikut menggunakan rumus abc!
x2 + 4x - 12 = 0
Jawab:
x2 + 4x - 12 = 0
a=1, b=4, c=-12

8|MODUL PERSAMAAN KUADRAT

4. Jenis – Jenis Persamaan Kuadrat

Secara umum, persamaan kuadrat dibagi menjadi empat, yaitu sebagai berikut.
1) Persamaan Kuadrat Biasa
Persamaan kuadrat biasa adalah persamaan kuadrat yang nilai a = 1. Berikut
ini contohnya.
x2 + 3x + 2 = 0

2) Persamaan Kuadrat Murni
Persamaan kuadrat murni adalah persamaan kuadrat yang nilai b = 0. Berikut
ini contohnya.
x2 + 2 = 0

3) Persamaan Kuadrat Tak Lengkap
Persamaan kuadrat tak lengkap adalah persamaan kuadrat yang nilai c = 0.
Berikut ini contohnya.
x2 + 3x = 0

4) Persamaan Kuadrat Rasional
Persamaan kuadrat rasional adalah persamaan kuadrat yang nilai koefisien
dan konstantanya berupa bilangan rasional. Berikut ini contohnya.
4x2 + 3x + 2 = 0

9|MODUL PERSAMAAN KUADRAT

5. Menyusun Persamaan Kuadrat

Ada dua metode untuk menyusun persamaan kuadrat. Metode yang
pertama, jika diketahui akar-akar persamaan kuadratnya. Lalu, metode yang
kedua, jika diketahui jumlah dan hasil kali dari akar-akar persamaan
kuadratnya. Nanti pas ngerjain soal, kamu pilih deh pakai metode yang mana,
menyesuaikan dengan yang diketahui di soal.

1. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-akarnya
Misalnya, diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah x1 dan x2.

Untuk mendapatkan persamaan kuadratnya, kamu bisa substitusi akar-akar
tersebut ke persamaan berikut:

Kenapa sih harus disubstitusi ke persamaan itu? Kamu masih ingat
nggak, kalau ingin mendapatkan akar-akar dari suatu persamaan kuadrat,
salah satu caranya adalah dengan memfaktorkan persamaan kuadrat tersebut.
Nah, bentuk persamaan (x - x1)(x - x2) = 0 adalah hasil dari pemfaktoran
persamaan kuadrat. Kalau kita lakukan sedikit operasi aljabar, kita kali silang
persamaan itu, maka akan didapat suatu persamaan kuadrat.

Contoh soal

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 3 dan -7.

Penyelesaian:

Diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah 3 dan -7. Berarti, kamu bisa tulis x1 =
3 dan x2 = -7. Kemudian, kedua akar tersebut bisa kamu

10 | M O D U L P E R S A M A A N K U A D R A T

substitusikan ke persamaan (x - x1)(x - x2) = 0, sehingga penyelesaiannya menjadi
sebagai berikut:

(x - 3)(x - (-7)) = 0
(x - 3)(x + 7) = 0
x2 + 7x - 3x - 21 = 0
x2 + 4x - 21 = 0
Jadiii, persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -7 adalah
x2 + 4x - 21 = 0.

Ayo Mengingat

Gimana gengs, mudah bukan caranya? Cukup dengan mensubstitusi nilai
akar-akarnya dan sedikit melakukan operasi aljabar, kamu sudah bisa
mendapatkan persamaan kuadratnya.

2. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Jumlah dan Hasil Kali Akar-
akarnya

Misalkan, akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah x1 dan x2. Jika
yang diketahui pada soal adalah jumlah dan hasil kali akar-akarnya, maka
untuk mendapatkan persamaan kuadratnya, kamu bisa gunakan rumus berikut
ini:

11 | M O D U L P E R S A M A A N K U A D R A T

Nah, sebenarnya, bentuk persamaan x2 - (x1 + x2)x + (x1 . x2) = 0
merupakan hasil kali silang dari persamaan (x - x1)(x - x2) = 0, yang kita
gunakan untuk mencari persamaan kuadrat di metode sebelumnya.
Penjabarannya, bisa kamu lihat pada gambar di bawah ini, nih.

Terus, kenapa sih bisa dapat x1 + x2= -b/a dan x1 . x2 = c/a? Berawal
dari persamaan x2 - (x1 + x2)x + (x1 . x2) = 0, kemudian masing-masing ruas
dikalikan dengan konstanta a, sehingga persamaan tersebut menjadi sebagai
berikut:
ax2 - a(x1 + x2)x + a(x1 . x2) = 0

Setelah itu, disamain deh dengan bentuk umum persamaan kuadrat,
sehingga diperoleh:

12 | M O D U L P E R S A M A A N K U A D R A T

Dari penjabaran itu lah rumus hasil jumlah dan kali akar-akar
persamaan kuadrat berasal. Gimana, sudah paham ya dengan konsep
rumusnya? Oke, sekarang, kita perhatikan contoh soal dibawah ini, ya!

Contoh soal
Tentukan persaman kuadrat yang akar-akarnya adalah α dan β, serta

jumlah dan hasil kali akar-akarnya adalah -1 dan -20.

Penyelesaian:

Diketahui akar-akarnya adalah x1 dan x2. Kemudian, hasil jumlah akar-
akarnya adalah -1, berarti x1 + x2 = -1. Lalu, hasil kali akar-akarnya adalah -20,
berarti x1 . x2 = - 20. Nah, kamu bisa langsung substitusi hasil jumlah dan kali
akar-akar yang sudah diketahui ke persamaan:

x2 - (x1 + x2)x + (x1 . x2) = 0

Sehingga persamaannya menjadi seperti berikut:

x2 - (-1)x + (-20) = 0

x2 + x - 20 = 0

Jadi, diperoleh persamaan kuadratnya adalah x2 + x -20 = 0.

Ayo Berlatih

1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 kali akar-akar
persamaan persamaan kuadrat 2x2 + 5x - 3 = 0
Jawab :..........................................................................................

2. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat x2 + qx + r = 0 adalah x1 dan
x2, dimana x1 < x2. Tentukan persamaan kuadrat dengan akar x1 + 2
dan x2 – 2
Jawab :..........................................................................................

13 | M O D U L P E R S A M A A N K U A D R A T

Ayo Mencoba

Downloadlah aplikasi Assemblr di play store atau App store kemudian
scan lah barcode dibawah ini menggunakan aplikasi tersebut. Simak
materi yang ada dengan baik-baik.

14 | M O D U L P E R S A M A A N K U A D R A T

Uji Kompetensi

1. Perhatikan persamaan-persamaanberikut!
(i) 2x2 – 5=0
(ii) 2x2 + 3x3=0
(iii) 3x + 6=0
(iv) 3x2 + 5x + 9=0

Yang merupakan persamaan kuadratadalah…
a. (i) dan (ii)
b. (i) dan (iii)
c. (ii) dan (iv)
d. (i) dan (iv)
2. Persamaan 2x (x + 5)=3x – 4 jika diubah ke bentuk umum persamaan kuadrat
adalah…
a. 2x2 – 7x + 4=0
b. 2x2 + 7x + 4=0
c. – x2 + 7x + 4=0
d. x2 – 7x + 4=0
3. Faktor dari 3x2 – 6x=0 adalah…
a. 3x(x – 3)=0
b. 3x(x – 2) =0
c. 3(x2 – 2)
d. 3(x2 – 2x)
4. Salah satu faktor dari x2– 7x + 12 adalah…
a. x – 2
b. x – 3
c. x + 3
d. x + 4
5. Nilai diskriminan dari persamaankuadrat 2x2 – 3x – 5 =0adalah….
a. – 31
b. 20
c. 29
d. 49

15 | M O D U L P E R S A M A A N K U A D R A T

6. Agar persamaan kuadrat 4x2– 12 x + p=0 memiliki akar kembar, maka nilai
p=…
a. – 9
b. – 3
c. 3
d. 9

7. Jika salah satu akar daripersamaan kuadrat x2 + 3 x + c=0 adalah 2, maka
nilai c yangmemenuhi adalah…
a. – 10
b. – 5
c. 5
d. 10

8. Jika salah satu akar daripersamaan kuadrat x2 + bx – 24=0 adalah – 3, maka
nilai akar yanglain adalah….
b. – 8
b. – 5
c. 8
d. 10

9. Bentuk kuadrat sempurna dari x2-6x + 8=0 adalah….
a. (x – 3)2= - 17
b. (x – 3)2=- 8
c. (x – 3)2 =1
d. (x – 3)2 =8

10. Akar – akar persamaan kuadrat x2– 11x + 30=0 adalah….
a. real dan berbeda
b. real dan sama
c. tidak real
d. tidak dapat ditentukan

16 | M O D U L P E R S A M A A N K U A D R A T

Kunci Jawaban

1. Pembahasan:
Persamaan kuadrat adalah persamaanyang sukunya memiliki pangkat
tertinggi 2.
(i) dan (iv)

2. Pembahasan:
2x (x + 5)=3x – 4
2x2 + 10x=3x – 4
2x2 + 10x – 3x + 4=0
2x2 + 7x + 4=0

3. Pembahasan:
3x2 – 6x =0 kedua suku bisa dibagi 3x
3x (x – 2)=0

4. Pembahasan:
x2 – 7x + 12=0
a + b=-7 dan axb=12
a=-3 dan b=-4
(x – 3) (x – 4)

5. Pembahasan:
2x2 – 3x –5 =0
a=2, b=-3, c=-5
D=b2 – 4.a.c
=(-3)2 – 4(2)(-5)
=9 + 40
=49

6. Pembahasan :
4x2 –12 x + p=0
a=4, b=-12, c=p
akar kembar maka D=0
b2– 4.a.c =0
(-12)2– 4(4)p=0
144 –16p =0

17 | M O D U L P E R S A M A A N K U A D R A T

- 16 p = - 144

p =- 144 : - 16

p =9

7. Pembahasan:

substitusi nilai 2 ke persamaan x2 +3 x + c=0

22 + 3(2) + c=0
4 + 6 + c=0
10 + c=0

c=-10
8. Pembahasan:

substitusi nilai -3 ke persamaan x2 +bx – 24=0

-32 + b(-3) - 24=0
9 – 3b – 24 =0

- 3b =24 – 9
- 3b =15

b =15 : -3
b =- 5

Persamaannya menjadi x2 –5x – 24=0
(x + 3) (x – 8 )=0

x – 8 =0

x =8

9. Pembahasan:

x2 -6x + 8 =0

x2 -6x = -8

x2 -6x + (-3)2= - 8 + (-3)2

(x – 3)2 =-8 + 9

(x – 3)2 =1

18 | M O D U L P E R S A M A A N K U A D R A T

10. Pembahasan:
x2 – 11x + 30=0
a=1, b=- 11 dan c=30
D= b2 – 4.a.c
=(-11)2 –4(1)(30)
=121 – 120
=1
karena D > 0, maka akar-akarnyareal dan berbeda

19 | M O D U L P E R S A M A A N K U A D R A T

Daftar Pustaka

Sartono Wirodikromo. 2004. MATEMATIKA untuk SMA Kelas X semester 1,
Kurikulum 2004 Berbasis Kompetensi, Penerbit Erlangga.
Sumardyono dkk. 2016. Modul Pelatihan Matematika SMA. PPPPTK: Yogyakarta.
Suyanto. 2015. Modul Persamaan Fungsi Kuadrat-1. PPPPTK: Surabaya.
Suyanto. 2015. Modul Persamaan Fungsi Kuadrat-2. PPPPTK: Surabaya.

20 | M O D U L P E R S A M A A N K U A D R A T