อัตราส่วนตรีโกณมิติ

ตรีโกณมติ ิ

ความเป็นมา

เม่อื 640-546 ปี กอ่ นครสิ ตศ์ กั ราช ทาเรส
(thales)คาํ นวณหาความสงู ของพีรามดิ ในประเทศอยี ิปตโ์ ดย
อาศยั เงา วิธีหนง่ึ ท่ที าเรสใชค้ ือ คาํ นวณความสงู ของพรี ามิดจาก
ความยาวของเงาของพีรามิด ในขณะท่เี งาของเขามคี วามยาว
เท่ากบั ความสงู ของเขาเอง อกี วธิ ีหน่งึ ท่ที าเรสใชค้ าํ นวณ ความสงู
ของพรี ามดิ คือ การเปรยี บเทยี บความยาวของเงาของพรี ามิดกบั
ความยาวของเงาของไม(้ ไมท้ ่ที ราบความยาว ถา้ สมยั นีก้ ค็ อื ไม้
เมตรน่นั เอง) โดยอาศยั รูปสามเหลย่ี มคลา้ ย ซง่ึ กค็ อื อตั ราสว่ น

ตรโี กณมติ ิ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

จากรูป ABC เป็ นรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก โดยมี AĈB
= 90 องศา ถา้ เราพจิ ารณาทมี่ ุม A

1.ด้าน AB เรียกวา่ ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก
2.ด้าน BC เรียกวา่ ด้านตรงข้ามมุม A
3.ด้าน AC เรียกวา่ ด้านประชดิ มุม A

อตั ราส่วนตรโี กณมิตขิ องมุม A

ตารางคา่ ของฟังกช์ ันตรีโกณมติ ขิ องมุมทค่ี วรทราบ

อตั ราส่วนตรีโกณมิตขิ องรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก

ตรโี กณมิติ (Trigonometry) มาจากรากศพั ทภ์ าษากรกี 2 คาํ
คอื trigonon หมายถึง มมุ 3 มมุ และ metro หมายถงึ การวดั
ในภาษาไทย ตรโี กณมติ มิ าจากค าวา่ ตร(ี แปลวา่ สาม)
โกณ (แปลวา่ มมุ หรอื เหล่ยี ม) มติ ิ (แปลวา่ การวดั ) ดงั นนั้
ตรโี กณมติ ิ หรอื Trigonometry จงึ หมายถงึ การวดั และหา
ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งดา้ น มมุ และพนื้ ท่ีของรูปสามเหล่ยี ม
อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ (Trigonometric Ratio) หมายถึง
อตั ราสว่ นของความยาวดา้ น ทงั้ สามของรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก

จากรูป ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก มี ACB เป็นมมุ ฉาก ถา้
พจิ ารณามมุ A จะไดว้ า่
1. ดา้ น AB เรยี ก ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ยาว c หนว่ ย
2. ดา้ น BC เรยี ก ดา้ นตรงขา้ มมมุ A ยาว a หน่วย
3. ดา้ น AC เรยี ก ดา้ นประชิดมมุ A ยาว b หน่วย



ความหมายอตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ
อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ

อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ (Trigonometric Ratio) หมายถึง
อตั ราสว่ นของดา้ นของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก การเรยี นในเรอ่ื งนี้
ผเู้ รยี นจาํ เป็นตอ้ ง ใชค้ วามรูเ้ ดมิ เรอ่ื งสามเหล่ยี มคลา้ ยเพ่ือเป็น
พืน้ ฐานในการทาํ ความเขา้ ใจ การเรยี นวิชาตรโี กณมิตใิ หไ้ ดด้ นี นั้
ตอ้ งจาํ นิยามของตรโี กณมิตใิ หไ้ ด้ ระดบั มธั ยมตน้ ใชน้ ิยาม
สามเหล่ยี มมมุ ฉาก ซง่ึ อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ ก็คอื อตั ราสว่ นของ
ความยาวดา้ นสองดา้ นของสามเหล่ยี มมมุ ฉากซง่ึ จะมีช่ือเรยี ก
ดงั นี้

“Sine A” ไซนข์ องมมุ A หรอื เขียนยอ่ วา่ sin A หาไดจ้ าก
อตั ราสว่ นของความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ A ตอ่ ความยาวดา้ นตรง
ขา้ มมมุ ฉาก

“Cos A” โคไซนข์ องมมุ A หรอื เขียนยอ่ วา่ cos A หาไดจ้ าก
อตั ราสว่ นของความยาวดา้ นประชิดมมุ A ตอ่ ความยาวดา้ นตรง
ขา้ มมมุ ฉาก

“Tangent A” แทนเจนตข์ องมมุ A หรอื เขียนยอ่ วา่ tan A
หาไดจ้ ากอตั ราสว่ นของความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ A ตอ่ ความ
ยาวดา้ นประชดิ มมุ A

สว่ นฟังกช์ นั cosec, sec และ cot นนั้ ก็ใชน้ ยิ ามเขา้ ช่วย ซง่ึ
เป็นสว่ นกลบั ของ sin, cos และ tan ตามลาํ ดบั จงึ ตอ้ งจาํ
ฟังกช์ นั sin, cos, tan กจ็ ะไดใ้ นสว่ นของ cosec, sec
และ cot ขนึ้ มาเองโดยอตั โนมตั ิ

“Cotangent A” โคแทนเจนตข์ องมมุ A หรอื เขียนยอ่ วา่
cot A หาไดจ้ ากอตั ราสว่ นของความยาวดา้ นดา้ นประชิดมมุ A
ตอ่ ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ A

“Secant A” ซแี คนตข์ องมมุ A หรอื เขียนย่อวา่ sec A หา
ไดจ้ ากอตั ราสว่ นของความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ตอ่ ความ
ยาวดา้ นประชดิ มมุ A

“Cosecant A” โคซแี คนตข์ องมมุ A หรอื เขียนยอ่ วา่
cosec A หาไดจ้ ากอตั ราสว่ นของความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ
ฉาก ตอ่ ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ A

นิยามจากรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก

ความสมั พนั ธข์ องฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ

รูปสามเหล่ียมมมุ ฉากจะมีมมุ หน่งึ มีขนาด 90° (π/2 เรเดยี น)
ในท่นี ีค้ อื C สว่ นมมุ A กบั B นนั้ เปล่ยี นแปลงได้ ฟังกช์ นั
ตรโี กณมติ กิ าํ หนดความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งความยาวดา้ นและมมุ
ภายในรูปสาม เหล่ยี มมมุ ฉากในการนยิ ามฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ
สาํ หรบั มมุ A เราจะกาํ หนดใหม้ มุ ใดมมุ หน่งึ ในรูปสามเหล่ยี มมมุ
ฉากเป็นมมุ A เรยี กช่อื ดา้ นแตล่ ะดา้ นของรูปสามเหล่ียมตามนี้

• ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก (hypotenuse) คอื ดา้ นท่อี ยตู่ รง
ขา้ มมมุ ฉาก หรอื เป็นดา้ นท่ยี าวท่สี ดุ ของรูปสามเหล่ยี มมมุ
ฉาก ในท่ีนีค้ อื h

• ดา้ นตรงขา้ ม (opposite side) คือดา้ นท่อี ยตู่ รงขา้ ม
มมุ ท่เี ราสนใจ ในท่ีนีค้ อื a

• ดา้ นประชดิ (adjacent side) คอื ดา้ นท่อี ย่ตู ดิ กบั มมุ ท่ี
เราสนใจและมมุ ฉาก ในท่ีนีค้ อื b

จะได้

1). ไซน์ ของมมุ คือ อตั ราสว่ นของความยาวดา้ นตรงขา้ ม ตอ่
ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ในท่นี ีค้ ือ

sin(A) = ขา้ ม/ฉาก = a/h

2). โคไซน์ ของมมุ คือ อตั ราสว่ นของความยาวดา้ นประชิด ตอ่
ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ในท่นี ีค้ อื
cos(A) = ชดิ /ฉาก = b/h

3). แทนเจนต์ ของมมุ คือ อตั ราสว่ นของความยาวดา้ นตรงขา้ ม
ตอ่ ความยาวดา้ นประชดิ ในท่นี ีค้ ือ
tan(A) = ขา้ ม/ชดิ = a/b

4). โคซแี คนต์ csc(A) คอื ฟังกช์ นั ผกผนั การคณู ของ sin(A)
น่นั คือ อตั ราสว่ นของความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ตอ่ ความยาว
ดา้ นตรงขา้ ม
csc(A) = ฉาก/ขา้ ม = h/a

5). ซแี คนต์ sec(A) คอื ฟังกช์ นั ผกผนั การคณู ของ cos(A)
น่นั คอื อตั ราสว่ นของความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ตอ่ ความยาว
ดา้ นประชิด
sec(A) = ฉาก/ชิด = h/b

6). โคแทนเจนต์ cot(A) คอื ฟังกช์ นั ผกผนั การคณู ของ
tan(A) น่นั คือ อตั ราสว่ นของความยาวดา้ นประชดิ ตอ่ ความ
ยาวดา้ นตรงขา้ ม
cot(A) = ชิด/ขา้ ม = b/a

วิธีจาํ
วิธีจาํ อยา่ งง่าย ๆ คือจาํ วา่ ขา้ มฉาก ชดิ ฉาก ขา้ มชดิ ซง่ึ

หมายความวา่
• ขา้ มฉาก … sin = ดา้ นตรงขา้ ม/ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก
• ชิดฉาก … cos = ดา้ นประชดิ /ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก
• ขา้ มชิด … tan = ดา้ นตรงขา้ ม/ดา้ นประชดิ