Hand Out
Gradien
PERSAMAAN GARIS LURUS
Kompetensi Dasar
3.4Menganalisis fungsi linier (sebagai persamaan garis lurus) dan menginterpretasikan
grafiknya yang dihubungkan dengan masalah kontekstual.
4.4Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan fungsi linear sebagai
persamaan garis lurus.
Indikator Pencapaian Kompetensi
3.4.2 Mengidentifikasi gradien/kemiringan dari suatu garis lurus.
3.4.3 Menentukan gradien dari suatu persamaan garis lurus..
4.4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perhitungan gradien dari
persamaan garis lurus.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mengikuti pembelajaran dengan model Problem Based Learning dengan
berbantuan Geogebra, peserta didik dapat:
• Mengidentifikasi gradien/kemiringan dari suatu garis lurus dengan benar.
• Menentukan gradien dari suatu persamaan garis lurus dengan tepat.
• Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perhitungan gradien dari persamaan
garis lurus dengan benar.
Uraian Materi
A. Persamaan Garis Lurus
Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan kedalam bidang
koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Bentuk umum dari persamaan garis
lurus adalah sebagai berikut.
Bentuk Implisit
ax + by + c = 0 atau ax + by = c
Bentuk Eksplisit
y = mx + c
dengan m = gradient dan c = konstanta
Contoh persamaan garis lurus yaitu :
1) y = 3x
2) y = 2x – 5
3) 2x + 3y = 6
4) x + 2y – 3 = 0
B. Menggambar Grafik Persamaan Garis Lurus pada Bidang Koordinat Cartesius
Melalui dua buah titik dapat ditarik tepat sebuah garis lurus. Dengan demikian, untuk
menggambar grafik garis lurus pada bidang Cartesius dapat dilakukan dengan syarat minimal
terdapat dua titik yang memenuhi garis tersebut, kemudian menarik garis lurus yang melalui
kedua titik itu.
Contoh :
Gambarlah grafik persamaan garis lurus 2x + 3y = 6 pada bidang Cartesius, dengan x, y variabel
pada himpunan bilangan real.
Penyelesaian:
Langkah-langkah menggambar grafik persamaan garis lurus y = mx + c, c ≠ 0 sebagai berikut.
– Tentukan dua pasangan titik yang memenuhi persamaan garis tersebut dengan membuat
tabel untuk mencari koordinatnya.
– Gambar dua titik tersebut pada bidang Cartesius.
– Hubungkan dua titik tersebut, sehingga membentuk garis lurus yang merupakan grafik
persamaan yang dicari.
x 0 3
y 2 0
(x, y) (0, 2) (0, 3)
untuk x = 0 maka 2 × 0 + 3y = 6
0 + 3y = 6
3y = 6
y=6
3
y = 2 → (x, y) = (0, 2).
untuk y = 0 maka 2x + 3 × 0 = 6
2x + 0 = 6
2x = 6
x=6
2
x = 3 → (x, y) = (3, 0).
Gambar grafik pada bidang Cartesius
C. Gradien
Pernahkah kalian melewati jalan yang naik dan turun seperti halnya jalan-jalan di daerah
pegunungan? Tahukah kalian bahwa dalam pembuatan jalan yang menanjak dan berkelok-kelok
diperlukan perhitungan tertentu agar kendaraan mudah melewatinya. Salah satu perhitungan
matematika yang harus diperhatikan dalam pembangunan jalan seperti itu adalah
kemiringannya.
Kemiringan ini dalam matematika dikenal dengan sebutan gradien. Jadi, gradien suatu
garis adalah ukuran kemiringan atau kecondongan suatu garis. Gradien adalah nilai tetap atau
konstanta dari perbandingan ordinat dan absis. Gradien suatu garis adalah bilangan yang
menyatakan kecondongan suatu garis yang merupakan perbandingan antara komponen y dan
komponen x.
Gradien ialah perbandingan antara jarak tegak terhadap jarak mendatar. Selain itu gradien
juga disebut sebagai koefisien arah pada suatu garis lurus dan dilambangkan dengan huruf m.
Gradien suatu garis dapat ditentukan melalui hubungan berikut.
Gradien suatu garis memiliki ciri-ciri sebagai berikut.
1. Garis yang memiliki kemiringan ke kanan atas atau ke kiri bawah gradiennya bernilai
positif.
2. Garis yang memiliki kemiringan ke kiri atas atau ke kanan bawah gradiennya bernilai
negatif.
3. Garis datar yang tidak memiliki kemiringan, gradiennya nol atau tak terdefinisikan.
D. Perhitungan Gradien
Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan garis. Hal ini bergantung
pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis yang diberikan. Berikut ini akan
diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan titik koordinat atau bentuk persamaan garis.
a. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx
Gradien suatu garis dapat ditentukan melalui perbandingan antara ordinat dan absis
sehingga dapat ditulis sebagai berikut.
atau
Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama dengan besar
nilai m yang terletak di depan variabel x, dengan syarat, persamaan garis tersebut diubah
terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx.
Contoh :
Persamaan garis y = 3x memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi, nilai m = 3.
b. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c
Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien
pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai di depan variabel x.
Contoh :
Persamaan garis y = 4x + 6 sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi, nilai m = 4.
c. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax + by + c = 0
Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat ditentukan
dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut kedalam bentuk y = mx + c.
Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai m di depan variabel x.
Gradien garis dengan persamaan ax + by = c adalah .
Contoh :
Dari persamaan garis 2x + 3y = 6 diketahui bahwa nilai a = 2 dan b = 3, maka gradiennya
adalah .
d. Menghitung Gradien pada Garis yang Melalui Dua Titik dan
Rumus umum untuk mencari gradien pada garis yang melalui dua titik
adalah sebagai berikut:
Contoh :
Gradien garis yang melalui titik A( 2, 3) dan B( 1, – 5 ) adalah
E. Sifat-Sifat Gradien
Ada beberapa sifat gradien yang perlu kamu ketahui, di antaranya adalah gradien garis yang
sejajar dengan sumbu-x, gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y, gradien dua garis yang
sejajar, dan gradien dua garis yang saling tegak lurus. Berikut ini akan diuraikan sifat-sifat
gradien tersebut.
a. Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-x
Jika garis sejajar dengan sumbu- x maka nilai gradiennya adalah nol.
Contoh :
Garis yang sejajar sumbu x adalah y = 5, maka gradien dari garis tersebut adalah nol.
b. Gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y
Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka garis tersebut tidak memiliki gradien. Gradien garis
yang sejajar sumbu y tidak didefinisikan.
Contoh :
Garis yang sejajar dengan sumbu y adalah x = 5, karena variabel y tidak ada maka
gradiennya tidak dapat didefinisikan.
c. Gradien Dua Garis yang Sejajar
Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Jika garis sejajar
dengan maka gradien kedua garis tersebut sama, atau .
Contoh :
1. Dua garis berikut y = 2x – 5 dan y = 2x + 7 sejajar karena gradien dari kedua garis
tersebut sama yaitu dan maka .
2. Persamaan garis 4x +py – 5 = 0 sejajar dengan garis 2x +y – 4 = 0 maka nilai p dapat
ditentukan dengan cara :
Karena kedua garis tersebut sejajar maka
3. Garis k dan l merupakan dua garis yang sejajar.
Perhatikan uraian berikut.
Garis k melalui titik A(–2, 0) dan B(0, 2).
Untuk titik A(–2, 0) maka x1 = –2, y1 = 0.
Untuk titik B(0, 2) maka x2 = 0, y2 = 2.
Garis l melalui titik C(0, –1) dan D(1, 0).
Untuk titik C(0, –1) maka x1 = 0, y1 = –1.
Untuk titik D(1, 0) maka x2 = 1, y2 = 0.
Dari uraian tersebut terlihat bahwa garis k dan l memiliki gradien yang sama.
d. Gradien Dua Garis yang Tegak Lurus
Hasil kali antara dua gradien dari garis yang saling tegak lurus adalah –1. Jika garis
sejajar dengan maka hasil kali gradien kedua garis tersebut
adalah –1, atau atau .
Contoh : dan adalah dua garis yang tegak lurus. Karena hasil
1. Garis
kali gradien kedua garis tersebut adalah – 5. Dengan dan .
2. Garis k dan l adalah garis yang tegak lurus. Jika persamaan garis k adalah
maka gradien garis l dapat ditentukan dengan cara :
3. Pada gambar berikut terlihat garis k tegak lurus dengan garis l.
Gradien kedua garis tersebut dapat dihitung dengan cara sebagai berikut.
Garis k melalui titik C(3, 0) dan D(0, 3).
Untuk titik C(3, 0) maka x1 = 3, y1 = 0.
Untuk titik D(0, 3) maka x2 = 0, y2 = 3.
Garis l melalui titik A(–1, 0) dan B(0, 1).
Untuk titik A(–1, 0) maka x1 = –1, y1 = 0.
Untuk titik B(0, 1) maka x2 = 0, y2 = 1.
Hasil kali kedua gradien tersebut adalah
mAB × mCD = 1 × –1 = –1
Uraian tersebut memperjelas bahwa hasil kali antara dua gradien dari garis yang
saling tegak lurus adalah –1.
DAFTAR PUSTAKA
Nuharini, Dewi dan Tri Wahyuni, 2008, Matematika 1: Konsep dan Aplikasinya: untuk Kelas VI
SMP/MTs I, Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.
Wagiyo, F Surati, Irene Supradiarini, 2008, Pegangan belajar matematika 1 : untuk SMP/MTs
kelas VII/ A, Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.
Nugroho, Heru dan Lisda Meisaroh, 2009, Matematika 2 : SMP dan MTs Kelas VIII, Jakarta : Pusat
Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.
Agus , Nuniek Avianti, 2007, Mudah Belajar Matematika 2: Untuk Kelas VIII Sekolah Menengah
Pertama/Madrasah Tsanawiyah, Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan
Nasional.
Dris, J. dan Tasari, 2011, Matematika Jilid 2 untuk SMP dan MTs Kelas VIII, Jakarta : Pusat
Kurikulum dan Perbukuan, Kementerian Pendidikan Nasional.