modul dimensi 3

MATEMATIKA

DIMENSI TIGA

modul kelas xii
RIA SETYAWATI, S.PD.
NUK TOHUL HUDA, S.PD.T., M.PD

MA SUNAN PANDANARAN

Modul E Learning Matematika MASPA

DIMENSI TIGA

PETA KONSEP

DIMENSI TIGA SMA/MA

Modul E Learning Matematika MASPA

KOMPETENSI DASAR
3.1 Mendeskripsikan jarak dalam ruang (antar titik, titik ke garis, dan titik ke bidang)
4.1 Menentukan jarak dalam ruang (antar titik, titik ke garis, dan titik ke bidang)

TUJUAN PEMBELAJARAN
 Siswa dapat mengidentifikasi tempat kedudukan titik, garis, dan bidang
dalam ruang dimensi tiga
 Siswa dapat mengidentifikasi dan menentukan jarak titik ke titik
 Siswa dapat mengidentifikasi dan menentukan jarak titik ke garis
 Siswa dapat mengidentifikasi dan menentukan jarak titik ke bidang

PERTEMUAN 1

MATERI

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

Pengertian:

 Titik : Titik merupakan sesuatu yang tidak memiliki ukuran (tak berdimensi) dan hanya ditentukan

oleh letaknya saja. Titik disimbolkan dengan noktah (•) dan biasanya di beri nama dengan huruf

besar (kapital), misal A, B, C, D, dan sebagainya.

••

AB

Titik A Titik B

 Garis : garis adalah kumpulan atau himpunan titik-titik yang membentuk kurva lurus. Garis

merupakan kurva lurus yang panjangnya takterbatas, garis juga biasanya di beri nama dengan

huruf kecil, misal a, b, c dan seterusnya. Bagian garis yang disebut dengan segmen garis/ruas

garis diberi nama sesuai dengan titik-titik yang ada pada ujung garis tersebut.

g

PQ

 Bidang : Bidang Garis g bangGuanrisbPeQrdimensi dua karena memiliki dimensi (ukuran), yaitu dimensi

disebut

panjang dan lebar, dan tidak mempunyai ketebalan.

D

αC

Bidang α ABidang ABCDB

1. Kedudukan Titik terhadap Garis

a. titik P terletak pada garis

 k

P Titik P terletak pada garis k

b. titik P terletak di luar garis

P k

Titik P terletak di luar garis k

2. Kedudukan Titik terhadap Bidang
a. titik terletak pada bidang
b. titik terletak di luar bidang

DIMENSI TIGA SMA/MA

Modul E Learning Matematika MASPA

3. Kedudukan Garis terhadap Garis Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua
a. Sejajar garis tesebut terletak pada sebuah bidang dan
tidak mempunyai satupun titik persekutuan.
h

g

α

b. Berpotongan

A g Dua buah garis g dan h dikatakan
berpotongan di A, jika ke dua garis tersebut
α h terletak pada satu bidang dan mempunyai
satu titik persekutuan.
c. Berimpit
Dua buah garis g dan h dikatakan berimpit,
g=h jika kedua garis tersebut terletak pada satu
bidang dan mempunyai lebih dari satu titik
α persekutuan

d. Bersilangan Dua buah garis g dan h dikatakan
bersilangan, jika ke dua garis tersebut tidak
A• h terletak pada satu bidang dan garis g
menembus bidang di titik A dimana A tidak
α terletak pada garis h.
(tidak sejajar dan tidak berpotongan)
g

4. Kedudukan Garis terhadap Bidang
a. Garis terletak pada bidang

B• A• g Garis g dikatakan terletak pada bidang V,
jika antara garis g dan bidang V tersebut
V terdapat sekurang-kurangnya dua titik
persekutuan

b. Garis sejajar bidang

g Garis g dikatakan sejajar dengan bidang V,
jika antara garis g dan bidang V tersebut
tidak terdapat satupun titik persekutuan.

V

c. Garis memotong/menembus bidang

• Garis g dikatakan memotong bidang V, jika
V antara garis g dan bidang V tersebut terdapat
sebuah titik persekutuan (titik
persekutuannya di sebut titik tembus/titik
potong)

DIMENSI TIGA SMA/MA

Modul E Learning Matematika MASPA

5. Kedudukan Bidang terhadap Bidang
a. Sejajar
Dua bidang V dan W di katakan sejajar jika
ke dua bidang tersebut tidak mempunyai
satupun titik persekutuan.

V

W Dua bidang V dan W dikatakan berpotongan
apabila kedua bidang tersebut mempunyai
b. Berpotongan tepat satu garis persekutuan (garis potong)

W

V

c. Berimpit Dua bidang V dan W di katakan berimpit
jika setiap titik yang terletak pada bidang V
VW juga terletak pada bidang W

CONTOH  Titik P terletak pada garis PQ dan PT
1. Pada kubus PQRS.TUVW  Titik Q terletak di luar garis RV
 Titik T terletak pada bidang PSWT
WV  Titik W terletak di luar bidang QRVU
TU

SR

PQ  Garis AB sejajar dengan HG
 Garis FG berpotongan dengan EF
2. Pada balok ABCD.EFGH  Garis AD dan EF bersilangan

HG

EF

DC

AB

3. Pada prisma tegak segitiga KLM.NOP

P

NO  Bidang KLM sejajar dengan bidang NOP
 Bidang KLON berpotongan dengan bidang NOP

M
KL

LATIHAN SOAL 1
Pililhlah jawaban yang paling benar!
1. Soal UN IPS 2018

Berikut ini adalah pernyataan-pernyataan tentang kubus ABCD.EFGH dengan P, Q, dan R berturut-
turut titik-titik tengah rusuk AE, CG, dan DH.

(1) Ruas garis QE dan RF berpotongan.

DIMENSI TIGA SMA/MA

Modul E Learning Matematika MASPA

(2) Ruas garis QB dan PB tegak lurus.
(3) Ruas garis QB dan HP tidak sejajar.
(4) Segitiga PDQ samakaki.

Pernyataan yang benar adalah …

A. (1) dan (2) D. (2) dan (4)

B. (1) dan (4) E. (3) dan (4)

C. (2) dan (3)

2. Soal Ujian Nasional tahun 2006

Dari kubus ABCD.EFGH diketahui :

I. CE tegak lurus AH

II. Bidang AFH tegak lurus bidang CFH

III. FC dan BG bersilangan

IV. Bidang AFH dan EBG berpotongan

Pernyataan yang benar adalah ….

A. I, II dan III D. II dan IV

B. I, III dan IV E. I dan IV

C. II dan III

3. Perhatikan pernyataan berikut, yang terkait dengan kubus ABCD.EFGH

(i) BE sejajar dengan bidang DCGH
(ii) BG terletak pada bidang ABGH
(iii) DH tegak lurus bidang ABCD

Pernyataan yang benar adalah …

A. (i) D. (i) dan (iii)

B. (ii) E. (i), (ii), dan (iii)

C. (iii)

4. Soal UN IPS 2016

Diketahui kubus ABCD.EFGH, garis yang memotong/menembus bidang CDEF adalah …

A. AB D. GH

B. CD E. DH

C. EF

DIMENSI TIGA SMA/MA

Modul E Learning Matematika MASPA

 PERTEMUAN 2
MATERI

B. Jarak Titik ke Titik Jarak titik A ke titik B sama dengan panjang ruas garis AB yang
ditentukan dengan teorema Pythagoras, yaitu:
B
y AB = x 2  y 2
Ax

Contoh:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak antara:
a.Titik A ke H
b.Titik A ke P (P adalah perpotongan diagonal ruang)
Penyelesaian:

H G a. Jarak titik A ke H = AH
AH  AD2  DH 2

 100 100
E F  200  10 2cm

DP b. Jarak titik A ke P = AP
R
AP  1 AG
A 10 B
C2

 1 10 3
2

 5 3cm

LATIHAN SOAL 2
Pililhlah jawaban yang paling benar!
1. Soal UN IPA 2018

Kamar suatu ruangan mempunyai ukuran 5 m x 3 m x 4 m. Di tengah pertemuan dua dinding
dipasang lampu. Jarak terjauh antara lampu dan pojok ruangan adalah …

A. 2m D. 38m

B. 5m E. 50m

C. 10m
2. Soal UN IPA 2018

Kamar Akbar berbentuk balok dengan ukuran panjang : lebar : tinggi = 5 : 5 : 4. Di langit-langit

kamar terdapat lampu yang letaknya tepat pada pusat bidang langit-langit. Pada salah satu

dinding kamar dipasang saklar yang letaknya tepat di tengah-tengah dinding. Jarak saklar ke

lampu adalah …

A. 3 m D. 1 41m B
y
2 2 x

B. 5 m E. 41m

2 A

C. 1 34m
2

DIMENSI TIGA SMA/MA

Modul E Learning Matematika MASPA

3. Soal UN IPA 2018

Kamar Andi berbentuk balok dengan panjang 4 m, lebar 3 m, dan tinggi 3 m. Andi memasang
lampu di tengah-tengah rusuk tegak salah satu pertemuan di dinding kamarnya. Jarak sinar lampu
terjauh di kamar Andi adalah …

A. 1 109m D. 1 109m

2 4

B. 1 106m E. 1 106m

2 4

C. 1 91m

2

4. Jika panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm dan titik P merupakan perpotongan diagonal
bidang atas, maka jarak antara titik A dan titik P adalah …

A. 2 3cm
B. 3 3cm
C. 3 6cm
D. 6 3cm

E. 6 6cm

DIMENSI TIGA SMA/MA

Modul E Learning Matematika MASPA

 PERTEMUAN 3
MATERI

C. Jarak Titik ke Garis Jarak antara titik dan garis merupakan panjang ruas
A garis yang ditarik dari suatu titik sampai memotong
garis tersebut secara tegak lurus.
B Jarak antara titik A dengan garis g adalah AB, karena
g AB tegak lurus dengan garis g.

Contoh:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak antara:
a. Titik A ke CE

b. Titik B ke EG

Penyelesaian:

E a. Jarak A ke CE = AK
K G Pada segitiga siku-siku CAE

LCAE  1  AC  AE  1 CE  AK
22

1 .10 2.10  2.10 3.AK
2
A C 1 .10 2.10

AK  2 1 .10 3

2

AK  10 2
3

AK  10 6
3

H G b. Jarak B dengan EG = jarak BT, T
T pertengahan EG.

EF BT  BF 2  TF 2

DC  2

 102  5 2

 100  50
 150  5 6

AB Rumus Cepat:
Jarak B dengan EG (yang sejenisnya) = r 6

2

DIMENSI TIGA SMA/MA

Modul E Learning Matematika MASPA

LATIHAN SOAL 3
Pililhlah jawaban yang paling benar!
1. UN th ’06

Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 12cm. Jarak titik G ke garis BD adalah . . . . . . .

A. 6 6 cm D. 4 2 cm

B. 3 6 cm E. 3 3 cm

C. 4 3 cm

2. Diketahui T. ABCD limas beraturan. Panjang rusuk alas 12 cm, dan panjang rusuk tegak 12 2
cm. Jarak A ke TC = . . . . . . cm
A. 6 D. 8

B. 6 2 E. 8 6

C. 6 6 panjang rusuk 4 cm. Jika titik P titik tengah EH, maka

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan
jarak titik P ke garis CF = . . . . . .cm

A. 20 D. 12

B. 18 E. 8

C. 14

4. Prisma segi empat beraturan ABCD.EFGH de-ngan rusuk 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Titik potong
diagonal AC dan BD adalah T, jarak titik D dan HT sama dengan . . . . . . cm

12 41 36 41
A. 41 D. 41

24 41 E. 2 41
B. 41

30 41
C. 41

5. Soal UN IPA 2016

Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan AB  BC  5 2cm dan TA 13cm. Jarak titik A
ke garis TC adalah …

A. 4 8 cm D. 10 cm

13

B. 412 cm E. 12 cm

13

C. 9 3 cm

13

6. Soal UN IPA 2017

Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk tegak dan panjang rusuk alas
4 cm. Jarak titik A ke garis TB adalah …

A. 2 2cm D. 4 2cm

B. 2 3cm E. 4 3cm

C. 4cm

7. Soal UN IPS 2018

Diketahui kubus KLMN.OPQR dengan rusuk 12 cm. Jika T titik tengah ruas garis PR, jarak dari titik
O ke garis KT adalah …

DIMENSI TIGA SMA/MA

Modul E Learning Matematika MASPA

A. 2 3cm
B. 4 3cm
C. 8 3cm
D. 12 3cm

E. 13 6cm
8. Soal UN IPS 2018

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jika P terletak di tengah diagonal sisi AC. Jarak

dari titik C ke garis GP adalah …

A. 4 3cm D. 3 2cm

B. 4 2cm E. 2 3cm

C. 3 3cm
9. Soal UN IPA 2014

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 9 cm. Jika T terletak pada pertengahan garis HF. Jarak

titik A ke garis CT adalah …

A. 5 3cm D. 6 6cm

B. 6 2cm E. 7 3cm

C. 6 3cm

10. Soal UN IPA 2013
Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD seperti pada gambar. Jarak titik A ke TC adalah …
A. 14cm
B. 28cm
C. 2 14cm
D. 3 14cm
E. 2 28cm

11. Soal UN IPA 2015

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Titik S adalah tengah-tengah BC. Jarak titik G
ke garis AS adalah …

A. 6 2cm D. 6 5cm

B. 6 3cm E. 12 30cm
5

C. 3 30cm
5

12. UN 2004

Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan AB = 6 2 cm dan AT = 10 cm. Apabila P
titik tengah CT, maka jarak titik P ke diagonal sisi BD adalah … cm

A. 5 D. 3 2
E. 2 3
B. 6
C. 7

DIMENSI TIGA SMA/MA

Modul E Learning Matematika MASPA

 PERTEMUAN 4
MATERI

D. Jarak Titik ke Bidang Jarak titik A dan bidang V adalah panjang ruas garis
AA’ dimana A’ pada bidang V dan AA’ ┴ bidang V
•A

A’
V

Contoh:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak antara :
a. Titik A ke bidang BCGF
b. Titik A ke bidang BDHF
c. Titik A ke bidang BDE

Penyelesaian:
a. Jarak titik A ke bidang BCGF = AB = 10 cm
b. Jarak titik A ke bidang BDHF = AR (R titik tengah garis BD)

AR = ½ AC = ½ 10 2 = 5 2 cm

c. JarakHtitik A ke bidang BDE G Garis AG berpotongan tegak lurus dengan garis
ER di titik T, sehingga jarak A ke bidang BDE
adalah AT.

ER  AR2  AE2

E F  50 100
 150  5 6cm

T LARE  1 AR  AE  1 RE  AT
D 22

C 1  5 2 10  1  5 6  AT
22

50 2  5 6  AT

R AT  10 3

3

AB

E Rumus Cepat:
T G Jarak A ke bidang BDE (yang sejenisnya) = r 3

3

Jarak G ke bidang BDE (yang sejenisnya) = 2 r 3

3

A C
R

DIMENSI TIGA SMA/MA

Modul E Learning Matematika MASPA

LATIHAN SOAL 4
Pililhlah jawaban yang paling benar!
1. Soal Ujian Nasional tahun 2004

Diketahui Bidang empat T.ABC dengan AT, AB dan AC saling tegak lurus di A. Jika panjang
AB=AC=AT= 5 cm, maka jarak titik A ke bidang TBC adalah … cm

a. 5 6 D. 5 6

4 3

b. 5 3 E. 5 2

3

c. 5 2

2

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk kubus 12 cm. Titik P terletak pada perpanjangan rusuk
DC sehingga CP : DP = 1 : 3. Jarak titik P dengan bidang BDHF adalah … cm.

A. 6 2 D. 16 2

B. 9 2 E. 18 2

C. 12 2

3. Soal UN IPA 2017

Diketahui kubus KLMN.OPQR dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik M ke bidang LNQ adalah

…

A. 2 2cm D. 3 3cm

B. 2 3cm E. 4 3cm

C. 3 2cm
4. EBTANAS 2002

Panjang rusuk kubus ABCD. EFGH adalah a. Jarak titik F ke bidang BEG sama dengan …

A. a 3 D. a 2

6 3

B. a 3 E. a 3

3 2

C. a 2

6

5. Soal UN 2012/A13

Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 4 cm. Jarak titik H ke bidang ACF adalah … cm.

A. 2 3 D. 8 3

3 3

B. 4 3 E. 13 3

3 3

C. 11 3

3

6. Soal UN 2012/B25

Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 6 cm. Jarak titik E ke bidang BDG adalah … cm.

A. 2 2 D. 4 2
B. 2 3 E. 4 3

C. 3 2

DIMENSI TIGA SMA/MA

Modul E Learning Matematika MASPA

7. Soal UN 2012/E52
Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 8 cm. Jarak titik E ke bidang BDG adalah … cm.

A. 1 3 D. 8 3

3 3

B. 2 E. 16 3
3
3 3

C. 4 3

3

8. Soal UN 2009 Paket A/B

Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan rusuk a cm. titik K pada perpanjangan DA sehingga

KA  1 KD . Jarak titik K ke bidang BDHF adalah … cm.

3

A. 1 a 2 D. 3 a 3

4 4

B. 3 E. 5 3
a2 a
4 4

C. 2 a 3

3

9. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 6 cm dan tinggi 4 cm.

Jika titik O titik tengah ABCD, maka jarak titik O ke bidang TBC adalah …

A. 1, 2cm

B. 1,8cm

C. 2, 4cm

D. 3, 0cm

E. 3, 6cm

10. Perhatikan gambar dibawah.

T

5cm

A 5cm
C

5 cm

B
AT, AB, dan AC saling tegak lurus di A. Jarak titik A ke bidang TBC = . . . . . cm

A. 5 6 D. 5 6
4 3

B. 5 3 E. 5 2
3

C. 5 2
2

DIMENSI TIGA SMA/MA