คณิตศาสตร์เพิมเติม

คณิตศาสาตร์เพิ่มเติม

"เรื่อง:การแยกตัวประกอบของพหุนาม"
"นำเสนอ"

คุณครูรจนา พุ่มจันทร์

"จัดทำโดย"

เด็กหญิงปุณดี แสนชัย
ชั้นมัธยมศึกษาปี่ ที่1/2 เลขที่31

สารบัญ

•ความหมายของการแยกตัวประกอบของพนุนาม หน้า1

•การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบะติการแจกแจง หน้า2

•การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสองและมีตัวแปร

เดียว หน้า3

•การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นผลต่างกำลังสอง
หน้า4

•การแยกตัวประประกอบที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
หน้า5

"การแยกตัวประกอบของพหุนาม"

การแยกตัวประกอบ คือ การเขียนพหุนาม
ในรูปการคูณของพหุนาม ซึ่งตัวประกอบ
แต่ละวงเล็บต้องมีดีกรีน้อยกว่าพหุนาม
เดิม โดยที่แต่ละวงเล็บที่ได้ไม่สามารถเขียน
ได้ไม่สามารถเขียนเป็ นรูปการคูณต่อไปได้
อีก

การแยกตัวประกอบโดยใช้
สมบัติการแจกแจง

ถ้า a , b และ c แทนจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว


a(b + c) = ab + ac หรือ (b + c)a = ba + ca


เราอาจเขียนสมบัติการแจกแจงข้างต้นใหม่เป็ นดังนี้


ab + ac = a(b + c) หรือ ba + ca = (b + c)a


ถ้า a , b และ c เป็นพหุนาม เราก็สามารถใช้สมบัติการแจกแจงข้างต้นได้
ด้วย และเรียก a ว่า


ตัวประกอบร่วมของ ab และ ac หรือตัวประกอบร่วมของ ba และ ca


พิจารณาวิธีการแยกตัวประกอบของ 15x2y – 18xy2 โดยใช้สมบัติการแจกแจงดังนี้


15x2y – 18xy2 = 3(5x2y – 6xy2) [3 เป็น ห.ร.ม. ของ 15 และ 18]
= 3x(5xy – 6y2) [x เป็นตัวประกอบร่วมของ 5x2y
และ 6xy2]


= 3xy(5x – 6y) [y เป็นตัวประกอบร่วมของ5xy
และ 6y2]


ดังนั้น 5x2y – 18xy2 = 3xy(5x – 6y)

ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 5xy + 6x2




วิธีทำ 5xy + 6x2 = (x)(5y) + (x)(6x)

= x(5y + 6x)




ข้อสังเกต x เป็นตัวประกอบร่วมของ 5xy และ

6x2 ดึง x ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสองและมี
ตัวแปรเดียวที่แต่ละพจน์มีสัมประสิทธิ์เป็ นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง ของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

3x2+ 4x + 5 , 2x2– 6x – 1 ,
x2– 9 , y2+ 3y – 7 , -y2+ 8y
พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุ
นามที่เขียนในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a , b , c
เป็นค่าคงตัวที่ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

ตัวแปรเดียว


ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a , b เป็น
จำนวนเต็ม และ c = 0



ในกรณีที่ c = 0 พหุนามดีกรีสอง

ตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป ax2+ bx สามารถใช้

สมบัติ
การแจกแจงแยกตัวประกอบได้
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ x2 + 2x


วิธีทำ x2 + 2x = (x)(x) + (2)
(x)


= x(x + 2)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็ นผล
ต่าง

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่เป็ นผล
ต่างกำลังสอง

ผลต่างกำลังสอง
การแยกตัวประกอบทางพีชคณิตอีก
อย่างหนึ่งเรียกว่า ผลต่างกำลังสอง มีสูตร

ดังนี้
a2 - b2 = (a + b)(a -
b)

การแยกต

ซึ่งเป็นจริงสำหรับทั้ง สองพจน์ ไม่ว่าั
วประกอบ
ของพห
ุ
นามด
ี
กรสี
องท
่
เ
ปี ็
น
ก
าล
ั
งสองสมบ
ู
รณ

จำนวนเหล่านั้นจะเป็ นกำลังสองสมบูรณ์
หรือไม่ ถ้าพจน์ทั้งสองลบกัน ก็ให้แทนด้วย

สูตรดังกล่าวได้ทันที แต่ถ้าพจน์
ทั้งสองบวกกัน ทวินามที่ได้จากการแยก

ตัวประกอบจะต้องมีจำนวนจินต

= (a + bi)(a - bi) a+b

ตัวอย่างเช่น 4x2 + 49 สามารถ
แยกได้เป็น (2x + 7i)(2x − 7i) เป็นต้น

ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ x2 – 121




วิธีทำ x2 – 121 = x2 – 112




ดังนั้น x2 – 121 = (x + 11)(x – 11)

การแยกตัวประกอบที่เป็ น

กำลังสองสมบูรณ์

นามดีกรีสองเมื่อทำการแยกตัวประกอบแล้วได้
ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งที่ซ้ำกัน เช่น x2

+ 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)2 เรียกพหุ
นามที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า กำลังสองสมบูรณ์
(Perfect Square)


พหุนามที่อยู่ในรูป กำลังสองสมบูรณ์ ถ้าให้ น
= พจน์หน้า, ล = พจน์หลัง จะเขียนในรูป
น2 + 2นล + ล2
น2 – 2นล + ล2
ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้

(หน้า)2 + 2หน้าหลัง + (หลัง)2 = (หน้า + หลัง)2
(หน้า)2 – 2หน้าหลัง + (หลัง)2 = (หน้า – หลัง)2



ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ a2 – 8a + 16
วิธีทำ a2 – 8a + 16 = a2 – (2)(a)(4) + 42

= (a – 4)2

จบการนำเสนอ
by ปุณดี เลขที่31