ทฤษฎีบทลิมิตของฟังก์ชัน

ใบความรู้ที่ 2.1 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต ทฤษฎีบท 1 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซต ของจำนวนจริง จะได้ว่า 1. → = เมื่อ c ค่าเป็นคงตัว เช่น →3 5 = 5 →0 − 6 = −6 2. เช่น →4 = 4 →−2 = −2 3. เช่น →3 2 = 3 2 = 9 4. c เป็นค่าคงตัว เช่น →−1 4 3 = 4 →−1 3 = 4(−1) 3 = 4(−1) = −4 5. เช่น →2 (4 + 1) = →2 4 + →2 1 = 4(2) + 1 = 8 + 1 = 9 6. เช่น →5 (2 2 − 3 + 4) = 2(5) 2 − 3(5) + 4 = 50 − 15 + 4 = 39 7. เช่น →3 ( + 5) = →3 ⋅ →3 ( + 5) = 3 ⋅ (3 + 5) = 3 ⋅ (8) = 24 x a x a = → lim + → x = a n I n n x a lim , lim cf (x ) c lim f (x ) x →a x →a = lim f (x ) g (x ) lim f (x ) lim g (x ) x →a x →a x →a + = + lim f (x ) g (x ) lim f (x ) lim g (x ) x →a x →a x →a − = − lim f (x ) g (x ) lim f (x ) lim g (x ) x →a x →a x →a • = • คำชี้แจง ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ โดยนักเรียนแต่ละคน อภิปรายแลกเปลี่ยนความคิดเห็นกับเพื่อนเพื่อตรวจสอบเกี่ยวกับ ความคิดรวบยอดของนักเรียน แล้วร่วมกันสรุปจากการศึกษา

8. เช่น →−2 3+2 2−1 5−3 = →−2 ( 3+2 2−1) →−2 (5−3) = (−2) 3+2(−2) 2−1 5−3(−2) = −8+8−1 5+6 = −1 11 9. เช่น →1 ( 2 − 1) 4 = ( →1 ( 2 − 1)) 4 = (1 2 − 1) 4 = 0 10. เช่น →4 √3 3 + 20 2 3 = √ →4 (3 3 + 20 2) 3 = √3(4) 3 + 20(4) 2 3 = √3(4 3) + 5(4) 3 3 = √4 3(3 + 5) 3 = √4 3 ⋅ 2 3 3 = √(4 ⋅ 2) 3 3 = √8 3 3 = 8 ทฤษฎีบท 2 ถ้า p เป็นฟังก์ชันพหุนาม แล้วสำหรับจำนวนจริง a ใดๆ → () = () ตัวอย่าง 1 ถ้า () = 2 − 5 + 7 แล้ว →2 () = (2) = 2 2 − 5(2) + 7 = 4 − 10 + 7 = 1 ตัวอย่าง 2 ถ้า () = 2 − 5 แล้ว →1 () = 2(1) − 5 = 2 − 5 = −3 จากทฤษฎีบท 2 จะเห็นว่า ในการหาลิมิตของฟังก์ชันพหุนาม เมื่อ x เข้าใกล้ a สามารถหาได้ง่ายขึ้นโดยการแทนค่า x ใน f(x) ด้วย a ทฤษฎีบท 3 ถ้า f เป็นฟังก์ชันตรรกยะ โดยที่ () = () () เมื่อ p และ q เป็นฟังก์ชันพหุนาม แล้ว → () = () () สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ ที่ () ≠ 0 ตัวอย่าง 3 ถ้า () = 2 2−3+4 2−4 แล้ว →1 () = 2(1) 2−3(1)+4 (1) 2−4 = 2−3+4 1−4 = 3 −3 = −1 จากทฤษฎีบท 3 จะเห็นว่า ไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทนี้เมื่อ () = 0 ต้องจัดฟังก์ชันใหม่ lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim g x f x g x f x x a x a x a → → → = n x a n x a f x f x = → → lim ( ) lim ( ) lim ( ) = lim ( ) , − {1} + → → f x n f x n I x a n x a

แบบฝึกทักษะ ที่ 2.1 จงหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1. →0 (3 2 + 7 − 12) …………………………………….……………………………………………………………… 2. →−1 ( 5 − 2) ..…………………………………………………………………………………………….…………………. 3. →5 ( 5 )( − 2) …………………………………………………………………………………….…………………………. 4. →−1 ( + 3)( 2 + 2) ..………………………………………………………………………………..………………. 5. →0 +1 2−5 ………………………………………………………………………………………………………………………..………. 6. →1 3+ √+3 ……………………………………………………………………………………………………………….………………. 7. →6 8( − 5)( − 7) ………………………………………………………………………………..…………………. 8. →2 √2( + 6) 3 …………………………………………………………………………………………………………..………. 9. →−4 2−16 −4 …………………………………………………………………………………………………………………….……. 10. →1 (+2) 2−4 …………………………………………………………………………………………………………………. 11. →0 2 ……………………………………………………………………………………………….…………………………………. 12. →0 √( 2 − 1) 2 3 …………………………………………………………………….……………………………………….

ใบความรู้ที่ 2.2 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต ในกรณีที่ฟังก์ชันอยู่ในรูปของเศษส่วน ถ้าลิมิตของส่วนเท่ากับศูนย์จะไม่สามารถใช้ทฤษฎีได้ต้องจัด ฟังก์ชันใหม่ โดยอาจใช้วิธีใดวิธีหนึ่งดังต่อไปนี้ 1. แยกตัวประกอบของตัวเศษและตัวส่วนแล้วตัดทอนกัน 2. ถ้าไม่สามารถแยกตัวประกอบ ให้นำจำนวนที่เหมาะสมคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วน (นำคอนจูเกต (conjugate) คูณทั้งเศษและส่วน แล้วขจัดตัวประกอบที่ทำให้ส่วนเป็นศูนย์ออก) แล้วสามารถแยกตัว ประกอบได้และตัดทอนกันได้เมื่อตัดทอนกันแล้ว จะเห็นว่า ของตัวส่วนไม่เป็น 0 แล้วสามารถใช้ทฤษฎีบทได้ (เน้นกรณีโจทย์ติดรูท ) 3. 4. ใช้กฎของโลปิตาล (L ‘ Hopital ‘ Rule) กล่าวว่าในกรณีที่แทน x ด้วย a แล้วได้ 0 0 ให้ดิ๊ฟเศษ 1 ที และ ให้ดิ๊ฟส่วน 1 ที แล้วค่อยแทนค่าใหม่ ถ้าแทนค่าใหม่แล้วยังได้ 0 0 อีก ก็ให้ดิ๊ฟเศษกับส่วน ต่อไป อีกทีแล้วแทนใหม่ ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ จนกว่าจะหลุดจากกรณี 0 0 ➢ ทบทวนสูตรการแยกตัวประกอบ กำลังสองสมบูรณ์ 1. 2. กำลังสามสมบูรณ์ 4. 3 + 3 2 + 3 2 + 3 = ( + ) 3 5. 3 − 3 2 + 3 2 − 3 = ( − ) 3 ผลต่างของกำลังสอง 3. ผลต่างของกำลังสาม 6. 7. ตัวอย่างการหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ →1 −1 2−1 วิธีทำ นำ x = 1 แทนค่าจะได้ −1 2−1 = 1−1 1 2−1 = 0 0 ไม่สามารถใช้ทฤษฎีได้ต้องจัดฟังก์ชันใหม่ จัดรูปโดยการแยกตัวประกอบ −1 2−1 = −1 (−1)(+1) = 1 +1 ดังนั้น →1 −1 2−1 = →1 1 +1 = 1 1+1 = 1 2 ตอบ 0 sin lim 1 → = 2 2 2 x xy y x y + + = + 2 ( ) 2 2 2 x xy y x y − + = − 2 ( ) 2 2 x y x y x y − = − + ( )( ) 3 3 2 2 x y x y x xy y − = − + + ( )( ) 3 3 2 2 x y x y x xy y + = + − + ( )( )

ตัวอย่างที่ 2 ถ้า จงหา วิธีทำ นำ x = 3 แทนค่าใน f(x) จะได้ จัดรูปโดยการแยกตัวประกอบ 3−27 2−2−3 = (−3)( 2+3+9) (−3)(+1) = 2+3+9 +1 ดังนั้น →3 () = →1 3−27 2−2−3 = →3 2+3+9 +1 = 3 2+3(3)+9 3+1 = 27 4 ตอบ ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ →25 5−√ 25− วิธีทำ นำ x = 25 แทนค่าจะได้ 5−√25 25−25 = 0 0 ไม่สามารถใช้ทฤษฎีได้ต้องจัดฟังก์ชันใหม่ จัดรูป 5−√ 25− = 5−√ 5 2−(√) 2 = 5−√ (5−√)(5+√) = 1 5+√ ดังนั้น →25 5−√ 25− = →25 1 5+√ = 1 5+√25 = 1 5+5 = 1 10 ตอบ ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ →0 √2+9−3 2 วิธีทำ นำ x = 0 แทนค่าจะได้ √0 2+9−3 0 2 = 3−3 0 = 0 0 ไม่สามารถใช้ทฤษฎีได้ต้องจัดฟังก์ชันใหม่ จัดรูปนำคอนจูเกต(conjugate) คูณทั้งเศษและส่วน √2+9−3 2 ⋅ √2+9+3 √2+9+3 = (√2+9) 2 −3 2 2⋅√2+9+3 = 2+9−9 2⋅√2+9+3 = 2 2⋅√2+9+3 = 1 √2+9+3 ดังนั้น →0 √2+9−3 2 = →0 1 √2+9+3 = 1 √0 2+9+3 = 1 3+3 = 1 6 ตอบ 3 2 27 ( ) 2 3 x f x x x − = − − 3 lim ( ) x f x → 3 2 3 27 27 27 0 (3) 3 2(3) 3 9 6 3 0 f − − = = = − − − −

ตัวอย่างที่ 5 ถ้า จงหา วิธีทำ ดังนั้น = 5 ตอบ ตัวอย่างที่ 6 ถ้า จงหา วิธีทำ ดังนั้น ตอบ ตัวอย่างที่ 7 การหาลิมิตของฟังก์ชันใช้กฎของโลปิตาล จงหาค่าของ →2 2−3+2 22+−10 วิธีทำ นำ x = 2 แทนค่าจะได้ 2 2−3(2)+2 2(2)2+2−10 = 4−6+2 8+2−10 = 0 0 ใช้กฎของโลปิตาล ดิ๊ฟ 2 − 3 + 2 ได้ 2 − 3 ดิ๊ฟ 2 2 + − 10 ได้ 4 + 1 ดังนั้น →2 2−3+2 22+−10 = →2 2−3 4+1 = 2(2)−3 4(2)+1 = 4−3 8+1 = 1 9 ตอบ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตข้างต้นยังคงเป็นจริงเมื่อคำนวณหาค่าของลิมิตด้านเดียว เมื่อจัดรูปใหม่แล้วสามารถแทนค่า x ใน f(x) ด้วย a 0 sin lim 1 x x → x = 0 sin 5 lim x x → x sin 5 5 sin 5 5sin 5 5 5 x x x x x x = = 0 0 0 sin 5 5sin 5 sin 5 lim lim lim5 x x 5 5 x x x x → → x x x → = = 0 sin 5 5 lim 5(1) 5 x 5 x → x = = = 0 sin 5 lim x x → x 0 sin lim 1 x x → x = 2 0 sin lim x x → x 2 2 2 2 sin sin sin x x x x x x x x x = = 2 2 2 2 2 0 0 0 sin sin sin lim lim lim x x x x x x x x → → → x x x = = 2 2 0 0 sin lim lim (0)(1) 0 x x x x → → x = = = 2 0 sin lim 0 x x → x =

แบบฝึกทักษะ ที่ 2.2 จงหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1. →3 2−9 −3 ………………………………………………………………….…..…………………………..…….………………………. 2. →−5 2−25 +5 ……………………………………………………………………………………………..………….…………………. 3. →−5 2−1 22−−1 …………………………………………………………………………………………...…………………………. 4. →1 2−1 22−−1 ………………………………………………………………………………………..….……………………………. 5. →0 2−3 …………………………………………………………………………………………………..………….………………. 6. →0 2−6 3 2 ……………………………………………………………………………………………….…………..………………. 7. →−5 2−1 22−−1 ………………………………………………………………………………………….……..……………………. 8. →9 3−√ 9− ………………………………………………………………………………………………..………………………………. 9. →0 √4+−2 …………………………………………………………………………………………………………………..………. 10. →1 2−√+3 −1 …………………………………………………………………………………………………..…….……………….

แบบฝึกทักษะเพิ่มเติม 1. →0 2−1 22−−1 ……………………………………………………………………………..……………….……..…..……………… 2. →0 2−7 …………………………………………………………………………………………………….…….…..……………… 3. →2 2−7+10 −2 …………………………………………………………………………………………….……..…..……………… 4. →1 4 2−4 −1 ……………………………………………………………………………..……………….…………….………………… 5. →49 7−√ 49− ……………………………………………………………………………………………..……….………………………. 6. →1 3+6 2−−6 2−1 ………………………………………………………………………..…………..…….……………………… 7. →2 3−8 2+3−10 ………………………………………………………………………..……………………..……………………… 8. →4 2 −2 (+2) √−2 ……………………………………………………………………………..……………….………………………