E-Modul Pola Bilangan

POLA BILANGAN

KELAS/SEMESTER:
VIII / I
OLEH :
DITA AYU SORAYA Q.R,
S.Pd

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .............................................................................................. i

DAFTAR ISI ............................................................................................... ii

BAB I PENDAHULUAN

A. Deskripsi Materi Pembelajaran

B. Petunjuk Penggunaan Modul

C. Kompetensi Dasar

D. Tujuan Pembelajaran

E. Rujukan Sumber Pembelajaran

BAB II KEGIATAN PEMBELAJARAN

A. Rencana Belajar

B. Kegiatan Belajar

1. Kegiatan Belajar 1 : Menentukan Persamaan dari Suatu Barisan Bilangan

a. Uraian singkat Materi Pembe lajaran

b. Rangkuman

c. Lembar Kerja

d. Kunci jawaban

2. Kegiatan Belajar 2 : Menentukan Persamaan dari Suatu Konfigurasi

Objek

a. Uraian singkat Materi Pembelajaran

b. Rangkuman

c. Lembar Kerja

d. Tugas /Tagihan

e. Kunci jawaban

C. Petunjuk Pengembangan Pembelajaran

BAB III EVALUASI
BAB IV PENUTUP

BAB I
PENDAHULUAN
A. Deskripsi Materi Pembelajaran
Dalam modul ini akan mempelajari 2 Kegiatan Belajar yang terdiri dari: Kegiatan
Belajar 1 membahas tentang Menentukan Persamaan dari Suatu Barisan Bilangan,
Kegiatan Belajar 2 membahas tentang Menentukan Persamaan dari Suatu
Konfigurasi Objek.
Dalam Kegiatan Belajar 1, akan dijelaskan Bagaimana dengan cara menggeneralisasi
pola bilangan sebelumnya.
Dalam kegiatan belajar 2, akan dijelaskan tentang Cara Menentukan barisan
konfigurasi objek
B. Materi Prasyarat
Materi Pola Bilangan sebenarnya adalah materi baru pada tingkat pendidikan SMP/ MTs
yang pada tingkat sebelumnya belum diajarkan, sehingga materi sebelumnya yang menjadi
syarat sebenarnya juga sangat sedikit. Adapun materi prasyarat tersebut adalah Bilangan
Bulat
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Di dalam bagian ini akan ada uraian materi, aktivitas belajar, latihan/tugas, dan evaluasi.
Uraian materi ini diharapkan dapat membantu kalian dalam mengerjakan tugas/ tagihan
dan evaluasi.Bacalah materi itu dengan seksama. Bacalah secara perlahan, dan catat
poin-poin penting yang berhubungan dengan istilah-istilah pada topik yang sedang
dibahas.
Selanjutnya, lakukan pula aktivitas pembelajaran yang disarankan dalam modul ini. Sangat
disarankan agar kalian mengomunikasikan pemahaman kalian tersebut dengan teman
kalian melalui wa Grup agar diperoleh sudut pandang lain yang akan memberikan
pemahaman yang lebih luas dan lebih mantap.
Sesudah itu, cobalah kalian terapkan pemahaman yang sudah kalian peroleh dengan
mengerjakan soal latihan atau tugas yang telah disediakan pula di dalam modul ini.
Kerjakan secara individu terlebih dahulu untuk kemudian didiskusikan dengan teman
sejawat, atau lakukan secara berkelompok kalau memang diperintahkan seperti itu.
melalaui wa grup
Terakhir, cobalah kerjakan soal tes yang diberikan. Kerjakan secara mandiri, tanpa
membuka materi yang ada di dalam modul. Upayakan untuk menggunakan pemahaman
yang telah diperoleh dari mempelajari modul itu untuk menjawab soal tes yang
diberikan. Gunakan kunci atau petunjuk menjawab yang digunakan hanya apabila semua
soal telah selesai digunakan.
Manakala kalian merasa kesulitan dalam menjawab soal tes tersebut, bacalah ulang
modul ini dari awal termasuk catatan-catatan kalian. Jangan pernah ragu untuk membaca
dan memahaminya kembali. Bacalah uraian materi sekali lagi, kerjakan aktivitas
pembelajaran, selesaikan tugas atau latihan, dan kemudian kerjakan soal tesnya sekali lagi.

1

D. Kompetensi Dasar

Kompetensi dasar yang terkait dengan bagian ini adalah sebagai berikut.

NO KOMPETENSI DASAR INDIKATOR

3.1 Membuat generalisasi dari pola 1. Membuat generasi dari pola

pada barisan bilangan dan barisan barisan bilangan

konfigurasi objek 2. Menentukan barisan

konfigurasi objek

4.1 Menyelesaikan Masalah yang 1. Menyelesaikan masalah yang

berkaitan dengan pola pada barisan berkaitan dengan pola pada

bilangan dan barisan konfigurasi barisan bilangan

objek 2. Menyelesaikan masalah yang

berkaitan dengan pola pada

barisan bilangan

E. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari modul ini, kalian diharapkan mampu:
1. Menentukan suku berikutnya dari suatu barisan bilangan dengan cara
menggeneralisasi pola bilangan sebelumnya dengan benar.
2. Menggeneralisasikan pola barisan bilangan menjadi suatu persamaan dengan benar.
3. Menentukan macam- macam barisan bilangan .dengan benar
4. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pola pada barisan bilangan dengan
benar

F. Rujukan Sumber Pembelajaran
1. Buku paket kelas VIII Kurikulum 2013
2. Internet .

2

BAB II
KEGIATAN PEMBELAJARAN

A. Rencana Belajar

Mulailah kegiatan dengan berdoa! Dalam mempelajari kegiatan pembelajaran ini, beberapa
aktivitas pembelajaran dapat kalian lakukan secara mandiri maupun berkolaborasi dengan
teman yang lain melalui wa grup. Adapun aktifitas yang dapat kalian lakukan adalah
sebagai berikut:
1) Secara mandiri, baca dan pahami uraian materi! Gunakan catatan bebas atau garis

bawahi kata, kalimat, atau paragraf yang dianggap penting atau yang belum dapat
dipahami!
2) Setelah Kalian membaca dengan seksama dan mendapatkan pemahaman sejauh
kemampuan kalian terhadap materi, buatlah semacam resume/ikhtisar/rangkuman
dari uraian materi (berupa poin- poin materi) dengan menggunakan kata-kata kalian
sendiri!
3) Kerjakan Lembar Kegiatan (LK) berikut secara mandiri sesuai dengan yang
dijelaskan pada subbab Saran Cara Penggunaan Modul pada Bab Pendahuluan!
4) Perdalam pemahaman kalian dengan mengerjakan soal-soal pada subbab
latihan/kasus/tugas dan membaca referensi lainnya

B. Kegiatan Belajar
Kegiatan Pembelajaran 1

Menentukan persamaan dari suatu barisan bilangan
a. Uraian Materi

1. Pengertian Pola Bilangan
Pola bilangan merupakan susunan dari beberapa bilangan yang memiliki bentuk teratur
atau bisa membentuk suatu pola.Setiap pola tersebut mempunyai karakteristik rumus
masing-masing.Pola dapat berupa bentuk geometri atau relasi matematika. Berikut ini
contoh bentuk pola yang disajikan dalam bentuk titik dan bangun datar.

3

Pola hampir ada di setiap tempat dalam kehidupan kita. Namun, beberapa dari kita
mungkin melihat pola tersebut, sedangkan yang lain tidak melihatnya. Hal tersebut
bergantung pada kemampuan dan kepekaan seseorang dalam melihat pola. Dengan
mempelajari materi ini diharapkan kalian akan mampu melihat pola yang terbentuk baik
di dalam kelas maupun di luar kelas.

Pola digunakan dalam menyelesaikan banyak masalah dalam matematika. Siswa perlu
belajar tentang data untuk melihat keberadaan pola. Suatu masalah matematika disajikan
dalam bentuk barisan bilangan, kemudian siswa diminta untuk menentukan pola atau
beberapa bilangan selanjutnya. Masalah lainnya mungkin membutuhkan tabel untuk
mengorganisasi data dan melihat pola yang nampak. Masalah lainnya lagi mungkin
membutuhkan grafik untuk bisa menemukan pola yang terjadi. Dengan berlatih tentang
pola, kita akan lebih peka terhadap pola yang terbentuk oleh suatu data sehingga bisa
menyelesaikan masalah-masalah matematika.

Lembar Kerja

LK.1.1. Pengertian Pola Bilangan

Sebelum kita belajar lebih jauh,untuk mendalami pola bilangan lakukan kegiatan berikut:

1. Sediakan satu lembar kertas berbentuk persegi panjang

2. Lipat kertas tersebut sehingga menjadi dua bagian yang sama. Gunting menurut
lipatannya.

3. Ada berapa banyak lembaran kertas yang terjadi?

4. Susun semua potongan kertas lalu lipat kembali menjadi dua bagian yang sama
kemudian gunting menurut lipatannya. Ada berapa banyak lembaran kertas
sekarang?

5. Lakukan kegiatan tersebut sampai 6 kali lalu catat hasilnya pada tabel berikut

Banyaknya Lipatan Kertas Banyaknya Lembaran Kertas

1 ......

2 ......
3 ......
4 ......
5 ......
6 ......

4

Dari tabel diatas :
1. Didapat sederetan bilangan yaitu : 2 , 4, 8, 16, 32, 64,...
2. Apakah deretan bilangan yang terjadi mempunyai keteraturan? Ya
3. Apa keteraturan dari lipatan kertas tersebut : Bilangan kedua dan seterusnya

diperoleh dengan mengalikan 2 pada bilangan sebelumnya
4. Banyaknya lembaran kertas yang terjadi jika dilipat dengan cara di atas membentuk

suatu pola.
5. Tanda titik tiga (…) menunjukkan bahwa pola itu berlanjut untuk seterusnya.

Contoh 1

1. Perhatikan masalah berikut :
Dalam suatu gedung pertemuan, terdapat 5 kursi pada baris pertama. Setiap baris
berikutnya ( baris yang berurutan) memuat 3 kursi lebih banyak dari baris sebelumnya.
Jika dalam gedung tersebut ada 10 baris kursi, tentukan :
a. Tulislah pola bilangannya
b. Banyaknya kursi pada baris ke-5
c. Banyaknya kursi pada baris ke-7
d. Tentukan pola/aturan dari bilangannya!
Alternatif Penyelesaian

a. Jika diurutkan diperoleh pola bilangan :
baris ke – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 , 8, 11, 14, 17, 20 , 23 , 26, 29, 32

b. banyaknya kursi pada baris ke-5 : 17
c. banyaknya kursi pada baris ke-7 : 23
d. keteraturannya : Bilangan kedua dan seterusnya diperoleh dengan

menambahkan 3 pada bilangan sebelumnya

5

Latihan Mandiri 1

1. a.Tentukan tiga bilangan genap berurutan yang jumlahnya sama dengan 90
b. Tentukan tiga bilangan ganjil berurutan yang jumlahnya sama dengan 45

2. Tentukan 3 bilangan berikutnya dari pola barisan bilangan berikut ini
a. 1,3,5,7,...,...
c. 4,12,36,108, ...,...,....

3. Isilah titik-titik berikut agar membentuk suatu pola barisan bilangan
a. 4,10,...,..., 28,34,40
b. 7,13,11,...,...,21,19,25,23.29

4. Sebuah Gedung pertunjukan banyak kursi pada baris paling depan adalah 15 buah.
Banyak kursi pada baris di belakangnya selalu lebih 3 buah dari baris di depannya. Berapa
banyak kursi pada baris ke-12 dari depan?

5. Dalam gedung pertunjukan terdapat 33 kursi pada baris pertama, dan setiap baris
berikutnya memuat dua kursi lebih banyak dari baris di depannya. Berapakah
banyaknya kursi pada baris ke-18?

6

2. Jenis-Jenis Pola Bilangan

1. Perhatikan tiga rangkaian pola berikut

a. Jika ditulis dalam bilangan, maka diperoleh pola bilangan:
1, 5, 9 ....

b. Pola dari bilangan 1 , 5 , 9 , … adalah
Bilangan kedua dan seterusnya diperoleh dari bilangan sebelumnya
ditambah 4
Atau :
Polanya : ditambah 4

2. Gambar berikut menunjukan pola yang disusun dari batang korek api

a. Pola Gambar diatas, jika ditulis dalam bilangan:
3, 7, 11, ...

b. Pola dari bilangan diatas adalah :
Bilangan kedua dan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya
ditambah 4
atau :

c. Banyaknya korek api pada pola ke-8 adalah : 31

7

3. Perhatikan pola gambar berikut :

a. Pola gambar diatas, jika ditulis dalam bilangan, maka diperoleh bilangan:
1, 2, 3, 4, .....

b. Jika Dihubungkan dengan bilangan ,maka Pola gambar diatas adalah pola
bilangan Asli

c. Ditulis dengan kata-kata Pola bilangan Asli adalah : Bilangan kedua dan
selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah 1.

4. Perhatikan pola gambar berikut

a. Jika ditulis dalam bilangan, maka diperoleh pola bilangan :
2, 4, 6, 8, ....

b. Jika dihubungkan dengan bilangan, maka pola bilangan diatas disebut juga
pola bilangan : genap

5. Perhatikan pola gambar berikut :

a. Jika ditulis dalam bilangan, maka diperoleh pola bilangan :
1, 3, 5, 7,...

b. Jika dihubungkan dengan bilangan,maka Pola bilangan diatas disebut juga
pola bilangan : ganjil

6. Perhatikan pola gambar berikut :

a. Jika ditulis dalam pola bilangan, maka diperoleh pola bilangan :
1, 4, 9, 16,...

b. Jika dilihat dari bentuk Pola gambarnya,pola bilangan diatas berbentuk:
persegi

7. Perhatikan pola gambar berikut :

a. Jika ditulis dalam pola bilangan, maka diperoleh pola bilangan :
1, 3, 6, 10

8

b. Jika dilihat dari bentuk Pola gambarnya,pola bilangan diatas berbentuk
segitiga

c. Maka pola bilangan diatas disebut juga pola bilangan segitiga
8. Perhatikan pola gambar berikut :

a. Jika ditulis dalam pola bilangan, maka diperoleh pola bilangan :
2, 6, 12, 20

b. Jika dilihat dari bentuk Pola gambarnya,pola bilangan diatas berbentuk
persegi panjang

c. Maka pola bilangan diatas disebut juga pola bilangan persegi panjang
9. Pola bilangan segitiga Pascal

Jika ditulis dalam bilangan, maka diperoleh pola bilangan: 1, 2, 4, 8, 16, ...
10. Pola bilangan Fibonacci yaitu :

Dimulai dengan bilangan pertama dan kedua, dan bilangan berikutnya didapat
dari jumlah dua bilangan sebelumnya
Contoh :
1, 4, 5, 9, 14, 23,....

9

Lembar Kerja
LK.1.2. Generasi pola bilangan

Tujuan: Membuat generasi dari pola barisan bilangan dengan benar
Uraian aktivitas:

1. Gunakan sumber lain seperti internet untuk mencari generasi pola
2. bilangan!Baca dan amati permasalahan di bawah ini !

Sebuah lampu hias berubah warna dari merah, kemudian hijau, kemudian kuning,
dan seterusnya berubah setiap 2 detik dengan pola yang sama. Warna lampu apakah
yang H K M menyala pada urutan ke-15? Sumber: Kemdikbud
Penyelesaian ;
Buatlah tabel tentang urutan menyala lampu

Menyala
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

ke-
Warna m h k ... ... ... ... ... ... ... ...

Dengan memerhatikan pola tersebut, kalian dapat melihat lampu hijau, kuning, dan merah
menyala secara bergantian dengan polasebagai berikut.
Warna merah 1, , , , ...
Warna hijau: , , ,, , ...
Merah kuning: 3, ..., ..., ..., ... 9
Dengan melihat pola tersebut, ternyata urutan ke-15 menyala lampu warna .....
- Cobalah untuk menententukan nyala lampu pada urutan ke 50,ke-60 dan ke -100 dengan

memperhatikan pola menyala lampu hias

10

Latihan Mandiri 1
1. Tentukan Bilangan-bilangan berikut:

a. Bilangan ke-10 dan ke-12 pola bilangan ganjil b.
Bilangan ke-12 dan ke-14 pola bilangan genap c.
Bilangan ke-13 dan ke-16 pola bilangan persegi
d. Bilangan ke-14 dan ke-17 pola bilangan persegi panjang
e. Bilangan ke-10 dan ke-15 pola segitiga
f. Bilangan ke-20 dan ke-21 pola bilangan segitiga pascal
g. Bilangan Fibonacci ke-10 dan ke-13, jika bilangan pertama 2 dan bilangan kedua

3?
2. Perhatikan gambar berikut :

Banyaknya lingkaran pada pola ke-10 adalah?
3. Perhatikan gambar berikut:

a. lanjutkan pola diatas sampai pada pola ke-5
b. Buat pola bilangannya
c. Tentukan aturannya.
4. Gambar dibawah ini menunjukan tiga pola pertama dari kerangka persegi panjang
yang terbuat dari batang korek api

11

Kegiatan Pembelajaran 2
Menentukan persamaan dari suatu Konfigurasi Objek

a. Uraian Materi
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Perhatikan Susunan bola berikut Pola ke-3 Pola ke-4
Pola k Pola ke-2

Jika susunan bola diteruskan dengan pola ke-n, dengan n adalah suatu bilangan bulat

positif, tentukan:

Banyak bola berwarna biru pada pola ke-n (Un)
Banyak bola berwarna biru pada susunan ke-10 (U10) Banyak bola
berwarna biru pada susunan ke-1.000 (U1.000)

Alternatif Penyelesaian Masalah
Untuk melihat banyak bola pada susunan ke-10 mari amati ilustrasi berikut. perhatikan
banyaknya lingkaran yang berwarna biru adalah setengah bagian dari bola yang disusun
menjadi persegi panjang

12

Gambar 1.11 Pola susunan bola ke-n
Dengan menggunakan rumus pola yang sudah ditemukan di atas, kita dapat
menentukan:

Pola ke-10 (U10) = × 10 × (11) = 55

Pola ke-1000 (U1.000) = × 1.000 × (1.001) = 500.500

Contoh

Pola ke-1 Pola ke-2 Pola ke-3 Pola ke-4

Gambar 1.12 Pola susunan bola

Dengan memerhatikan pola susunan bola di atas, tentukan:

a. banyak bola pada pola ke-n (Un).
b. jumlah bola hingga pola ke-n (Sn).

13

Alternatif jawaban

a. Pola ke-1: 1 = 2 x 1-1
Pola ke-2: 3 = 2 × 2− 1
Pola ke-3: 5 = 2 × 3− 1
Pola ke-4: 7 = 2 × 4− 1

Dengan memerhatikan pola tersebut, kita bisa simpulkan bahwa
Pola ke-n: Un = 2 × n −1

Keterangan:
• Pola di atas disebut pola bilangan ganjil, karena bilangan yang dihasilkan adalah

semua anggota himpunan bilangan ganjil (positif).
• Selain itu, pola tersebut juga bisa digolongkan sebagai barisan bilangan

artimetika karena mempunyai beda antar suku yang tetap yaitu 2.

b. Perhatikan pola bola-bola yang dijumlahkan pada pola bilangan ganjil.
Bola-bola yang dijumlahkan tersebut dapat disusun ulang menjadi bentuk persegi
sebagai berikut.

........... n

.... n×n
....
....
....
.... ....
.... ......................

............................. ....

n

Gambar 1.13 Pola susunan bola menjadi bentuk persegi
Pola susunan bilangan yang membentuk persegi tersebut dinamakan pola bilangan
persegi. Dengan memerhatikan susunan bola tersebut dapat kita simpulkan bahwa
penjumlahan hingga pola ke-n adalah Sn = n2
Dengan kata lain : 1 + 3 + 5 + 7 + ... (2 × n − 1) = n2

14

1. LK.1.3

2.3 Menentukan persamaan dari suatu konfigurasi objek
Tujuan: Menentukan persamaan dari suatu konfigurasi objek
Uraian aktivitas:
1. Perhatikan materi pada modul ini untuk menyelesaikan permasalahan yang ada di
lembar Kerja 1.2
2. Baca dan cari informasi lain dari buku siswa
Perhatikan pola berikut

Tentukan banyak lingkaran pada pola ke -10 , ke 100, ke-n pada pola diatas, untuk
sembarang n bilangan bulat positif

d. Latihan/Tugas
1. Tentukan banyak stik pada pola ke 10 ,ke-100 dan ke-n untuk sebarang n bilangna
positip

2. Perhatikan Gambar noktah-noktah berikut

a. Apakah gambar diatas membentuk suatu pola ? jelaskan
b. Tentukan banyak noktah pada 5 urutan berikutnya
c. Hubungkan masing-masing pola diatas dengan suatu bilangan yang menunjukan

banyaknya noktah dalam pola. Pola bilangan apakah yang kalian dapat ?
jelaskan

15

Kunci Jawaban
LK.1.1.

1. Didapat sederetan bilangan yaitu : 2, 4, 8, ...
2. Ya
3. Bilangan kedua dan seterusnya diperoleh dengan mengalikan 2 pada bilangan

sebelumnya
4. 2 , 4, 8, 16, 32, 64,
LK.I.2

Menyala
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

ke-

Warna m h k m h k M h k M h k m h k

Dengan memperhatikan pola tersebut, kalian dapat melihat lampu hijau, kuning, dan

merah menyala secara bergantian dengan polasebagai berikut.

Warna merah : 1, 4,7 ,10 , 13,

Warna hijau :2 ,5 , 8,11,14.

Kuning : 3,6,9,12, 15

pada urutan ke 50, menyala warna lampu hijau

ke-60 menyala warna lampu kuning

ke -100 menyala warna lampu merah

LK I.3
Pola ke 10 = 10x11

Pola ke-100 = 100x 101
Pola ke –n = nx(n+1)

Kunci Jawaban Latihan dan tugas Kegiatan I 16
1.a. 28+30+32

b. 13+15+17
2. a. .9,11,13.,...

b.. 324,972,2916...,....
3 a.,.16..,22...,

b. 7,13,11,.17..,15...,21,19,25,23.29
4. a. 6

b.. 1

Kunci Jawaban Latihan dan tugas Kegiatan I
1. Pola ke-10 = 21
Pola ke-100 = 201
Pola ke –n = n +(n+1)
2. a.Ya, karena merupakan susunan bilangan yang teratur
b.9
c. pola barisan bilangan ganjil

17