MODUL 3 (VEKTOR R2 & R3)

MODUL 3

Vektor R2
& R3

A. VEKTOR DIMENSI DUA (R-2)

1. Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang memiliki besar (pajang atau nilai) dan arah. Secara geometris sebuah vektor diwakilkan
oleh ruas garis berarah dengan panjang ruas menunjukkan besar, sedangkan arahnya menunjukkan arah vektor itu.
Vektor dinyatakan dengan huruf kecil yang dicetak tebal, misalnya u atau diberi tanda panah di atas misalnya ⃗ . Jika
⃗ menyatakan ruas garis berarah dari A dan B maka dapat ditulis ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ . Panjang (besar) ⃗ dilambangkan dengan
| ⃗ |.
B
⃗ = ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ )
⃗ dibaca “vektor u”
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ dibaca “vektor AB”
|⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ | = panjang ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗
A

Vektor ⃗ diwakilkan oleh garis berarah ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . Titika A disebut titik pangkal (titik asal) dan titk B disebut titik ujung vektor
⃗ .

2. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Secara Geometris

a. Penjumlahan Dua Vektor

Hasil penjumlahan dua vektor merupakan resultan vektor. Misalnya, jumlah dari vektor dan ⃗ adalah vektor .

Maka vektor disebut resultan vektor dari vektor dan vektor ⃗ .

Penjumlahan dua vektor secara geometris dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

1) Metode Segitiga ⃗


⃗ + ⃗ =

Jika terdapat dua vektor, yaitu dan ⃗ , maka penjumlahan (resultan) dari dan ⃗ adalah vektor + ⃗ atau
vektor . Dengan metode segitiga vektor didapat cara menghubungkan titik pangkal vektor dengan titik
ujung vektor ⃗ .

2) Metode Jajargenjang


⃗ + ⃗

⃗

Dengan metode jajargenjang jumlah vektor dan ⃗ ditentukan adalah dengan memindahkan vektor ⃗ (tanpa
mengubah arah dan besarnya), sehingga titik pangkal vektor ⃗ berimpit dengan titik pangkal vektor .

✿ Contoh:

1. Tentukan resultan dari vektor-vektor di bawah ini.

a. b)


⃗ ⃗
Jawab:
a) Untuk menentukan resultan vektor dan ⃗ , kita dapat menggunakan metode jajargenjang. Pindahkan

vektor ⃗ sehingga pangkal dari vektor ⃗ berimpit dengan pangkal vektor .



+ ⃗ =
⃗

b) Untuk menentukan resultan vektor dan ⃗ , kita dapat menggunakan metode segitiga . Pindahkan vektor
⃗ sehingga titik ujung vektor berimpit dengan pangkal dari vektor ⃗ .
⃗


+ ⃗ =

2. Tentukanlah resultan vektor + ⃗ + di bawah ini.

⃗

Jawab:
Cara untuk menyelesaikannya adalah sebagai berikut:
 Geser pangkal ⃗ ke ujung .
 Geser pangkal ke ujung ⃗ .
 Resultan vektor + ⃗ + adalah dari pangkal menuju ujung vektor .

⃗


⃗ = + ⃗ +

b. Pengurangan Vektor
Mengurangkan vektor sama dengan menjumlahkan vektor dengan lawannya. Misalkan vektor ⃗ = − ⃗ , dapat
ditulis ⃗ = + (− ⃗ ).

⃗ ⃗

⃗ = + (− ⃗ )

✿ Contoh:

Secara geometri, tentukan pengurangan vektor berikut:

a) b)


⃗

Jawab: ⃗


a) Ubah arah vektor sehingga vektor resultannya adalah ⃗ = ⃗ + (− ).

⃗ = ⃗ + (− )

⃗ −

b) Ubah arah vektor sehingga vektor resultannya adalah = + (− ⃗ ).


= + (− ⃗ ) − ⃗

3. Perkalian Vektor Dengan Bilangan Real

−4
2

Misalkan adalah sebuah vektor, maka vektor 2 adalah suatu vektor yang panjangnya 2 kali panjang vektor dengan
arah yang sama dengan vektor . Sedangkan vektor (−4 ) adalah vektor yang panjangnya 4 kali panjang vektor
dengan arah yang berlawanan dengan vektor .
Secara umum perkalian vektor bilangan real berlaku:

i. Untuk > 0, maka vektor ⃗ searah vektor dengan ⃗ = .
ii. Untuk < 0, maka vektor ⃗ berlawana vektor dengan ⃗ = .

✿ Contoh:
Vektor-vektor dan ⃗ digambarkan sebagai berikut.

⃗



Gambarkan diagram vektor yang menunjukkan:
a. 2 + ⃗
b. − 2 ⃗
Jawab:
a. Setelah mengalikan vektor dengan bilangan real 2 sehingga panjangnya menjadi 2 kali vektor , gunakan

metode jajargenjang untuk mencari resultannya.

⃗ 2 + ⃗

2

b. Dengan cara yang sama pada contoh a, maka resultan − 2 ⃗ dapat ditentukan sebagai berikut.
2 ⃗

⃗



− ⃗ − 2 ⃗
−2 ⃗

Latihan Soal 1

1. Untuk vektor pada gambar di bawah ini, gambarlah vektor yag ditetapkan pada masing-masing soal berikut.
a. = + 1 ⃗

2

⃗

b. = + ⃗ + ⃗


c. ⃗ = 2 − 4 ⃗

⃗


d. = − 3 ⃗


⃗

4. Vektor Posisi
Y

y2

y1

O X
x1 x2

Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal di titik . Vektor posisi titik (⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ) dapat dinyatakan sebagai pasangan

bilangan berurutan, yaitu:

 Vektor baris ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = ( 1, 1)
 Vektor kolom ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ( 11)
Jika ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = ( 11) dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ( 22) maka diperoleh rumus:

⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = ( 22 − 11)
−

✿ Contoh:
Misalkan (4, −5) dan (1, 2). Jika vektor wakil dari ruas garis berarah ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ dan vektor ⃗ wakil dari ruas garis

berarah ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ , nyatakan dan ⃗ dalam vektor kolom.
Jawab:
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = = (−45) dan ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = = (12), maka:
= ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = − = (12) − (−45) = (2 −1 −(−45)) = (−73)

⃗ = ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = − = (−45) − (12) = (−45−−12) = (−37)

Latihan Soal 2

Carilah vektor-vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ untuk setiap pasang titik dan titik berikut dan

nyatakan dalam vektor kolom.

a. (3, 4) (−1, 3) d. (5, 1) (5, −6)

b. (9, 3) (2, −1) e. (−1, 3) (−2, 3)

c. (−2, 4) (3, 0)

5. Vektor Satuan (Vektor dalam Bentuk Kombinasi Linear)
Adalah vektor yang panjangnya satu-satu. Vektor satuan pada sumbu x, sumbu y, dan sumbu z dinyatakan dengan , ,

dan .
Misalkan:
= + disebut kombinasi linear dari vektor satuan dan .

Jika adalah skalar, maka berlaku = ( + ) atau = + .

✿ Contoh:
1. Diketahui vektor-vektor = (−32) , ⃗ = (24), dan = (50). Nyatakan vektor , ⃗ , dan dalam bentuk
kombinasi linear.
Jawab:
= (−32) = 3 − 2
⃗ = (24) = 2 + 4
= (05) = 5
2. Diketahui titik (8, 10). Nyatakan vektor ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ dalam bentuk komponen dan kombinasi linier serta hitunglah
2 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ dalam bentuk komponen dan kombinasi linear vektor satuan.
Jawab:
Dalam bentuk komponen:
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (180)
2⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = 2 (180) = (2160)
Dalam bentuk kombinasi linear:
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 8 + 10

2 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 2 (8 + 10 ) = 16 + 20

6. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Secara Aljabar

a. Penjumlahan Vektor

Misalnya:
= ( 11) , ⃗ = ( 22),

+ ⃗ = ( 11) + ( 22) = ( 11 + 22)
+

Pada penjumlahan vektor berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

i) Komutatif : + ⃗ = ⃗ +

ii) Assosiatif : ( + ⃗ ) + = + ( ⃗ + )

iii) Unsur identitas adalah vektor nol ⃗0 = (00)
iv) Jika = ( 11), invers dari vektor adalah vektor negatif − = (−− 11)

b. Pengurangan Vektor
Misalnya:
= ( 11) , ⃗ = ( 22),

− ⃗ = ( 11) − ( 22) = ( 11 − 22)
−

c. Perkalian Vektor Dengan Bilangan Real
Jika adalah bilangan real dan = ( 11), maka:

= ( 11)

✿ Contoh:

1. Diketahui = (−43) , ⃗ = (−12), dan = (−25). Hitunglah:

a. + ⃗ , c. + ⃗ + .

b. ⃗ + ,
Jawab:

a. + ⃗ = (−43) + (−12) = (−34++(1−2)) = (−55)

b. ⃗ + = (−12) + (−25) = (1−+2(+−25)) = (−04)

c. + ⃗ + = (−43) + (−12) + (−25) = (−34++(−1 2−)5+ 2) = (−03)

2. Diketahui ⃗ = (−31) , = (24), dan ⃗⃗ = (−23). Tentukan:

a. 3 ⃗ , c. 2 ⃗ + 1 − 2 ⃗⃗ .

2

b. − 1 ,

2

Jawab:

a. 3 ⃗ = 3. (−31) = (−93)

b. − 1 = − 1 . (24) = (−−12)
2 2

c. 2 ⃗ + 1 − 2 ⃗⃗ = 2 (−31) + 1 (24) − 2 (−23) = (−62) + (21) − (−46) = (143)
2 2

3. Diketahui titik (2, 5) dan (5, −2). Titik adalah sebuah titik pada garis sehingga ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = 2⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ .

Tentukan:

a. Vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ,

b. Vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ,

c. Koordinat titik .

Jawab:

a. (2, 5), maka = (52) dan (5, −2), maka = (−52)

⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = − = (−52) − (52) = (−52−−25) = (−37)

b. ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = 2⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = 2 (−37) = (−614)

c. Misalkan koordinat titik adalah ( , ), maka =
( ).

⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = − = ( ) − (25) = ( − 25)
−

Dengan menggunakan b, didapat:

( − 25) = (−614)
−

maka − 2 = 6 − 5 = −14
⇔ = −14 + 5 = −9
 = 6 + 2 = 8
Jadi, koordinat titik adalah (8, −9).

Latihan Soal 3

1. Diketahui vektor-vektor = (−32) , ⃗ = (24), dan = (50). Nyatakan setiap penjumlahan berikut dalam bentuk
vektor kolom, kemudian hitunglah:

a. + ⃗ , c. ⃗ + ,

b. + , d. + ⃗ + .

2. Diketahui vektor-vektor = (−32) , = (14), dan = (12). Nyatakan setiap penjumlahan berikut dalam bentuk
kombinasi linear vektor-vektor satuan.

a. + , c. − ,

b. + , d. − − .

3. Misalkan = (−84). Nyatakan setiap vektor di bawah ini dalam bentuk vektor kolom.
a. 2 ⃗ + 3 ⃗

b. 1 + 2 ⃗

2

7. Rumus Perbandingan Vektor Titik ⃗ membagi ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ dengan perbandingan : ,
B sehingga di dapatkan rumus:

dimana ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗
OP

⃗ = ⃗ +
+

A

✿ Contoh:

1. Diketahui (−3, 7, −12) dan (7, 2, 3), ⃗ membagi ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ dengan perbandingan 3: 2. Tentukan koordinat titik

⃗ .
Jawab:

⃗ membagi ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ dengan perbandingan 3: 2

 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ : ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 3: 2

⃗ = ⃗ + ⃗ ; ⃗ = ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

+

7 −3 21 −6 3
(4)
3 ⃗ +2 ⃗ 3(2)+2( 7 ) ( 6 )+( 14 ) 1 15
3+2 3 −12 9 −24 5 ( 20 ) −3
= = = = =
3+2 5 −15

⃗ = (3, 4, −4)

2. Diketahui (−5, 3, 2), (1, −7, 4), dan (3, 2, −4). membagi ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ dengan perbandingan 3: −1. Tentukan

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ .

Jawab:

membagi ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ dengan perbandingan 3: −1

 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ : ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = 3: −1

= + ⃗

+

1 −5 3 −5 8 4

= 3 −1 ⃗ = 3(−7)−1( 3 ) (−21)−( 3 ) 1
2
3−1 4 −2 = 12 −2 = (−24) = (−12)
10 5
3−1 2

= (4, −1, 5)

3 4 −1
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = − = ( 2 ) − (−12) = ( 14)

−4 5 −9

8. Garis Segaris Dalam Vektor (Kolinean)

P R ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = 2 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
Q
⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = 3 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

2

Vektor dapat di katakan segaris (kolinean) jika:

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = . ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ , maka ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ dan ⃗ segaris.

✿ Contoh:

Tiga titik (−3, 7, −12), (7, , ), dan (3, 4, −3) segaris. Tentukan 2 + .
Jawab:

, , segaris  ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = . ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

⃗ − = ( − ⃗ )

7 −3 37

( ) − ( 7 ) = . [( 4 ) − ( )]

−12 −3

10 −4

( − 7 ) = . ( 4 − )

+ 12 −3 −

 10 = −4  + 12 = . (−3 − )
= 10 + 12 = −5 (−3 − )

−4 2

= −5 2 + 24 = −5(−3 − )
2 + 24 = 15 + 5
2
9 = 3
 − 7 = . (4 − ) = 3
− 7 = −5 (4 − )

2

2 − 14 = −5(4 − )
2 − 14 = −20 + 5

6 = 3
= 2

Jadi, 2 + = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7

Latihan Soal 4

1. Diketahui (−5, 4, 2), (4, −2, −3), dan (−2, −4, 6) ⃗ membagi ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ dengan perbandingan 2: 1. Tentukan
⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ .

2. Tiga titik (−5, 4, 2), ( , −6, ), dan (−3, 10, 5) segaris. Tentukan + 2 .
3. Tiga titik (−5, 2, −3), ( , −3, ), dan (3, 7, −2) segaris. Hitung 2 + 3 .

9. Panjang (Besar) Vektor
 Misalkan ( , ), maka = ( ). Sehingga panjang (besar) vektor dirumuskan:

| | = √ 2 + 2

 Misalkan ( 1, 1), maka = ( 11) dan ( 2, 2), maka ⃗ = ( 22) adalah dua titik yang terletak pada bidang

Cartesius, maka:

⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = ⃗ − = ( 22) − ( 11) = ( 22 − 12)
−

Dari komponen-komponen vektor ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ , dapat ditentukan panjang atau besar vektor ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ dirumuskan sebagai berikut:

|⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ | = √( 2 − 1)2 + ( 2 − 1)2

 Besaran vektor dalam sudut dapat dinyatakan kedalam rumus berikut:

| + ⃗ | = √| |2 + | ⃗ |2 + 2| || ⃗ | cos

✿ Contoh:

1. Diketahui vektor-vektor ⃗ = (42) , = (−01), dan ⃗⃗ = (−52). Hitunglah:

a. | ⃗ |, c. | ⃗⃗ |,

b. | |, d. | ⃗ − ⃗⃗ + |

Jawab:
a. | ⃗ | = √42 + 22 = √16 + 4 = √20 = 2√5

Jadi, panjang vektor ⃗ adalah | ⃗ | = 2√5 satuan.
b. | | = √02 + (−1)2 = √0 + 1 = √1 = 1

Jadi, panjang vektor adalah | | = 1 satuan.
c. | ⃗⃗ | = √(−2)2 + 52 = √4 + 25 = √29

Jadi, panjang vektor ⃗⃗ adalah | ⃗⃗ | = √29 satuan.
d. ⃗ − ⃗⃗ + = (42) − (−52) + (−01) = (−64)

| ⃗ − ⃗⃗ + | = √62 + (−4)2 = √36 + 16 = √52
Jadi, panjang vektor ⃗ − ⃗⃗ + adalah | ⃗ − ⃗⃗ + | = √52 satuan.

2. Diketahui titik (−1, 2) dan (5, −6) pada bidang Cartesius membentuk vektor . Tentukanlah:
a. Vektor tersebut dalam bentuk komponen,

b. Panjang (besar vektor tersebut.

Jawab:

a. ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ( 22 − 12) = (5−−6(−−21)) = (−68)
−

b. | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | = √( 2 − 1)2 + ( 2 − 1)2

= √(6)2 + (−8)2
= 10

Latihan Soal 5

1. Diketahui vektor = (−43) , ⃗ = (−12), dan = (23). Hitunglah panjang atau besar vektor berikut:

a. c. + ⃗

b. ⃗ d. 2 + ⃗ −

c. e. − 2 ⃗ +

2. Diketahui vektor ⃗ = (−01), dan = (−43).
a. Nyatakan vektor ⃗⃗ dalam vektor kolom jika ⃗⃗ = ⃗ + .

b. Hitunglah panjang (besar) vektor ⃗ , , dan ⃗⃗ .

10. Perkalian Skalar Dua Vektor
Hasil kali skalar dari dua vektor tidak nol dan ⃗ dinyatakan oleh ∙ ⃗ (dibaca: dot ⃗ ).
Jika = ( 11) dan ⃗ = ( 22), maka:
∙ ⃗ = 1 2 + 1 2

Misalkan, vektor dan vektor ⃗ membentuk sudut , maka perkalian skalar dua vektor didefinisikan sebagai berikut:
∙ ⃗ = | | ∙ | ⃗ |

dimana, = sudut antara dan ⃗ (0° ≤ ≤ 180°)
Hasil perkalian skalar dari dua vektor merupakan skalar, bukan vektor.

✿ Contoh:
1. Diketahui | | = 5 cm, | ⃗ | = 4 cm dan vektor dengan ⃗ membentuk sudut 60°. Tentukanlah perkalian skalar
∙ ⃗ dan ⃗ ∙ !

Jawab:

∙ ⃗ = | | | ⃗ | ∙ Dari hasil perhitungan di dapat bahwa
= (5) (4) . cos 60° = 20 . 1 = 10
∙ ⃗ = ⃗ ∙ . Menunjukkan bahwa
2 perkalian skalar dua vektor bersifat
komutatif.
⃗ ∙ = | ⃗ | | | ∙
= (4) (5) . cos 60° = 20 . 1 = 10

2

2. Jika = (43) dan ⃗ = (62), tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor dan ⃗ .
Jawab:
= (34)  | | = √32 + 42 = √25 = 5
⃗ = (62)  | ⃗ | = √62 + 22 = √40
∙ ⃗ = 3 ∙ 6 + 4 ∙ 2 = 26

∙ ⃗ = | | | ⃗ | ∙

 = ⃗ ∙ ⃗
| ⃗ | | ⃗ |

 cos = 26 ) = 26 = 26 = 0,823
(5)(√40 (5)(6,32) 31,6

 = −1(0,823) Gunakan kakulator

 = 34,61°

Jadi, vektor dan ⃗ membentuk sudut 34,61°.

26
3. Diketahui = (−3) dan ⃗ = ( 1 ). Tentukanlah perkalian skalar ∙ ⃗ dan ⃗ ∙ .

Jawab: 4 −2

26
∙ ⃗ = (−3) ∙ ( 1 )

4 −2

= (2 . 6) + (−3 . 1) + (4 . (−2)) = 12 − 3 − 8 = 1

62
⃗ ∙ = ( 1 ) ∙ (−3)

−2 4

= (6 . 2) + (1 . (−3)) + (−2 . 4) = 12 − 3 − 8 = 1

4. Diketahui : ⃗ = 2 + 6 − 3 , = 3 + 4 + 2 , dan ⃗⃗ = 2 − − 3 . Tentukan ( ⃗ + ). ⃗⃗ dan
⃗ . ⃗⃗ + . ⃗⃗ .
Jawab:

23 2

⃗ = ( 6 ) ; = (4) ; ⃗⃗ = (−1)

−3 2 −3

232
( ⃗ + ). ⃗⃗ = (( 6 ) + (4)) . (−1)

−3 2 −3

52
= (10 ) . (−1)

−1 −3

= (5 . 2) + (10 . (−1)) + ((−1). (−3))

= 10 − 10 + 3 = 3

22 32

⃗ . ⃗⃗ + . ⃗⃗ = (( 6 ) . (−1)) + ((4) . (−1))

−3 −3 2 −3

= {(2. 2) + (6. (−1)) + ((−3). (−3))} + {(3. 2) + (4. (−1)) + (2. (−3))}
= (4 − 6 + 9) + (6 − 4 − 6)
=7−4=3

11. Perkalian Skalar Vektor yang Saling Tegak Lurus (Ortogonalitas)

Adapun rumusnya adalah:

∙ ⃗ = 0

✿ Contoh:

1. Buktikan bahwa vektor = (64) dan ⃗ = (−32) saling tegak lurus (ortogonal).
Jawab:

∙ ⃗ = (46) ∙ (−32)
= (4 . 3) + (6 . (−2))

= 12 − 12

=0

Terbukti vektor dan ⃗ saling tegak lurus (ortogonal).

2. Diketahui vektor = ( 3 ) dan ⃗ = (−42). Jika kedua vektor tersebut saling tegak lurus, tentukan nilai x.
Jawab:
∙ ⃗ = 0
 ( )(−2) + (3)(4) = 0
 −2 + 12 = 0
 2 = 12
 = 6

Latihan Soal 6

1. Diketahui vektor = (−21) , ⃗ = (−62), dan = (−02). Tentukan:

a. . ⃗ c. . ( ⃗ + )

b. . d. ⃗ . ( − )

c. ⃗ . e. . ( + ⃗ )

2. Tentukan hasil perkalian skalar dari vektor-vektor berikut, jika diketahui sudut yang terbentuk dari kedua vektor

adalah 300.

a. ⃗ = (11) dan = (−32) c. | ⃗⃗ | = 4 dan | ⃗ | = 3

b. = (−42) dan ⃗ = (15) d. | | = −2 dan | | = 8

3. Diketahui setiap pasang vektor . berikut saling tegak lurus. Hitunglah nilai .

a. = −2 + 3 dan = + 2

b. = 3 − dan = + 5

c. = dan = 4 − 2

B. VEKTOR DIMENSI TIGA (R-3)

1. Vektor dalam Bentuk Kombinasi Linear

Adalah vektor yang panjangnya satu-satu. Vektor satuan pada sumbu x, sumbu y, dan sumbu z dinyatakan dengan , ,

dan .

Misalkan:

= + + disebut kombinasi linear dari vektor satuan , , dan .

Vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:

a. Vektor baris = ( , , ), atau


b. Vektor kolom = ( )


Dengan , , dan disebut komponen-komponen vektor .

2. Operasi Aljabar Vektor

a. Penjumlahan Vektor

Misalnya:
1 2

⃗ = ( 1) , = ( 2), maka di dapatkan rumus:
1 2

1 2 1 + 2
⃗ + = ( 1) + ( 2) = ( 1 + 2)

1 2 1 + 2

b. Pengurangan Vektor

Misalnya:
1 2

⃗ = ( 1) , = ( 2), maka di dapatkan rumus:
1 2

1 2 1 − 2
⃗ − = ( 1) − ( 2) = ( 1 − 2)

1 2 1 − 2

c. Perkalian Vektor Dengan Bilangan Real

Bila adalah bilangan real, maka:

1 1
⃗ = . ( 1) = ( 1)

1 1

✿ Contoh:

−1 4 −1
1) Diketahui vektor-vektor = ( 3 ) , ⃗ = (−3), dan = ( 2 ).

21 3
a) Nyatakan , ⃗ , dan dalam bentuk kombinasi linear vektor satuan.

b) Nyatakan vektor-vektor berikut dalam benruk vektor satuan.

i. + ⃗ ii. 2 − 3 ⃗ iii. ⃗ + 2

Jawab:

−1
a) = ( 3 ) = − + 3 + 2

2

4
⃗ = (−3) = 4 − 3 +

1

−1
= ( 2 ) = − + 2 + 3

3

−1 4 3
b) i. + ⃗ = ( 3 ) + (−3) = (0)

2 13

−1 4 −2 12 −14
ii. 2 − 3 ⃗ = 2 ( 3 ) − 3 (−3) = ( 6 ) − (−9) = ( 15 )

2 1 43 1

4 −1 4 −2 2
iii. 2 − 3 ⃗ = (−3) + 2 ( 2 ) = (−3) + ( 4 ) = (1)

1 3 1 67

2) Diketahui titik (4, 1, −5) dan titik (1, 7, −14). Titik adalah titik pada garis hubung ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ sehingga

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 2 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . Tentukan:

a) Vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

b) Koordinat titik

Jawab:

1−4 −3

a) ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = ( 7 − 1 ) = ( 6 )

−14 − (−5) −9

−3 2 . (−3) −16
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 2 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 2 ( 6 ) = ( 2 . 6 ) = ( 12 )

−9 2 . (−9) −18

b) Misalkan ( , , ) adalah koordinat titik .

− 4 −6

= ( − 1 ) = ( 12 )

− (−5) −18

Maka, − 4 = −6 − 1 = 12 + 5 = −18
= 12 + 1 = −18 + 5
= −6 + 4 = 13 = −23

= −2

Jadi, koordinat titik adalah (−2, 13, −23).

Latihan Soal 7

1. Diketahui vektor = −3 + 2 − , = − 4 − 3 , dan = − − 5 + 3 . Tentukan:

a. + c. −4
b. − d. 3 + (−2 )
c. 3 e. −4 + 5

2. Diketahui titik (2, −1, 3) dan (−5, 2, −6), serta titik berada di antara ruas garis ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ dengan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∶ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
5: 3. Tentukan:
a. Komponen vektor ⃗ yang mewakili ruas garis berarah ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ .
b. Koordinat titik .

3. Panjang (Besar) Vektor di R-3


 Misalkan ( , , ), maka ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = ( ). Sehingga panjang (besar) vektor ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ dirumuskan:


| ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | = √ 2 + 2 + 2

1 2
 ⃗
Misalkan ( 1, 1, 1), maka = ( 1) dan ( 2, 2, 2), maka = ( 2) adalah dua titik yang terletak
1 2

pada bidang Cartesius, maka:

2 1 2 − 1
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ⃗ − = ( 2) − ( 1) = ( 2 − 2)

2 1 2 − 1

Dari komponen-komponen vektor ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ , dapat ditentukan panjang atau besar vektor ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ dirumuskan sebagai berikut:

| ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | = √( 2 − 1)2 + ( 2 − 1)2 + ( 2 − 1)2

✿ Contoh:

Diketahui koordinat (2, 2, 4), (4, −3, 2), (0, 1, −2). Tentukanlah panjang vektor berikut.

a. | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |, | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |, dan | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |

b. | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |, | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |, dan | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |

Jawab:

2
a. ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = = (2)  | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | = √22 + 22 + 42 = √24 = 2√6 satuan.

4
4
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ⃗ = (−3)  | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | = √42 + (−3)2 + 22 = √29 satuan.
2
0
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = = ( 1 )  | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | = √02 + 12 + (−2)2 = √5 satuan.
−2

42 2
b. ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ⃗ − = (−3) − (2) = (−5)

2 4 −2

 |⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ | = √22 + (−5)2 + (−2)2 = √33 satuan.

0 4 −4
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = − ⃗ = ( 1 ) − (−3) = ( 4 )

−2 2 −4
 |⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ | = √(−4)2 + 42 + (−4)2 = √48 satuan.

0 2 −2
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = − = ( 1 ) − (2) = (−1)

−2 4 −6
 |⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ | = √(−2)2 + (−1)2 + (−6)2 = √41 satuan.

Latihan Soal 8

1. Diketahui titik (−1, 7, 8) dan (2, −3, 4) berada di R-3. Tentukan:
a. Vektor dalam bentuk kombinasi linear (jika merupakan vektor posisi yang mewakili ruas garis berarah ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ).
b. ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ dalam bentuk vektor
c. |⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ |
d. |⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ |
−3 1

2. Misalkan vektor = ( 2 ) , = (2), dan vektor = +
43

a. Nyatakan vektor dari bentuk vektor kolom.
b. Hitunglah pajang vektor , dan .

4. Perkalian Skalar Dua Vektor di R-3
1 2

Jika = ( 1) dan ⃗ = ( 2), maka:
1 2
∙ ⃗ = 1 2 + 1 2 + 1 2

Misalkan, vektor dan vektor ⃗ membentuk sudut , maka perkalian skalar dua vektor didefinisikan sebagai berikut:

∙ ⃗ = | | ∙ | ⃗ |

dimana, = sudut antara dan ⃗ (0° ≤ ≤ 180°)

✿ Contoh:
1. Tentukan hasil perkalian skalar dari vektor
⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = 4 + + 2 , dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 2 + 5 +
Jawab:
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∙ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (4 . (−2)) + (1 . 5) + (2 . 1)
= −8 + 5 + 2 = −1
2. Jika = 2 + 3 + 5 dan ⃗ = 4 − 6 + 2 , hitunglah sudut dan ⃗ .

Jawab:
∙ ⃗ = (2 . 4) + (3 . (−6)) + (5 . 2)

= 8 − 18 + 10 = 0
∙ ⃗ = | | . | ⃗ | . cos

| | . | ⃗ | = √22 + 32 + 52 . √42 + (−6)2 + 22

= √38 . √56 = √2.128

cos = ⃗ ∙ ⃗ = 0 = 0
| ⃗ | .| ⃗ | √2.128

 cos = −1(0) = 90°

Jadi, vektor dan ⃗ membentuk sudut 90°.

Latihan Soal 9

1. Misalkan dan ⃗ adalah vektor yang mewakili ruas garis berarah ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . Tentukan nilai . ⃗ untuk setiap

pasang dan berikut.

a. (−1, 2, 3) dan (4, 2, 1) c. (3, 4, −2) dan (0, 1, 3)

b. (2, 5, −2) dan (−1, 4, 4) d. (−5, 3, 1) dan (9, 2, 8)

c. (3, −2, 1) dan (3, 9, −10) e. (2, −4, 2) dan (7, −6, 3)

2 −1
2. Diketahui vektor = ( 1 ) dan = ( 3 ). Tentukan:

−3 2

a. . dan | | dan | |.

b. Besar sudut antara vektor dan yang terbentuk.

3. Ditentukan koordinat titik-titik (−2, 6, 5), (2, 6, 9), (5, 5, 7), dan terletak pada ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ sehingga ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ∶

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 3 ∶ 1. Tentukan:

a. Koordinat titik .

b. Vektor ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ dalam bentuk kombinasi linear.

c. | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |, |⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ |, dan |⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ |

5. Sifat-Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor di R-3

1 2 3
Misalkan = ( 1) , ⃗ = ( 2), dan = ( 3) adalah vektor di R-3. Pada operasi skalar dua vektor berlaku sifat-
1 2 3

sifat berikut.

a. Bersifat Komutatif

. ⃗ = 1 2 + 1 2 + 1 2 . ⃗ = ⃗ .
= 2 1 + 2 1 + 2 1 = . ⃗

b. Bersifat Distributif
. ( ⃗ + ) = 1( 2 + 3) + 1( 2 + 3) + 1( 2 + 3)
= 1 2 + 1 3 + 1 2 + 1 3 + 1 2 + 1 3
= ( 1 2 + 1 2 + 1 2) + ( 1 3 + 1 3 + 1 3)
= ∙ ⃗ + ∙
Jadi,
. ( ⃗ + ) = ∙ ⃗ + ∙

✿ Contoh:

Misalkan vektor dan membentuk sudut 30°. Jika | | = 3 dan | | = 5, hitunglah:

a. ∙ ( + )

b. ∙ ( + )

Jawab:

a. ∙ ( + ) = ∙ + ∙

= | | ∙ | | ∙ cos 0° + | | ∙ | | ∙ cos 30°

= 3 ∙3 ∙1+3 ∙5 ∙ 1 √3
2

= 9 + 15 √3 = 9 + 13 = 22
2

b. ∙ ( + ) = ∙ + ∙

= | | ∙ | | ∙ cos 30° + | | ∙ | | ∙ cos 0°

= 5 ∙3 ∙ 1 √3 + 5 ∙5 ∙1
2

= 15 √3 + 25 = 13 + 25 = 38
2

6. Perkalian Silang Dua Vektor (Pengayaan)
Berbeda dengan hasil perkalian skalar dua vektor yang merupakan sebuah bilangan real, perkalian silang dua vektor
menghasilkan besaran vektor. Perkalian silang dapat juga disebut perkalian vektor.
Bila vektor = 1 + 1 + 1 dan vektor ⃗ = 2 + 2 + 2 , perkalian saling vektor dirumuskan sebagai
berikut:

⃗ = ( 1 2 − 2 1) + ( 2 1 + 1 2) + ( 1 2 + 2 1)

Penyelesaian perkalian vektor dengan cara seperti di atas memerlukan waktu lama, cara lebih singkat adalah
menggunakan determinan matriks ordo 3 3 diselesaikan dengan cara Sarrus, yaitu:

− −−

11 12 13 11 12

[ 21 22 23] 21 22] = ( 11 22 33 + 12 23 31 + 13 21 32) −
31 32 33 31 32
( 13 22 31 + 11 23 32 + 12 21 33)
++ +

✿ Contoh:
Tentukan perkalian vektor dari dua vektor di bawah ini:
= 2 + 3 − , dan ⃗ = − + + 2
Jawab:

[ 2 3 −1] 2 3|
−1 1 2 −1 1
= { (3)(2) + (−1)(−1) + (2)(1)} − { (3)(−1) + (−1)(1) + (2)(2)}

= (6 + + 2 ) − (−3 − + 4 )

= 6 + + 2 + 3 + − 4

= 7 − 3 + 5

Latihan Soal 10

1. Diketahui vektor = 3 + 2 + 4 dan ⃗ = 5 − 6 + 2 . Tentukan:

a. ⃗ c. ( + ⃗ ) ( ⃗ − )

b. ⃗ d. ( − ⃗ ) ( + ⃗ )

30 2

2. Misalkan = ( 2 ) , = ( 2 ), dan = (6). Hitunglah:

−1 −3 7

a. ( )

b. ( )

c. ( ) ( )

7. Proyeksi
a. Proyeksi Skalar
Rumus proyeksi skalar ̅ pada ̅ :

⃗ = ̅ . ̅
| ̅ |

b. Proyeksi Vektor
Rumus proyeksi vektor ̅ pada ̅ :

⃗ = ̅ . ̅ . ̅
( | ̅ |2 )

✿ Contoh:
1. Diketahui vektor = 2 − − 2 dan ⃗ = −4 + + 4 . Tentukan:

a. Proyeksi skalar ̅ pada ̅

b. Proyeksi vektor ̅ pada ̅

Jawab:

a. Proyeksi skalar ̅ pada ̅ = ̅ . ̅
| ̅ |

2 −4
(−1) . ( 2 )
−2 4
= √(−4)2+ (2)2+ (4)2

= −8−2−8

√16+4+16

= −18

6

= −3 cm

b. Proyeksi vektor ̅ pada ̅ = (| ̅ ̅ .| ̅2 ) . ̅

−4 2 2
( 2 ) . (−1)
4 −2
= . (−1)
√(2)2+ (−1)2+ (−2)22 −2

−8−2−8 2
4+1+4
= . (−1)
−2

−18 2
9
= . (−1)
−2

2
= −2 . (−1)

−2

−4
= ( 2 ) = −4 + 2 + 4

4

2. Diketahui ∆ dengan titik (2, −1, −3), (−1, 1, −11), dan (4, −3, −2). Tentukan proyeksi vektor ̅ ̅ ̅ ̅
dan ̅̅ ̅ ̅ ! (Silahkan di coba dikerjakan)

A. SOAL PILIHAN GANDA

1. Pada jajargenjang dibawah ini, ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ mewakili vektor ⃗ dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ mewakili vektor , sedangkan ∶ = 2 ∶ 1.

⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ mewakili vektor …..



a. ⃗ + 2 c. − 1 ⃗ e. + 2 ⃗

3 3 3

b. + 1 d. − 2 ⃗

3 3

2. Diketahui ⃗ = 3 − 2 , = − + 4 , dan = 7 − 8 . Jika = ⃗ + , maka + =...

a. 3 c. 1 e. −2

b. 2 d. −1

3. Diketahui vektor = (14) dan ⃗ = (23). Vektor 2 + 3 ⃗ bila dinyatakan dalam bentuk kombinasi linear adalah …..

a. 3 + 7 c. 9 + 12 e. 8 + 21

b. 6 + 14 d. 8 + 17

4. Jika vektor ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (02), vektor ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ = (11), dan koordinat titik (1, 1), koordinat adalah …

a. (2, 2) c. (0, 0) e. (−1, 1)

b. (2, 0) d. (0, 2)

5. Jika diketahui titik (−5, 4, 2), ( , −6, ), dan (−3, 10, 5) segaris. Maka + 2 adalah …..

a. −1 c. 11 e. −6

b. 6 d. −11

6. Jika diketahui titik ( , 4, 7) dan (6, , 14) segaris. Maka − adalah …..

a. 5 c. 3 e. 8

b. −5 d. −3

7. Diketahui vektor = (−32) , ⃗ = (01), dan = (−45). Jika ⃗ = + ⃗ − ⃗ , maka panjang vektor ⃗ adalah ……

a. √13 c. −13√3 e. −3√13

b. 13√3 d. 3√13

8. Diketahui vektor = (−21) dan = (−41). Jika ⃗ dinyatakan dengan + , panjang vektor ⃗ adalah ……

a. √10 c. 3√10 e. 5√10

b. 2√10 d. 4√10

9. Diketahui vektor = (√2) dan ⃗ = (11). Besar sudut antara dan ⃗ adalah ……
0

a. 30° c. 60° e. 180°

b. 45° d. 90°

10. Jika | | = 4, | | = 5 dan sudut antara vektor dan adalah 120°, maka ∙ adalah ……

a. 10 c. 5 e. −20

b. −10 d. −5

11. Diketahui ⃗ = 2 + 6 − 3 , = 3 + 4 + 2 , dan ⃗⃗ = 2 − − 3 . Maka ( ⃗ + ). ⃗⃗ adalah ……

a. 3 c. 5 e. 7

b. 4 d. 6

12. Diketahui vektor ⃗ = (−21) tegak lurus dengan vektor = (−41). Nilai adalah ……

a. (0, −3) c. (0, 4) e. (0, −4)

b. (3, 0) d. (4, 0)

13. Jika diketahui vektor = (−42) dan vektor ⃗ = (−01), maka 3 ∙ 2 ⃗ adalah ……

a. 20 c. 8 e. −20

b. 12 d. −12

14. Diketahui vektor = −3 + 2 − , = − 4 − 3 , dan = − − 5 + 3 . Maka hasil dari 3 + 5 − 4

adalah …… c. 4 + 20 − 12 e. 46 − 24
a. −9 + 6 + 3

b. 5 + 20 − 15 d. −8 + 6

15. Besar vektor yang dinyatakan dengan 2 − + 2 sama dengan …..

a. √3 c. 3 e. 7

b. √2 d. 4

16. Besar vektor + 2 + dengan vektor = −2 + 2 + 2 , = − 2 + 3 , dan = −3 − 4 − adalah

……

a. 5√7 c. 9 e. 10√2

b. 2√10 d. 10

17. Diketahui titik (2, −1, 4), (4, 1, 3), dan (2, 0, 5). Nilai cosinus sudut antara vektor ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ adalah ……

a. 1 √2 c. 1 √2 e. 1 √3
2 3 6

b. 1 √3 d. 1 √2
2 6

20
18. Misalkan vektor dan membentuk sudut 30°. Jika = (2) dan = (4). Maka hasil dari ∙ ( + ) adalah
13

……

a. 9 c. 22 e. 25

b. 13 d. 23

19. Ditentukan koordinat titik-titik (−5, 4, 2), (4, −2, −1), (−2, −4, 6), dan ⃗ terletak pada ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ sehingga

⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ∶ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = 2 ∶ 1. Koordinat ⃗ adalah ……

a. (−2, 2, 1) c. (−5, 4, 2) e. (−10, 8, 4)

b. (2, −2, 1) d. (4, −2, 1)

20. Diketahui vektor = 3 + 2 + 4 dan = 5 − 6 + 2 . Maka hasil dari adalah.…

a. −28 + 14 + 28 c. −28 − 14 − 28 e. −10 + 24 + 6

b. 28 + 14 − 28 d. 4 + 20 − 18

B. SOAL URAIAN
1. Berikan sebuah contoh aplikasi vektor dalam kehidupan sehari-hari. Minimal 5 contoh!
2. Dua buah gaya bekerja masing-masing 40 kN dan 60 kN. Kedua gaya tersebut membentuk sudut apit (susut apit mis.
300) Tentukan hasil kali kedua gaya tersebut!
3. Sebuah kapal mengalami kemacetan di tengah laut. Untuk membawa kapal tersebut kembali ke pelabuhan dibutuhkan
dua buah kapal penarik. Gaya yang dibutuhkan kedua kapal serta sudut yang dibentukadalah 750. Tentukan besarnya
resultan gaya yang dihasilkan oleh kedua kapal!
4. Seorang anak berlari sejauh 80 meter kea rah utara, kemudian berbelok ke arah timur sejauh 80 meter , dan ke selatan
sejauh 20 meter. Tentukan besar perpindahan yang dilakukan anak tersebut!
5. Budi berjalan sejauh 6 meter kea rah timur, kemudian 6 meter ke arah selatan, dan berbelok lagi sejauh 2 meter kea rah
timur. Tentukan perpindahan Budi dari posisi awal!