เอกสารประกอบการเรียนลำดับอนุกรมอนันต์

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์

วชิ า คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 6
(ค32202)

ลาดับอนนั ต์ และอนกุ รมอนนั ต์

Infinite SEQUENCE and Infinite Series

ประกอบด้วย
ลาดับอนนั ต์
อนุกรมอนันต์

ครูผู้สอน
ครปู ระภาศรี สงิ คเสลติ

ช่ือ......................................................
ชัน้ ม.6/......... เลขที่........

1 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

ทบทวนลำดบั

[Sequence]

นิยาม ลำดบั คือ ฟงั ก์ชันซึง่ มีโดเมนเปน็ เซตของจำนวนเต็มบวก
ถา้ โดเมนมจี ำนวนจำกดั คือ 1, 2, 3, …, n เรยี กวา่ ลำดับจำกัด [Finite sequence]
ถา้ โดเมนมีจำนวนไม่จำกัด คือ 1, 2, 3… n, … เรยี กว่า ลำดับอนนั ต์ [Infinite sequence]

ข้อสังเกต 1. ลำดบั ในเซต X คือ ลำดบั ท่มี เี รนจ์เป็นสบั เซตของ X

2. ลำดบั ในท่ีนเ้ี ป็นลำดบั ในเซต R นน้ั คือ เรนจ์ของลำดบั เป็นสับเซตของจำนวนจริง

ตวั อย่างของลำดับ 1) f = { (1,1) , (2, 4) , (3, 9) , ... , (n, n2) ,...} ลำดบั อนนั ต์
2) g = { (x , y)  y = x + 1 , xI+ }

3) h = {(n, h (n))  h (n) = 2n , nI+}

4) I = {(n, an)  an = 1 , nI+}

2n

5) 1, 4, 9, ..., n2 ลำดบั จำกัด
6) 7, 11, 15, ... , (4n+3)

7) 1, 1 , 1 , ... 1
23 n

ถา้ f เป็นลำดับ นยิ มเขยี นลำดบั ดังนี้
f(1) , f(2), f(3), ... , f(n) , ...

หรือ a1, a2 , a3 , ... , an , ...

พจน์ที่ 1 พจน์ที่ 2 พจน์ท่ี 3 ... พจน์ที่ n, ...

เช่น f = { (1, 1) , (2, 4) , (3, 9) , ... , (n, n2) , ... } เขยี นแทนลำดับ f ได้วา่ 1 , 4 , 9 , ... , n2, ...
h = { (n , h(n))  h(n) = 2n , nI+ } เขียนแทนลำดับ h ไดว้ ่า 2 , 4 , 6 , ... , 2n , ...

นั้นคือ การเขียนลำดับจะเขียนเฉพาะสมาชกิ ของเรนจ์เรียงกันไป

ความตา่ งระหวา่ งฟังกช์ นั กบั ลำดบั ฟงั ก์ชัน โดเมนเป็นจำนวนจรงิ
ลำดับ โดเมนเป็นจำนวนนบั

2 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ท่ี 6 2
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

ทบทวนลำดบั เลขคณติ

d = an – an-1

an = a1 +(n -1)d

ตวั อยา่ ง 1 กำหนดลำดับเลขคณิตมพี จน์ท่ี 1 เป็น 7 และผลตา่ งร่วมเป็น 5 จงหา a8 และ a12

ตวั อยา่ ง 2 จงหาพจนท์ ี่ 10 และพจน์ที่ 15 ของลำดับเลขคณติ 4, 9, 14, 19, ...
ตวั อยา่ ง 3 กำหนดลำดับเลขคณติ มพี จนท์ ี่ 1 เปน็ 3 และผลต่างรว่ มเปน็ -3 ถา้ an = -15 จงหาคา่ n
ตวั อยา่ ง 4 จงหาวา่ ลำดับเลขคณติ 4, 9, 14, 19, ..., 124 มีท้ังหมดก่พี จน์
ตวั อยา่ ง 5 กำหนดลำดบั เลขคณติ มีพจน์ที่ 1 เปน็ 21 และพจนท์ ่ี 6 เปน็ 6 จงหาผลตา่ งรว่ ม

3 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 3
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

ตวั อยา่ ง 6 กำหนดลำดับเลขคณติ มผี ลตา่ งรว่ มเปน็ 7 และพจน์ท่ี 10 เป็น 28 จงหาพจน์ที่ 1
2

ตวั อยา่ ง 7 กำหนดลำดบั เลขคณิตมพี จน์ที่ 4 เปน็ 21 และพจน์ท่ี 51 เป็น -355 จงหาลำดบั เลขคณิต

ตวั อยา่ ง 8 กำหนดลำดับเลขคณติ มพี จน์ท่ี 2 เป็น 3a + 2b และพจน์ท่ี 3 เปน็ 4a + b จงหา an

ตวั อยา่ ง 9 จำนวนเตม็ บวกระหว่าง 100 กับ 500 มีกจ่ี ำนวนท่ี 9 หารลงตวั

ข้อสังเกต โดยปกติ : พจน์ทัว่ ไปของลำดบั เลขคณติ จำกดั ในรูปของ a1 และ d คือ
1. a1 , a1 + d , a1 + 2d , … , a1 + (n – 1)d
ในกรณีทท่ี ราบวา่ ลำดบั เลขคณิตจำกัดชดุ หนง่ึ มีจำนวนพจน์เป็นเลขคค่ี วรจะสมมตพิ จน์ทวั่ ไปดังน้คี ือ
... , a – 2d , a – d , a , a + d , a + 2d , …
[ โดยเรม่ิ จากตรงกลางคือ a แล้วขยายไปท้ังดา้ นซ้ายและด้านขวาที่ละ d ]

ตวั อย่าง ลำดบั เลขคณิตชุดหนึ่งมี 5 พจนแ์ ละผลบวกของทกุ พจนเ์ ท่ากับ 30 ถา้ ผลตา่ งรว่ มมคี า่ เทา่ กับ 3 จงหาลำดบั ชุดน้ี

4 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 4

2. ในกรณีท่ที ราบวา่ ลำดับเลขคณิตจำกัดชุดหนงึ่ มจี ำนวนพจน์เปน็ เลขคู่ควรจะสมมติพจน์ทว่ั ไปดงั น้ีคือ

... , a – 5d , a – 3d , a - d , a + d , a + 3d , a + 5d , …

[ โดยเริ่มจากตรงกลางคือ a – d และ a + d แล้วขยายไปทั้งดา้ นซ้ายและดา้ นขวาที่ละ 2d

ขอ้ ต้องระวัง : กรณีสมมตแิ บบพจนค์ ู่นี้ ผลต่างร่วมของเราจะเป็น 2d ไมใ่ ช่ d ]

ตวั อย่าง ลำดับเลขคณิตชุดหนงึ่ มี 6 พจน์และผลบวกของทุกพจน์เทา่ กับ 42 และพจน์ทสี่ องเทา่ กบั 1 จงหาลำดบั ชุดน้ี

พจน์กลาง หรือ มัชฌิมเลขคณิต [ Arithmetic Mean ] ตัวยอ่ A.M.

พจนก์ ลาง คอื พจนต์ รงกลางทั้งหมดท่อี ยูร่ ะหว่างพจน์แรกและพจน์สดุ ท้าย

การหาพจน์กลางหนงึ่ พจนร์ ะหว่างจำนวนจริง a และ b

ให้ a , x , b เรยี งเปน็ ลำดับเลขคณิต [ เมือ่ a , x , b  R ]

จะได้วา่ x - a = b - x

2x = a + b
a+b
x = 2

เช่น A.M. หนึง่ พจน์ระหวา่ ง 2 และ 8 คือ 2+8 =5
การหาพจน์กลาง 2
1 1
A.M. หน่งึ พจนร์ ะหวา่ ง 1 และ 1 คอื 2 + 6 1
26 3
2 =
=
A.M. หนงึ่ พจน์ระหวา่ ง a - x และ a + x คือ (a − x) +(a + x) a

m พจนร์ ะหว่างจำนวนจริง a และ b 2

เพราะว่า ลำดับนม้ี ี m + 2 พจน์ โดย a1 = a และ am+2 = b
am+2 = a1 + (m + 2 - 1)d
b = a1 + (m + 1)d
b = a + (m + 1)d

b - a = (m + 1)d
b−a
m+1 =d

ตวั อยา่ ง 10 จงหาพจน์ตรงกลาง 5 พจนข์ องลำดับเลขคณติ ระหว่าง 29 และ 5

5 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 5
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

ตวั อยา่ ง 11 ถา้ 21, x, y, 12 เรยี งกนั เปน็ ลำดับเลขคณติ จงหา x และ y

ทบทวนลำดบั เรขาคณติ

= −1


= 1 −1

ตวั อยา่ ง 1 จงหาพจน์ท่ี 6 ของลำดับเรขาคณิต 1 , 2 , 4 , 8 , ...

ตวั อยา่ ง 2 ลำดับเรขาคณติ มี a1 = 27 และ a4 = 1 จงหา r
64 8

ตวั อยา่ ง 3 ลำดับเรขาคณติ มี a3 = 12, r = -2 และ an = 768 จงหา n

ตวั อยา่ ง 4 กำหนดลำดบั เรขาคณิตซงึ่ มีพจน์ที่ 4 เท่ากบั -24 และพจน์ท่ี 9 เท่ากับ 768 จงหาพจน์ที่ n

6 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 6
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

ตวั อยา่ ง 5 ลำดบั เรขาคณติ (a1)(a2)(a3) = 64 และ a1 = 12 จงหาลำดบั เรขาคณิตน้ี

ตวั อยา่ ง 6 ในปี พ.ศ. 2518 ประชากรในจงั หวัดหนึ่งมี 60,000 คน ถา้ ประชากรในเมอื งน้เี พ่ิมขน้ึ 4% ในแตล่ ะปีโดย
เพ่มิ จากประชากรของปีนนั้ ๆ จงหาจำนวนประชากรในปี พ.ศ. 2524

ขอ้ สังเกต โดยปกติ : พจนท์ ่วั ไปของลำดับเรขาคณิตจำกดั ในรูปของ a1 และ r คือ
a1 , a1r , a1r2 , … , a1rn - 1

1. ในกรณีท่ีทราบวา่ ลำดับเรขาคณิตจำกดั ชุดหนง่ึ มีจำนวนพจนเ์ ป็นเลขคค่ี วรจะสมมติพจน์ทั่วไปดังน้ีคอื
... , ar-2 , ar-1 , a , ar , ar2 , …
[ โดยเริม่ จากตรงกลางคอื a แล้วขยายไปทั้งด้านซ้ายและด้านขวาทลี่ ะ r ]

ตัวอย่าง ลำดบั เรขาคณติ ชุดหน่งึ มี 5 พจน์และผลคูณของทกุ พจนเ์ ทา่ กับ 32 ถา้ อตั ราส่วนรว่ มมคี ่าเทา่ กับ 3
จงหาลำดับชุดนี้

วธิ ที ำ สมมติลำดบั นี้คอื a , a , a, ar , ar 2
r2 r

7 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 7
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

พจนก์ ลางเรขาคณติ หนึง่ พจน์ระหว่าง a และ b [Geometric Mean] ตวั ย่อ G.M.

G.M. =  √
หรือ G2 = ab

ตวั อยา่ ง 7 จงหา G.M. 1 พจน์ระหว่าง 8 และ 18

ตวั อยา่ ง 8 จงหาพจน์กลางเรขาคณิต 4 พจนร์ ะหวา่ ง 3 และ 96

ตวั อยา่ ง 9 จงหา G.M. 3 พจน์ระหวา่ ง 1 และ 4
4 81

ตวั อยา่ ง 10 จงหาจำนวนจรงิ บวก 2 จำนวน ซง่ึ A.M. 1 พจนเ์ ท่ากับ 25 และ G.M. 1 พจนเ์ ท่ากับ 24
วธิ ีทำ ใหเ้ ลข 2 จำนวนนัน้ คือ a และ b

8 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ท่ี 6 8
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

♥ลมิ ติ ของลำดบั อนนั ต์ [Limit of Infinite Sequence]

ลำดับอนันต์ คอื ลำดบั ทีอ่ ยู่ในรูป an โดยที่ n มีค่ามากขนึ้ ไปเรอื่ ย ๆ ไมม่ ที ส่ี ้นิ สดุ ( n →  ) …
เชน่ -1 , 1 , -1 , 1 , -1 , …, (-1)n , …
1 , 3 , 5 , 7 , 9 , …, 2n – 1 , …

INTRO : ลมิ ติ ของลำดบั
พิจารณาค่าของลำดับเมือ่ n มีคา่ มากขึ้นโดยไม่มที ี่สิ้นสุด

1. ลำดบั an = 5
n1 234 5 6 7 8
an

an

n

ลกั ษณะของกราฟ ______________________________________________________
เมอื่ n มากข้นึ เรื่อย ๆ กราฟเป็นอย่างไร? ________________________________________

2. ลำดับ an = 1

n1 2 3 4 5 6 7 8 …

aan n

n

ลักษณะของกราฟ ______________________________________________________
เมอื่ n มากข้นึ เร่อื ย ๆ กราฟเป็นอย่างไร? ________________________________________

9 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ท่ี 6 9
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์
(1)
3. ลำดับ an =
2
n1 2 3 4 5 6 7 8…

aan n

n

ลกั ษณะของกราฟ ______________________________________________________

เมื่อ n มากขึน้ เรอ่ื ย ๆ กราฟเป็นอยา่ งไร? ________________________________________

4. ลำดับ an = (−1)

n1 2 3 4 5 6 7 8…

an

an

n

ลกั ษณะของกราฟ ______________________________________________________

เมอ่ื n มากข้ึนเรอ่ื ย ๆ กราฟเป็นอย่างไร? ________________________________________

เรยี กลำดับนว้ี า่ ลำดับ ______________________________

บทนยิ าม การหาลมิ ิตของลำดับ คือ การพิจารณาว่าพจน์ท่ี n ของลำดบั เมื่อ n มีค่ามากข้ึนเรอื่ ยๆไม่สิ้นสุด [n →  ]
วา่ มคี ่าเข้าใกล้จำนวนใด

ถา้ n →  แลว้ an → L แปลวา่ ถ้าลำดบั อนันต์เมอ่ื n เพ่ิมขนึ้ อย่างไม่มีที่สน้ิ สดุ แล้วคา่ ของพจน์ท่ี n

ของลำดบั อนันตด์ งั กลา่ วมคี ่าเข้าใกล้ L(L เป็นตัวเลขใด ๆ)แล้วเราจะเรยี ก L วา่ ลิมิตของลำดบั

เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ lim an =L

n→

10 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 10
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

นยิ าม ลำดบั ทีม่ ลี ิมิต คือ ลำดบั ท่ีค่าของ an เข้าใกลห้ รือเทียบเท่ากับคา่ คงที่ค่าใดค่าหนึ่ง เมื่อ n →  เรียกลำดับชนิดนวี้ า่

“ ลำดบั คอนเวอรเ์ จนต์ [ Convergent Sequence ] ใชส้ ญั ลกั ษณ์ lim an = L
1 1 1
เช่น 1) 1, 2 , 3 , 4 , ... n → เปน็ ลำดับซ่ึงค่าของ an เขา้ ใกล้ 0 เมอ่ื n → 

2) 2, 2 1 , 2 1 , 2 1 , ... เป็นลำดบั ซ่ึงคา่ ของ an เข้าใกล้ 2 เม่อื n → 
2 3 4

3) 5 , 5 , 5 , ... เปน็ ลำดบั ซ่งึ ค่าของ an = 5 เมือ่ n → 

4) 1 , 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , ... เป็นลำดบั ซ่ึงเม่ือ n  4 แล้ว an = 4
นยิ าม ลำดบั ไดเวอรเ์ จนต์ [ Divergent Sequence ] คอื ลำดบั ทไ่ี มม่ ลี มิ ติ

1) 1 , 2 , 4 , 8 , ... เปน็ ลำดบั ซึ่งมีค่าเพมิ่ ขนึ้ อย่างไม่มีขอบเขต

2) 6 , 3 , 0 , -3 , -6 , ... เป็นลำดบั ซ่งึ มีคา่ ลดลงอยา่ งไมม่ ขี อบเขต

3) 1 , -1 , 1 , -1 , ... เปน็ ลำดับซึ่งมคี ่าเพม่ิ ข้ึน ลดลง สลบั กนั ไปซ่ึงไม่เขา้ ใกล้หรอื เทา่ กบั ค่าใดค่าหน่ึง

4) 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , ...เป็นลำดับซึ่งมคี ่าเพ่ิมข้นึ ลดลง อยา่ งมรี ะเบยี บแต่ไมเ่ ข้าใกลห้ รือเทา่ กบั คา่ ใดค่าหนึ่ง

5) 2 , 5 , -8 , 7 , 11 , ...เปน็ ลำดบั ซึ่งเราบอกไมไ่ ด้ว่า เม่ือ n →  แลว้ an มีคา่ เปน็ อย่างไร

an

ลำดับลูเ่ ข้า ลำดับลูอ่ อก

Convergent Divergent

lim = ; ∈ lim = ∞, −∞

→∞ →∞

มคี ่าเดยี ว lim มีหลายคา่

การพิจารณาลมิ ติ ของลำดบั สามารถทำได้ 2 วิธี →∞

- พิจารณากราฟของลำดบั หรอื ตำแหนง่ ของพจนท์ ่ี n ของลำดบั บนเส้นจำนวน

- พิจารณาโดยใช้ทฤษฎีเกี่ยวกับลิมิต

ทฤษฎเี กยี่ วกบั ลิมติ ของลำดบั 2. ให้ r เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ
1. ให้ k เปน็ จำนวนจริงบวกใด ๆ จะไดว้ ้า

1) lim หาค่าไม่ได้ 1) ถา้ | | < 1 แล้ว lim = 0
→∞ →∞

02) 1 2) ถ้า | | > 1 แลว้ lim หาคา่ ไมไ่ ด้
lim = →∞

→∞

สำคญั

11 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 11

3. ลิมิตของพชิ คณติ ของลำดับ ให้ , เป็นลำดับของจำนวนจริง c เป็นคา่ คงตวั ใด ๆ ที่ lim , lim = ≠ 0

→∞ →∞

1) lim =

→∞

2) lim = lim

→∞ →∞

3) l i→m∞( ± ) = l i→m∞ ± l i→m∞

4) l i→m∞( ∙ ) = l i→m∞ ∙ l i→m∞

5) lim ( ) = lim

→∞

→∞ lim

→∞

6) lim m an = m lim an

n→ n→

4. ลมิ ติ ของลำดับเศษส่วนพหนุ าม

กำหนดลำดับท่มี ีพจน์ที่ n คอื an = A1np + A2np−1 + A3np−2 + ... + An
B1nq + B2nq−1 + B3nq−2 + ... + Bn

1) ถ้า p < q จะได้ lim an = 0
2) ถ้า p = q จะได้
3) ถ้า p > q จะได้ n→

lim an = A1
B1
n→

lim an หาคา่ ไม่ได้

n→

5. ลิมิตของลำดบั สลับ กำหนด an เปน็ พจน์ที่ n ของลำดบั สลับ เช่น –1,12 , − 1 , 41,… จะได้วา่
3

1) ถา้ lim an =0 แลว้ ลำดบั สลับนจี้ ะเป็นลำดับคอนเวอร์เจนต์ และ lim an = 0

n→ n→

2) ถ้า lim an 0 หรอื หาคา่ ไม่ได้ แลว้ ลำดบั สลับนี้จะเป็นลำดบั ไดเวอรเ์ จนต์

n→

6. ถา้ an เปน็ พจนท์ ี่ n ของลำดับที่คอนเวอร์เจนตแ์ ลว้ lim an = lim an+1 = lim an+k เมอ่ื k เปน็ จำนวนเต็ม

n→ n→ n→

NOTE

♥ ในการหาลมิ ติ ของเศษสว่ นพหุนาม อาจจะเลอื กพจน์เพื่อหารทั้งเศษและส่วนจะต้องเลอื กพจน์ที่มีดีกรสี ูงสดุ และเทอมนนั้
จะตอ้ งเข้าใกล้  เมอ่ื n →  เชน่

♥ กำหนด an เป็นพจน์ท่ี n ของลำดับในรูปฟังก์ชนั เอกโพเนนเชยี ล หารด้วยฟังก์ชนั เอ็กโพเนนเชยี ล

an = A1 x1n + A2 x2n + A3 x3n + ... + Ak xkn
B1 y1n + B2 y2n + B3 y3n + ... + Bk ykn

12 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 12

มีหลักการ โดยนำฐานสูงสุดของฟังก์ชันเอก็ พเนนเชยี ลใน an หารทงั้ เศษและสว่ นของ an แล้วใช้สมบัติของ 2 เพือ่ หา lim an เช่น

n→

an = 3  2n + 5  3n+1
3  3n−1 + 5  2n+1

ตวั อยา่ ง 1 จงพิจารณาลิมิตของลำดบั an = n + 1
แบบที่ 1 n

พิจารณา an เมอ่ื n → 
n+1 1
an = n = 1+ n

จะเหน็ ว่า เมอื่ n →  คา่ ของ 1 → 0 ซ่งึ จะไดว้ ่า 1+ 1 → 1
n n

 lima n = 1
n→

แบบท่ี 2 พิจารณาจากกราฟของลำดับ

an

2
1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

แบบที่ 3 ใชท้ ฤษฎีลิมิต
n+1
an =
= nnn+n
1 1+ 1 เพรำะวำ่ หำรดว้ ย n ทงั้ เศษและส่วน]
n n
= 1
n =
lim an =  1+ 1  lim 1 + lim 1
lim n n
n→ n→ n→
n→

= 1+0 =1

ตัวอย่าง 2 จงหาลิมติ ของลำดบั ที่มี an = 2n 2 − 5n + 8
3n 2 − 8n + 9

an = 2n 2 − 5n + 8 2− 5 + 8 [นำ n2 หารทง้ั เศษและสว่ น]
n2 n2 n2 = n n2
3n 2 − 8n + 9
n2 n2 n2 3− 8 + 9
n n2

13 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 13
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์
32−+−nli→m5n8n++5nnn89+22
lim an = lim   8
  n2
n→ n→  
2
= lim lim
= 8 9
n→ n n→ n22

lim 3 − lim + lim 3
n2→−0 + 0n→
3−0+0 n→

=

ดังน้ันลำดับ an = 2n 2 − 5n + 8 เปน็ ลำดบั คอนเวอรเ์ จนต์
3n 2 − 8n + 9

ตัวอยา่ ง 3 จงหาลิมิตของลำดับ an = n
n 2 + 3n + 5

n1

an = n2 = n
n 2 + 3n + 5 1+ 3 + 5
lim an = n2 n2 n2 n n2

n→ lim 1
n→ n
= 3 5
lim 1+ lim n + lim n2
ดงั น้ัน ลำดับ n→
n0→ = n→
1
0

an = n เป็นลำดบั คอนเวอร์เจนต์
n2 + 3n + 5

ตัวอยา่ ง 4 จงหาลมิ ติ ของลำดบั ท่ีมี an = n2 + 5n + 8
2n + 1
n2
an n2 + 5n + 8 1 + 5n++n12n82
n2 n2
= 2n 1 = 2
n2 + n2 n

lim an = lim 1+ lim 5 + lim 8
n→ n n2
n→ n→ 2 n→
n 1
= 1 lim + lim n2
0
= n→ n→
ดังนน้ั ลำดบั
=

หาคา่ ไมไ่ ด้

an = n2 + 5n + 8 เปน็ ลำดบั ไดเวอรเ์ จนต์
2n + 1

14 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ท่ี 6 14
n+4 n+1
ตวั อยา่ ง 5 จงหาลมิ ิตของลำดับที่มี an = 3 + 24 n − 3 n

an = n12 + n14 + 1 = n12 + n14 + 1
= =
3 + 212n 14 −nn11342 n+12 1 = − 3n12 + 2n14 + 3
lim an = n n12 −13++n1n14214++n1n12312
n 12 +
n→
−1n+31n2012++0 2n 14 + 3
n12 n12
1
−3+0+0 − 3

ตวั อย่าง 6 จงหาลิมิตของลำดบั ที่มี an =  3n + 1 3
4n − 5

lim an =  lim 3n +1 3
 4n − 5
n→ n→ (หรือ ใชท้ ฤษฎีบท 1: ผลคูณของลำดบั )
3 =
= 3 27
4 64

ตวั อยา่ ง 7 จงหาลมิ ิตของลำดบั ท่ีมี an = 4n
ตัวอย่าง 8 n+1

lim an = lim 4n
n→ n+1
n→

= 4= 2

จงหาลมิ ิตของลำดับ 5 , 9 , 13 , 17 , ... [ A.S. ]
24 6 8 [ A.S. ]

จากโจทย์5 , 9 , 13 , 17 , ... , 4n+1 , ...
2 , 4 , 6 , 8 , ... , 2n , ...

an = 4n + 1 = 2 + 1
lim an =  + 2n
2n 1  1
n→ 2 2n = lim 2 + lim 2n
lim n→
n→
n→

= 2+0 =2

ดงั นั้น 5 , 9 , 13 , 17 , ... มลี มิ ติ เท่ากับ 2 เป็นลำดับคอนเวอร์เจนต์
2 4 6 8

15 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 15
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

ตัวอยา่ ง 9 จงหาลิมติ ของลำดับที่มี an = n + 1 − n

an = ( n+1− n) n+1+ n 
 n+1+ n 

= (n + 1) − n = 1
n+1+ n n+1+ n

lim an = 0

n→

ตวั อยา่ ง 10 จงพิจารณาลิมิตของลำดบั ที่มี an = sin n
แบบท่ี 1 2

แบบที่ 2 พจิ ารณา an เม่อื n → 

a1 = sin  = 1
2

a2 = sin  = 0

a3 = sin 3 = −1
2

a4 = sin 2 = 0
a5 = sin 5 = 1

2

จะเห็นว่า เม่อื n →  ค่าของ an = 1,0,-1,0,1 ซึ่งไมเ่ ขา้ หาค่าคงทคี่ ่าใดคา่ หน่งึ เลย
n
ดังนน้ั ลำดับ an = sin 2 จงึ เป็นลำดับไดเวอรเ์ จนต์

พจิ ารณาจากกราฟของลำดับ

an n

1

1 2 34 5 6 7

-
1

16 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ท่ี 6 16
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์
6
แบบฝกึ หดั 1 0

1. กำหนดพจน์ที่ n ของลำดับให้ดงั ต่อไปน้ี พิจารณาวา่ เป็นลำดบั ลู่เขา้ หรือลอู่ อก ถา้ ล่เู ข้า จงหาลมิ ิตของลำดับ

1. an = 3 2. an =  2  n
5n 3

3. an = 5 4. an = 3n
n2 +1 4n + 5

5 + 2n 2 + n +1 n+1
2n 2 + 5 n
5. an = 6. an = 3n+ 1

n2

7. an = 4n 2 8. an = 4n 4 + 3 + 2n
(n +1) 2 5n 2 − 6

9. an = n 2 + 5n + 2 10. a n = n + 2 − n +1
2n +1

2 n+1 + sin n
2
11. a n = 2n

เฉลย 2. 0 3. 0 4. 3 5.
1. 0 9. 4 10.

6. ไดเวอร์เจนต์ 7. 4 8. 2 ไดเวอร์เจนต์
11. 2 5

2. จงหา lim an ของลำดบั ตอ่ ไปนี้โดยใชท้ ฤษฎีบท (ลำดบั ในรูป POLYNOMIAL) พหนุ าม

n→

1. an = 3n2 1 2. an = n2 + 3n7
2n2 + 2n7 + 6n

3. an = 1+ 2n3 − 3n4 4. an = 1 + 2n3 − 3n4
2n4 − 5n2 +3 2n4 − 5n5

17 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 17
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

5. an = n3 − 3n2 + 4 6. an = (2n + 1)(3n − 2)
2n2 − n5 (1 − 2n)(3n + 1)

7. an = (1 − n3 − 1 6n + 1) 8. an = 4n2 − 1
2n)(3n2 − 2n

9. an = n+1−1 10. an = 9n2 + n + 1
1+ n−1 n+3

18 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 18
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

11. an = 2n + 1 + 2n −1 12. an = 2 + 4 + 6+ ... + 2n
n −1 + n+1 n2

( )13. 3
an = n3 12 + 22 + 32 + ... + n2

14. an = 1 + 8 + 3n4 ... + n3
27 +

15. an n(1 + 2 + 3 + ... + n)

= 12 + 22 + 32 + ... + n2

19 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 19
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

3. จงหา lim an โดยอาศยั ทฤษฎีบท (ลิมิตของลำดับในรูป exponential)

n→

1. an = 1+ 2n+2 2. an = 2n − 5  3n+1
2n +5 3n−1 + 5

3. an = 1 −3 5n + 2n 4. an = 5n+1 + 22
7n+1 + 5n 5n−1 + 5

5. an = 3 5n 6. an = 9n −1 + 2n
+ 2n+1 3n+1 + 2n

4. จงหา lim an โดยอาศัยทฤษฎบี ท (ลมิ ิตของลำดบั ในทไ่ี ม่กำหนด ∞- ∞)

n→

1. an =n − n3 n
2 2n2 +

20 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 20

2. an = n3 2 − n2
n2 + n+3

3. an = 4n 1 − 6n 1
2n + 3n −

4. an = n + 1 − n

5. an = n2 + 2n + 4 − n2 + 1
6. an = n2 + 2n + 4 + n2 + 2 − 2n

21 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 21
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

ทบทวนอนกุ รมเลขคณติ และอนกุ รมเรขาคณติ

1. จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของลำดับเลขคณติ 11, 15, 19 ...

2. กำหนดลำดบั เลขคณติ ลำดบั หนงึ่ มีพจน์ท่ี 1 เป็น 55 และพจนท์ ี่ 17 เปน็ 231 จงหาผลบวก 17 พจนแ์ รกของลำดบั น้ี

3. กำหนดลำดบั เลขคณติ ซึง่ ผลบวกของพจน์ท่ี 1 กบั พจน์ที่ 5 เทา่ กบั -2 และผลบวกของพจน์ท่ี 2กบั พจน์ท่ี 6 เท่ากบั 2
จงหาพจน์ท่ี 10 และผลบวก 10 พจนแ์ รก

22 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 22

4. กำหนด x, y, z เป็นลำดบั เลขคณิตแล้ว (x +2y – z)(2y + z – x)(z + x – y) มคี ่าเทา่ ใด

5. กำหนดลำดับเรขาคณติ 1 , 1 , 1 , ... จงหา S10
24 12 6

6. ลำดับเรขาคณิตหนึ่งมี n พจน์ ถ้า 3 พจน์สดุ ท้ายรวมกนั เทา่ กบั 1024 เทา่ ของผลบวก 3 พจน์แรก
และพจน์ท่ี 3 เท่ากับ 5 แล้วคา่ ของพจน์สุดท้ายเท่ากับเทา่ ใด

7. ถ้า k – 3, 2k – 4, 4k – 3 เปน็ ลำดับเรขาคณิตแลว้ อัตราสว่ นรว่ มมคี ่าตรงกับขอ้ ใด

23 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ท่ี 6 23
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

♥อนกุ รมอนนั ต์ (Infinite Series)

ถา้ a1, a2, a3, a4, a5,…, ak เป็นลำดบั จำกัดที่มี k พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงการบวกของพจน์ทกุ พจน์ของลำดับรูป
a1+a2+a3+a4+a5+…+ak วา่ อนุกรมจำกดั (finite series)

ถ้า a1, a2, a3, a4, a5, …, ak, … เป็นลำดับอนนั ต์ จะเรยี กการเขยี นแสดงการบวกของพจน์ทกุ พจน์ของลำดบั รูป
a1+a2+a3+a4+a5+…+ak+… วา่ อนกุ รมอนนั ต์ (infinite series)

ทบทวนการหาผลบวกดว้ ย 

1. n c = nc


i =1
n
2. n i = 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 ( n + 1)


i =1
n
3. n i 2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 6 ( n + 1) ( 2n + 1)


i =1

4. n i 3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = n2 ( n + 1) 2
4

i =1

1. จงหาผลบวกตอ่ ไปนี้

1) 6 (i 2 + 3) 2) 14 i(i + 2)

 
i =1 i =1

3) 1 + 2 + 3 + … + 20 4) 13 + 23 + 33 + ... + 103
1 + 2 + 3 + ... + 10

5) 12 + 22 + 32 + ... + k2 6) 8 (2i + 1)2
k

i =1

24 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 24
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

2. จงหาค่าของ (1)(1) + (2)(3) + (3)(5) + …+(8)(15)



อนกุ รมอนนั ต์ คอื a1+a2+a3+a4+a5+…+an+… แทนดว้ ย an
n=1

ลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม (sequence of partial sum)



กำหนด an = a1+a2+a3+a4+a5+…+an+… และ Sn เป็นผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมน่ันคอื
n=1

S1 = a1

S2 = a1+a2

S3 = a1+a2+a3

Sn = a1+a2+a3+a4+a5+…+an



บทนยิ าม กำหนดอนุกรมอนันต์ an = a1+a2+a3+a4+a5+…+an+… และเรยี ก Sn เป็นผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรม
n=1


1)
ถา้ lim Sn =L , LR (หาค่าได)้ แลว้ an เป็นอนกุ รมลเู่ ขา้ (convergent series)

n→ n=1



น่นั คือ an = L
n=1


2)
ถ้า lim Sn หาค่าไมไ่ ด้ แลว้ an เปน็ อนุกรมลอู่ อก(divergent series) ไม่สามารถหาผลบวกอนันตไ์ ด้

n→ n=1

สญั ลกั ษณแ์ ทนผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์

 ( )  n 
  อนกุ รม  k =1 
an เปน็ อนุกรมล่เู ขา้ ; S = an = lim Sn = lim a1 + a2 + a3 + ... + an = lim ak

n=1 i =1 n→ n→ n→

25 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ท่ี 6 25
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

สมบตั ขิ องอนกุ รมลูเ่ ขา้


ถา้ อนุกรม
an เปน็ อนุกรมล่เู ขา้ แลว้ lim an = 0

n=1 n→

แสดงวา่ lim an 0 แลว้ lim Sn หาค่าไมไ่ ด้ หรือเปน็ อนกุ รมลอู่ อก

n→ n→

ขนั้ ตอนการหาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ หำ lim

→∞

lim = 0 lim ≠ 0

→∞ →∞

หา = อนุกรมลู่ออก ไดเวอร์เจนต์

l i→m∞ หาค่าไม่ได้

l i→m∞ = L l i→m∞ หาค่าไม่ได้

อนุกรมลูเ่ ขา้ คอนเวอรเ์ จนต์ อนกุ รมลู่ออก ไดเวอร์เจนต์

=L หาคา่ ไม่ได้

♥อนกุ รมอนนั ตเ์ รขาคณติ

ทบทวน an = ____________________

Sn = ________________

l i→m∞ = { l i→l mi→m∞∞ 1 1(1(111−−−− ) ) = 0 เมอ่ื __________
หาค่าไม่ได้ เม่อื __________

S∞ = 1 เมื่อ __________
1−

26 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 26
NOTE ; 1. สำหรับอนุกรมเลขคณติ อนันต์ เป็นอนกุ รมลู่ออกเสมอ ยกเวน้ อนุกรมทมี่ ี d = 0

2. อนกุ รมฮาร์โมนกิ อนันต์ ทกุ อนกุ รมเป็นอนกุ รมล่อู อก

3. อนกุ รมอนนั ต์ของอนกุ รมเรขาคณติ มีผลบวกอนันต์ S∞ = 1
1−

แบบฝกึ หดั 2

1. จงตรวจสอบอนกุ รมเรขาคณติ ตอ่ ไปนวี้ า่ เป็นอนุกรมคอนเวอรเ์ จนตห์ รอื ไดเวอร์เจนต์ ในกรณที ่เี ป็นคอนเวอรเ์ จนต์จงหาผลบวกของอนกุ รม

1) 16 + 12 + 9 + ... + 16  3 n−1 +… 2) 1 + 1 + 1 + ...
 4  248

3) 3 - 6 + 12 − 24 + ... 4) 1− 2 + 4 − 8 + ... +  − 2 n−1 + ...
5 25 125 3 9 27  3 

5)   3 n 6) 2
n=1  2 
n=1 ( −3)n

7)  2n + 3 8)  2n+1 + 3n−1
n=1 5n−1 n=1 4n

27 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ท่ี 6 27

9) 2 + 8 + 32 + ... + 22n−1 + ... 10) 1 – 2 + 4 – 8 + 16 – 32 +…
3 9 27 3n

2. ถา้ ปล่อยลกู บอลจากความสูง 10 เมตร ลูกบอลกระดอนขึ้นมา 75% ของความสูงเดิมในแตล่ ะคร้งั แลว้ ระยะทางเคลื่อนท่ีทง้ั หมดใน
แนวต้งั ของลูกบอลเป็นเท่าไร

3. = 1 1  1 n 
กำหนด A −1 1 และให้ an = det  2 A  จงหา
an

n=1

4. กำหนดอนุกรม 1 1 1 + ... จงหาจำนวนบวก m ท่ีมากทส่ี ุดท่ที ำใหผ้ ลบวกของอนุกรมนม้ี ากกวา่ 0.01
2m + 2m+1 + 2m+2

28 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 28

5. ถ้า Sn แทนผลบวกของ n พจน์แรก และ S แทนผลบวกของอนุกรมเรขาคณติ

0.5 + 0.05 + 0.005 + 0.0005 + ... แล้วจำนวนเตม็ บวก n ที่นอ้ ยท่สี ุด ซง่ึ ทำให้ Sn − S  0.001

6. จงหาจำนวนจรงิ x ซึ่งมีผลบวกของอนกุ รมอนันตแ์ ต่ละข้อตอ่ ไปน้ี มีผลบวกตามท่กี ำหนด
1) 1 + x + x2 + x3 + xn-1 + … = 3

2) 6 + (3x 6 + (3x 6 + ... + (3x 6 + ... = 2
3x +1 3
+ 1)2 + 1)3 + 1)n

29 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ท่ี 6 29
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

♥อนกุ รมเทเลสโคป (Telescopic Series)

กำหนดให้ a1,a2,a3,…,an เป็นอนุกรมเลขคณติ

1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... เรยี กอนกุ รม
a1  a2 a2  a3 a3  a4 a4  a5 an−1  an Telescopic

1 + 1 + 1 + ... + 1 + ...
a1  a2  a3 a2  a3  a4 a3  a4  a5 an−2  an−1  an

เช่น 1 + 1 + 1 + 1 =
12 23 34 45

1+1 =
123 234
สรปุ การหา sn

Sn = ล 1 น  1 − 1  S = ล 1 น 1 
−  น ล  −  น 

1. จงพิจารณาวา่ เป็นอนุกรมล่เู ข้าหรอื ลอู่ อก ถ้าเปน็ อนกุ รมลเู่ ข้าจงหาผลบวกของอนกุ รม

1) 1 + 1 + 1 + 1 + ... + n 1 1) + ...
12 23 34 45 (n +

2) 1 1 + 3 1 + 5 1 + 1 + ... + (2n − 1) 1 + 1) + ...
3 5 7 79
 (2n

30 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ท่ี 6 30

3) 1 + 7 1 + 1 + 1 + ...
47  10 10 13 13 16

4) 1 + 1 + 1 + ... + 1 1
3 15 35 4n2 −

5) 1 + 1 + 1 + ...
123 234 345

31 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 31

2. ลำดับชดุ หนึ่งมี an = ( n + 1 + 4 ) จงหา lim Sn

3)(n n→

3. เราทราบว่า 1 = 1 − 1 แลว้  5 − 3 มีค่าเท่าใด
n+ n + n=1  
n( 1) n 1  2n n( n + 1) 

4.  8 − 7  มคี า่ เท่าใด
n=1
 5n (n + 3)(n + 4) 
 

5. กำหนดให้ 1 + 1 1 2 + 1 + 1 + 3 + 1 + 2 1 3 + 4 + ... + 1 + 2 + 3 1 4 + ... + n จงหา lim Sn
+ 2 + +
n→

32 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ท่ี 6 32
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

6. จงหาค่าของ  1 + 2 + 3 + ... + n 
n=1 13 + 23 + 33 + ... + n3 

7. สำหรับจำนวนนบั n กำหนดให้an=21 −  − 1 n คา่ ของ  มคี า่ เท่าใด (PAT1’มี.ค.59)
4n2 −  3 
an

n=1

33 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ท่ี 6 33
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

♥อนกุ รมอนนั ตแ์ บบผสมระหวา่ งอนกุ รมเลขคณติ และอนกุ รมเรขาคณติ

กำหนดให้ a1+a2+a3+...+an+… เป็นอนุกรมเลขคณิต และ b1+b2+b3+…+bn+… เปน็ อนกุ รมคอนเวอร์เจนต์

แล้ว อนุกรมผสม a1b1 + a2b2 + ... + anbn + ... เปน็ อนุกรมคอนเวอรเ์ จนต์

1. จงหาผลบวกของอนกุ รม 1 + 3 + 5 + ... + 2n − 1 + ...
5 52 53 5n

2. จงหาผลบวกอนนั ต์ของ 1 + 3 + 7 + 15 + ...
4 16 64

3. จงหาผลบวกของอนุกรม 5 + 10 + 15 + ... + 5n + ...
3 32 3n−1

34 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 34

4.  n2 + n
จงหาผลบวกของอนุกรม 3n−1

n=1

5. จงหาผลบวกของอนกุ รม 1+ 5 + 12 + 22 + ...
3 32 33

6. n23n 
กำหนดให้ an = 3 2 n+1 เมอ่ื n เป็นจำนวนเตม็ บวก ผลบวกของอนุกรม มีคา่ เท่าใด (PAT1;ต.ค.58)
an

n=1

35 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 35

7.  n2 + a = 21 แล้ว a
ถา้ a เป็นจำนวนจริงทส่ี อดคล้องกับ n=1 3n−1 2 มคี ่าเทา่ ใด (PAT1;ต.ค.59)

8. กำหนดอนุกรม 1 + 3 + 7 + 15 + ... ถ้า เป็นผลบวก พจนแ์ รกของอนุกรม แลว้ lim Sn เทา่ กบั ขอ้ ใด
2 4 8 16 Sn→ 2n

ต่อไปนี้ (PAT1’ ก.พ.63; 11)

1. 0 2. 1 3. 1 4. 1 .5. 1
8 4 2

36 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 36
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์
4. ไมม่ ีลมิ ิต
♥แบบฝกึ หดั เพมิ่ เตมิ เรอ่ื ง ลำดบั อนนั ต์ และอนกุ รมอนนั ต์

ชดุ ท่ี 1 เรอื่ งลมิ ติ ของลำดบั

1. ให้ an = 2n −3 8 , bn = 1 แล้ว lim an เท่ากับเท่าใด
2n3 − n2 + 3n2 n→ bn
3. 3
1. 1 2. 2
2 3

2. ให้ an = 2n2 2n , bn = 4n3 1 แล้ว lim anbn เทา่ กบั เท่าใด
3n3 + 3n2 −
n→

1. 1 2. 1 3. 7 4. 8
2 39 9

3. ค่าของ lim 7n+1 − 2n+1 เท่ากบั เท่าใด
5n+1 + 7n−1
n→

1. 0 2. 49 3. 1 4. 14
49

4. ถ้า an = n2 + n +1 , bn = 2n − 5n แล้วลมิ ิตของลำดบั ท่มี พี จน์ท่ี n เปน็ an − bn + anbn มคี ่าเท่ากบั เท่าใด
3n2 + 2n 5n +9

1. -1 2. − 1 3. 0 4. 1
3

5. กำหนด an = 3n+1 + 3n + 27 , bn = n2 + 1 − n2 − 1 ค่าของ lim ( an − bn ) เทา่ กับเท่าใด
9− 3n−1 + 3n n+2 n−2
n→

1. 7 2. 9 3. 11 4. 13

6. ลิมิตของลำดบั ในข้อใดมีคา่ ต่างจากลมิ ิตของลำดบั ในขอ้ อื่น

1. 5n2 + 5n + 1 2. 2n − n + 1
6 + 2n3 n + 1 2n

3. 1 4. n3 2 − n3 2
n2 + 1 n2 + n2 −

37 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ท่ี 6 37
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

7. ลำดบั an ในข้อใดเป็นลำดบั ไดเวอร์เจนต์

1. an = 5n + 1 2. an 1 + (−1)n
6 − 3n
=
n

3. an = cos ( 2n − 1)  4. an = sin n
2 2

( )4 5n−2 + 3n+1 มีค่าเท่าใด
( )8. lim
n→
8 5n + 7

1. 1 2. 1 3. 1 4. 1
2 3 25 50

( )a 5n + 3n + 2
( )9.ถา้ แลว้ a มคี ่าเท่าใด
lim 5n =2
n→ 4n + 2 −1

1. 2 2. 4 3. 5 4. 6

10. ขอ้ ใดต่อไปนี้ผดิ

1. ลำดบั an = 2 +  − 1 n เป็นลำดับคอนเวอรเ์ จนต์ และมลี ิมิตเป็น 2
 2 

2. ลำดบั an =  2n − 2 2 เป็นลำดับคอนเวอรเ์ จนต์ และมลี มิ ิตเปน็ 1
 2n + 3 

3. ลำดบั an (−1)n 2n เป็นลำดับไดเวอร์เจนต์

= 2n + 1

4. ลำดบั an 2(3)n −1 เปน็ ลำดับไดเวอร์เจนต์

= 3n + 1

11. ลำดบั ชุดหนง่ึ มี an = 4n2 + 1 + n2 + 3n + 1 สมบัตติ รงกบั ขอ้ ใด
1. เป็นลำดับไดเวอรเ์ จนต์
2. เป็นลำดบั คอนเวอร์เจนต์ และมลี ิมติ เปน็ 0

3. เป็นลำดับคอนเวอรเ์ จนต์ และมีลมิ ิตเปน็ 1

4. เปน็ ลำดับคอนเวอรเ์ จนต์ และมีลิมิตเป็น 3
2

38 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 38

12. ลิมติ ของลำดบั ทมี่ ี an = ( −1)n  n− 5  คอื ขอ้ ใด
 3n 

1. 0 2. − 1 3. 1 4. ไม่มีลมิ ติ
3 3

(13. lim n n+1 − )n มคี า่ ตรงกบั ข้อใด
n→
1. 0 2. 1 3. 1 4. ไมม่ ีลมิ ติ
3 2

14. กำหนด an = 3n + 2 − 3n + 1 แลว้ lim an มีค่าเท่าใด
1. 0 n+2 − n+1
n→

2. 1 3. 1 4. 3
2 3

15. ให้ a1,a2,…,an,… เปน็ ลำดบั เลขคณิตของจำนวนจริง โดยทีม่ ผี ลบวกส่พี จนแ์ รกของลำดบั เท่ากบั 14 และ a20 = a10 + 30

และให้ b1,b2,…,bn,… เป็นลำดบั ของจำนวนจริง โดยที่ b1 = a3 และ bn+1 = bn + 1 สำหรบั n = 1,2,3,…

ค่าของ lim an เท่ากับเท่าใด(PAT1’61; 43)
n→ bn

39 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 39
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

ชดุ ที่ 2 เรอ่ื ง สัญลกั ษณแ์ ทนการบวก อนกุ รมเลขคณติ อนกุ รมเรขาคณติ

1. ถ้า14  a + n  = 30 แล้ว a มคี า่ เทา่ ใด
n=0  2 

1. − 45 2. − 3 3. − 7 4. − 9
28 2 4 4

nn
( ) 2. ถา้ n เป็นจำนวนเตม็ บวกท่ีทำให้ K = 120 แลว้
4 − 12K 2 + 9K 4 − 4K 2 มคี า่ เท่าใด

k=1 k=1

1. - 8678 2. – 8650 3. – 1270 4. – 1242

10

3. ค่าของ (2i − 8) มคี า่ เทา่ กับเทา่ ใด
i =−2
1. 0 2. 8 3. 30 4. 60

( )n ( )2. (n + 1) n3 + 3n2 + 2n + 1
( )4. n(n + 1) n2 + 2n + 2 + 1
4. 4i3 + 6i2 + 2i + 1 มคี ่าเทา่ กบั เท่าใด
i =−2 3. 4 4. ไม่มีลมิ ิต
1. n4 + 5n3 + 5n2 + 2n

.

3. n4 + 4n3 + 5n2 + 3n

5. lim 1 + 2 n2 ... + n มีค่าเท่าใด
+3+
n→

1. 2 2. 3

6. กำหนดลำดับ 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5,... จากลำดับท่กี ำหนดให้ a1000 มคี า่ เท่าใด
1. 43 2. 44 3. 45 4. 46

40 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 40

7. ผลบวก 15 วงเล็บของอนกุ รม (1) + (2 + 3) + (4 + 5 + 6) + (7 + 8+ 9 + 10) + ... คือขอ้ ใด

1. 6260 2. 7260 3. 8260 4. 9260

8. ผลบวกของ 1 + 1 + 1 + ... + 1 เท่ากบั เท่าใด
1+ 2 2 + 3 3 + 4 15 + 16

1. 3 2. 5 3. 15 − 1 4. 15 + 1

9. ถา้ U ={ 200, 201, 202, …, 400} แลว้ ผลบวกท้งั หมดของจำนวนในเซต U ที่หารดว้ ย 8 หรอื 12 ลงตวั เทา่ กบั ข้อใด

1. 10200 2. 10500 3. 10800 4. 10900

10. ลำดบั เลขคณติ ชุดหนง่ึ มีผลบวก 10 พจน์แรกเท่ากบั 205 และผลบวก 10 พจน์ถดั ไปเท่ากบั 505 แล้วผลบวก 55 พจน์แรกของลำดับ
เลขคณิตนเี้ ทา่ กบั เท่าใด (PAT1;ต.ค.55;36)

11. กำหนดให้ 1, 2, 3, …, , … เปน็ ลำดบั เลขคณิตของจำนวนจริง โดยที่ 1 + 3 = 7 และ
2 + 4 + 6 + 8 = 74 คา่ ของ 1 + 2 + 3 + … + 50 เท่ากบั เท่าใด(PAT1;ก.พ.63;40)

12. ถ้าอนกุ รมเรขาคณติ มผี ลบวก 3 พจนแ์ รกเป็น 9 และมผี ลบวก 6 พจน์แรกเป็น – 63 แลว้ ผลบวก 10 พจน์แรกมคี ่าเท่าใด

1. -1023 2. 1023 3. 1124 4. -1314

13. ผลบวกสองพจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตมีค่าเท่ากับ 3 และผลบวกของพจน์ที่ 5 และพจน์ท่ี 6 มีค่าเท่ากับ 48 ค่าในขอ้ ใดเปน็

ผลบวก 7 พจนแ์ รกของอนกุ รมน้ี

1. -192 2. -129 3. -96 4. 63

41 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 41
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

14. ลำดบั เรขาคณติ ชดุ หนึ่ง มีอตั ราสว่ นร่วมเปน็ จำนวนจริง ถ้าผลบวกสองพจนแ์ รก เทา่ กบั 20 และผลบวกส่พี จนแ์ รก เท่ากับ 65
แลว้ ผลบวกของหกพจน์แรก เทา่ กบั เท่าใด (PAT1;ม.ี ค.55;34)

15. กำหนด a1 + a2 + a3 + … + a201 ถา้ a1 + a3 + a5 + … + a201 = 303 แลว้ คา่ ของ

a2 + a4 + a6 + … + a200 ตรงกบั ขอ้ ใด (PAT1;ธ.ค.54;15)

1. 287 2. 290 3. 297 4. 300

42 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ท่ี 6 42
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

แบบฝกึ หดั เพิ่มเตมิ ชดุ ท่ี 3 เรอื่ ง อนกุ รมอนนั ต์

1. อนกุ รม 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + ... มสี มบตั ิตรงกบั ขอ้ ใด
224

1. มลี มิ ติ เป็น 1 − 2 2. มลี ิมิตเปน็ 2 2 − 2
2

3. มีลมิ ติ เปน็ 2 2 + 2 4. ไมม่ ีลมิ ิต

2. ผลบวกอนันต์ ของอนกุ รม 8+6+ 9 + 27 + ... มคี ่าเทา่ ใด
2 8
1. 32 2. 34 3. 36 4. 38

3. คา่ ของ  2n + 4 n−1  คือข้อใด
n=1  5n 
 3 n−1 

1. 7 2. 5 3. 3 4. 8

4. จาก 2 =x+x2+x3+... 8 อยูใ่ นชว่ งใด

1. [0, 0.5] 2. [-1, 0.5] 3. (0.5, 1] 4. (1, 2)

5. ถา้ ผลบวกอนนั ต์ของอนุกรมเรขาคณติ มคี ่าเทา่ กับ 4 และผลบวกกำลงั สามของแต่ละพจน์ของอนุกรมน้ีเทา่ กบั 192 แลว้ อตั ราสว่ นร่วมของ

อนกุ รมเรขาคณิตน้ีคอื ขอ้ ใด

1. 1 2. − 1 3. 1 4. −1
4 4 2 2

6. อนุกรมชดุ หนึ่งมี an = 6n + 21n ข้อใดคอื ค่าของ lim Sn
14n + 49n
n→

1. 3 2. 4 3. 3 4. 7
4 97 8

43 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 43

1+ 1 + 1 + ... +  1 n−1
1+ 5 + 25  5 
7. กำหนดให้ Sn = 1 แล้วคา่ ของ lim Sn คือข้อใด
3 1 1 n−1
9 ...  3  n→

+ +

1. 3 2. 5 3. 6 4. 5
5 6 5 3

8. กำหนดให้ A = 1 + 1 + 1 + 1 + ... และ B = 1 + 1 + 1 + 1 + ...
3 33 333 3333 30 3300 333000 33330000

ค่าของ A – B ตรงกบั ขอ้ ใด

1. 1 2. 1 3. 1 4. 1
2 39

2k

( )( )( ) 9. ถ้า 1 + x + x2 + x3 + x4 + ... + xk = (1 + x ) 1 + x2 1 + x4 1 + x8 แลว้ i มคี า่ เทา่ ใด
i=k

1. 340 2. 350 3. 360 . 4. 370

12 3 4

10. ค่าของ (9)3 (9)3 (9)27 (9)81 ... เท่ากับเท่าใด

1. 7 2. 7 3. 16 4. 28
4 3 9 9

11. ผลบวกของอนกุ รม 1+ 5 + 9 + 13 + 17 + ... เท่ากับเท่าใด
22 24 26 28

1. 3 2. 3 3 3. 9 4. 81

12. 1 + 3x + 5x2 + 7x3 + 9x4 + … คอื ขอ้ ใด

1. 1+ x 2. 1− x 3. (1 + x )2 4. 1− x

(1 − x )2 (1 − x )2 1− x (1 − x )3

44 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 44

13. ผลบวกของอนุกรม 1 log 3 + 1 log 9 + 1 log 27 + ... เทา่ กบั เท่าใด
3 9 27

1. 1 log 3 2. 2 log 3 3. 3 log 3 4. 5 log 3
2 3 4 6

14. กำหนด S = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 + ... + ( )−1 n+1 n + ... ข้อใดคือ S
2 4 8 16 32 2n

1. 1 2. 2 3. 1 4. 3
9 9 3 16

15. ผลบวกของอนกุ รมอนันต์ 12 + 23 + 34 + ... มีคา่ เท่ากบั เท่าใด
3 32 33

1. 1 2. 2 3. 1 4. 3
99 3 16

45 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ท่ี 6 45
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์

แบบฝกึ หดั เพ่มิ เตมิ ชดุ ที่ 4 เรอ่ื ง อนกุ รมอนนั ต์

1. กำหนดอนุกรม 1 + 1 + 1 + ... + ( 4n − 1 (4n + 1) + ... ถ้า sn เป็นผลบวกย่อย
15 59 9 13
3)

แลว้ lim Sn มีค่าเท่ากบั เทา่ ใด

n→

1. 1 2. 1 3. 3 4. 5
4 2 4 4

2. ผลบวกของอนุกรม 1 9 + 9 1 + 10 1 + ... + 1 20 มีคา่ เท่าใด
8  10  11 119 

1. 7 2. 8 3. 3 4. 11
60 119 40 90

3. ผลบวกของอนุกรม 1 + 1 + 8 1 + ... มคี า่ เท่าใด
25 58  11

1. 1 2. 8 3. 1 4. 1
6 11 2 3

1 
n2 − 4
4. ai คอื ข้อใด
กำหนดให้ an = แลว้
i =1

1. 2 2. 1 3. 23 4. 25
52 48 48

5. ถ้าอนกุ รม 1 + 1 + 1 + ... = 1 ( k − 3 ) แล้ว k มีค่าเท่ากับเท่าใด
18 54 108 9

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

6. ค่าของ lim   (2k + 1 + 3)  คือข้อใด
 k =1 
n→  1)(2k 

1. 1 2. 1 3. 1 4. 1
2 3 6 9

46 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ที่ 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 46

7. ผลบวกของอนุกรม 1 + 1  +  1 + 1  +  1 + 4 1 5  + ... 4. 1
 2 23   6 34   18   2

1. 3 2. 5 3. 7
2 46

8. ผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ 1 + 3 1 5 + 3 + 1 + 7 + 3 + 5 1 7 + 9 + ... มคี า่ เทา่ ใด
3 + 5 +

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4
2 345

9. กำหนด Sn = 4 + 1 4 2 + 1 + 4 + 3 + 1 + 2 4 3 + 4 + 1 + 2 + 4 + 4 + 5 + ... 1 + 2 + 4 + ... + n
+ 2 + 3 3

แลว้ lim Sn มคี ่าเท่าใด

n→

1. 1 2. 2 3. 4 4. 8

10. กำหนดอนุกรม  an = 4 + 8 + 2 ... + 4n จงพิจารณาว่าข้อใดต่อไปนเ้ี ป็นจริง
12 +
an โดยที่

n=1

1. มีผลบวกเทา่ กบั 1 2. มผี ลบวกเทา่ กบั 1
2

3. มีผลบวกเทา่ กับ 3 4. มีผลบวกเท่ากบั 4
2

11. ถา้ 4n2 C 4n = 1 + 1 + 9 1 + ... แล้ว C มีคา่ เท่าใด
n=1 + 36 69 12

1. 2 2. 1 3. 4 4. 2
9 393

12. กำหนดให้ a1,a2,…,an,… เปน็ ลำดับเรขาคณติ โดยมี  an = 3 และให้ b1,b2,…,bn,…เป็นลำดับเรขาคณติ โดยมี
n=1 2

  a1 = 1 และ b1 = 7 แลว้  an เทา่ กบั เท่าใด(PAT1’63; 31)
bn = 5 ถา้ n=1 bn

n=1

1. 3 2. 7 3. 2 4. 5 5. 6
70 70 77 77 77

47 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ชั้ น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ท่ี 6 47
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์



13. กำหนดให้ a1,a2,…,an,… เป็นลำดับเรขาคณิตของจำนวนจริง โดยที่ มผี ลบวก 5 พจนแ์ รกเป็น 275 ถ้า an = 243
n=1

แลว้ ค่าของ 1 an เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (PAT1’62; 21)
n=1 2n−1

1. 0 2. 60.75 3. 121.5 4. 303.75 5. 607.5

25  an
n=1 4n−1
an = 1900 และ

n=1
 14. กำหนดให้ a1,a2,…,an,… เปน็ ลำดบั เลขคณิตของจำนวนจรงิ โดยท่ี = 8 ค่าของ a100 เท่ากบั ข้อ

ใดต่อไปน้ี (PAT1’59; 20)

1. 298 2. 302 3. 400 4. 499 5. 598

2  1 n 
4n2 − 1  3 
15. กำหนดให้ 2, an ตรงกบั ข้อใด (PAT1’59; 24)
an = − − สำหรับ n = 1, 3,…อนกุ รม
n=1

1. อนุกรมลเู่ ข้าและมีผลบวกเท่ากับ 5 2. อนกุ รมลู่เข้าและมีผลบวกเทา่ กับ 3
4 4

3. อนกุ รมลเู่ ข้าและมีผลบวกเท่ากับ 5 4. อนุกรมล่เู ขา้ และมีผลบวกเทา่ กับ 1
6 6
5. อนุกรมลอู่ อก

16. กำหนดให้ n23n 3,… 
an = 3 2 n+1 สำหรบั n = 1, 2, อนกุ รม
an ตรงกับขอ้ ใด (PAT1’58; 20)

n=1

1. อนุกรมล่เู ขา้ และมีผลบวกเทา่ กับ 8 2. อนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเทา่ กับ 4
3

3. อนกุ รมล่เู ข้าและมผี ลบวกเท่ากับ 24 4. อนุกรมลเู่ ข้าและมีผลบวกเท่ากับ 64
3

5. อนกุ รมลอู่ อก

48 | เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์
บ ท ท่ี 1 ล ำ ดั บ อ นั น ต์ แ ล ะ อ นุ ก ร ม อ นั น ต์ ช้ั น มั ธ ย ม ศึ ก ษ า ปี ที่ 6 48

17. กำหนดให้ an = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n สำหรับ n = 1, 2, 3,…
32n

คา่ ของ lim ( a1 + a2 + a3 + ... + an ) เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี (PAT1’58; 23)

n→

1. 2 2. 1 3. 9 4. 2 5. 25
9 8 56 7 56

 3 L
n=1 3
an = L

n=1
 18. ให้ L เป็นจำนวนจรงิ และ a1,a2,…,an,… เปน็ ลำดับเลขคณิตของจำนวนจรงิ โดยที่ และ an =

เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ีไม่ถกู ต้อง (PAT1’60; 9)

1. a4 = 2 a1 2. a14 = 16 a2
3 81

3. 3(a7 + a8 + a9 ) = 2(a4 + a5 + a6 ) 4. 12 an = 16 L
n=1 81

5.  an = 8 L
n=10 27