The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรื่อง ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by kunjira thawonsuphacharen, 2019-11-13 09:53:27

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรื่อง ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรื่อง ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์

นางรตั นา สะสม
โรงเรยี นวัชรวทิ ยา
อาเภอเมอื ง จงั หวดั กาแพงเพชร
สานักงานเขตพื้นทก่ี ารศกึ ษามัธยมศึกษา เขต 41

คำนำ

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เร่ือง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์
ไดจ้ ดั ทาข้ึนเพ่ือใชป้ ระกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ค33202
สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 6 มุง่ หวงั ใหน้ กั เรียนไดศ้ ึกษา ฝึกการเรียนรู้
พฒั นากระบวนการคิดแกป้ ัญหา โดยนาทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์มาช่วยในการ
ตดั สินใจแกป้ ัญหา ตลอดจนมีเจตคติท่ีดีต่อการเรียนคณิตศาสตร์ โดยแบง่ ออกเป็น 5 ชุด
ดงั น้ี

1. ชุดที่ 1 เรื่องลาดบั และรูปแบบการกาหนดลาดบั
2. ชุดท่ี 2 เรื่องลาดบั เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิต
3. ชุดท่ี 3 เร่ืองลิมิตของลาดบั
4. ชุดท่ี 4 เร่ืองผลบวกของอนุกรมอนนั ต์
5. ชุดท่ี 5 เรื่องสญั ลกั ษณ์แทนการบวก

ชุดกิจกรรมน้ีเป็ นชุดที่ 1 เรื่องลาดบั และรูปแบบการกาหนดลาดบั ประกอบดว้ ย
คาช้ีแจง สาระ มาตรฐานการเรียนรู้และผลการเรียนรู้ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ สาระสาคญั
ใบความรู้ ตวั อยา่ ง ใบกิจกรรม แบบทดสอบก่อนเรียนและแบบทดสอบหลงั เรียน
กิจกรรมประลองปัญญา ทา้ ใหค้ ิด พชิ ิตปัญหา พร้อมเฉลย นกั เรียนสามารถทากิจกรรม
ประเมินความรู้และตรวจสอบเองได้

ผจู้ ดั ทาหวงั เป็นอยา่ งยง่ิ วา่ ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์น้ี จะเป็นประโยชน์
ตอ่ นกั เรียนในการศึกษาหาความรู้ใหก้ บั ตนเอง ท้งั น้ีตอ้ งขอขอบคุณผทู้ ่ีมีส่วนเกี่ยวขอ้ ง
ทุกทา่ นที่ใหค้ าแนะนา สนบั สนุนในการจดั ทาชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์
มา ณ โอกาสน้ี

รัตนา สะสม

สำรบญั

หนา้

คาช้ีแจงการใชช้ ุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์………………………….. 1
สาระ และมาตรฐานการเรียนรู้……………………………………………… 2
ผลการเรียนรู้………………………………………………………………… 3
จุดประสงคก์ ารเรียนรู้……………………………………………………….. 3
แบบทดสอบก่อนเรียน ชุดท่ี 1 เรื่องลาดบั และรูปแบบการกาหนดลาดบั ……. 4
สาระสาคญั …………………………………………………………………. 6
ประลองปัญญา………………………………………………………………. 7
ใบความรู้ 1.1 เรื่อง ความหมายของลาดบั ……………………….………….. 8
ใบกิจกรรม 1.1……………………………………………………………… 11
ใบความรู้ 1.2 เร่ือง รูปแบบการกาหนดลาดบั ……………………………… 12
ใบกิจกรรม 1.2…………………..………………………………………… 15
ใบกิจกรรม 1.3…………………..………………………………………… 16
ทา้ ใหค้ ิด…………………………………………………………………… 17
ใบความรู้ 1.3 เร่ือง การหาพจนท์ วั่ ไปของลาดบั …………………………… 18
ใบกิจกรรม 1.4……………………………………………………………… 22
พิชิตปัญหา…………………………………………………………………. 24
แบบทดสอบหลงั เรียน ชุดที่ 1 เร่ืองลาดบั และรูปแบบการกาหนดลาดบั ........ 25
กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน

ชุดท่ี 1 เร่ืองลาดบั และรูปแบบการกาหนดลาดบั .................................. 27
แบบบนั ทึกคะแนน ชุดท่ี 1 เรื่องลาดบั และรูปแบบการกาหนดลาดบั ............ 28
บรรณานุกรม………………………………………………………………... 29

สำรบญั (ต่อ)

หนา้

ภาคผนวก
- เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน……………………………………... 31
- เฉลยกิจกรรมประลองปัญญา……………………………………. 32
- เฉลยกิจกรรม 1.1 ….……………………………………………. 33
- เฉลยกิจกรรม 1.2 ………………………………………………. 34
- เฉลยกิจกรรม 1.3 ….……………………………………………. 35
- เฉลยกิจกรรมทา้ ใหค้ ิด…………………………………………… 36
- เฉลยกิจกรรม 1.4………………………………………………… 37
- เฉลยกิจกรรมพิชิตปัญหา…………………………………………42
- เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน………………………………………43

1

คำชี้แจงกำรใช้ชุดกจิ กรรมกำรเรียนรู้คณติ ศำสตร์

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชุดท่ี 1 เรื่อง ลาดบั และรูปแบบการกาหนดลาดบั
ใชป้ ระกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพิม่ เติม ค33202 ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 6
ใหน้ กั เรียนปฏิบตั ิตามข้นั ตอนตอ่ ไปน้ี (ใชเ้ วลาเรียน 3 ชว่ั โมง)

1. ทาแบบทดสอบก่อนเรียนลงในกระดาษคาตอบ แลว้ ตรวจคาตอบ
จากเฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน

2. ศึกษามาตรฐานการเรียนรู้ ผลการเรียนรู้ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ เน้ือหาในใบความรู้
และตวั อยา่ งก่อนทาใบกิจกรรมแต่ละชุด

3. ทาใบกิจกรรมและตรวจสอบคาตอบจากเฉลย
4. ทาแบบทดสอบหลงั เรียนลงในกระดาษคาตอบ แลว้ ตรวจคาตอบ

จากเฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน
5. ใหน้ กั เรียนบนั ทึกผลคะแนนท่ีไดจ้ ากการทาแบบทดสอบก่อนเรียน ใบกิจกรรม และ

แบบทดสอบหลงั เรียนไวใ้ นตารางบนั ทึกคะแนนทุกคร้ัง
6. นกั เรียนส่งกระดาษคาตอบ ใบกิจกรรม และตารางบนั ทึกคะแนน ใหค้ รูตรวจสอบ

ความถูกตอ้ งทุกคร้ัง

ใหน้ กั เรียนศึกษาชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ดว้ ยความต้งั ใจ และซ่ือสตั ย์
ตอ่ ตนเอง เพ่ือพฒั นาและส่งเสริมทกั ษะ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ สามารถนาไปใช้
ในการศึกษาตอ่ ในระดบั ท่ีสูงข้ึน และใชใ้ นชีวติ ประจาวนั

ต้งั ใจเรียนนะคะ…

2

สำระ และมำตรฐำนกำรเรียนรู้

สำระท่ี 4 พชี คณติ
มาตรฐาน ค 4.1 เขา้ ใจและวเิ คราะห์แบบรูป (Pattern) ความสมั พนั ธ์ และฟังกช์ นั

สำระท่ี 6 ทกั ษะและกระบวนกำรทำงคณติ ศำสตร์
มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกป้ ัญหา การใหเ้ หตุผล การสื่อสาร
การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ
การเชื่อมโยงความรู้ตา่ ง ๆ ทางคณิตศาสตร์และเช่ือมโยง
คณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อ่ืน ๆ และมีความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์
ม.4-6/1 ใชว้ ธิ ีการท่ีหลากหลายแกป้ ัญหา
ม.4-6/2 ใชค้ วามรู้ ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์และเทคโนโลยี
ในการแกป้ ัญหาในสถานการณ์ต่าง ๆ ไดอ้ ยา่ งเหมาะสม
ม.4-6/3 ใหเ้ หตุผลประกอบการตดั สินใจ และสรุปผลไดอ้ ยา่ งเหมาะสม
ม.4-6/4 ใชภ้ าษาและสญั ลกั ษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการส่ือสาร
การส่ือความหมายและการนาเสนอไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ งและชดั เจน
ม.4-6/5 เช่ือมโยงความรู้ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนาความรู้ หลกั การ
กระบวนการทางคณิตศาสตร์ไปเช่ือมโยงกบั ศาสตร์อ่ืน ๆ
ม.4-6/6 มีความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์

3

ผลกำรเรียนรู้
หาลิมิตของลาดบั อนนั ตโ์ ดยอาศยั ทฤษฎีบทเก่ียวกบั ลิมิตได้

จุดประสงค์กำรเรียนรู้

1. บอกความหมายของลาดบั ได้
2. บอกไดว้ า่ ลาดบั ที่กาหนดเป็นลาดบั จากดั หรือลาดบั อนนั ต์
3. เขียนลาดบั ในรูปแจงพจน์เม่ือกาหนดพจนท์ ว่ั ไปได้
4. เขียนพจนท์ ว่ั ไปของลาดบั เมื่อกาหนดลาดบั ในรูปแจงพจนไ์ ด้

“ส่ิงแรกทตี่ ้องทำคือ ต้งั ใจกบั ตัวเอง และลงมือทำ”
"First say to yourself what you would be,
and then do what you have to do."
- - Epictetus (55-135 C.E.) - -

4

แบบทดสอบก่อนเรียน
ชุดที่ 1 เร่ืองลำดบั และรูปแบบกำรกำหนดลำดบั

คาช้ีแจง จงเลือกคาตอบที่ถูกที่สุดแลว้ ทาเครื่องหมาย  ลงในกระดาษคาตอบ
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็ นลาดบั
ก. {(1, 3), (2, 6), (4, 8), ...}
ข. {(1, 5), (1, 10), (1, 15)}
ค. {(1,-2), (2,0), (3,2), (4,4),…,(9,14)}
ง. {(0, 1), (1, 3), (2, 5), …}

2. ขอ้ ใดเป็นลาดบั อนนั ต์
ก. 1, 3, 9, 27, 81
ข. 2, 4, 6, 8,…,100
ค. an = 5n + 1 เม่ือ n  {1, 2, 3, …, 10}
ง. an = 3n2 เม่ือ n  {1, 2, 3, …}

3. ขอ้ ใดกล่าวไม่ถูกตอ้ ง
ก. ฟังกช์ นั ที่มีโดเมนเป็น {1, 2, 3, …, n} เรียกวา่ ลาดบั จากดั
ข. ถา้ f = {(1, -3), (2, -1), (3, 1), (4, 3)} แลว้ ลาดบั คือ 1, 2, 3, 4
ค. ลาดบั อนนั ตเ์ กิดจากฟังกช์ นั ท่ีมีโดเมนเป็ น {1, 2, 3, …, 100, …}
ง. ลาดบั 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 เป็นลาดบั จากดั

4. เขียนลาดบั an = 2n + 4 ในรูปแจงพจน์ไดด้ งั ขอ้ ใด

ก. 8, 10, 12, 14, … ข. 6, 8, 10, 12, …

ค. 4, 6, 8, 10, … ง. 2, 4, 6, 8, …

5

5. กาหนดลาดบั an = 2n + 1 ขอ้ ใดต่อไปน้ีไม่ถูกตอ้ ง

ก. a1= 2 ข. a 2 = 5

ค. a3 = 9 ง. a5 = 33

6. จากลาดบั 1, 5, 9, 13, ... พจนถ์ ดั ไปอีก 2 พจน์ คือขอ้ ใด

ก. 15, 19 ข. 16, 19

ค. 17, 20 ง. 17, 21

7. 0, 3 , 2 , 5 เป็ น 4 พจน์แรกของลาดบั ใด

234

ก. 1 + 1n ข. 1 +  1 n

n 2

ค. 1 1n ง. 1  1 n

n 2

8. 1, 3, 5, 7,… พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั คือขอ้ ใด

ก. 2n ข. 2n + 1

ค. 2n – 1 ง. -2n + 1

9. พจนท์ ี่ 15 ของลาดบั an = n -1 คือขอ้ ใด
2

ก. 15 ข. 7

2 2

ค. 15 ง. 7

10. กาหนดลาดบั an = 5a n-1 เมื่อ n  2 และ a1= 1 ขอ้ ใดคือพจนท์ ี่ 4 ของลาดบั
ก. 50 ข. 75
ค. 125 ง. 225

6

สำระสำคญั

ฟังก์ชันทมี่ โี ดเมนเป็ นเซต {1, 2, 3, …, n}
หรือมีโดเมนเป็ นเซตของจำนวนเต็มบวก เรียกว่ำ “ลำดบั ” (Sequence)

ลำดับ (Sequence) ที่มีโดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, …, n} เรียกวา่ ลำดบั จำกดั
(Finite Sequence) และลาดบั ท่ีมีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก เรียกวา่
ลำดับอนันต์ (Infinite sequence)

การเขียนลาดบั จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจเ์ รียงกนั กล่าวคือ
ถา้ a เป็ นลาดบั ซ่ึง a(1) = a1, a(2) = a 2 , a(3) = a3 , …, a(n) = a n แลว้

กรณี a เป็ นลาดบั จากดั เขียนแทนดว้ ย a1, a2, a3,...,an
กรณี a เป็ นลาดบั อนนั ต์ เขียนแทนดว้ ย a1, a2, a3, ...,an ,...
เรียก an วา่ พจน์ที่ n หรือพจน์ทว่ั ไป (General term) ของลาดบั

คุ้น ๆ อ่ะดิ

7

ประลองปัญญำ

ลาดบั ท่ีมีชื่อเสียงมากที่สุดในประวตั ิศาสตร์ คือ ลาดบั ฟี โบนกั ชี
(Fibonacci Sequences) เพราะเป็นลาดบั ท่ีมีความเกี่ยวขอ้ งกบั ธรรมชาติเป็นอยา่ งมาก
เช่น กน้ หอย

นกั เรียนลองคิดดูสิคะวา่ ส่ิงท่ีอยรู่ อบตวั เราในธรรมชาติ มีอะไรบา้ งนะ
ท่ีเป็นลาดบั ฟี โบนกั ชี (Fibonacci Sequences)

ก้นหอยมีกำรเรียงกันเป็ นลำดับฟี โบนักชี
(Fibonacci Sequences)

ลำดบั ฟี โบนักชี หมายถึง ลาดบั ที่มีพจนท์ ่ี n คือ an
กาหนดโดย a n = an1 + an2 เม่ือ n  2 และ a0 = 0, a1 = 1

8

ใบควำมรู้ 1.1
เร่ือง ควำมหมำยของลำดับ

(ใช้เวลำ 10 นำท)ี

พจิ ารณาความสัมพนั ธ์ในรูปแบบตอ่ ไปน้ี

1. (1) (2) (3) (4) (5)

จากรูปแบบขา้ งตน้ เขียนความสมั พนั ธ์ระหวา่ งลาดบั ของรูป กบั จานวนรูปส่ีเหล่ียมไดด้ งั น้ี

รูปท่ี 12345
จานวนรูสี่เหล่ียม 1 2 4 8 16

จากตารางจะเห็นวา่ ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งลาดบั ของรูปกบั จานวนรูปส่ีเหลี่ยม
ในแตล่ ะรูปเป็ นฟังกช์ นั ท่ีมีโดเมนเป็ น {1, 2, 3, 4, 5} และมีเรนจเ์ ป็น {1, 2, 4, 8, 16}

2. สถานีวทิ ยแุ ห่งหน่ึงจดั รายการใหผ้ ฟู้ ังตอบคาถาม ถา้ ตอบถูกวนั แรกให้เงินรางวลั
300 บาท แต่ถา้ ไม่มีใครตอบถูกเงินรางวลั จะเพิม่ ข้ึนในทุก ๆ วนั ถดั ไปอีก 100 บาทดงั น้ี

วนั ท่ี 1 2 3 4 5 6 …
เงินรางวลั (บาท) 300 400 500 600 700 800 …

จากตารางจะเห็นวา่ ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งวนั ที่กบั เงินรางวลั ในแตล่ ะวนั
เป็นฟังกช์ นั ท่ีมีโดเมนเป็น {1, 2, 3, …, n, …}
และมีเรนจเ์ ป็น {300, 400, 500,…, 200+100n , …}

9

ความสัมพนั ธ์ในขอ้ 1 และ 2 เป็นความสัมพนั ธ์ท่ีมีโดเมนเป็นสับเซตของ
จานวนเตม็ บวก เรียกฟังกช์ นั ที่มีความสมั พนั ธ์เช่นน้ีวา่ ลำดบั

บทนิยำม
ลำดับ (Sequence) คือ ฟังกช์ นั ที่มีโดเมนเป็ นเซต {1, 2, 3, …, n}
หรือมีโดเมนเป็ นเซตของจานวนเตม็ บวก เรียกลาดบั ท่ีมีโดเมนเป็นเซต
{1, 2, 3, …, n} วา่ ลำดบั จำกดั (Finite Sequence) และเรียกลาดบั
ท่ีมีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก วา่ ลำดับอนันต์ (Infinite sequence)

การเขียนลาดบั จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจเ์ รียงกนั กล่าวคือ
ถา้ a เป็ นลาดบั ซ่ึง a(1) = a1, a(2) = a 2 , a(3) = a3 , …, a(n) = a n แลว้

กรณี a เป็ นลาดบั จากดั เขียนแทนดว้ ย a1, a2, a3,...,an
กรณี a เป็ นลาดบั อนนั ต์ เขียนแทนดว้ ย a1, a2, a3, ...,an ,...
เรียก an วา่ พจน์ท่ี n หรือพจน์ทวั่ ไป (General term) ของลาดบั

ตวั อย่ำงที่ 1 กาหนด f = {(1, 1), (2, 3), (3, 9), …,(n, 3n1)}

จะไดว้ า่ f เป็นฟังกช์ นั ที่มีโดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, … ,n}
และมีเรนจเ์ ป็ นเซต {1, 3, 9, … , }3n1

เรียก 1, 3, 9, … , 3n1 วา่ ลาดบั และเป็ นลาดบั จากดั
โดยท่ี a1= 1, a 2 = 3, a3 = 9, …, a n = 3n - 1

พจน์ทัว่ ไป (General term)

10

ตวั อย่ำงที่ 2 กาหนด f = {(1, -2), (2, 0), (3, 2), …, (n, 2n - 4), …}
จะไดว้ า่ f เป็นฟังกช์ นั ท่ีมีโดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, … ,n ,…}
และมีเรนจเ์ ป็นเซต {-2, 0, 2, …, 2n - 4, …}
เรียก -2, 0, 2, …, 2n - 4, … วา่ ลาดบั และเป็นลาดบั อนนั ต์
โดยที่ a1= -2, a 2 = 0, a3 = 2, …, a n = 2n – 4, …

พจน์ทั่วไป (General term)

ง่ำยมำกเลยค่ะ

11

ใบกจิ กรรม 1.1

ชอ่ื …...................................................................ช้ัน…………….เลขท่.ี .........คะแนนท่ไี ด้...................

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนพจิ ารณาฟังกช์ นั ต่อไปน้ี แลว้ ทาเครื่องหมาย  ในช่องที่ถูกตอ้ งท่ีสุด
ใชเ้ วลา 5 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

ขอ้ ฟังกช์ นั เป็ นลาดบั ไม่เป็ น
ลาดบั ลาดบั ลาดบั
จากดั อนนั ต์

1 f1 = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), …, (10, 21)}

2 g1 = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), …, (n, 2)}

3 h1 = {(1, 1), (5, 2), (10, 3), …, (95, 20)}

4 f2 = {(1, a), (2, b), (3, c), …}

5 g2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 8), …, (n, 2n1 )}

6 h2 = {(1, -6), (2, -8), (3, -10), (4, -12), …}

7 f3  1, 3, 2, 1,  3, 1 ,  4, 1  
 3   9  ,...



8 g3 = {(a, 2), (b, 4), (c, 8), (d, 16), …}

9 h3 = {(1, -1), (2, 1), (3, -1), …, (n, (-1)n)}

10 f4 = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), …, (n, n2)}

12

ใบควำมรู้ 1.2
เร่ือง รูปแบบกำรกำหนดลำดับ

(ใช้เวลำ 10 นำท)ี
การเขียนแสดงลาดบั สามารถเขียนไดห้ ลายรูปแบบ ดงั น้ี
1. กาหนดลาดบั โดยเขียนแจงพจนท์ ้งั หมดของลาดบั

กรณีลาดบั ที่พจิ ารณาเป็นลาดบั จากดั และมีจานวนพจนไ์ ม่มากนกั เช่น
1) 0, 3, 6, 9, 12, 15

a1= 0, a 2 = 3, a3 = 6, a 4 = 9, a5 = 12, a6 = 15

2) 1, 2, 4, 8, 16
a1= 1, a 2 = 2, a3 = 4, a 4 = 8, a5 = 16

3) 1, 0.1, 0.01, 0.001
a1= 1, a 2 = 0.1, a3 = 0.01, a 4 = 0.001

2. กาหนดลาดบั โดยเขียนพจน์เริ่มตน้ จานวนหน่ึงพร้อมกบั พจนท์ วั่ ไปของลาดบั
วธิ ีน้ีใชก้ บั ลาดบั จากดั ที่มีพจนจ์ านวนมาก และลาดบั อนนั ต์ เช่น
1) 0, 5, 10, 15, … , 5n – 5, … , 2,065
2) 4, 7, 10, … , 3n + 1, … , 301
3) 1, 2, 4, 8, ..., 2n1, ...
เพื่อความสะดวก สามารถกาหนดลาดบั โดยเขียนเฉพาะพจน์ที่ n

ตวั อย่ำงที่ 1 กาหนดลาดบั an = 4n + 3 จงหาส่ีพจนแ์ รกของลาดบั

วธิ ีทำ a1 = 4(1) + 3 = 7
a 2 = 4(2) + 3 = 11
a3 = 4(3) + 3 = 15
a 4 = 4(4) + 3 = 19

ดงั น้นั สี่พจน์แรกของลาดบั น้ี คือ 7, 11, 15, 19

13

3. การกาหนดพจนเ์ ร่ิมตน้ พร้อมกบั สูตรการหาพจนถ์ ดั ไปของลาดบั
การกาหนดลาดบั แบบน้ีเรียกอีกอยา่ งหน่ึงวา่ ควำมสัมพนั ธ์เวยี นเกดิ
(Recurrence Relation)

ตัวอย่ำงท่ี 2 กาหนดลาดบั a n ซ่ึง a1= 1 และ a n = an1 + 2 เม่ือ n  2
วธิ ีทำ จงหาหกพจนแ์ รกของลาดบั น้ี

จาก a n = +an1 2 และ a1 = 1
จะได้ a 2 = a1+ 2 = 1 + 2 = 3

a3= a2 + 2 = 3 + 2 = 5
a4 = a3+ 2 = 5 + 2 = 7
a5= a4 + 2 = 7 + 2 = 9
a6 = a5 + 2 = 9 + 2 = 11

ดงั น้นั หกพจน์แรกของลาดบั น้ี คือ 1, 3, 5, 7, 9, 11

ตัวอย่ำงท่ี 3 กาหนดลาดบั a n ซ่ึง a1= 1 และ a n = na n1 เมื่อ n  2
วธิ ีทำ จงหาหา้ พจน์แรกของลาดบั น้ี

จาก =a n na n1 และ a1 = 1
จะได้ a 2 = 2a1 = 2(1) = 2

a3 = 3a 2 = 3(2) = 6
a 4 = 4a3= 4(6) = 24
a5 = 5a 4 = 5(24) = 120

ดงั น้นั หา้ พจนแ์ รกของลาดบั น้ี คือ 1, 2, 6, 24, 120

14

4. การกาหนดลาดบั โดยการบอกเงื่อนไขหรือสมบตั ิของพจนข์ องลาดบั
กรณีไมท่ ราบสูตรพจนท์ ว่ั ไปของลาดบั และไมท่ ราบความสมั พนั ธ์เวยี นเกิด
การกาหนดลาดบั จาเป็นตอ้ งใชว้ ธิ ีการบอกเง่ือนไขหรือสมบตั ิของพจนข์ องลาดบั

ตวั อย่ำงที่ 4 พจิ ารณาลาดบั 2, 4, 8, 14, … จงหาสามพจน์ถดั ไปของลาดบั
วธิ ีทำ 2 4 8 14 22 32 44
+2 +4 +6 +8 +10 +12
ดงั น้นั สามพจน์ถดั ไปของลาดบั น้ี คือ 22, 32, 44

ตัวอย่างท่ี 5 พิจารณาลาดบั 100, 10, 1, 0.1, … จงหาสามพจน์ถดั ไปของลาดบั
วธิ ีทำ 100 10 1 0.1 0.01 0.001 0.0001

10 10 10 10 10 10

ดงั น้นั สามพจนถ์ ดั ไปของลาดบั น้ี คือ 0.01, 0.001, 0.0001

ป่ ะ…
ไปบริหำรสมองกนั

15

ใบกจิ กรรม 1.2

ช่ือ…...................................................................ชน้ั …………….เลขที่..........คะแนนทไี่ ด.้ ..................

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนเขียนหา้ พจนแ์ รกของลาดบั an ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

ขอ้ ลาดบั a1 a2 a3 a4 a5

1 a n = 2n 1

2 an = 2n

3 a n = 3(n – 1)

4 an = 1n

n

5 a n = (-2)n-1

6 a n = n 1
n 1

7 =a n 3a n1
กาหนด a1= 1 เม่ือ n  2

8 = +a n a n1 2a n2
กาหนด a1= 1, a 2 = 2 เม่ือ n  3

9 =a n a n1  2
กาหนด a1= 2 เมื่อ n  2

10 =a n 2a n2
กาหนด a1= 1, a 2 = 2 เมื่อ n  3

หมายเหตุ นกั เรียนตอ้ งตอบถูกทุกช่องนะคะ จึงจะไดค้ ะแนนในแต่ละขอ้

16

ใบกจิ กรรม 1.3

ชื่อ…...................................................................ช้นั …………….เลขท่.ี .........คะแนนท่ีได.้ ..................
คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนหาพจนถ์ ดั ไปสองพจนข์ องลาดบั ที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)
1. 3, -6, 9, -12, .......... , ..........
2. 35, 30, 25, 20, .......... , ..........
3. 2, 4, 8, 16, .......... , ..........
4. 128, 64, 32, 16, .......... , ..........
5. -2, 3, 13, 28, .......... , ..........
6. 7, 14, 21, 28, ………, ………..
7. 8, 6, 2, -4, .......... , ..........
8. 77, 78, 80, 83, .......... , ..........
9. 1, 2, 4, 8, .......... , ..........
10. 9, 9, 4, -6, -21, .......... , ..........
หมายเหตุ นกั เรียนตอ้ งตอบถูกท้งั สองพจน์นะคะ จึงจะไดค้ ะแนนในแตล่ ะขอ้

17

ท้ำให้คดิ

“มีแจกนั เก่าใบหน่ึงเจา้ ของคนแรกขายใหค้ นท่ีสองไปดว้ ยราคา 425 บาท
คนท่ีสองขายใหค้ นท่ีสามดว้ ยราคา 470 บาท คนที่สามขายใหค้ นที่ส่ีดว้ ยราคา 535 บาท
คนท่ีส่ีขายใหค้ นที่หา้ ดว้ ยราคา 620 บาท คนที่หา้ ขายใหค้ นที่หกดว้ ยราคา 725 บาท
คนท่ีหกขายใหค้ นท่ีเจด็ ดว้ ยราคา 850 บาท คนท่ีเจด็ คิดจะขายในหลกั เกณฑเ์ ดียวกนั
กบั ขา้ งตน้ เขาควรจะขายก่ีบาท”

ขำยกบี่ ำทดนี ะ...?????

18

ใบควำมรู้ 1.3
เร่ือง กำรหำพจน์ทวั่ ไปของลำดับ

(ใช้เวลำ 15 นำท)ี

การหาพจน์ทวั่ ไปของลาดบั คือการเขียนแสดงพจน์ an ในรูปความสมั พนั ธ์
ที่เป็นฟังกช์ นั มี n เป็นตวั แปร เมื่อ n เป็นจานวนเตม็ บวก

วธิ ีการหาพจนท์ วั่ ไป โดยทวั่ ไปใชว้ ธิ ีการสงั เกตความสัมพนั ธ์ของพจน์ต่าง ๆ
และความสัมพนั ธ์ระหวา่ งพจน์กบั ลาดบั ท่ีของพจน์

ตวั อย่ำงที่ 1 จงหาพจน์ทวั่ ไปของลาดบั 3 , 4 , 5 , 6

1234

วธิ ีทำ พจิ ารณาพจนท์ ่ีกาหนดให้ดงั น้ี

a1  3  1 2
1 1

a2  4  2  2
2 2

a3  5  3  2
3 3

a4  6  4  2
4 4

ดงั น้นั พจน์ทว่ั ไปของลาดบั คือ an  n  2 เมื่อ n  {1, 2, 3, 4}
n

ควำมพยำยำม
คือนิยำมของควำมสำเร็จ

19

ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาพจน์ทว่ั ไปของลาดบั 1, 6, 11, 16, 21, 26

วธิ ีทำ พิจารณาพจน์ที่กาหนดให้ดงั น้ี
a1  1  1 5(0)
a2  6  1 5(1)
a3  11  1 5(2)
a4  16  1 5(3)
a5  21  1 5(4)
a6  26  1 5(5)

ดงั น้นั พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั คือ an 1 5 (n – 1) เม่ือ n  {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ตวั อย่ำงท่ี 3 จงหาพจน์ทว่ั ไปของลาดบั 0, 1, -2, 3, -4, …

วธิ ีทำ พิจารณาความสัมพนั ธ์ของพจน์และลาดบั ที่ของแตล่ ะพจนด์ งั น้ี
a1  0  (-1)1(1 – 1)
a2  1  (-1)2(2 – 1)
a3  -2  (-1)3(3 – 1)
a4  3  (-1)4(4 – 1)

an  (-1)n(n – 1)

ดงั น้นั พจน์ทวั่ ไปของลาดบั คือ an  (-1)n(n – 1) เมื่อ n Ν

20

ควำมรู้เพม่ิ เตมิ

กำรหำพจน์ทว่ั ไปของลำดบั โดยกำรใช้ฟังก์ชันพหุนำม

ใหพ้ จิ ารณาผลต่างของลาดบั ดงั น้ี
- ผลต่างระหวา่ งสองพจน์ที่อยตู่ ิดกนั คร้ังที่หน่ึงเป็นคา่ คงตวั ซ่ึงไม่เท่ากบั ศูนย์

พจนท์ วั่ ไปของลาดบั อยใู่ นรูป an  xn  y
- ผลต่างระหวา่ งสองพจน์ที่อยตู่ ิดกนั คร้ังที่สองเป็ นค่าคงตวั ซ่ึงไม่เท่ากบั ศูนย์

พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั อยใู่ นรูป an  xn2  yn  z

ตวั อย่ำงท่ี 4 จงหาพจนท์ วั่ ไปของลาดบั -1, -4, -7, -10, -13, …

วธิ ีทำ จากลาดบั ที่กาหนด หาผลต่างระหวา่ งสองพจนท์ ี่อยตู่ ิดกนั ไดด้ งั น้ี
-1 -4 -7 -10 -13

ผลต่างครั้งที่ 1 -3 -3 -3 -3

พบวา่ ผลต่างคร้ังท่ีหน่ึงเป็นคา่ คงตวั เท่ากบั -3 ซ่ึงไมเ่ ทา่ กบั ศูนย์
พจน์ทว่ั ไปของลาดบั อยใู่ นรูป an  xn  y

a1  1  x  y …………… (1)
a2  4  2x  y …………… (2)

แกร้ ะบบสมการเชิงเส้น เพ่ือหา x และ y ดงั น้ี

นา (2) – (1), x  3

แทนค่า x  3 ใน (1)

จะได้  3  y  1

นน่ั คือ y  2

ดงั น้นั พจนท์ วั่ ไปของลาดบั คือ an  2  3n เมื่อ n  Ν

21

ตวั อย่ำงท่ี 5 จงหาพจนท์ วั่ ไปของลาดบั 1, 2, 5, 10, 17, …

วธิ ีทำ จากลาดบั ท่ีกาหนด หาผลตา่ งระหวา่ งสองพจนท์ ่ีอยตู่ ิดกนั ไดด้ งั น้ี
1 2 5 10 17

ผลต่างครั้งท่ี 1 1 3 5 7

ผลต่างคร้ังท่ี 2 222

พบวา่ ผลตา่ งคร้ังท่ีสองเป็นค่าคงตวั เทา่ กบั 2 ซ่ึงไม่เทา่ กบั ศูนย์
พจน์ทวั่ ไปของลาดบั อยใู่ นรูป an  xn2  yn  z

a1  1 xyz ………… (1)
a2  2  4x  2y  z ………… (2)
a3  5  9x  3y  z ………… (3)

แกร้ ะบบสมการเชิงเส้น เพ่อื หา x, y และ z ดงั น้ี
นา (2) – (1)ได้ 1 = 3x + y ………. (4)

(3) – (2)ได้ 3 = 5x + y ………. (5)
(5) – (4)ได้ 2 = 2x หรือ x = 1

แทนคา่ x = 1 ใน (4) จะได้ y = -2
แทนค่า x = 1 และ y = -2 ใน (1) จะได้ z = 2

ดงั น้นั พจน์ทวั่ ไปของลาดบั คือ an  n2  2n  2 เมื่อ n Ν

22

ใบกจิ กรรม 1.4

ช่อื …...................................................................ชั้น…………….เลขที่..........คะแนนทีไ่ ด.้ ..................

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนหาพจน์ทว่ั ไปของลาดบั ต่อไปน้ี พร้อมแสดงวธิ ีคิด
ใชเ้ วลา 10 นาที (5 ขอ้ ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. 2 ,  3 , 4 ,  5

3 45 6

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

2. 2, 5, 10, 17, 26, …
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

3. 1, -1, -3, -5, -7, …
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

23

4. 3, 0, -3, -6, -9, …
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

5. 1 , 2 , 1 , 4 , 5 , ...

45278

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

เสร็จแล้ว
อย่ำลืมทบทวนก่อนส่ งนะคะ

24
พชิ ิตปัญหำ

ป้าจุข๊ ายขนมครกในวนั ท่ี 3 มกราคม เป็นวนั แรกไดก้ าไร 100 บาท และ
ในวนั ต่อ ๆ มา ขายไดก้ าไรเพิ่มข้ึนจากวนั ก่อนหนา้ วนั ละ 10 บาททุกวนั
วนั ท่ี ใดของเดือนมกราคมท่ีป้าจุ๊ ขายไดก้ าไรเฉพาะในวนั น้นั 340 บาท

ปา้ ต้องขายไปก่วี นั กันล่ะ...
หลานเอย

ต้องช่วยป้ำจุ๊คิดแล้วล่ะ...
...???...???...

25

แบบทดสอบหลงั เรียน
ชุดท่ี 1 เรื่องลำดับและรูปแบบกำรกำหนดลำดบั

คาช้ีแจง จงเลือกคาตอบที่ถูกที่สุดแลว้ ทาเครื่องหมาย  ลงในกระดาษคาตอบ
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็ นลาดบั
ก. {(1,-5), (2,-3), (3,-1), (4,1),…,(9,11)}
ข. {(2, 1), (5, 2), (1, 3)}
ค. {(2, 3), (4, 6), (6, 8), ...}
ง. {(-1, 5), (0, 3), (1, 2), …}

2. ขอ้ ใดกล่าวถูกตอ้ ง
ก. ฟังกช์ นั ท่ีมีโดเมนเป็น {1, 2, 3,…,n} เรียกวา่ ลาดบั อนนั ต์
ข. ถา้ f = {(1, -3), (2, -1), (3, 1), (4, 3)} แลว้ ลาดบั คือ -3, -1, 1, 3
ค. ลาดบั จากดั เกิดจากฟังกช์ นั ท่ีมีโดเมนเป็ น {1, 2, 3, …, 100, …}
ง. ลาดบั 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 เป็นลาดบั อนนั ต์

3. ขอ้ ใดเป็นลาดบั จากดั
ก. 1, 3, 9, 27, 81,…
ข. 2, 4, 6, 8,…,n
ค. an  5n 1 เม่ือ n  
ง. an  3n2 เม่ือ n {1, 2, 3, …, 100}

4. จากลาดบั -2, 1, 4, 7, ... พจนถ์ ดั ไปอีก 2 พจน์ คือขอ้ ใด

ก. 15, 19 ข. 12, 15

ค. 11, 13 ง. 10, 13

26

5. เขียนลาดบั an  2n  3 ในรูปแจงพจนไ์ ดด้ งั ขอ้ ใด

ก. -3, -1, 1, 3, … ข. -1, 1, 3, 5, …

ค. 3, 5, 7, 9, … ง. 2, 4, 6, 8, …

6. กาหนดลาดบั an  2n  3 ขอ้ ใดต่อไปน้ีไม่ถูกตอ้ ง

ก. a1  3 ข. a2  7

ค. a3  11 ง. a5  35

7. 0, 5 , 8 , 17 เป็ น 4 พจนแ์ รกของลาดบั ใด

23 4

ก. 1n  n ข.  1 n  n

n 2

ค. n  1n ง. n   1 n

n 2

8. พจน์ที่ 15 ของลาดบั an  n 1 คือขอ้ ใด
2

ก. 15 ข. 7

22

ค. 9 ง. 8

9. 3, 5, 7, 9,… พจน์ทว่ั ไปของลาดบั คือขอ้ ใด

ก. 2n ข. 2n - 1

ค. 2n + 1 ง. -2n + 1

10. กาหนดลาดบั an  5a n-1 เมื่อ n  2 และ a1  3 ขอ้ ใดคือพจน์ท่ี 4 ของลาดบั
ก. 425 ข. 375
ค. 275 ง. 125

27

กระดำษคำตอบแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน
ชุดที่ 1 เรื่องลำดับและรูปแบบกำรกำหนดลำดับ

ช่ือ.......................................................................................ช้นั ...................เลขท่ี...................

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนทาเครื่องหมาย  ลงในช่องวา่ งที่ตรงกบั คาตอบที่ถูกที่สุด

ทดสอบก่อนเรียน ทดสอบหลงั เรียน

ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง

11

22

33

44

55

66

77

88

99

10 10

คะแนนทไ่ี ด้ คะแนนทไ่ี ด้

ปลกู ต้นไม้ต้องหม่ันรดนำ้
ปลกู ปัญญำต้องหม่ันทบทวน

28

แบบบนั ทกึ คะแนน
ชุดท่ี 1 เร่ืองลำดบั และรูปแบบกำรกำหนดลำดับ

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนบนั ทึกคะแนนท่ีนกั เรียนทาไดต้ ามความเป็นจริง

กจิ กรรม คะแนนเต็ม คะแนนทไ่ี ด้ ผ่ำนเกณฑ์ 70 % สรุปผล
(ผ/มผ.)
ทดสอบก่อนเรียน
ทดสอบหลงั เรียน 10 7
ความกา้ วหนา้ 10 7
กิจกรรม 1.1 หลงั -ก่อน
กิจกรรม 1.2 10 7
กิจกรรม 1.3 10 7
กิจกรรม 1.4 10 7
รวมกิจกรรม 1.1-1.4 10 7
40 28

ลงช่ือ...............................................นกั เรียน
เลขที่.................ช้นั .................

ทกุ คะแนนได้มำจำก…
ควำมขยนั

29

บรรณำนุกรม

กนกวลี อุษณกรกลุ และรณชยั มาเจริญทรัพย.์ (2555). แบบฝึ กหดั และประเมินผล
กำรเรียนรู้คณติ ศำสตร์เพมิ่ เติม ม.4-6 เล่ม 6. กรุงเทพฯ : สานกั พิมพเ์ ดอะบุคส์จากดั .

กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). หลกั สูตรแกนกลำงกำรศึกษำข้ันพืน้ ฐำน พุทธศักรำช 2551.
กรุงเทพฯ : โรงพิมพช์ ุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทย จากดั .

ชนญั ชิดา. คณติ คดิ สนุก. [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก : http://sinceremath.blogspot.com.
(วนั ท่ีคน้ ขอ้ มูล : 11 พฤศจิกายน 2556).

ณฐั พนั ธุ์ ศุภกา. ลำดับฟี โบนักชี (Fibonacci Sequences). [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก :
http://www.l3nr.org/posts/55052. (วนั ที่คน้ ขอ้ มูล : 15 พฤศจิกายน 2556).

นงนุช สุขวารี และคณะ. (2554). คู่มืออบรมครูคณติ ศำสตร์. โครงการพฒั นาครู
วทิ ยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ คอมพวิ เตอร์ ระดบั ช้นั มธั ยมศึกษาตอนปลาย.

บลอ็ กเนยสีฟ้า. ภำพสัตว์ป่ ำน่ำรัก. [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก :
http://www.bloggang.com. (วนั ท่ีคน้ ขอ้ มูล : 18 พฤศจิกายน 2556).

เลิศ สิทธิโกศล. (2555). Math Review คณติ ศำสตร์ ม.4-6 เล่ม 6 (เพม่ิ เติม).
กรุงเทพฯ : บริษทั ไฮเอด็ พบั ลิชชิ่ง จากดั .

สานกั วชิ าการและมาตรฐานการศึกษา สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน,
กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). ตวั ชี้วดั และสำรแกนกลำงกลุ่มสำระกำรเรียนรู้
คณติ ศำสตร์. กรุงเทพฯ : โรงพิมพช์ ุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทยจากดั .

ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2554). คู่มือวดั ผลประเมินผล
คณติ ศำสตร์. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค.

_______. (2554). คู่มือครูรำยวชิ ำคณติ ศำสตร์เพม่ิ เติม เล่ม 6 ช้ันมธั ยมศึกษำปี ที่ 4-6.
กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค.

_______. (2554). หนังสือเรียนรำยวชิ ำคณติ ศำสตร์เพม่ิ เติม เล่ม 6
ช้ันมธั ยมศึกษำปี ท่ี 4-6. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค.

เสวตร โคตรนารา. ลำดบั และอนุกรม. [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก :
http : www.krusawed.wordpress.com. (วนั ท่ีคน้ ขอ้ มูล : 15 พฤศจิกายน 2556).

30

31

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน

ข้อ คำตอบ
1ค
2ง
3ข
4ข
5ก
6ง
7ก
8ค
9ง
10 ค

ต้องสู้…จึงจะชนะ

32

เฉลยกจิ กรรมประลองปัญญำ

ลาดบั ฟี โบนกั ชี (Fibonacci Sequences) ที่อยรู่ อบตวั เราในธรรมชาติ
นอกจากกน้ หอยแลว้ ยงั มีอีกมากมาย อาทิ การเรียงของตาสับปะรด ดอกทานตะวนั
ลายของลูกสน และลายของพืชตระกูลตะบองเพชร เป็ นตน้

ที่มา http://www.l3nr.org/posts/55052.

33

เฉลยกจิ กรรม 1.1

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนพิจารณาฟังกช์ นั ต่อไปน้ี แลว้ ทาเคร่ืองหมาย  ในช่องท่ีถูกตอ้ งที่สุด
ใชเ้ วลา 5 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

ขอ้ ฟังกช์ นั เป็ นลาดบั ไม่เป็ น
ลาดบั ลาดบั ลาดบั
จากดั อนนั ต์

1 f1  {(1, 3), (2, 5), (3, 7), …, (10, 21)} 

2 g1  {(1, 2), (2, 2), (3, 2), …, (n, 2)} 

3 h1  {(1, 1), (5, 2), (10, 3), …, (95, 20)} 

4 f2  {(1, a), (2, b), (3, c), …} 

5 g2  {(1, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 8), …, (n, 2n1 )} 

6 h2  {(1, -6), (2, -8), (3, -10), (4, -12), …} 

7 f3  1, 3, 2, 1,  3, 1 ,  4, 1   
 3   9  ,...



8 g3  {(a, 2), (b, 4), (c, 8), (d, 16), …} 

9 h3  {(1, -1), (2, 1), (3, -1), …, (n, (-1)n)} 

10 f4  {(1, 1), (2, 4), (3, 9), …, (n, n2)} 

34

เฉลยกจิ กรรม 1.2

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนเขียนหา้ พจน์แรกของลาดบั an ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

ข้อ ลำดับ a1 a 2 a3 a 4 a5

1 a n = 2n 1 13579
2 4 8 16 32
2 an = 2n 0 3 6 9 12
-1 1  1 1  1
3 a n = 3(n – 1)
2 34 5
4 an = 1n
1 -2 4 -8 16
n 01132

5 a n = (-2)n-1 3253

6 a n = n  1 1 3 9 27 81
n  1
1 2 4 8 16
7 =a n 3a n1
กาหนด a1= 1 เมื่อ n  2 2 0 -2 -4 -6

8 = +a n a n1 2a n2 12244
กาหนด a1= 1, a 2 = 2 เม่ือ n  3

9 =a n a n1  2
กาหนด a1= 2 เมื่อ n  2

10 =a n 2a n2
กาหนด a1= 1, a 2 = 2 เมื่อ n  3

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ตอบผดิ หรือตอบไม่ครบ 5 ช่อง ได้ 0 คะแนน
ตอบถูกท้งั 5 ช่อง ได้ 1 คะแนน

35

เฉลยกจิ กรรม 1.3

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนหาพจน์ถดั ไปสองพจนข์ องลาดบั ที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. 3 , -6 , 9 , -12 , 15 , -18
2. 35 , 30 , 25 , 20 , 15 , 10
3. 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64
4. 128 , 64 , 32 , 16 , 8 , 4
5. -2 , 3 , 13 , 28 , 48 , 73
6. 7, 14, 21, 28, 35 , 42
7. 8 , 6 , 2 , -4 , -12 , -22
8. 77 , 78 , 80 , 83 , 87 , 92
9. 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32
10. 9 , 9 , 4 , -6 , -21 , -41 , -66

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ตอบผดิ หรือตอบไมค่ รบ 2 พจน์ ได้ 0 คะแนน
ตอบถูกท้งั 2 พจน์ ได้ 1 คะแนน

36

เฉลยกจิ กรรมท้ำให้คิด

“มีแจกนั เก่าใบหน่ึงเจา้ ของคนแรกขายใหค้ นที่สองไปดว้ ยราคา 425 บาท
คนที่สองขายใหค้ นที่สามดว้ ยราคา 470 บาท คนที่สามขายใหค้ นที่ส่ีดว้ ยราคา 535 บาท
คนท่ีสี่ขายใหค้ นที่หา้ ดว้ ยราคา 620 บาท คนท่ีหา้ ขายใหค้ นที่หกดว้ ยราคา 725 บาท
คนท่ีหกขายใหค้ นท่ีเจ็ดดว้ ยราคา 850 บาท คนที่เจ็ดคิดจะขายในหลกั เกณฑเ์ ดียวกนั
กบั ขา้ งตน้ เขาควรจะขายก่ีบาท"
วธิ ีคิด ราคาขายแจกนั เขียนเป็นลาดบั ไดด้ งั น้ี

425 470 535 620 725 850
+45 +65 +85 +105 +125

ดงั น้นั คนที่เจด็ ควรขายแจกนั ในราคา 850 + 145 = 995
ตอบ คนที่เจด็ ควรขายแจกนั ในราคา 995 บาท

995 บำท

37

เฉลยกจิ กรรม 1.4

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนหาพจน์ทวั่ ไปของลาดบั ต่อไปน้ี พร้อมแสดงวธิ ีคิด
ใชเ้ วลา 15 นาที (5 ขอ้ ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. 2 ,  3 , 4 ,  5

3 45 6

วธิ ีทา จากลาดบั ท่ีกาหนด สามารถเขียนลาดบั ไดด้ งั น้ี

a1  2   1 11 1  1 
3 
1 2

a2   3   1 21 2 1 
4 22 


a3  4   1 31 31 
5 32 


a4   5   1 41 4 1 
6 42 


ดงั น้นั พจน์ทว่ั ไปของลาดบั คือ

an   1n 1 n  1  เมื่อ n  {1, 2, 3, 4}
n  2 


38

2. 2, 5, 10, 17, 26, …

วธิ ีทา จากลาดบั ที่กาหนดพจิ ารณาผลต่างดงั น้ี

2 5 10 17 26

ผลต่างครั้งที่ 1 3 5 7 9

ผลต่างครั้งท่ี 2 2 22

พบวา่ ผลต่างคร้ังท่ีสองเป็นค่าคงตวั เท่ากบั 2 ซ่ึงไม่เทา่ กบั ศูนย์

พจนท์ วั่ ไปของลาดบั อยใู่ นรูป an  xn2  yn  z

a1  2  x yz …………… (1)
a2  5  4x  2y  z …………… (2)
a3  10  9x  3y  z …………… (3)

แกร้ ะบบสมการเชิงเส้น เพือ่ หา x, y และ z ดงั น้ี ………. (4)
นา (2) – (1)ได้ 3 = 3x + y ………. (5)
(3) – (2)ได้ 5 = 5x + y x=1
(5) – (4)ได้ 2 = 2x หรือ

แทนคา่ x = 1 ใน (4) จะได้ y = 0
แทนค่า x = 1 และ y = 0 ใน (1) จะได้ z = 1

ดงั น้นั พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั คือ an  n2 1 เมื่อ n  Ν

39

3. 1, -1, -3, -5, -7, …

วธิ ีทา จากลาดบั ที่กาหนดพจิ ารณาผลต่างดงั น้ี
1 -1 -3 -5 -7

ผลต่างครั้งที่ 1 -2 -2 -2 -2
พบวา่ ผลต่างคร้ังที่หน่ึงเป็นค่าคงตวั เทา่ กบั -2 ซ่ึงไม่เทา่ กบั ศูนย์
พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั อยใู่ นรูป an  xn  y
a1  1  x  y ……………. (1)
a2  1  2x  y ……………. (2)

แกร้ ะบบสมการเชิงเส้น เพอื่ หา x และ y ดงั น้ี
นา (2) – (1), x  2

แทนคา่ x  2 ใน (1)
จะได้  2  y 1
นนั่ คือ y  3

ดงั น้นั พจน์ทวั่ ไปของลาดบั คือ an  3  2n เม่ือ n  Ν

40

4. 3, 0, -3, -6, -9, …

วธิ ีทา จากลาดบั ท่ีกาหนดพิจารณาผลต่างดงั น้ี
3 0 -3 -6 -9

ผลต่างครั้งที่ 1 -3 -3 -3 -3

พบวา่ ผลต่างคร้ังท่ีหน่ึงเป็นคา่ คงตวั เทา่ กบั -3 ซ่ึงไมเ่ ท่ากบั ศูนย์

พจน์ทว่ั ไปของลาดบั อยใู่ นรูป an  xn  y

a1  3  x  y …………… (1)
a2  0  2x  y …………… (2)

แกร้ ะบบสมการเชิงเส้น เพอ่ื หา x และ y ดงั น้ี
นา (2) – (1), x  3

แทนคา่ x  3 ใน (1)
จะได้  3  y  3
นนั่ คือ y  6

ดงั น้นั พจนท์ วั่ ไปของลาดบั คือ an  6  3n เมื่อ n  Ν

41

5. 1 , 2 , 1 , 4 , 5 , ...

45278

วธิ ีทา จากลาดบั ท่ีกาหนด สามารถเขียนลาดบั ไดด้ งั น้ี

a1  1  1 3
4 1

a2  2  2 2 3
5 

a3  1  3  3 3 3
2 6 

a4  4  4 3 3
7 

a5  5  5 5 3
8 



an  n n
3

ดงั น้นั พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั คือ an  n เม่ือ n  Ν
n3

เกณฑ์กำรให้คะแนนกจิ กรรม 1.4

1. ไม่มีการแสดงวธิ ีคิด หรือมีวธิ ีคิดผดิ ได้ 0 คะแนน
2. มีการแสดงวธิ ีคิดถูกตอ้ ง แตเ่ ขียนพจน์ทวั่ ไปผดิ ได้ 1 คะแนน
3 มีการแสดงวธิ ีคิดถูกตอ้ ง และเขียนพจน์ทว่ั ไปถูกตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

หมายเหตุ วธิ ีคิด วธิ ีทา อาจต่างวธิ ีกบั เฉลย แตถ่ ูกตอ้ งตามหลกั คณิตศาสตร์กถ็ ูกไดน้ ะคะ

42

เฉลยกจิ กรรมพชิ ิตปัญหำ

ป้าจุข๊ ายขนมครกในวนั ที่ 3 มกราคม เป็นวนั แรกไดก้ าไร 100 บาท และในวนั ต่อ ๆ มา
ขายไดก้ าไรเพิม่ ข้ึนจากวนั ก่อนหนา้ วนั ละ 10 บาททุกวนั วนั ท่ี ใดของเดือนมกราคมท่ีป้าจุข๊ าย
ไดก้ าไรเฉพาะในวนั น้นั 340 บาท

วธิ ีคิด วนั แรกไดก้ าไร 100 บาท
วนั ที่สองไดก้ าไร 110 บาท
วนั ที่สามไดก้ าไร 120 บาท



วนั ที่ n ไดก้ าไร 340 บาท

นากาไรที่ไดใ้ นแตล่ ะวนั เขียนเป็นลาดบั ไดด้ งั น้ี
100, 110, 120, 130, … , 340

พิจารณาลาดบั ดงั กล่าว มี 25 พจน์

จะไดว้ า่ ป้าจุข๊ ายขนมครก 25 วนั จึงไดก้ าไรเฉพาะวนั น้นั 340 บาท
จากโจทย์ ป้าจุข๊ ายขนมครกวนั แรก ในวนั ท่ี 3 มกราคม

ดงั น้นั วนั ท่ีป้าจุข๊ ายขนมครกไดก้ าไร 340 บาท คือ วนั ท่ี 27 มกราคม

ป้ำต้องขำย 25 วนั
ถงึ วนั ที่ 27 มกรำคม จ้ำ

...

43

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน

ข้อ คำตอบ
1ก
2ข
3ง
4ง
5ข
6ก
7ก
8ง
9ค
10 ข

นายเก่งมาก


Click to View FlipBook Version
Previous Book
Fairfax & Loudoun Counties, VA 2019-2020
Next Book
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง พื้นที่ผิวเเละปริมาตร ชุดที่ 1