เอกสารประกอบการสอนฟังก์ชันตรีโกณมิติ

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ

Mesopotamia Indus Valley

4,000 Hipparchus 190 B.C. Bithymia
120 B.C.
Trigonometry Trigonon 3
Hipparchus 17

metro

บทนํา
ความรเู ก่ยี วกบั อัตราสวนตรีโกณมติ ิ

กําหนดรปู ABC เปนรปู สามเหล่ียมที่มี ACB เปนมมุ ฉาก ดงั รูป เรยี กอัตราสวนระหวางดาน 2 ดาน
ของรูปสามเหลยี่ มมุมฉากใดๆ วา อตั ราสวนตรีโกณมติ ิ ซ่งึ ไดแก

B sin A = a cosec A = 1
c sin A
c
a cos A = b sec A = 1
c cos A
A b C
tan A = a cot A = 1
b
tan A

ตัวอยาง 1 รูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC มีมุม C เปนมุมฉาก และ AB ยาว 8 หนวย AC ยาว
6 หนวย จงหาความยาวของดาน และขนาดของมุมทเี่ หลือของรปู สามเหล่ียมน้ี

ตัวอยาง 2 กาํ หนดรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก ABC โดยมมี ุม C เปนมมุ ฉาก ลากเสนจากจุด C ไปตัง้ ฉากกับ
AB ทีจ่ ดุ D ถา AC และ BC ยาว 8 และ 15 เซนติเมตร ตามลําดับ
จงหาความยาวของ CD , BD และ AD

1

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ

1. วงกลมหนงึ่ หนวย (Unit Circle)

บทนิยาม วงกลมหน่ึงหนวย หมายถึง วงกลมทมี่ จี ุดศูนยกลางที่จุดกําเนิด รศั มี 1 หนวย
ซ่ึงมสี มการดงั นี้ x2 + y2 = 1

เน่อื งจากวงกลมหน่งึ หนวย มีรัศมยี าว 1 หนวย ทําให ความยาวเสนรอบวงเปน 2 หนวย
1 ของความยาวของเสนรอบวง = 1
y 4 4 (2 )
(0,1)
= หนวย

x 1 ของความยาวของเสนรอบวง = 1 (2 )
2 2

( 1,0) 0 (1,0) = หนวย

(0, 1) 3 ของความยาวของเสนรอบวง = 3 (2 )

44
3
= 2 หนวย

ให a เปนความยาวสวนโคงของวงกลมหน่ึงหนวยทีว่ ดั จากจดุ (1, 0) ไปยังจุดโดยกาํ หนดทศิ ทางดงั นี้

ถา a > 0 ถา a < 0
เปนการวัดไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา เปนการวัดไปในทศิ ทางตามเข็มนาฬิกา

Y Y
P
O (1,0) X
a>0 0
O0 (1,0) X a<0
P

จากความรเู ก่ียวกบั การวดั มุมที่มหี นวยเปนเรเดียน จะไดวา

aa

r1 ความยาวสวนโคง a คือมมุ ที่วัด
a เปนแบบเรเดยี นนน่ั เอง....

เรยี กจุด (x, y) วาเปนจดุ ปลายสวนโคงท่ียาว ทว่ี ดั จากจุด (1, 0) ไปตามสวนโคงของวงกลมยาว
หนวย เขียนแทนดวย P( ) = (x, y) ซ่ึงเราสามารถหาจดุ P( ) บนวงกลมหนึ่งหนวย ซ่งึ มจี ดุ เดียวทจี่ บั คูกับ

2

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ y y
(1,0) (1,0)
ตวั อยาง 3 จงหาจุดปลายสวนโคงท่ยี าว
O0 x O0 x
y

(1,0)
O0 x

P(0) = …………. P( ) = …………. P( 3 ) = ………….
2
y y
y
(1,0)
O0 x (1,0) (1,0)
O0 x O0 x

P(2 ) = …………. P( 5 )= …………. P(3 ) = ………….

y 2 y

y

(1,0) (1,0) (1,0)
O0 x O0 x O0 x

P(– )= …………. P(– )= …………. P(– 3 )= ………….
2
y y
y
(1,0)
O0 x (1,0) (1,0)
O0 x O0 x

P(–2 ) = …………. P(– 5 )= …………. P(–3 )= ………….
2

3

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ

สาํ หรบั และเนือ่ งจากความยาวของเสนรอบวงของวงกลมหนึง่ หนวยเทากับ 2 หนวยเทานั้น
ดังนน้ั จะมจี าํ นวนจรงิ อกี มากมายนับไมถวนทจ่ี ับคกู บั จุด P( ) ดวยเชนกัน จาํ นวนจรงิ เหลาน้ีคือจํานวนที่
เพม่ิ ข้นึ หรอื ลดลงจาก ครั้งละ 2 ซึง่ ไดแกจํานวนจริงท่ี อยูในรปู + 2n เมื่อ n เปนจาํ นวนเต็ม
เพราะฉะน้นั

ถา เปนจาํ นวนใด ๆ แลว P( ) = P( + 2n ) เมอ่ื n เปนจาํ นวนเต็ม

ตัวอยาง 4 จงหา P( ) , P( ) และ P( )
46 3

4

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ

ตวั อยาง 5 จงหา P( ) = (x, y) จากวงกลมหนง่ึ หนวยตอไปน้ี

P(2 ) Y
3 P( )

P(34 ) 2
P( )
P(5 ) 3
6 P( 4 )

P( ) P( 6 )

P(0) X

P(7 ) P(116 )
6 P(74 )
P(5 )
4 P( 3 ) P(5 )
P(4 ) 3
3 2

5

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ

2. ฟงกชันตรีโกณมิติ

เราจะอาศัยวงกลมหน่งึ หนวยเปนเครอื่ งมอื ในการสรางฟงกชนั ตรีโกณมิติ ดงั น้ี

ใหจดุ P(x, y) เปนจดุ ใดๆ บนวงกลมหนง่ึ หนวย

Y cos sin ซ่งึ เปนจุดปลายของสวนของเสนรอบวงกลมท่ียาว หนวย
P(x, y) ลากสวนของเสนตรง PA ต้ังฉากกับแกน X ทจ่ี ดุ A
จะไดรปู สามเหล่ียมมุมฉาก OAP และจะพบวา

y (1,0) X sin PA y y
OP 1
0 OA x
cos OP 1 x
O xA

นัน่ คอื x = cos และ y = sin

จากลักษณะการกําหนดจุดบนเสนรอบวงดังกลาว จะพบวาทุกครั้งที่กําหนดคา มาให เราสามารถ

หาจุด P(x, y) ซ่ึงเปนจุดปลายของสวนโคงท่ีวัดตามแนวเสนรอบวงท่ีเริ่มตนท่ีจุด (1, 0) ที่ยาว หนวย ได

เพียงจุดเดียว นั่นคือ แตละคา จะทําใหเกิดคา x เพียงคาเดียว และคา y เพียงคาเดียว จากความเขาใจ
ดังกลาวนี้เราสามารถนําไปสรางฟงกชันโคไซนและฟงกชันไซน ไดดังนี้

บทนยิ าม ฟงกชันไซน หมายถงึ ฟงกชัน sine : ซึ่งนยิ ามวา

sine = {( , y) | P( ) = (x, y)}

ฟงกชนั โคไซน หมายถงึ ฟงกชนั cosine : ซง่ึ นยิ ามวา

cosine = {( , x) | P( ) = (x, y)}

จากบทนยิ ามอาจกลาวไดวา ถาจุด (x, y) เปนจดุ ปลายของสวนโคงทวี่ ัดตามแนวเสนรอบวงท่เี ริ่มตนท่ี
จุด (1, 0) ท่ียาว หนวย แลว

sin = y และ cos = x

เนือ่ งจาก P( ) = (x, y) อยูบนวงกลมหนึง่ หนวย ดังน้ัน –1 x 1 และ –1 y 1
1 ดังนัน้
นนั่ คอื ถา แลว –1 cos 1 และ –1 sin [–1, 1]

Dcos = และ Rcos = [–1, 1]

Dsin = และ Rsin =

เนื่องจากมีจาํ นวนจรงิ ทีม่ ากมายทไ่ี มเทากัน แตใหจดุ ปลายสวนโคงเปนจุดเดยี วกนั ดังนนั้ ฟงกชนั ไซน
และโคไซน จึงไมเปนฟงกชนั หนึ่งตอหนึ่ง

6

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ

จากสมการวงกลมหน่ึงหนวย x2 y2 1

ดงั น้นั 22 เมอ่ื เปนจํานวนจรงิ

นอกจากนีย้ ังมีฟงกชนั ตรโี กณมติ ชิ นิดอื่นๆ อีก ดงั บทนิยามตอไปนี้

บทนิยาม กําหนดให เปนจาํ นวนจริง

(1) ฟงกชนั แทนเจนต (tangent) คอื ฟงกชันทนี่ ิยามวา
sin
tangent = cos เมือ่ cos 0

(2) ฟงกชนั โคแทนเจนต (cotangent) คอื ฟงกชนั ทีน่ ิยามวา
cos
cotangent = sin เมือ่ sin 0

(3) ฟงกชันเซแคนต (secant) คือฟงกชนั ทีน่ ิยามวา
1
secant = cos เมอื่ cos 0

(4) ฟงกชันโคเซแคนต (cosecant) คือฟงกชันทน่ี ิยามวา
1
cosecant = sin เมื่อ sin 0

หมายเหตุ tan = 1 เมอื่ cot 0
cot

และ cot = 1 เม่อื tan 0
tan

จากนยิ ามขางตน อาจหาความสัมพันธระหวางฟงกชนั ตรีโกณมิติตาง ๆ ไดเชน

2 2 เมอ่ื sin 0

และ 2 2 เมอื่ cos 0

7

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ

คาของฟงกชันตรโี กณมติ ิของจาํ นวนจรงิ ทีค่ วรสนใจ

เม่ือกําหนดจํานวนจรงิ และตองการหาคา sin และ cos เราสามารถหาไดโดยการหา
P( ) = (x, y) ท่ีไดแสดงแลวในหัวขอ 3 คาของ x จะเทากับ cos และ y จะเทากับ sin

ตอไปนีเ้ ปนตารางหาคาของฟงกชนั ตรโี กณมิติ เม่ือ เปนจาํ นวนจรงิ บางจํานวนทคี่ วรทราบ

0 3 2 643
P( )=(x,y) 2

sin
cos
tan
cosec
sec
cot

ตัวอยาง 6 จงหาคาของ sin , cos tan , cot , sec และ cosec เม่ือ ดังตอไปนี้

(1) = 2 (2) = 5

y3 y4

sin = ……… sin = …….…

O0 (1,0) cos = ……… O0 (1,0) cos = ………
x x

tan = ……… tan = ………

cosec = …… cosec = ……

sec = ……… sec = ………

cot = ……… cot = ………

8

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ (4) = 9
4
(3) = – y

6 sin = …….…

y (1,0) cos = ………
O0 x tan = ………
sin = ………
cos = ……… cosec = ……

(1,0) sec = ………

O0 x tan = ……… cot = ………
cosec = ……
sec = ………
cot = ………

(5) = – 3 (6) = 29
2 6
y y
sin = ……… sin = …….…

cos = ……… cos = ………

(1,0) (1,0)

O0 x tan = ……… O0 x tan = ………
cosec = …… cosec = ……

sec = ……… sec = ………

cot = ……… cot = ………

(7) = 21 (8) = – 23
4
y sin = ……… 3

cos = ……… y
O0 (1,0) x tan = ………
sin = …….…
cosec = …… cos = ………

sec = ……… (1,0)

cot = ……… O0 x tan = ………
cosec = ……
sec = ………
cot = ………

9

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ

ตวั อยาง 7 จงหาจํานวนจริง มา 5 จาํ นวนซึ่งทาํ ใหแตละขอตอไปนเี้ ปนจริง

(1) sin = 0 (2) cos = –1

(3) sin = 2 (4) sin = 3

2 2

(5) cos = 1 (6) cos = 3
2 2

ตวั อยาง 8 จงหาคาของ

(1) sin cos tan sec
34 46

10

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ

(2) cos 2 sin 5 tan 9 cos 5 cot 7
3 4 6 6

(3) 3 tan2 1 sin2 1 cos ec2 4 cos2
63 32 43 6

(4) sin 3 sec cos ec2 sec2 sin cot
2 46 64

(5) sin 5 cos 13 tan 11 cos e c( 11 ) sec( 13 ) cot( 5 )
4 6 6 6 6 4

11

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ

3. คาของฟงกชันตรีโกณมิติ

3.1 การหาคาของ sin( ) และ cos( ) เมอ่ื เปนจาํ นวนจริงบวก

ถากําหนดให เปนจํานวนจริงบวกแลว – จะเปนจํานวนจรงิ ลบ การหาคาของ sin(– ) และ

cos(– ) สามารถหาไดจาก sin และ cos ซึง่ มีความสัมพันธกันดวยสตู รที่จะกลาวตอไปนี้

y จากบทนิยาม เราจะไดวา
P( ) = (x, y) sin = y และ sin(– ) = –y
cos = x และ cos(– ) = x
00 x
A(1,0)

P( ) = (x, y)

ดังนัน้ จึงสรปุ ความสัมพนั ธระหวาง sin กบั sin(– ) และ cos กับ cos(– ) ไดดังตอไปน้ี
sin(– ) = –sin
cos(– ) = cos

ตัวอยาง 9 จงหาคาของ

(1) cos(– ) = …………………………………………………………………..

6

(2) cos(– 7 ) = …………………………………………………………………..
6

(3) cos(– ) = …………………………………………………………………..

4

(4) cos(– 3 ) = …………………………………………………………………..

4

(5) sin(– ) = …………………………………………………………………..

3

(6) sin(– 2 ) = …………………………………………………………………..
3

(7) sin(– 5 ) + cos(– 4 ) = …………..………………………………………

63

12

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ

3.2 การหาคาของ sin และ cos เม่ือ > 2

การหาคาของ sin และ cos เมือ่ ท่ี > 2 มีวิธกี ารดงั นี้

ใหนํา 2 ไปหาร และสมมตใิ หผลหารเทากับ n และเหลือเศษ ดังนน้ั
= 2n +

เม่อื n เปนจํานวนเต็มบวก หรือศนู ย และ 0 < 2

ดังน้ัน จากทฤษฎบี ท 1 เราทราบแลววา
P(2n + ) = P( )

ดงั นน้ั P( ) = P( )
จึงสรุปเปนสตู รการคาํ นวณหา sin และ cos ไดดังนี้

sin = sin (2n + ) = sin
cos = cos (2n + ) = cos

ตัวอยาง 10 จงหาคาของ
32
(1) sin( 3 ) = …………………………………………………………………..

(2) cos( 25 ) = …………………………………………………………………..
6

(3) sin( 25 ) = …………………………………………………………………..
4

(4) sin( 25 ) + cos( 35 ) = …………………………………………………
4 4

= …………………………………………………

(5) cos( 65 ) – sin( 89 ) = …………………………………………………
3 8 = …………………………………………………

13

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ

3.3 การหาคาของ sin และ cos เมือ่ < <

2

กําหนด โดยท่ี < < ดังนน้ั P( ) = P(x, y) เปนจุดที่อยใู นควอดรนั ตท่ี 2

y2

P( ) = (x, y) 00 Q( x, y) = P( ) sin = sin( ) = sin
B( 1,0) A(1,0) x cos = cos( ) = cos

ตัวอยาง 11 จงหาคาของ 5 20 20
5 6 3 3
(1) sin( 6 ) และ cos( ) (2) sin(– ) และ cos(– )

ตวั อยาง 12 กาํ หนดให sin( ) = 0.309 และ cos( ) = 0.951 จงหา
10 10
(1) sin( 9 ) (2) cos( 9 )
10 10

ตัวอยาง 13 กําหนดให sin( 2 ) = 0.407 และ cos( ) = 0.208 จงหาคาของ
15
15
sin(– 73 ) + cos( 104 )
15 15

14

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ

3.4 การหาคาของ sin และ cos เมือ่ < < 3
2

กาํ หนด โดยท่ี < < 3 ดงั น้ัน P( ) = P(x, y) เปนจดุ ทอ่ี ยูในควอดรันตที่ 3
2

y

Q( x, y) = P( ) sin = sin( + ) = sin
cos = cos( + ) = cos
00 x

A(1,0)

P( ) = (x, y)

ตวั อยาง 14 จงหาคาของ sin( 5 ) และ cos( 5 )
4 4

ตัวอยาง 15 กาํ หนดให sin( ) = 0.259 และ cos( ) = 0.966 จงหาคาของ

12 12
13 13
sin( 12 ) และ cos(– 12 )

ตวั อยาง 16 กําหนดให sin( ) = 0.309 และ cos( ) = 0.951 จงหาคาของ

10 10
29 31 51
sin( 10 ) + cos( 10 ) + sin(– 10 )

15

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ

3.5 การหาคาของ sin และ cos เมื่อ 3 < <2
2

กาํ หนด y โดยที่ 3 < <2 จะไดวา P( ) = P(x, y) อยใู นควอดรนั ตท่ี 4
2

Q(x, y) = P(2 ) sin = sin(2 ) = sin
cos = cos(2 ) = cos
0 0 A(1,0) x
P( ) = (x, y)

ตวั อยาง 17 จงหาคาของ sin( 11 ) และ cos( 11 )
6 6

ตัวอยาง 18 จงหาคาของ sin(– 5 ) และ cos(– 5 )
3 3

ตวั อยาง 19 กําหนดให cos( ) 0.98 และ sin( ) 0.17
18 18
35 35
จงหาคาของ cos( 18 ) และ sin( 18 )

16

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ ไดดงั นี้

จากหวั ขอ 3.3 ถึง 3.5 เราสามารถสรปุ การหาคาของ sin และ cos โดยที่

(1) หาจํานวนจรงิ โดยท่ี 0 ซ่งึ ทําให

2

= ความยาวสวนโคงระหวางจุด P( ) และแกน x

(2) หาคาของ sin และ cos

(3) คาของ sin = sin และ cos = cos โดยเลือกเครือ่ งหมาย + หรือ –

ตามจาํ นวนจริง ทที่ าํ ให P( ) อยใู นควอดรันตที่เทาใด
ซึ่งสรปุ เครอ่ื งหมายของฟงกชนั ไซนและโคไซนไดดงั นี้

sin > 0 y
cos < 0 sin > 0
cos > 0

sin < 0 00 x
cos < 0
sin < 0
cos > 0

คาของ tan , cot , cosec และ sec จะเปนจาํ นวนจริงบวก หรอื ลบนั้น ก็ทํานองเดยี วกบั
คาของ sin , cos

sin > 0 csc > 0 y sin > 0 csc > 0
cos < 0 sec < 0 00 cos > 0 sec > 0
tan < 0 cot < 0 tan > 0 cot > 0

x

sin < 0 csc < 0 sin < 0 csc < 0
cos < 0 sec < 0 cos > 0 sec > 0
tan > 0 cot > 0 tan < 0 cot < 0

น่นั คอื
sin (– ) = – sin
cos (– ) = cos
tan(– ) = – tan
cot(– ) = – cot

cosec(– ) = – cosec
sec(– ) = sec

17

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ

ตวั อยาง 20 กาํ หนดให 0 และ sin = 0.5075 และ cos = 0.8090 จงหาคา

2

(1) sin(– ) = ………………………………………………………………………

(2) cos(– ) = ………...……………………………………………………………

(3) sin( – ) = ………………………………………………………………………

(4) sin( + ) = ……………………………………………………………………...

(5) sin( – ) = ………………………………………………………………………

(6) sin(2 – ) = ………………………………………………………………………

. (7) sin( – 2 ) = ……………………………………………………………………..

(8) cos( – ) = ………………………………………………………………………

(9) cos( – ) = ………………………………………………………………………

(10) cos(2 – ) = …………………...…………………………………………………

(11) cos( – 3 ) = ………………………………………………………………………

(12) cos( + ) = ………………………………………………………………………

ตัวอยาง 21 จงหาคาแตละขอตอไปนี้

(1) cos(– 13 ) + sin(– 7 ) – tan 2 ( 5 ) sec 2 ( 11 )
66 66

(2) sin( 405 ) cos 780

cos ec( 390 )

18