Modul Matematika Peminatan Kelas XI

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

PERSAMAAN TRIGONOMETRI
MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XI

PENYUSUN
Suci Restu Nurfadilah,S.Pd.MM

Unit Kerja:
MAN 1 KAB. BEKASI

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 2

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

DAFTAR ISI

PENYUSUN ........................................................................................................................ 2
DAFTAR ISI......................................................................................................................... 3
GLOSARIUM ...................................................................................................................... 4
PETA KONSEP .................................................................................................................... 5
PENDAHULUAN................................................................................................................. 6
A. Identitas Modul........................................................................................................... 6
B. Kompetensi Dasar....................................................................................................... 6
C. Deskripsi Singkat Materi ............................................................................................ 6
D. Petunjuk Penggunaan Modul...................................................................................... 6
E. Materi Pembelajaran ................................................................................................... 6
KEGIATAN PEMBELAJARAN 1............................................................................................ 7
Persamaan Trigonometri Dasar........................................................................................ 7
A. Tujuan Pembelajaran .................................................................................................. 7
B. Uraian Materi.............................................................................................................. 7
C. Rangkuman ............................................................................................................... 13
D. Latihan Soal .............................................................................................................. 14
E. Penilaian Diri ............................................................................................................ 20
KEGIATAN PEMBELAJARAN 2.......................................................................................... 21
Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat ...................................................................... 21
A. Tujuan Pembelajaran ................................................................................................ 21
B. Uraian Materi............................................................................................................ 21
C. Rangkuman ............................................................................................................... 22
D. Penugasan Mandiri (optional)................................................................................... 22
E. Latihan Soal .............................................................................................................. 23
F. Penilaian Diri ............................................................................................................ 29
EVALUASI ........................................................................................................................ 30
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................... 33

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 3

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

GLOSARIUM

▪ Fungsi trigonometri adalah fungsi dari sebuah sudut yang digunakan untuk
menghubungkan antara sudut-sudut yang dalam suatu segitiga dengan sisi-sisi
segitiga tersebut.

▪ Himpunan penyelesaian adalah himpunan yang beranggotakan akar-akar dari suatu
persamaan.

▪ Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri.
▪ Persamaan trigonometri bentuk kuadrat adalah persamaan trigonometri dalam bentuk

2 + + = 0, ≠ 0

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 4

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

PETA KONSEP

Persamaan sin = sin dan
Trigonometri Dasar sin =

Persamaan cos = cos dan
Trigonometri Bentuk cos =

Kuadrat tan = tan dan
tan =

Persamaan
Trigonometri bentuk

2 + + = 0

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 5

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

PENDAHULUAN

A. Identitas Modul

Mata Pelajaran : Matematika Peminatan
Kelas : XI
Alokasi Waktu : 8 JP
Judul Modul : Persamaan Trigonometri

B. Kompetensi Dasar

3.1 Menjelaskan dan menentukan penyelesaian persamaan trigonometri
4.1 Memodelkan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan masalah

trigonometri

C. Deskripsi Singkat Materi

Modul ini berisi materi persamaan trigonometri yang merupakan pengembangan dari
fungsi trigonometri dengan nilai y = 0. Materi prasyarat yang harus dikuasai adalah nilai
perbandingan trigonometri sudut istimewa, nilai perbandingan trigonometri di empat
kuadran, invers trigonometri dan penyelesaian persamaan kuadrat. Setelah memahami
modul ini diharapkan dapat menentukan penyelesaian persamaan trigonometri baik
persamaan dasar maupun persamaan kuadrat. Materi ini akan menjadi prasyarat
perhitungan terutama pada mata pelajaran fisika.

D. Petunjuk Penggunaan Modul

Sebelum Ananda membaca isi modul, terlebih dahulu membaca petunjuk khusus dalam
penggunaan modul agar memperoleh hasil yang optimal.

1. Sebelum memulai menggunakan modul, mari berdoa kepada Tuhan yang Maha
Esa agar diberikan kemudahan dalam memahami materi ini dan dapat
mengamalkan dalam kehidupan sehari-hari.

2. Sebaiknya Ananda mulai membaca dari pendahuluan, kegiatan pembelajaran,
rangkuman, hingga daftar pustaka secara berurutan.

3. Setiap akhir kegiatan pembelajaran, Ananda mengerjakan latihan soal dengan

jujur tanpa melihat uraian materi.

4. Ananda dikatakan tuntas apabila dalam mengerjakan latihan soal memperoleh
nilai ≥ 75sehingga dapat melanjutkan ke materi selanjutnya.

5. Jika Ananda memperoleh nilai < 75 maka Ananda harus mengulangi materi pada
modul ini dan mengerjakan kembali latihan soal yang ada.

E. Materi Pembelajaran

Modul ini terbagi menjadi 2 kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat uraian
materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.

Pertama : Persamaan Trigonometri Dasar

Kedua : Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 6

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

KEGIATAN PEMBELAJARAN 1
Persamaan Trigonometri Dasar

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, diharapkan Ananda dapat menentukan
himpunan penyelesaian persamaan trigonometri dasar

B. Uraian Materi

Jika ananda menyelesaikan suatu persamaan trigonometri, berarti ananda
diharuskan menemukan nilai , dalam satuan radian maupun derajat, yang
memenuhi persamaan tersebut.
Sebelum memasuki materi, ada materi prasyarat yang harus ananda kuasai
yaitu sebagai berikut.

Materi Prasyarat 1:
Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa

0° 30° 45° 60° 90°
11 1
sin 0 1 21 ξ2 ξ3 0
cos 2 2 1
1 ~
1 12 ξ3 2 ξ2 2

tan 0 ξ3 1 1 ξ3
3
= ξ3

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 7

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

Untuk memeriksa kesiapan kalian memasuki materi ini, kerjakanlah soal
berikut.

Tentukanlah nilai perbandingan trigonometri berikut.
1. sin 60° = 6. cos 300° =
2. cos 45°= 7. sin 120° =
3. tan 30°= 8. sin 240° =
4. cos 135° = 9. sin 310° =
5. cos 210° = 10. tan 315° =

Persamaan Trigonometri Dasar
Persamaan trigonometri dasar meliputi:

1. sin = sin
2. cos = cos
3. tan = tan
4. sin = , sebuah konstanta
5. cos = , sebuahkonstanta
6. tan = , sebuah konstanta

Penyelesaian persamaan trigonometri dasar
Menyelesaikan persamaan trigonometri dalam bentuk kalimat terbuka yang memuat
variabel berarti menentukan nilai variabel yang terdapat dalam persamaan tersebut
sehingga persamaan itu menjadi benar.
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sin = sin , cos = cos dan tan = tan ,
perhatikan tanda (positif atau negatif) untuk sin , cos , tan pada tiap kuadran dan sudut
berelasi pada kuadran masing-masing.

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 8

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

Menentukan penyelesaian persamaan trigonometri dasar
a. sin = sin °

Nilai sinus suatu sudut positif di kuadran 1 dan 2 sehingga untuk persamaan
sin = sin ° penyelesaiannya adalah:

° + =. 36{0(°18−0−−− )−° +− −. 36−0°−−−−( − − − ( 1 ) 2)
b. cos = cos °

Nilai cosinus suatu sudut positif di kuadran 1 dan 4 sehingga untuk
persamaan cos = cos ° penyelesaiannya adalah:

° + =. 36{ 0(°−− )−° +− −. 36−0°−−−−−−−−( − − − ( 1 ) 4)
c. tan = tan °

Nilai tangen suatu sudut positif di kuadran 1 dan 3 sehingga untuk
persamaan cos = cos ° penyelesaiannya adalah:

= ° + . 180° − − − − − −( 1 3)

Begitu pula untuk bentuk sudut dalam radian.
a. sin = sin
+ . 2 − − − − − − − − − ( 1)
= { − ) + . 2 − − − − − − − ( 2)
(

b. cos = cos + . 2 − −−−−− − − − ( 1)
(− ) + . 2 − −−−−− − −( 4)
= {

c. tan = tan

= + . − − − − − − − ( 1 3)

Agar lebih jelas, coba Ananda simak contoh berikut.

Contoh 1:

Tentukan akar-akar dari persamaan trigonometri berikut kemudian tuliskan

himpunan penyelesaiannya.

1. sin = sin 70° , 0° ≤ ≤ 360°
2. cos = cos 60° , 0° ≤ ≤ 360°
3. tan = tan 20°, 0° ≤ ≤ 360°
4. sin2 =sin2
5. cos 3 = cos1 3 , 0 ≤ ≤ 2
6. tan2 −tan1 2 , 0 ≤ ≤
3 = 0 , 0 ≤ ≤ 2

Alternatif penyelesaian:
1. sin = sin 70° , 0° ≤ ≤ 360°

1 = 70°
2 = (180 − 70)° = 110°
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {70°, 110°}

2. cos = cos 60° , 0° ≤ ≤ 360° 9

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

1 = 60°
2 = −60° + 360° = 300°
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {60°, 300°}

3. tan = tan 20°, 0° ≤ ≤ 360°
= 20° + . 180°
Untuk = 0 diperoleh 1 = 20°
Untuk = 1 diperoleh 2 = 20° + 180° = 200°
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {20°, 200°}

4. sin2 =sin2 3 , 0 ≤ ≤ 2

a. 2 = 231 + . 2
= 3 + .

untuk = 10 ddiippeerroolleehh 1 = 1
untuk =
3 4
1
2 = 3 + = 3
2 = ( − 2 ) + . 2
b. 1 3

=6 + .

untuk = 0diperoleh 3 =6 1

untuk = 1diperoleh
7
4 =6
Dari pengerjaan di atas diperoleh himpunan penyelesaiannya yaitu
{1 , 1 , 7 4
6 , }
63 3

5. cos 3 = cos 1

2 , 0 ≤ ≤
+ . 2
a. 3 = 1 2
1 2
3
= 6 + .

untuk = 0diperoleh 1

b. untuk =1 1diperoleh 1 = 6 5
2 =6
3 = − 2 + . 2
2 1
= − 1 + . 3
6 3 = 2

untuk = 1diperoleh

Dari pengerjaan di atas diperoleh himpunan penyelesaiannya yaitu
{1 1 5
, 2 , }
6 6

6. tan2 − tan1 3 = 0 , 0 ≤ ≤ 2
tan2 = tan1 , 0 ≤ ≤ 2
1 3
2 = 3 + .


@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 10

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

= 1 + . 1
6 2
1
untuk = 0diperoleh di atas adalah {1 6 , 2 3 }
untuk = 1diperoleh 1 = 6 2
Himpunan penyelesaian 2 =3
dari persamaan

Contoh 2:

Tentukan akar-akar dari persamaan trigonometri berikut kemudian tuliskan

himpunan penyelesaiannya.
2 cos − ξ3 = 0, 0° ≤ ≤ 360°
1. sin( − 30°) = 1 ξ3 , 0° ≤ ≤ 360°
2. 2

3. ξ3 sin = cos , 0° ≤ ≤ 360°

Alternatif Penyelesaian:
1. 2 cos − ξ3 = 0, 0° ≤ ≤ 360° 2 cos = ξ3

1
cos = 2ξ3
a. = 30° + . 360°

untuk = 0 diperoleh 1 = 30°
b. = −30° + . 360°

untuk = 1 diperoleh 2 = 330°
Himpunan penyelesaiannya adalah {30°, 330°}

2. sin( − 30°) = 1 ξ3 , 0° ≤ ≤ 360°
21
sin( − 30°) = 2 ξ3 = sin 60°

a. ( − 30°) = 60° + . 360°
= 90° + . 360°
untuk = 0 diperoleh 1 = 90°
b. ( − 30°) = (180° − 60°) + . 360°
( − 30°) = 120° + . 360°
= 150° + . 360°
untuk = 0 diperoleh 2 = 150°
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {90°, 150°}

3. ξ3sin =cos ,0° ≤ ≤360° ξ3 sin = cos
ξ3 cossi n = cos cos

ξ3 tan = 1 1 1
tan = ξ3 = 3 ξ3
tan = tan 30°
= 30° + . 180°

untuk = 0 diperoleh 1 = 30°

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 11

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

untuk = 1 diperoleh 2 = 210°
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {30°, 210°}

Kita sudah bahas persamaan trigonometri untuk bentuk:
1. sin = sin
2. cos = cos
3. tan = tan
4. sin = , sebuah konstanta
5. cos = , sebuah konstanta
6. tan = , sebuah konstanta
Bagaimana jika salah satu dari ruas kiri maupun ruas kanan bernilai negatif? Kita
akan coba bahas contoh berikut.

Contoh 3: ≤ 2
sin 2 = − 1 ξ3 , 0 ≤
2
Nilai sinus suatu sudut negatif berarti
Penyelesaian: sudutnya berada di kuadran III dan IV
1
sin 2 = − 2 ξ3

(Ingat, 1 ξ3 =sin 1 )
23

KSKeuhuaiadndrgargananIhIIIiVmpunauuuunn nnn 2 t2tttp= uuuu = 2e k=kkk32 n= − 3 =y 4 − 16e =+(== =3 1l + e2 011++. s d add+d .13 2ii.iiipa ppp e.n)eee2rn +rrr ooooy l llela.eee2hhhha d 4ala h 123{===2336= 125561 , 5 , 5 , 11 }
6 6
3 3

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 12

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

C. Rangkuman

Menentukan penyelesaian persamaan trigonometri dasar untuk sudut

ukuran derajat:

a. sin = sin ° . 360° − − − − − − − − − ( 1)
° + )° + . 360° − − − − − ( 2)
= { (180 −

b. cos =cos ° 1)
° + . 360° − − − − − − − − − (
= { (− )° + . 360° − − − − − − − ( 4)

c. tan = tan °
= ° + . 180° − − − − − −( 1 3)

Menentukan penyelesaian persamaan trigonometri dasar untuk sudut

ukuran radian:

a. sin = sin + . 2 − − − − − − − − − ( 1)
− ) + . 2 − − − − − − − ( 2)
= { (

b. cos = cos + . 2 − −−−−− − − − ( 1)
+ . 2 − −−−−− − −( 4)
= {
(− )

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 13

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

D. Latihan Soal

Latihan Soal Bentuk Essay
Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut. 1.
tan(2 − 35°) = 1, 0° ≤ ≤ 360°
2. tan(3 − 15°) = −1, 0° ≤ ≤ 180°
3. 2 cos (2 − ) − ξ3 = 0, 0 ≤ ≤ 2
4. sin(3 − 30°) = −31, 0° ≤ ≤ 180°

2

Latihan Soal Bentuk Pilihan Ganda Pilihlah
satu jawaban yang paling benar.
1. Jikasin =sin ,makasalah satupenyelesaian persamaan tersebut adalah

= ....
A. + , ∈ bilangan bulat
B. − + , ∈ bilangan bulat
C. + . 2 , ∈ bilangan bulat
D. (180° + ) + . 2 , ∈ bilangan bulat
E. (180° − ) + . 2 , ∈ bilangan bulat

2. Himpunan penyelesaiandari 2sin −ξ3= 0untuk 0 ≤ ≤2 adalah ....
{1 , 1
A. {31 , 1 2 }
B. {61 , 5 3 }
C. {32 , 5 6 }
D. 6{1 } ,
3
3 2 }
E.
3

3. Yangbukan penyelesaiandaripersamaan sin3 =0untuk 0°≤ <360°
adalah ....

A. 0°
B. 60°
C. 120°
D. 240°

E. 270°

4. Himpunan penyelesaian dari persamaan tan3 −tan 4 = 0 adalah ....

(4 3
−
A. { | = + 3 ), ∈ }
B. { | = + 3 ), ∈ }
9 9

(4 ,

C. { | = 4 + . ∈ }

D. { | = 4 + 9 , ∈ }

.
3
E. = 4 + . 3 , ∈ }
{ |
3

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 14

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

5. Himpunan penyelesaian dari persamaan sin( − 60°) = cos2 untuk 0° ≤
≤ 360° adalah ....
A. {70°, 170°, 210°, 250°}
B. {70°, 190°, 210°, 250°}
C. {50°, 190°, 250°, 290°}
D. {50°, 170°, 210°, 290°}
E. {50°, 170°, 250°, 290°}

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 15

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

Kunci Jawaban dan Pembahasan

Kunci Jawaban Soal Latihan Bentuk Essay

1. tan(2 − 35°) = 1, 0° ≤ ≤ 360°

2 − 35° = 45° + . 180° (SKOR MAKSIMUM 10)
2 = 80° + . 180° (SKOR MAKSIMUM 10)
= 40° + . 90° (untuk bilangan bulat) (SKOR MAKSIMUM 15)

1 = 40°

2 = 40° + 90° = 130°

3 = 40° + 180° = 220°
4 = 40° + 270° = 310°
HP = {40°,130°,220°,310°}

2. tan(3 − 15°) = −1, 0° ≤ ≤ 180°

(3 − 15°) = 135° + . 180°

3 = 150° + . 180°
= 50° + . 60°
1 = 50°
2 = 50° + 60° = 110°
3 = 50° + 120° = 170°
HP = {60°, 110°, 170°}

3. 2 cos (2 − ) − ξ3 = 0, 0 ≤ ≤ 2

3

2cos(2 − ) = ξ3
3 1

cos (2 − 3) = 2 ξ3
Kosinus Positif di Kuadran I

2 − 3 = 6 + . 2

2 = + . 2
2 = + 6+
3 . 2
2

= 4 + .


1 = 4 + 0. = 4
5
4
2 = 4 + 1. =
Kosinus Positif di Kuadran IV

2 − 3 =− 6 + . 2
2 =
6 + . 2

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 16

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

= + .
12
3 = 12 + 0. = 12

H=P12=+{ 1. = 13
4 ,
12
5 13
, , }
12 4 4 12

4. sin(3 − 30°) = − 1, 0° ≤ ≤ 180°

2

Nilai sinus negatif di kuadran III dan IV (SKOR MAKSIMUM 15)

Kuadran III 17
3 − 30° = 240° + . 360°
3 = 270° + . 360°
= 90° + . 120°
1 = 90°

Kuadran IV
3 − 30° = 300° + . 360°
3 = 330° + . 360°
= 110° + . 120°
= 110° + 0.120° = 110°
HP = {90°, 110°}

Kunci Jawaban Soal Bentuk Pilihan Ganda

1. Kunci : C

Pembahasan
sin =sin
= + . 2 dan = ( − ) + . 2
2. Kunci: E

2sisni n = −ξ32=ξ03untuk0 ≤ ≤ 2 1
Kuadran I:

= + . 2
3

1 = 3 + 0.2 = 3
Kuadran II:

= ( − 3 ) + . 2
2 =
+ . 2
= 32
2 = 3 + 0.2 2
3
{1 , 2
HP = }
3 3

3. Kunci: E

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

sin 3 = 0 3 = .

360°
= . 120°

1 = 0°

2 = 120°
3 = 240°
sin 3 = 0

3 = 180° + . 360°
= 60° + . 120°
4 = 60°

5 = 180°
6 = 300°
Jadi yang tidak memenuhi adalah 270°.

4. Kunci: A

tPtaa enn 333m== =−=b 949 ttaa34a (nn h4 + a++s 3a. n .) :133443 = 0




5. Kunci: D

Pembahasan:
sin( −60°)=cos2 untuk0°≤ ≤360° sin( −60°)=

cos(90°−( −60°))

sin( − 60°) = cos(150° − ) cos(150° − ) =
cos 2

2 = 150° − + . 360°
3 = 150° + . 360°
= 50° + . 120°
1 = 50°
2 = 170°

3 = 290°

2 = −(150° − ) + . 360°
2 = − 150° + . 360°
= −150° + . 360°
4 = 210°
HP= {50°, 170°, 210°, 290°}

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 18

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 19

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

E. Penilaian Diri

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jujur dan bertanggungjawab!

No. Pertanyaan Jawaban
Ya Tidak
1 Apakah ananda dapat menentukan himpunan Ya Tidak
penyelesaian persamaantrigonometri sin = ? Ya Tidak

2 Apakah ananda dapat menentukan himpunan Ya Tidak
penyelesaian persamaantrigonometri cos = ?
Ya Tidak
3 Apakah ananda dapat menentukan himpunan Ya Tidak
penyelesaian persamaan trigonometri tan = ? Ya Tidak

Apakah ananda dapat menentukan himpunan

4 penyelesaian persamaan trigonometri dasar untuk

interval dalam bentuk radian?

5 Apakah ananda dapat menentukan himpunan
penyelesaian persamaan trigonometri sin = ?

6 Apakah ananda dapat menentukan himpunan
penyelesaian persamaan trigonometri cos = ?

7 Apakah ananda dapat menentukan himpunan
penyelesaian persamaan trigonometri tan = ?

Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan riview pembelajaran, terutama
pada bagian yang masih "Tidak"

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 20

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

KEGIATAN PEMBELAJARAN 2
Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, diharapkan Ananda dapat menentukan himpunan
penyelesaian persamaan trigonometri berbentuk 2 + + = 0, ≠ 0.

B. Uraian Materi

Persamaan trigonometri terkadang ada yang berbentuk persamaan kuadrat, atau
mengharuskan kita untuk mengubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat sehingga
penyelesaian bisa kita peroleh dengan menggunakan aturan dalam persamaan kuadrat.
Pengubahan bentuk persamaan trigonometri ke bentuk persamaan kuadrat trigonometri
memerlukan wawasan Ananda tentang identitas trigonometri seperti misalnya:

sin2 x + cos2 x = 1

1+ tan2 x = sec2 x

Jika ada kata persamaan kuadrat, tentu saja diperlukan kompetensi untuk menentukan
akar-akar persamaan kuadrat tersebut, misalnya dengan pemfaktoran maupun melengkapkan
kuadrat sempurna.
Perlu diingat pula rentang nilai untuk sinus dan cosinus adalah:

−1 ≤ sin ≤ 1
−1 ≤ cos ≤ 1

Agar lebih jelas, cermati beberapa contoh berikut.

Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian untuk cos2 x − cos x − 2 = 0 untuk 0° ≤ ≤ 360°

Alternatif penyelesaian:
Misal = cos

cos2 x − cos x − 2 = 0

2 − − 2 = 0 Ingat, nilai −1 ≤ cos ≤ 1
( − 2)( + 1) = 0

1 = 2 atau 2 = −1
cos = 2 atau cos = −1
(cos = 2 tidak memenuhi)
Sehingga cos = −1

= 180° + . 360°
diperoleh nilai = 180° atau himpunan penyelesaiannya {180°}

Contoh 2:

2 − 2 cos2  = sin  untuk 0° ≤ ≤ 360°

Alternatif penyelesaian: sin2 x + cos2 x = 1

2 − 2 cos2  = sin 
2(1− cos2  ) = sin 

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 21

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

2 sin2  = sin 

2 sin2  − sin  = 0

sin  (2 sin  −1) = 0

sin = 0 atau sin = 1 2
a. sin = 0

= 0° + . 360°

untuk = 0 diperoleh 1 = 0°
untuk = 1 diperoleh 2 = 360°
= 180° + . 360°

untuk 1 = 0 diperoleh 3 = 180°
sin =
b. 2

Kuadran I = 30° + . 360°

Kuadran II untuk = 0 diperoleh 4 = 30°
= (180° − 30°) + . 360°
= 150° + . 360°

untuk = 0 diperoleh 5 = 150°
Himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah {0°, 30°, 150°, 180°, 360°}

C. Rangkuman

Hal yang harus diperhatikan dalam mencari solusi persamaan trigonometri berbentuk
2 + + = 0

1. Rentang nilai sinus dan kosinus:
−1 ≤ sin ≤ 1
−1 ≤ cos ≤ 1

2. Identitas trigonometri yang membantu penyelesaian

D. Penugasan Mandiri (optional)

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 22

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

E. Latihan Soal

Latihan Soal Bentuk Essay
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut.
1. 2sin2 2x − 7 sin 2x + 3 = 0 , 0 ≤ ≤ 2

2. 4cos2 x − 4 cos x − 3 = 0 , −180° ≤ ≤ 180°
3. 2sin2 x − 9 cos x + 3 = 0 , 0° ≤ ≤ 360°

4. 2sin2 x + 3cos x = 0 , 0° ≤ ≤ 360°

Latihan Soal Bentuk Pilihan Ganda

Pilihlah jawaban yang tepat.

1. Jika tan2 x − tan x − 6 = 0 untuk 0 < < , maka nilai sin adalah ....
A. { 3ξ101,02ξ5} 5
B. { 3ξ101,0− 2ξ5} 5
C. {− 3ξ10 , 21ξ05} 5
D. { ξ101, 0ξ5} 5
E. { ξ10 ,120ξ5} 5

2. Semua solusi real dari persamaan cos2 x + cos x − 2 =0 adalah ....

A. 2 , ∈
+ 2 , ∈
B.

2
C. − 2 + 2 , ∈
D. + 2 , ∈

4

E. 3 + 2 , ∈

4

3. Nilai sin dari 2sin2 x + 5sin x −3 = 0 yang memenuhi untuk − < < adalah
2
.... 2
A.
− 1 ξ3
2
B. −1 2
1
C.
D. 12 ξ2
E. 21 ξ3
2

4. Berikut adalah himpunan penyelesaian persamaan kuadrat trigonometri

2 sin2 2x − 7 sin 2x + 3 = 0 , 0 ≤ ≤ 2 , kecuali ....

A.
12
5 12
B.
C. 8
12
13 12
D. 17
E.
12

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 23

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

5. Himpunan penyelesaian dari persamaan 2sin2 x − 9cos x + 3 = 0 untuk 0° ≤ ≤ 360°
adalah ....
A. {30°, 60°}
B. {30°, 300°}
C. {30°, 330°}
D. {60°, 300°}
E. {60°, 330°}

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 24

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

Kunci Jawaban dan Pembahasan

Pembahasan Latihan Soal Bentuk Essay

1. 2sin2 2x −7sin 2x +3 = 0, 0 ≤ ≤ 2

Misalkan = sin2 2 2 − (SKOR MAKSIMUM 10)

7 + 3 = 0 (2 −1)( −3)=
2 0s i n= ==2= 13 12= a 2t 6 t ida++ua 21 k .. 2 m =…e3m…te.idn(Ka u ukhami dkeraamrneenIn)aunhiilakiasriennuas
nilai sinus berkisar dari −1 sampai 1
berkisar dari −1 sampai 1

1 = 12 + 0. = 1 2 13
2 = 12 + 1. =
12

2 = ( − ) + . 2 ……. (Kuadran II)
5
6
2 = 6
+ . 2

= 5 + . 5
125
3 = + 0. =
12 5 12
17
4 = 12 + 1. =
HP= 12
{ ,5 12 ,113 2 , 1172 }

12

2. 4cos2 x−4cosx−3=0,−180°≤ ≤180°

Misal = cos 4 2− (SKOR MAKSIMUM 10)

4 − 3 = 0
( 2== −3+1t1iad)2(ta2ak u − 3) 3= 0
=
2
−1
2 memenuhi karena nilai sinus berkisar dari sampai 1

cos = − 1

2
= (180° − 60°) + . 360° ........................... (Kuadran II)
= 120° + . 360°
1==(118200°° + 0.360° = 120°
+ 60°) + . 360° ........................... (Kuadran III)
= (240°) + . 360°

2 = 240° + (−1). 360° = −120°

HP = {−120°, 120°}

3. 2sin2 x − 9 cos x + 3 = 0 , 0° ≤ ≤ 360°
(SKOR MAKSIMUM 15)

2(1−cos2 )−9cos +3 = 0...............................................................(substitusi sin2 = 1 − cos2 )
2 − 2 cos2 − 9 cos + 3 = 0
−2 cos2 − 9 cos + 5 = 0
2 cos2 + 9 cos − 5 = 0
Misal = cos

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 25

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

2 2 + 9 − 5 = 0 (2 − 1)( +
5 ) ====011−2a5tatuid a =k
−5
memenuhi

cos 2 = 1

2

= 60° + . 360° ............................(Kuadran I)
=1 =−6600°°+ . 360° .............................(Kuadran IV)
H P2 ==3{0600°°, 300°}

4. 2sin2 x + 3cos x = 0 , 0° ≤ ≤ 360°

(SKOR MAKSIMUM 10)
2(1 − cos2 ) + 3 cos = 0 ............................................(substitusi sin2 = 1 − cos2 )
2 − 2 cos2 + 3 cos = 0
−2 cos2 + 3 cos + 2 = 0
2 cos2 − 3 cos − 2 = 0
Misal = cos 2 2−
3 − 2 = 0
cc ( 2oo==ss = (+−21==8110−−t)i°a11d(2−t a a6k−u02m22° ) )+e==m 20. 3e6n0°u.h.i......................... (Kuadran II)
= 120° + . 360°
1==(118200°° + 0.360° = 120°
+ 60°) + . 360° ........................... (Kuadran III)
= (240°) + . 360°

2 = 240° + (−1). 360° = −120°

HP = {−120°, 120°}

Pembahasan Latihan Soal Bentuk Pilihan Ganda
1. Kunci : A
Pembahasan

tan2 x − tan x − 6 = 0 untuk 0 < < ( tan −
3)(tan + 2) = 0
tan = 3 atau tan = −2

tan = 3 3 3
ξ10 10
ξ10 3 sin = = ξ10



1

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 26

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

tan = −2, 0 < < , ada di kuadran I dan II
Nilaitan negatifberartiadadikuadranII,nilaisin di kuadran II
ξ5
2 positif 2 3
1 ξ5 5
sin = = ξ5

2. Kunci : A

cos2 x + cos x − 2 = 0
(cos + 2)(cos − 1) = 0 cos = 1
= 0 + . 2 = 2 , ∈

3. Kunci: C < <
2
2 sin2 + 5 sin − 3 = 0, − 2

(2 sin − 1)(sin + 3) = 0
sin = 1 , sin = −3 tidak memenuhi
2

4. Kunci: C

2 sin2 2x − 7 sin 2x + 3 = 0 , 0 ≤ ≤ 2

Misal =sin2 2 2−

7 + 3 = 0
(2 − 1)( − 3) = 0
= 1 atau = 3 (tidak memenuhi)
2
sin 1
2 =
2
=2= = 1 +2 6+ + 0. . . 2=
........................... (Kuadran I)



1 1+2 1. 12
= 13
=
2 12
(56 )−+6 ). 2+ . 12 (Kuadran II)
2 =
2 ...........................
2 = (
= =5 ( 51+ 2 ) + . 5
0. =
1 = 5 1+2 1. = 17 12
2 12
5 13 ,1127 } 12
12 12
HP = { , , 12

Jadi 8 tidak ada pada himpunan penyelesaian

12

5. Kunci: D

2 sin2 x − 9 cos x + 3 = 0 untuk 0° ≤ ≤ 360°
2(1 − cos2 ) − 9 cos + 3 = 0 ..................................... (substitusi sin2 = 1 − cos2 )
−2 cos2 − 9 cos + 5 = 0
2 cos2 + 9 cos − 5 = 0
Misal = cos 2 2+
9 − 5 = 0
(2 − 1)( + 5) = 0

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 27

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

= 1 atau = −5 (tidak memenuhi)

2

= 60° + . 360° ............................(Kuadran I)
=1 =−6600°°+ . 360° .............................(Kuadran IV)
H P2 ==3{0600°°, 300°}

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 28

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

F. Penilaian Diri

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jujur dan bertanggungjawab!

No. Pertanyaan Jawaban
Ya Tidak
1 Apakah ananda dapat menentukan pemfaktoran Ya Tidak
persamaan kuadrat trigonometri?
Ya Tidak
Apakah ananda dapat menentukan himpunan

2 persamaan kuadrat trigonometri dalam rentang

derajat?

Apakah ananda dapat menentukan himpunan

3 persamaan kuadrat trigonometri dalam rentang

radian?

Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan riview pembelajaran, terutama pada
bagian yang masih "Tidak"

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 29

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

EVALUASI

1. Manakah di bawah ini yang bukan merupakan solusi dari 2 sin2 x −1 = 0 ? A.
425°
B. 585°
C. 225°
D. 135°
E. 45°

2. Himpunan penyelesaian dari 2sin = 1 untuk 0° ≤ ≤ 360° adalah ....
A. {60°}
B. {60°, 120°}
C. {60°, 150°}
D. {30°, 150°}
E. {30°, 150°, 210°}

3. Penyelesaian dari cos(40°+ )+sin(40°+ )=0untuk 0°≤ ≤360°adalah....
A. = 45° dan = 135°
B. = −95° dan = 275°
C. = 95° dan = 275°
D. = 5°dan = 95°
E. = 85°dan = 5°

4. Himpunanpenyelesaiandari6sin(2 +60°)=3untuk0°≤ ≤180°adalah....
A. {30°, 150°}
B. {45°, 165°}
C. {15°, 150°}
D. {30°, 60°}
E. {120°, 135°}

5. Himpunan penyelesaian dari sin( −75°) = 1ξ3denga2n 0° ≤ ≤360°adalah ....
A. {60°, 135°}
B. {60°, 195°}
C. {135°, 195°}
D. {135°, 315°}
E. {195°, 315°}

6. Di bawah ini adalah himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2 = 1 untuk 0 ≤

≤ 2 , kecuali .... 2

A. 10

6

B. 5

6

C. 7

6

D. 1

6

E. 11

6

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 30

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

7. Berikut adalah salah satu penyelesaian persamaan sin3 = 1 untuk2 0° ≤ ≤
360°, kecuali ....
A. 290°
B. 250°
C. 130°
D. 40°
E. 10°

8. Himpunan penyelesaian dari 2sin2 x + 3cos x = 0 untuk 0° ≤ ≤ 360° adalah ....
A. {60°, 120°}
B. {30°, 150°}
C. {120°, 240°}
D. {150°, 210°}
E. {240°, 300°}

9. Himpunan penyelesaian dari persamaan 4sin2 x − 5sin x − 2 = 2 cos2 x untuk 0 ≤

A .≤{ 2, 5 }adalah ....
66
{7 716 1 } }
B. {5 , 6
C. ,
66
{{ 5 , 7, 16 }1 }
D. 6
E.
66

10. Diketahui persamaan 2 cos2 x − 5cos x + 2 = 0 pada 0 < < . himpunan

penyelesaian sin yang memenuhi adalah .... 2

A. ∅
B. {0}
1
C. {}
D. {21ξ2}
E. {12ξ3}
2

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 31

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

Kunci Jawaban Evaluasi

1. A
2. B
3. C
4. B
5. C
6. A
7. A
8. C
9. B
10. E

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 32

Modul Matematika Peminatan Kelas XI KD 3.1

DAFTAR PUSTAKA

B.K. Noormandiri, 2019. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Jakarta : Erlangga.

Sembiring, S. 2007. 1700 Soal Bimbingan Pemantapan Matematika SMA/MA. Badung : Yrama
Widya.

Sukino. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan
Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta : Erlangga.

@2021, MAN 1 KAB. BEKASI 33