MODUL PELUANG PART.I

MATEMATIKA
SMA
KLS

XII

Modul

MATERI
PELUANG

DISUSUN OLEH
TIM GURU MATEMATIKA
SMA XAVERIUS 1 PALEMBANG

Edisi
Pertama

1

Kompetensi Dasar

Menganalisis aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi,
dan kombinasi) melalui masalah kontekstual.

Materi Pokok

A. Aturan Penjumlahan
B. Aturan Perkalian
C. Permutasi dan Combinasi

Indikator

3.4.1 Menjelaskan kaidah pencacahan
3.4.2 Memahami aturan pencacahan
3.4.3 Menjelaskan aturan pejumlahan dalam kaidah pencacahan
3.4.4 Menjelaskan aturan perkalian dalam kaidah pencacahan
3.4.5 Menjelaskan aturan pemutasian dan kombinasi dalam kaidah pencacahan
3.4.6 Memahami unsur peluang

Tujuan Pembelajaran

Setelah selesai membahas materi ini, siswa diharapkan dapat;
1. Menemukan konsep kaidah pencacahan dengan aturan penjumlahan
2. Menemukan konsep kaidah pencacahan dengan aturan perkalian
3. Menemukan konsep dan menyelsaikan permasalahan yang berkaitan dengan

factorial, permutasi, dan combinasi
4. Menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan konsep kaidah

pencacahan

Kaidah pencacahan (counting rules) merupakan sebuah cara atau aturan untuk
menghitung seluruh kemungkinan yang bisa terjadi dalam suatu percobaan
tertentu.
Atau dapat juga didefiniskan sebagai sebuah aturan membilang untuk mengetahui
banyaknya kejadian atau objek-objek tertentu yang muncul. Disebut sebagai
pencacahan sebab hasilnya berwujud suatu bilangan cacah.

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

2

MOTIVASI.1
Bagaimana perusahaan provider menyusun nomor telepon yang berjumlah jutaan
buah dengan tidak ada nomor telepon yang sama hanya menggunakan angka
0 , 1 , 2 , …. , 9?

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

3

MOTIVASI.2
Bagaimana kepolisian menyusun Plat Nomor Kendaraan suatu daerah dengan tidak
ada nomor Plat yang sama dengan menggunakan abjad A, B, C, … , Z dan angka
0 , 1, 2, …. , 9?

MOTIVASI.3
SOAL SBMPTN SAINTEK 2018 KODE 421
Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari 9 orang.
Banyaknya cara membuat barisan, dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan,
adalah …
(A) 7 × 8!
(B) 6 × 8!
(C) 5 × 8!
(D) 7 × 7!
(E) 6 × 7!

Kaidah penjumlahan menganut prinsip umum bahwa keseluruhan sama dengan
jumlah dari bagian-bagiannya. Secara umum, kaidah penjumlahan dijelaskan
sebagai berikut:
“Jika kegiatan pertama dapat dilakukan dengan x cara, kegiatan kedua dapat
dilakukan dengan y cara, dan kedua kegiatan itu tidak dapat dilakukan secara
simultan (terjadi atau berlaku pada waktu yang bersamaan; serentak), maka
banyaknya cara untuk menyelesaikan kegiatan tersebut adalah x + y cara”
Dalam himpunan dapat dutuliskan bahwa jika A dan B dua kijadian yang saling lepas
maka:

A  B  0, maka A  B  x  y

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

4

Contoh.1:

Terdapat 7 buah buku bacaan, 2 diantaranya buku Matematika, 2 buku Kesenian,
2 buku Comic, dan 1 buku Majalah Anak. Jika Ulfa ingin membaca keseluruhan buku,
ada berapa banyak cara Ulfa memilihnya?
Pembahasan:
Tentu kegiatan membaca di atas tidak dapat dilakukan serentak, maka ada
2 + 2 + 2 + 1 = 7 cara untuk memilih buku untuk dibaca.
Contoh.2:

Dody ingin bepergian dengan berkendaraan. Tersedia 4 jenis mobil dan 3 jenis
motor. Ada berapa banyak cara Dody menggunakan kendaraan yang ada?
Pembahasan:
Memilih mobil ada 4 cara dan memilih motor ada 3 cara, jadi keseluruhan cara ada
4 + 3 = 7 cara
Contoh.3:

Desa “Sumber Rezeki” akan mengadakan Pilkades. Tersedia 6 calon Pria dan 5 calon
Wanita. Banyak kemungkinan cara memilih kades desa tersebut adalah ...
Pembahasan:
Banyak Pria = 6 dan Wanita = 5, Jabatan Kades tersedia hanya 1 orang. Ada 2
kemungkinan yang terpilih, Pria atau Wanita dan 2 kemungkinan ini tidak dapat
terjadi bersamaan. Jadi banyak cara memilih adalah 6 + 5 = 11 cara.

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

5

Perhatikan contoh berikut ini:

Contoh.1:

Terdapat rute penerbangan sebuah
Pesawat X dari Jakarta menuju
Kalimantan dan Transit di Sulawesi.
Jika dari Jakarta ke Sulawesi terdapat 3
rute, dari Sulawesi ke Kalimantan
2 rute. Ada berapa banyak pilihan rute
penerbangan yang dapat dilakukan
oleh pilot?

Rute Penerbangan A. Jika penerbangan hanya pergi
B. Jika penerbangan pulang pergi

dan tidak boleh melalui jalur
yang sama

Pembahasan:
Permasalahan di atas salah satu contoh pemecahan masalah dengan menggunakan
konsep aturan perkalian (Rule Of Product).

A. Perjalanan Pergi
Karena transit di Sulawesi, maka rute perjalanan adalah:
Dari Jakarta ke Sulawesi dilanjutkan ke Kalimantan. Banyak rute adalah
3 . 2 = 6 rute

B. Perjalanan Pulang Pergi
Dari Jakarta ke Sulawesi dilanjutkan ke Kalimantan dan pulang kemabali ke
Jakarta tanpa melalui jalur yang sama, maka banyak rute yang dapat dipilih
adalah:
3 . 2 . (2 – 1) . (3 – 2) = 3 . 2. 1 . 2
=12 rute

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

6

Definisi Aturan Perkalian:
Misalkan, ada n1 cara melakukan kegiatan pertama, n2 cara melakukan kegiatan
kedua, ... , nk cara melakukan kegiatan k, dimana semua kegiatan tersebut dilakukan
bersamaan, maka banyak cara melakukan seluruh kegiatan adalah:
n1 × n2 × n3 × ... × nk

Kapan digunakan aturan perkalian?
Aturan perkalian dipakai jika:

1. Ada satu kegiatan terdiri dari beberapa tahap.
2. Ada beberapa kegiatan berbeda yang semuanya harus dilakukan.
Contoh 2.
Diberikan angka-angka {0 , 1, 2, 3, 4, 5} akan disusun beberapa bilangan berbeda
yang terdiridari 3 angka. Tentukan banyak susunan bilangan yang terbentuk jika
disyaratkan sebagai berikut.
A. Bilangan yang tersusun adalah bilangan ganjil
B. Bilangan yang tersusun adalah bilangan < 300
C. Bilangan yang tersusun adalah bilangan > 200

Pembahasan:
A. Bilangan ganjil

Ciri bilangan ganjil adalah jika satuannya bilangan ganjil. Dari angka
{0, 1, 2, 3, 4, 5} terdapat 3 angka ganjil akan ditempatkan pada kotak satuan (S).
Angka 0 tidak boleh dikotak ratusan (R), sehingga susunannya adalah sbb:

RPS
443
Keseluruhan susunan bilangan adalah : 4 . 4 . 3 = 48 buah susunan
B. Bilangan < 300
RPS
254
Keseluruhan susunan bilangan adalah : 2 . 5 . 4 = 40 buah susunan
C. Bilangan > 200
R PS
454
Keseluruhan susunan bilangan adalah :4 . 5 . 4 = 80 buah susunan

Untuk lebih jelasnya, silahkan simak video berikut .

Scan Barcode Ini

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

Contoh.3: 7

Ada berapa banyak cara menyusun plat
kendaraan kota Palembang yang terdiri dari
tiga angka dan diikuti dua huruf?

Pembahasan:Scan
Huruf didepan tentu sudah pasti BG, danBarcode Ini
angka serta huruf boleh berulang, sehingga
keseluruhan cara adalah:

1 1 9 10 10 26 26

Dalam Matematika, faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara
bilangan bulat positif yang kurang daMriiastaalkuasnama dengan n.
Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial. Secara umum dapat dituliskan
sebagai:

n! = n . ( n – 1) . (n – 2) . (n – 3) ……3 . 2 . 1

Perhatikan bentuk berikut ini.
 0! = 1
 1! = 1
 3! = 3 . 2 . 1

=6
 (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2) . (n + 1) . n!
 (n – 3)! = (n – 3) . (n – 4) . (n – 5)!
Catatan ;
a! ± b! ≠ (a ± b)!
2! + 3! ≠ (2 + 3)!
a! a
b! ≠ (b) !
6! 6
2! ≠ (2) !
Mengapa 0! = 1? Simak pembuktiannya pada video berikut

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

8

Contoh.1:

Hitunglah nilai dari:

A. 4! . 5!

6!

B. 6!

2! .3!

Pembahasan:

A. 4! . 5! = 4! . 5!

6! 6 . 5!

B. 6! =4. 3. 2 . 1

2! .3! 6

=4

=6. 5. 4. 3. 2. 1

2. 1. 3. 2. 1

= 60

Contoh.2:

Nyatakan dalam bentuk factorial:
A. 8 x 9 x 10 x 11 x 12

5x4x3

B. (n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1)

(n − 4)(n − 3)(n − 2)(n − 1)

Pembahasan: = 12! . 2!
A. 8 x 9 x 10 x 11 x 12
5! . 7!
5x4x3
= (n + 4)!(n − 5)!
B. (n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1)
n! (n − 1)!
(n − 4)(n − 3)(n − 2)(n − 1)

Contoh.3:
Tentukan n dari persamaan berikut ini.

A. (n + 2)! = 30

n!

B. n! + (n + 1)! = 15

(n − 1)!

Pembahasan: = 30 B. n! +(n + 1)! = 15
a) (n + 2)!
(n − 1)!
n!

(n + 2)(n+1) . n! = 30 n .(n −1)!+ (n + 1) . n . (n − 1)! = 15
n!
(n − 1)!

n2 + 3n – 28 =0 [((n + 1) + 1)] . n . (n − 1)! = 15
(n − 1)!

(n + 7)(n – 4) = 0 n2 + 2n – 15 =0
n = -7 ™ atau n = 4
(n + 5)(n – 3) =0

n = -5 ™ atau n = 3

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

9

Ilustrasi:
Susun kembali bilangan 123 dengan susunan yang berbeda (tidak ada pengulangan
angka).

Jika bilangan tersebut disusun maka diperoleh susunan sebagai berikut:
123 213 312
132 231 321
Artinya terdapat 6 buah susunan bilangan yang berbeda. Konsep penyusunan
kembali sebuah objek seperti di atas disebut sebagai permutasi.

Definisi:
Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang
berbeda dari urutan yang semula.

Catatan Penting: Pada permutasi urutan AB ≠ BA. Dengan kata lain, bahwa pada
permutasi “Urutan Diperhatikan”

A. Permutasi r dari n buah unsur yang berbeda

Misalkan terdapat n buah unsur yang berbeda, akan diambil r buah unsur, maka

banyak cara memilih r unsur tersebut didefinisikan sebagai.

Prn = (n n! , dengan n ≥r
− r)!

Catatan ;

Penulisan lain dari nPr adalah P(n , r) = Prn

Contoh.1:

Hitunglah nilai dari:

a) 5P2

b) 3 . 6P4

Pembahasan:

a) 5P2 = 5! b) 3 . 6P4 = 3 . 6!

(5 − 2)! (6 − 4)!

= 5! = 3 . 6!

3! 2!

= 5 . 4 . 3! = 3 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2!

3! 2!

=5.4 =3.6.5.4.3

= 20 = 1080

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

10

Contoh.2:

Tentukan n dari setiap persamaan berikut ini.

a) (n + 1)P3 = 60

b) 10. 4Pn = 6P(n + 1)

Pembahasan:

a) (n + 1)P3 = 60

(n + 1)! = 60  Selalu diuraikan bilangan yang terbesar
(n − 2)!

(n + 1).n.(n−1)(n−2)! = 60

(n − 2)!

n(n2 – 1) = 60

n3 – n – 60 =0  Cari factor dari 60

n =4

b) 10. 4Pn = 6P(n + 1)
= 6!
10. (4 4!
− n)! (5 − n)!

10. 4! = 6 . 5 . 4!

(4 − n)! (5 − n)(4 −n)!

10 = 30

50 – 10n (5 − n)
n
= 30

=2

Contoh.3:
Pada pemilihan Tim Olimpiade Matematika disuatu sekolah akan dipilih 4 orang
siswa dari 7 orang siswa. Jika salah satu dari 7 orang tersebut selalu diikutsertakan,
maka banyak cara memilih yang mugkin adalah ...

Pembahasan:

Jika seorang selalu diikutsertakan dari 7 orang, maka tinggal memilih 3 orang dari

6 orang yang tersisa.

6P3 = (6 6!
− 3)!

= 6!

3!

= 6 . 5 . 4 . 3!

3!

= 120

Contoh.4:

Wali kelas XII MIPA-2 akan memilih perangkat kelas yang terdiri dari : Ketua, Wakil

Ketua, Bendahara, Wakil Bendahara, Sekretaris, Wakil Sekretaris, dan Pembaca doa.

Jika jumlah siswa Kls XII MIPA-2 ada 32 orang, maka bentuk permutasi yang tepat

untuk memilih perangkat kelas tersebut adalah ...

Pembahasan:
32P(1 Ket + 1 Wa.Ket + 1 Ben + 1 Wa.Ben + 1 Sek + 1 Wa.Sek + 1 Pem) = 32P7

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

Contoh.5: 11

Misalkan pada sebuah rak buku terdapat 4
jenis buku, 3 buku Matematika, 4 buku Kimia,
2 buku Biologi, dan 1 buku Probabilitas.

Jika ke seluruhan buku tersebut akan disusun,
Madiasalkbaenrapa banyak cara menyusun jika
disyaratkan sebagai berikut:

A. Buku Matematika selalu berada pada urutan paling atas
B. Buku Kimia tidak pernah bersama-sama
Pembahasan:

A. Buku Matematika selalu urutan paMlinisgaalktaasn
Buku Matematika ada 3 buah, jadi disusun dengan 3P1 = 3! Cara. Karena selalu
urutan paling atas, maka ketiga buku ini dianggap satu elemen, sehingga susunan
buku lainnya menjadi (1P1 + 4P1 buku Kimia + 2P1 buku Biologi + 1P1 buku
Probabilitas), jadi keseluruhan cara adalah: 3! . 8! = 241920 cara

B. Buku Kimia tidak pernah bersama-sama
Menyusun buku Kimia tidak pernah bersama-sama adalah Keseluruhan cara
menyusun semua buku dikurangi dengan menyusun buku Kimia selalu bersama
– sama, jadi ada:
(3 buku Matematika + 2 buku Bilogi + 1 buku Probabilitas + 1 elemen buku
Kimia) – ( 4 buku Kimia) = (3P1 + 2P1 + 1P1 + 1P1) – 4P1
= 7! – 4!
= 5016 cara

B. Permutasi Melingkar (Siklis)

Misalkan n buah unsur akan disusun secara
melingkar, maka banyak susunan bilangan yang
mungkin adalah:

nPsiklis = (n – 1)!

Perhatikan gambar disamping.
Ada 8 orang yang duduk di meja bundar, katakan
orang itu adalah A, B, C, D, E, F, G, H.

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

12

Jika yang duduk pertama sekali adalah A dan berikutnya BCDEFGH, akan sama
halnya jika duduknya AHGFEDCB. Berarti ada susunan (8 – 1)! = 7! Susunan.

Contoh.1:

Ada berapa cara 5 gelas warna yang mengitari meja kecil, dapat menempati
kelima tempat dengan urutan yang berlainan?

Pembahasan: = 4!
Banyaknya cara duduk ada (5 – 1)! = 4. 3 . 2 . 1
= 24 cara
Contoh.2:

Terdapat 5 manik-manik berwarna Kuning, 6
manik berwarna Biru Muda, dan 6 manik berwarna
Ungu, akan disusun pada sebuah gelang. Banyak
susunan yang dapat dilakukan adalah ...

Pembahasan:

 Menyusun ketiga warna = (3 – 1)!
= 2!
=2

 Menyusun 5 manik Kuning = 5!
= 120

 Menyusun 6 manik Biru = 6!
= 720

 Menyusun 6 manik Ungu = 6!
= 720

Keseluruhan cara adalah 2 x 120 x 720 x 720 = 124.416.000

Contoh.3:

Banyak cara duduk Ketua, Wakil Ketua, Bendahara, dan Sekretaris pada meja
melingkar jika Ketua dan Wakil Ketua selalu duduk berdampingan adalah ...
Pembahasan:
Ketua dan Wakil dianggap satu elemen, sehingga ada 2!(1 + 1 + 1 – 1 )! = 4 cara

C. Permutasi r dari n buah unsur yang sama

Misalkan dalam unsur n terdapat r, s, t, dll unsur-unsur yang sama, maka banyak
cara menyusun r, s, t, dll dari n buah unsur yang tersedia adalah:

nPr, s, t, ... = n! , dengan n ≥ r + s + t + ...

r! s! t!…

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

13

Contoh.1:

Dari kata “KUKUKAKI” akan disusun beberapa kata yang berbeda dari kata
semula, maka susunan kata yang mungkin adalah …

Pembahasan:

KUKUKAKI ada 8 unsur yang terdiri dari:

 4 huruf K (misal r = 4)

 2 huruf U (misal t = 2)

Maka banyak susunan kata yang mungkin adalah:

nPr, s, t, ... = n! , n ≥ r + s + t + ...

r!s!t!…

= 8!

4!2!

= 8 . 7 . 6 . 5 . 4!

4! . 2 . 1

= 840

Contoh.2:

Jika bilangan “3243526” disusun kembali, maka banyak susunan yang mungkin
adalah ...

Pembahasan:

Bilangan 3243526 ada 8 buah angka, yang terdiri dari:

 2 buah angka 3

 3 buah angka 4

 2 buah angka 5

 1 buah angka 6

Maka banyak susunan kata yang mungkin adalah:

nPr, s, t, ... = n! , n ≥ r + s + t + ...

r!s!t!…

= 8!

2!3!2!1!
= 8 . 7 . 6 . 5 . 4!

4! . 2 . 1

= 1680

Contoh.3:

Terdapat 3 buah buku Matematika, 3 buah buku Fisika, dan 5 buah buku Bilologi,
akan disusun pada sebuah rak buku. Banyak susunan yang mungkin dilakukan
jika 2 buku Biologi selalu urutan paling kanan adalah ...

Pembahasan:

Karena 2 buah buku Biologi selalu urutan paling kanan, maka jumlah buku yang

akan disusun menjadi 9 buah buku ( 3 Matematika, 3 Fisika, dan 3 Biologi).

nPr, s, t, ... = n! = 9! = 1680

r!s!t!… 3!3!3!

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

14

Terdapat himpunan buah-buahan {Tomat, Apel, Jeruk, dan Pisang}, maka himpunan

{Tomat, Apel}, {Tomat, Jeruk}, {Apel, Jeruk, Pisang}, dll adalah merupakan anggota

himpunan buah-buahan tersebut.

Jika diminta menysun himpunan bagian dari buah-buahan

tersebut, maka susunan himpunannya adalah sebagai

berikut:

 Tidak ada buah apa pun

 Satu buah
 Tomat
 Apel
 Jeruk
 Pisang

 Dua buah
 Tomat, Apel
 Tomat, Jeruk
 Tomat, Pisang
 Apel, Jeruk
 Apel, Pisang
 Jeruk, Pisang

 Tiga buah
 Tomat, Apel, Jeruk
 Tomat, Apel, Pisang
 Tomat, Jeruk, Pisang
 Apel, Jeruk, Pisang

 Empat buah
 Tomat, Apel, Jeruk, Pisang

Susunan buah-buahan di atas merupakan kombinasi r buah unsur dari n buah unsur.
Cara menyusun anggota buah-buahan tersebut merupakan konsep dari kombinasi.
Perhatikan bahwa, menyebut susunan {Apel, Tomat, Jeruk} sama saja dengan
{Tomat, Apel, Jeruk}, dll, artinya urutan tidak diperhatikan.

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa
memperhatikan urutan.

Jika dari n buah unsur diambil r buah unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya, maka banyak cara mengambilnya adalah:

nCr = n! r! , dengan n ≥ r
(n − r)! .

Catatan ; Penulisan lain dari nCr adalah C(n , r) = Crn = ( )

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

15

Contoh.1:

Keyla memiliki 3 jenis baju dan 2 jenis rok. Jika Ia hendak bepergian ke undangan
dan memakai pasangan baju dan rok tersebut, ada berapa banyak pasangan yang
dapat Ia pakai?

Pembahasan:

Perhatkan gambar diagram pohon berikut. Dari gambar tampak bahwa ada 6
pasangan yang Keyla bisa gunakan.

Jika dihitung dengan menggunakan kombinasi,
maka diperoleh banyak pasangan :

 Memilih 1 baju dari 3 baju = 3C1
 Memilih 1 rok dari 2 rok = 2C1
Keseluruhan cara adalah 3C1 . 2C1 =6

Contoh.2:

Jika nCr menyatakan banyaknya kombinasi r unsur dari n buah unsur, dan
(n + 3)C3 = 20, maka nilai dari 3nC (n + 1) adalah ...

Pembahasan: = 20
(n + 3)C3 = 20

(n + 3)! = 20
(n + 3 − 3)!3!
= 20
(n + 3)! = 120
n! . 3! = 0  Cari factor dari 144
(n + 3)(n + 2)(n + 1) . n!

n! . 3 . 2 . 1

n3 + 6n2 + 11n + 6
n3 + 6n2 + 11n − 114

Diperoleh n = 3. Jadi nilai dari 3nC (n + 1) = 9C 4
= 9!

(9 − 4)!4!

= 9!

5!4!

= 9 . 8 . 7 . 6 . 5!

5! . 4 . 3 . 2 . 1

= 126

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

16

Contoh.3:
Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang Pria dan 2 orang Wanita akan memilih
3 orang pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus
terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.
Pembahasan:

3C2 . 2C1 = 3! . 2!
1!.2! 1!.1!

= 6 cara

Keenam pasangan itu: L1 L2 W1 ; L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1 L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3 W2

Contoh.4:
Siswa di minta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, tetapi soal 1- 5 wajib di kerjakan.
Banyaknya pilihan yang dapat diambil siswa tersebut adalah …

Pembahasan:

Karena 5 soal wajib dikerjakan (soal 1 – 5), maka yang tersisa tinggal 5 soal (6 – 10).

Yang akan dikerjakan siswa hanya 9 soal dari 10 soal, jadi tinggal memilih 4 soal.

5C4 = 5! 4!
(5 − 4)! .

= 5 cara

Contoh.5:

Dari 7 siswa putra dan 3 siswa putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang.

Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, berapakah

banyaknya cara mambentuk tim tersebut?

Pembahasan:

Paling banyak 2 putri dapat diartikan maksimum 2, jadi 2 putri, 1 putri, dan tidak

ada putri sama sekali yang terpilih.

 Ketika 2 putri, maka pria haruslah 3 = 7C3 . 3C2

 Ketika 1 putri, maka pria haruslah 4 = 7C4 . 3C1

 Ketika putri tidak ada, maka semuanya pria = 7C5 . 3C0
= ___________ ( + )

= 7C3 . 3C2 + 7C4 . 3C1 + 7C5 . 3C0

= 231 cara

Contoh.6:

Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dati 7 titik tanpa ada tiga titik yang terletak

segaris adalah ...

Pembahasan:

Membuat segitiga dibutuhkan 3 buah titik dari 7 titik yang tersedia, jadi

merupakan kombinasi 7C3.

7C3 = (7 7! 3!
− 3)! .

= 7!

4! . 3!

= 35

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

17

Untuk soal No.1 sd No.7 di bawah ini, Kerjakan dengan singkat, jelas, dan tepat
1. Dalam suatu pertemuan yang dihadiri 8 orang, jika mereka saling berjabat

tangan, jelaskan ada berapa jabatan tangan yang mungkin.

2. Jika kata “RANCU” disusun menjadi beberapa susunan kata berbeda, ada berapa
banyak susunan kata yang dapat dibentuk dengan syarat:
A. Dua huruf RA selalu paling depan
B. Tiga huruf RAN selalu bersama-sama
C. Huruf R, A, N tidak pernah bersama-sama

3. Ada 6 anak laki-laki yang masuk perahu dengan 8 kursi, 4 di setiap sisi. Dalam
berapa cara dapat:
A. Mereka duduk di mana saja?
B. Dua anak laki-laki A dan B duduk di sisi kiri dan
satu lagi anak laki-laki C duduk di sisi kanan?

5. Tunjukkan bahwa:

A. nCr = nCn – r

B. nCr + nCr – 1 = n + 1Cr

C. n. n – 1 Cr – 1 = (n – r + 1) . nCr – 1

6. In a class, there are 27 boys and 14 girls. The teacher wants to select 1 boy and 1

girl to represent the class for a function. In how many ways can the teacher make

this selection?

7. In how many ways can this diagram be coloured subject to the following two

conditions?

(i) Each of the smaller triangle is to be painted with one of three colours: red,

blue or green.

(ii) No two adjacent regions have the same colour.

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

18

Perhatikan gambar berikut ini.

Gambar di atas menunjukkan transportasi yang dapat digunakan dari tiga kota.
Palembang, Jakarta, dan Kalimantan. Kota Palembang menuju Jakarta dapat
menggunakan empat alat transportasi, Mobil, Pesawat, dan Kapal laut, dan
Speadboat. Jakarta menuju Kalimantan dapat menggunakan transportasi
Pesawat dan Kapal laut, sedangkan dari Kalimantan menuju Jakarta dapat
menggunakan transportasi Pesawat dan Kapal laut.
Jika Clarista ingin bepergian dari Palembang menuju Kalimantan melalui Jakarta:

A. Buatlah pasangan transportasi yang dapat digunakan jika Ia bebas
memilih saat pergi (Palembang-Jakarta-Kalimantan dan Kalimantan-
Palembang-Jakarta)

B. Ada berapa banyak pilihan alat transportasi yang dapat digunakan
Clarista jika perjalanannya pulang pergi

C. Jika Clarista menggunakan paling sedikit dua alat transportasi dari
Palembang ke Jakarta, sedangkan dari Jakarta ke Kalimantan boleh
menggunakan semuanya, tentukan banyak pilihan yang dapat Ia gunakan

D. Dapatkah kamu menggunakan konsep aturan perkalian dan combinasi
untuk menunjukkan bahwa banyak pilihan alat transportasi yang dapat
digunakan Clarista dari Palembang ke Kalimantan melalui Jakarta adalah
8 kemungkinan? Tunjukkan!

Untuk lebih jelasnya simak video ini.

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

19

Untuk soal 1 sd 10, lengkapilah setiap pernyataan sehingga menjadi
pernyataan yang benar

1. _______________ merupakan suatu cara aturan yang digunakan untuk menghitung
banyaknya hasil yang memungkinkan dari suatu percobaan.

2. Pada kaidah pencacahan ada dua prinsip dasar yaitu aturan _______________, dan
aturan _______________

3. Jika kegiatan pertama dapat dilakukan dengan x cara, kegiatan kedua dapat
dilakukan dengan y cara, dan kedua kegiatan itu tidak dapat dilakukan secara
simultan (terjadi atau berlaku pada waktu yang bersamaan, serentak), maka
banyaknya cara untuk menyelesaikan kegiatan tersebut adalah _______________
cara, penyelesaian seperti ini merupakan prinsip dasar dari aturan _______________

4. Jika pada sebuah toko buku terdapat 5 jenis buku Matematika, 3 buku Fisika, 4
buku Biologi, dan 2 buku Kimia. Banyak pilihan yang dapat dilakukan Joy saat
ingin membeli buku dari toko tersebut adalah 14 pilihan. Konsep dasar yang
digunakan Joy merupakan aturan _______________

5. Pada Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) 2020, ada
banyak PTN yang membuka program studi (Prodi) baru. Selain UGM, Unair, dan
ITB ada belasan PTN lain yang juga membuka prodi baru. Sedikitnya ada 42 prodi
baru di 22 PTN. Sebagian besar berasal dari rumpun Saintek. Jika UGM membuka
10 Prodi, Unair dengan 7 Prodi, serta ITB dengan 8 Prodi, Yunita yang ingin
mengikut tes SBMPTN memiliki pilihan sebanyak __________

6. Sebuah dadu bermata enam dan sebuah coin bersisi dua diundi secara
bersamaan, maka titik sampel yang dapat disusun ada sebanyak 12 buah. Konsep
dasar yang kita gunakan adalah aturan _______________

7. Jika akan dilakukan kegiatan menyusun plat kendaraan suatu daerah dengan
aturan dimulai dengan dua huruf, kemudian diikuti dengan empat angka, serta
diakhiri dengan tiga huruf. Kita akan kesulitan jika diminta menyusun satu
persatu titik sampelnya, maka kita dapat menggunakan konsep dasar
_______________

8. Misalkan tersedia angka 1, 2, 3, dan 4. Jika diminta menyusun nomor punggung
peserta kegiatan lomba lari yang terdiri dari empat angka serta syarat lainnya
adalah bahwa nomor yang terbentuk harus berbeda dan ganjil, maka banyak cara
menempatkan bilangan pada satuannya adalah _______________ cara

9. Menyusun r buah unsur dari n buah unsur yang tersedia dengan memperhatikan
urutannya disubut _______________

10. Menyusun r buah unsur dari n buah unsur yang tersedia dengan tidak
memperhatikan urutannya disubut _______________

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

20

Untuk soal No. 1 sd 10 di bawah ini, Isilah jawaban akhir dari setiap pertanyaan
berikut ini pada kolom yang tersedia.

1. Dalam satu hari William dapat menyelesaikan 1 tugas. Jika
terdapat 2 tugas Matematika, 3 tugas Fisika, dan 2 tugas Kimia,
berapa banyak pilihan yang dapat William lakukan dalam
rentang 1 minggu pertama?

2. Disebuah perpustakaan sekolah terdapat 10 jenis buku
Matematika yang terdiri dari 3 buku Statistika, 2 buku Kaidah
Pencacahan, dan 5 buku Peluang. Jika guru Matematikanya
menganjurkan siswa untuk meminjam buku Matematika,
maka banyak buku yang dapat siswa pinjam adalah ...

3 Jika kita perhatikan nomor rumah yang terdiri dari dua angka
tanpa nol, maka banyak rumah yang dimaksud dengan nomor
ganjil ialah .... (SIMPENMARU 1985)

4 Dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang
terdiri atas tiga angka berlainan. Banyaknya bilangan yang
dapat dibuat yang lebih kecil dari 400 adalah ... (SPMB 2001)

5 Untuk menjabat pengelola sebuah perusahaan memerlukan 3
staf pengurus yaitu Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Jika
tersedia 7 orang calon, maka banyak cara memilih jabatan
tersebut adalah ... (EBTANAS 1994)

6 Banyaknya susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-
huruf pada kata “UJIAN” dengan vocal selalu huruf terakhir
adalah ...

7 Pada suatu pertemuan kepala-kepala negara yang dihadiri
oleh 7 kepala negara dan didampingi 1 orang penerjemah. Jika
pada pertemuan tersebut mereka duduk pada meja bundar,
maka banyak susunan duduk yang dapat dibentuk jika dua
kepala negara beserta stafnya selalu duduk berdampingan
adalah ...

8 Terdapat 10 soal ulangan Matematika. Setiap siswa
mengerjakan hanya 7 soal. Banyak pilihan yang dapat
dilakukan oleh Budi sebagai peserta jika disyaratkan bahwa
soal nomol ganjil kurang dari 5 wajib dikerjakan adalah ...

9 Nilai n yang memenuhi persamaan (n + 2)C3 = 2. 5P(n – 2)
adalah ...

10 Berapa banyak permutasi berulang dari 3 huruf , , yang disusun
2−2?

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

21

Untuk soal No.1 sd 21, pilihlah jawaban yang paling tepat diantara A, B, C, D, dan E

1. 10 orang finalis suatu lomba kecantikan akan dipilih secara acak 3 yang terbaik.
Banyak cara pemilihan tersebut ada … cara.
A. 70
B. 80
C. 120
D. 360
E. 720

2. Banyaknya bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat disusun dari angka 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, dan tidak ada angka yang sama adalah …
A. 1680
B. 1470
C. 1260
D. 1050
E. 840

3. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang
berangkat dari kota A ke kota C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui
B. Jika saat kembali dari C ke A, ia tidak mau menggunakan bus yang sama, maka
banyak cara perjalanan orang tersebut adalah …
A. 12
B. 36
C. 72
D. 96
E. 144

4. Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik
yang segaris adalah …
A. 336
B. 168
C. 56
D. 28
E. 16

5. Banyak cara menyusun kata yang berbeda dari kata “SPORT” adalah ...cara
A. 60
B. 80
C. 120
D. 240
E. 720

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

22

6. Banyak bilangan berbeda yang dapat dibentuk dari angka-angka 0, 1, 2, 3, dan 4
jika disyaratkan bahwa bilangan yang terbentuk itu kurang 200 dan terdiri dari
3 angka adalah ... buah.
A. 60
B. 33
C. 16
D. 12
E. 5

7. Banyak bilangan berbeda yang dapat dibentuk dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, dan 9 jika disyaratkan bahwa bilangan ganjil selalu angka pertama dan
kedua serta terdiri dari 4 angka adalah ... buah.
A. 5040
B. 1120
C. 980
D. 720
E. 360

8. Suatu gedung memiliki 6 pintu. Banyak cara seseorang dapat masuk dan keluar
dari gedung itu, jika pintu masuk dan keluar tidak boleh sama adalah ...cara
A. 36
B. 30
C. 28
D. 26
E. 20

9. Suatu gedung memiliki 6 pintu. Banyak cara seseorang dapat masuk dan keluar
dari gedung itu, jika pintu masuk dan keluar tidak boleh sama adalah ... cara
A. 36
B. 30
C. 28
D. 26
E. 20

10. Perhatikan rute perjalanan berikut ini :

AB C

Jika Shelvi berangkat dari kota A ke kota C melalui kota B pulang pergi dengan
tidak memilih jalur yang sama lebih dari sekali, maka banyak rute yang dapat
ditempuh adalah ...
A. 400
B. 360
C. 340
D. 240
E. 120

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

23

11. Terdapat 11 bola yang terdiri dari 2 bola berwarna merah, 5 berwarna putih, dan

4 berwarna kuning. Berapa banyak cara untuk menyusun kesebelas bola itu

secara berdampingan ...

A. 2 !

B. 4 !

C. 5 !

D. 2 ! . 4 ! . 5 !

E. 11!

4! . 2! . 5!

12. Banyak cara untuk menyusun 3 orang dari Bogor, 4 orang dari Tangerang,

4 orang dari Jakarta, dan 3 orang dari Bekasi, sehingga yang sekota selalu

bersama-sama duduk mengelilingi meja bundar adalah ...

A. 3 ! . 4 ! . 4 ! 3 !

B. 3 ! . 4 ! . 4 ! 3 ! . 4 !

C. 3 ! . 4 ! . 4 ! 3 ! . 3 !

D. 3 ! . 13 !

E. 13 !

13. Dengan mengikat secara besama-sama 5 manik yang berbeda warna, maka

banyak susunan gelang yang dapat dibuat adalah ...

A. 120

B. 25

C. 24

D. 12

E. 5

14. Nilai n dari persamaan : P n 1  6.(P n ) , adalah …
4 3

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

E. 8

15. Banyaknya susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf

”MALAKA” adalah ...

A. 24

B. 48

C. 120

D. 360

E. 720

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

24

17. Sebuah bilangan ganjil 5 angka diketahui memuat tepat 2 angka genap dan tidak
memiliki angka berulang, serta tidak memuat angka 0. Banyak bilangan berbeda
dengan ciri tersebut adalah ...
A. 4.260
B. 4.290
C. 4.320
D. 5.400
E. 7.200

18. Jika 3 laki-laki dan 3 perempuan duduk dalam suatu baris sehingga tidak ada
2 laki-laki yang duduk berdekatan maka banyak susunan duduk berbeda yang
mungkin adalah ...
A. 126
B. 132
C. 138
D. 144
E. 150

19. Banyak bilangan 4 angka (boleh berulang) yang habis dibagi 2 atau 5 dan angka
ribuannya 1 atau 3 adalah ...
A. 900
B. 1.000
C. 1.100
D. 1.200
E. 1.300

20. Jika dua truk dan tiga bus akan diparkir pada lima tempat parkir berderet
memanjang serta kedua truk yang diparkir tidak bersebelahan, maka banyak
susunan parkir berbeda adalah ...
A. 42
B. 52
C. 62
D. 72
E. 82

21. Banyak susunan simbol yang terdiri atas tiga angka (boleh berulang) dan dua
huruf vokal (boleh berulang) dengan syarat tidak boleh ada dua huruf
berdekatan adalah ...
A. 75.000
B. 175.000
C. 100.000
D. 150.000
E. 125.000

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

25

Untuk soal 1 sd 15 di bawah ini, kerjakan dengan singkat, jelas, dan tepat!

1. (UM UGM 10 KODE 452)
Enam kursi melingkari sebuah meja. Kursi tersebut diduduki 5 anak terdiri dari
3 perempuan dan 2 laki-laki. Jika kursi yang kosong diapin oleh anak laki-laki dan
perempuan, maka banyaknya susunan cara duduk adalah ….
A. 648
B. 564
C. 432
D. 288
E. 216

2. (SBMPTNM 13 KODE 323)
Kode hadiah kupon belanja suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang
disusun dari angka 1, 3, 3, 5, 7. JIka kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan
kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon
dengan kode lebih besar daripada 53000 sebanyak ...
A. 60
B. 24
C. 21
D. 20
E. 19

3. (SBMPTNM 12 KODE 132)
Enam orang bepergian dengan dua mobil milik dua orang di antara mereka.
Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-
masing adalah 5 orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang
di kedua mobil tersebut adalah …
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
E. 18

4. (UMPTN 2000)
Banyaknya segitiga yang dapat dibuate dari 7 titik tanpa ada tiga titik yang
segaris adalah ...
A. 30
B. 35
C. 42
D. 70
E. 210

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

26

5. (UMPTN 2001)
Disuatu perkumpulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 6 orang. Calon yang
tersedia adalah 5 pria dan 4 wanita. Banyaknya susunan perwakilan yang terbentuk
jika sekurang-kurangnya terpilih 3 pria adalah ...

A. 84
B. 82
C. 76
D. 74
E. 66
6. (UTBK SINTEK 2019)
Banyaknya bilangan ribuan dengan angka pertama dan terakhir memiliki selisih
5 serta tidak ada angka yang berulang adalah ....
A. 504
B. 576
C. 648
D. 729
E. 900
7. (UTBK SINTEK 2019 MS)
Dari angka-angka 2, 4, 6, 7, dan 8 akan dibuat bilangan yang terdiri dari 6 angka.
Jika hanya angka 6 yang boleh muncul dua kali, maka banyak bilangan yang dapat
dibuat adalah ...
A. 504
B. 440
C. 384
D. 360
E. 180
8. (UTBK SINTEK 2019 MS)
Dari angka-angka 2, 3, 5, 7, 9 akan dibentuk bilangan kelipatan 5 yang terdiri dari 6
digit. Jika angka 5 muncul 2 kali, maka banyaknya bilangan yang dapat dibentuk

adalah ...
A. 240
B. 120
C. 50
D. 40
E. 30
9. (UTBK SINTEK 2019 MS)
Dari angka 1, 3, 5, dan 6 akan disusun bilangan terdiri dari 5 digit dengan syarat angka
5 boleh muncul dua kali. Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah ...
A. 360
B. 210
C. 180
D. 120
E. 60

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //

27

10. (SBMPTN 2017 MATDAS)
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda
dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah ...
A. 720
B. 705
C. 672
D. 48
E. 15

12. (SBMPTN 2018 MATDAS)
Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari 9 orang.
Banyaknya cara membuat barisan, dengan syarat Ari dan Ira tidak boleh
berdampingan adalah ...
A. 7 x 8!
B. 6 x 8!
C. 5 x 8!
D. 7 x 7!
E. 6 x 7!

13. (SBMPTN 2019 MAT IPA)
Pada saat praktikum kimia terdapat 7 larutan, terdiri dari 4 larutan P dan 3
larutan Q. Jika dari larutan tersebut dipilih tiga larutan secara acak, banyak cara
memilih 2 larutan P dan 1 larutan Q adalah ... cara
A. 7
B. 9
C. 12
D. 18
E. 21

14. (SBMPTN 2017 MAT IPA)
Suatu tim bulu tangkas terdiri atas 5 anggota. Akan ditentukan 2 orang untuk
bermain tunggal dan 2 pasang untuk bermain ganda. Jika peraturan yang dipakai
bahwa pemain tunggal boleh bermain ganda sekali, maka banyaknya pilihan yang
bida dibentuk adalah ...
A. 240
B. 120
C. 80
D. 60
E. 30

15. (SBMPTN 2013 MAT IPA)

Kode hadiah kupon belanja suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang

disusun dari angka 1, 2, 3, 4. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan

kodenya mulai dari yang terkecil hingga terbesar, maka kupon dengan kode lebih

besar dari 3214 sebanyak ...

A. 40
B. 39
C. 36
D. 24
E. 20

Matematika Wajib Kls XII // SMA Xaverius 1 Palembang // 2021 //



EMAIL

[email protected]