ความน่าจะเป็น(นายพีรวิชญ์ โมระดา 64414002009 สาขาคณิตศาสตร์ ห้อง2 คณะครุศาสตร์)

ความน่า
จะเป็น

PROBABILITY

ผู้จัดท
ำโดย

นายพีรวิชญ์ โมระ
ดา 64414002009
ชั้นปีที่ 1
ห้อง 2

สาขาคณิตศ
าสตร์ (ค.บ.)



เสน
อ

อาจารย์พันธ์ทิพา คนฉลาด

PROBABILITY ?

Probability

ความน่าจะเป็น (Probability) หมายถึง ค่าที่แสดงให้ทราบถึงโอกาสที่จะ
เกิดขึ้นในเหตุการณ์หนึ่งๆ ว่ามีโอกาสเกิดขึ้นมากหรือน้อยเพียงใด หรือจะกล่าวได้
ว่าความน่าจะเป็น คือ เครื่องมือที่ใช้วัดความไม่แน่นอนของเหตุการณ์ เช่น ความ
น่าจะเป็นในการโยนลูกเต๋าหนึ่งลูกหนึ่งครั้งความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มเป็นเลขคู่
มีค่าเท่ากับ 0.5 จะเห็นได้ว่าเหตุการณ์ที่กล่าวถึงมานี้ ไม่สามารถจะระบุว่าจะเกิดขึ้น
ได้อย่างแน่นอนหรือไม่ แต่เพียงคาดว่าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ต่าง ๆ จะเกิด
ขึ้นมีมากน้อยเพียงใด

การทดลองสุ่ม

Probability

การทดลองสุ่ม (Random Experiment) คือ การทดลองใด ๆ ที่ไม่สามารถบอก ผล
การทดลองได้อย่างถูกต้องแน่นอน เนื่องจากผลของการทดลองที่ได้อาจเกิดขึ้นได้หลาย
อย่าง แต่สามารถบอกได้ว่าผลที่จะเกิดมีอะไรบ้างเช่น การหยิบลูกบอลที่มีหมายเลขกำกับ
ตั้งแต่เลข 1 ถึง เลข 5 จากถุงที่มีสีทึบ จะไม่สามารถกำหนดได้ชัดเจนว่าจะหยิบได้ลูกบอล
หมายเลขอะไร แต่สามารถบอกได้ว่าลูกบอลที่หยิบขึ้นมาต้องมีหมายเลขกำกับคือเลข 1 ถึง
เลข 5 เป็นเลขอื่นไม่ได้ เรียกเซตซึ่งสมาชิกในเซตนั้น เป็นผลของการทดลองเชิงสุ่มที่เป็น
ไปได้ทั้งหมดว่า ปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space) เขียนแทนด้วย S และเรียกสมาชิกของ
ปริภูมิตัวอย่างว่า จุดตัวอย่าง (Sample Point)

ตัวอย่าง

Probability

H คือ เหตุการณ์ที่โยนเหรียญออกไปแล้วเหรียญออกหน้าเป็นหัว
T คือ เหตุการณ์ที่โยนเหรียญออกไปแล้วเหรียญออกหน้าเป็นก้อย

เหตุการณ์ที่โยนเหรียญปกติ S = { H,T } ; n(S) = 2
1 เหรียญ 1 ครั้ง

PROBABILITY

Probability

เหตุการณ์ (Event ) หรือเซตย่อย คือ สิ่งต่างๆ ที่เราสนใจศึกษาค้นคว้าจากผล
การทดลอง ที่เป็นเป็นไปได้ทั้งหมดในปริภูมิตัวอย่าง หรือจะกล่าวได้ว่าเหตุการณ์ คือ

∅เซตย่อยของปริภูมิตัวอย่าง เขียนแทนด้วยตัว E ในกรณีที่เหตุการณ์ไม่มีสมาชิกเลยเรา

เรียกว่าเซตว่าง เขียนแทนด้วย อ่านว่าไฟ (phi)

PROBABILITY

ความสัมพันธ์ระหว่างเซตมีดังนี้ Probability

∪ยูเนียน (Union)คือ ตัวร่วมทั้งหมดของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น

สัญลักษณ์ คือ

∩อินเตอร์เซคซัน (Intersection) คือ ส่วนร่วมเฉพาะของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น

สัญลักษณ์ คือ
คอมพลีเม้น (Complement) คือ ส่วนเติมเต็มของเหตุการณ์ เช่นถ้า n เป็นเหตุการณ์

ใดๆที่เกิดขึ้นในเหตุการณ์ A เหตุการณ์ทที่เหลือก็คือ n'

ตัวอย่าง Probability

ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง
ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มน้อยกว่า 4
B เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มตั้งแต่ 3 ขึ้นไป
ดังนั้น A = {1,2,3}
B = {3,4,5,6}

∪A B = {1,2,3,4,5,6}
∩A B = {3}

การนับจำนวนจุดตัวอย่าง

การนับจำนวนจุดตัวอย่าง คือ การนับจำนวนสมาชิกทั้งหมดในปริภูมิตัวPอrย่oาbงability

หรือเหตุการณ์ที่สนใจ โดยการนับจำนวนจุดตัวอย่างนั้นมีกรณีที่เกิดขึ้นดังนี้
กรณีที่ 1 เหตุการณ์ใด ๆ K เหตุการณ์ ซึ่งประกอบไปด้วยเหตุการณ์ย่อยหลาย

เหตุการณ์เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน หรือต่อเนื่องกันก็ได้ แต่ละเหตุการณ์มีอยู่
n เหตุการณ์ วิธีการนับจุดตัวอย่างจะทำได้โดยการคูณ
( Multiplicative) จะได้

ตัวอย่าง

Probability

ถุงผ้าใบ1 ถุง มีลูกแก้วอยู่ 4 สี คือ สีแดง 3 ลูก สีฟ้า 6 ลูก สีเหลือง 9 ลูก และสี
เขียว 2 ลูก สุ่มหยิบมา 1 ลูก จงหาเหตุการณ์ที่หยิบลูกแก้ว 1 ลูก แล้วได้ลูกแก้วสีแดง หรือ
สีเหลือง

วิธีทำ ในถุงมีลูกแก้วสีแดง 3 ลูก
ในถุงมีลูกแก้วสีเหลือง 9 ลูก

ดังนั้น เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด 3 + 9 = 12 เหตุการณ์

การนับจำนวนจุดตัวอย่าง

Probability

ตัวอย่าง

Probability

บัวตองต้องการเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปเยี่ยมบ้านที่เชียงใหม่ โดยจะเลือกเดิน
ทางโดยเครื่องบินหรือรถประจำทาง ถ้ามีสายการบิน 6 บริษัทให้เลือก และมีรถประจำทาง
ให้เลือก 5 บริษัท บัวตองจะเลือกบริษัทได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ กรณีที่ 1 เลือกสายการบิน 6 วิธี

กรณีที่ 2 เลือกรถประจำทาง 5 วิธี
ดังนั้น จากหลักการบวก บัวตองจะเลือกได้ 6+5 = 11 วิธี

การนับจำนวนจุดตัวอย่าง

Probability

กรณีที่ 3 เหตุการณ์ใดๆ ที่ต้องมีการพิจารณาลำดับความสำคัญ จัดเรียง
สิ่งของให้เป็นลำดับ จะเรียงทั้งหมดหรือบางส่วนก็ได้ เรียกลักษณะอย่างนี้ว่า การเรียง
สับเปลี่ยน (Permutation) โดยรูปแบบการจัดลำดับจะแบ่งได้เป็น 2 แบบ คือ แบบเส้น
ตรง และแบบวงกลม

การเรียงสับเปลี่ยนแบบเส้นตรง

ลักษณะที่ 1 การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ที่ไม่เหมือนกันจะได้จำนวนProbability

เหตุการณ์เท่ากับ
ตำแหน่งที่ 1 เลือกสิ่งของ 1 สิ่งจากสิ่งของ n สิ่ง ตำแหน่งที่ 1 จะได้ n เหตุการณ์
ตำแหน่งที่ 2 เลือกสิ่งของ 1 สิ่ง จากสิ่งของ n-1 วางในตำแหน่งที่ 2 จะได้ n-1

เหตุการณ์
ตำแหน่งที่ 3 เลือกสิ่งของ 1 สิ่ง จากสิ่งของ n-2 วางในตำแหน่งที่ 3 จะได้ n-2

เหตุการณ์
⋮

ตำแหน่งที่ n เลือกสิ่งของ 1 สิ่ง วางในตำแหน่งที่ n จะได้ 1 เหตุการณ์
ดังนั้นจำนวนเหตุการณ์จะเท่ากับ n .(n-1).(n-2). …. 1จะเท่ากับ n! เหตุการณ์

ตัวอย่าง

Probability

จงหาจำนวนเหตุการณ์ที่จะเรียงเสา 6 เสา โดยแต่ละเสามีสีไม่เหมือนกัน
วิธีทำ จำนวนเสามีจำนวนทั้งหมด 6 เสา

ดังนั้น เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 เหตุการณ์

การเรียงสับเปลี่ยนแบบเส้นตรง

≤ลักษณะที่ 2 การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน นำมาจัดครั้งลPะrrobability

สิ่ง โดยที่ r n
จะได้จำนวนเหตุการณ์เท่ากับเหตุการณ์

ตำแหน่งที่ 1 เลือกสิ่งของ 1 สิ่งจากสิ่งของ n สิ่ง ตำแหน่งที่ 1 จะได้nเหตุการณ์
ตำแหน่งที่ 2 เลือกสิ่งของ 1 สิ่งจากสิ่งของ n-1 วางในตำแหน่งนี้ที่ 2 จะได้ n-
1เหตุการณ์
ตำแหน่งที่ 3 เลือกสิ่งของ 1 สิ่งจากสิ่งของ n-2 วางในตำแหน่งที่ 3 จะได้ n-2
เหตุการณ์

⋮
ตำแหน่งที่ r เลือกสิ่งของ 1 สิ่ง จากสิ่งของ n-(r-1)วางในตำแหน่งที่ r-1
จะได้เหตุการณ์ (n-r+1) เหตุการณ์

การเรียงสับเปลี่ยนแบบเส้นตรง Probability

ดังนั้นจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมด คือ
เมื่อ r<n
ถ้าr=n

*** สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคือ หรือจะเขียนในรูป

ตัวอย่าง

Probability

ลูกเสือหมู่หนึ่งมีจำนวน 8 คน อาจารย์ผู้ควบคุมต้องการเลือกหัวหน้าหมู่และ
รองหัวหน้าหมู่อย่างละหนึ่งคนอยากทราบว่าอาจารย์ผู้ควบคุมเลือกได้กี่เหตุการณ์

วิธีทำ เลือกหัวหน้าหมู่และรองหัวหน้าหมู่คน 2 คน จาก 8 คน โดยคนแรกให้
เป็นหัวหน้าหมู่ คนที่สองให้เป็นรองหัวหน้าหมู่

ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น 56 เหตุการณ์

การเรียงสับเปลี่ยนแบบเส้นตรง

Probability

การเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม

Probability

ลักษณะที่ 1 การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ที่ไม่เหมือนกันจะได้จำนวน
เหตุการณ์เท่ากับ (n - 1)! เหตุการณ์

ลักษณะที่ 2 การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ที่ไม่เหมือนกันมาจัดครั้งละ r สิ่งจะ
ได้จำนวนเหตุการณ์ เท่ากับ เหตุการณ์

ตัวอย่าง

เทศบาลอำเภอแห่งหนึ่ง ต้องการปักธงสีรอบวงเวียนหน้าสำนักงาน โดยมีธงทั้Pงrหoมbดability

10 ผืน 10 สี อยากทราบว่าสามารถปักธงรอบวงเวียนนี้ได้ทั้งหมดกี่เหตุการณ์
วิธีทำ จำนวนธงทั้งหมด 10 ผืน

ดังนั้น เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น
= (10 - 1)!
=9x8x7x6x5x4x3x2x1
= 362,880 เหตุการณ์

ตัวอย่าง

Probability

สมพรซื้อโต๊ะรับแขกมาใหม่ 1 ตัว เป็นทรงกลม โดยเขามีเก้าอี้สีต่างกัน 8 ตัว สมพร
ต้องการวางเก้าอี้ 5 ตัว รอบโต๊ะตัวนี้ อยากทราบว่าสามารถวางเก้าอี้รอบโต๊ะนี้ได้ทั้งหมดกี่
เหตุการณ์
วิธีทำ จำนวนเก้าอี้มีทั้งหมด 8 ตัว

ต้องการใช้ทั้งหมด 5 ตัว
ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น =

= 1,344 เหตุการณ์

PROBABILITY

Probability

กรณีที่ 4 เหตุการณ์ใดๆที่ไม่ต้องมีการพิจารณาลำดับความสำคัญ ในการ
จัดเรียงสิ่งของจะเรียงทั้งหมดหรือบางส่วนก็ได้ เรียกลักษณะอย่างนี้ว่า การจัดหมู่

≤(Combination) ถ้ามีของ n สิ่ง แตกต่างกันเลือกหรือจัดโดยไม่คำนึงถึงลำดับครั้งละ r

สิ่ง ( r n ) จะทำได้

ตัวอย่าง

Probability

ในถุงผ้ามีลูกแก้วอยู่ 7 ลูก สุ่มหยิบลูกแก้วมา 4 ลูก อยากทราบว่ามีเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น
ได้ทั้งหมดกี่เหตุการณ์

วิธีทำ จำนวนลูกแก้วทั้งหมด 7 ลูก
สุ่มหยิบลูกแก้วมา 4 ลูก
ดังนั้น เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น
=

= 35 เหตุการณ์

การคำนวณหา ค่าความน่าจะเป็น

Probability

ความน่าจะเป็น ใช้สัญลักษณ์เเทน คือ P(E) ซึ่งความน่าจะเป็นมีค่าสูงสุดเท่ากับ1 เเละค่า
ต่ำสุด เท่ากับ 0 เเละมีคุณสมบัติความน่าจะเป็น ดังนี้

≤ ≤1. 0 P(E) 1 คือความน่าจะเป็นมีค่าระหว่าง 0 ถึง 1
∅2. P(S) = 1 คือความน่าจะเป็นของปริภูมิตัวอย่างเท่ากับ 1

3. P( ) = 0 คือความน่าจะเป็นของเซตว่างเท่ากับ 0

การคำนวณหา ค่าความน่าจะเป็น Probability

การหาค่าความน่าจะเป็นที่นิยมใช้กันมี 2เเบบ คือ
1. วิธีใช้ตัวเเบบคณิตศาสตร์หรือเเบบดั้งเดิม (Classical Method)

สูตรที่ใช้คือ P(E)= ( ) / ( )
P(E) คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
n(E) คือ จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่สนใจ
n(S) คือ จำนวนสมาชิกทั้งหมดในปริภูมิตัวอย่าง

ตัวอย่าง

Probability

จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โยนเหรียญปกติ 1 เหรียญ 1 ครั้ง แล้วเหรียญ ออก
หน้าเป็นก้อย
วิธีทำ ใช้สูตร P(E) = ( ) / ( )

โยนเหรียญปกติ 1 เหรียญ 1 ครั้ง ออกหน้าก้อยได้ 1 เหตุการณ์
โยนเหรียญปกติ 1 เหรียญ 1 ครั้ง ออกหน้าได้ 2 เหตุการณ์
นั่นคือ n(E)=1 เหตุการณ์ n(S) = 2 เหตุการณ์
จะได้ P(E) = 1 2 = 0.5

การคำนวณหา ค่าความน่าจะเป็น

Probability

2. วิธีใช้ความถี่สัมพัทธ์ (Relative Frequency Method) เป็นการคำนวณความน่าจะเป็น
โดย อาศัยผลที่ได้จากการทดลองที่อยู่ภายใต้สภาวะแวดล้อมเดียวกันและมีจำนวนการ
ทดลองมาก
P(E) = ( ) /
P(E) คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
n(E) คือ จำนวนสมาชิกของผลการทดลองที่สนใจ
N คือ จำนวนครั้งของการทดลองทั้งหมด

ตัวอย่าง

สถาบันแห่งหนึ่งได้รับสมัครคนเข้าทำงานจำนวน 100 คนให้ทุกคนยกมือขึ้น Probability

พร้อมกัน
คนละ 1 ครั้งแล้วแต่ใครจะยกข้างไดก็ได้ปรากฏว่ามีคนยกมือข้างซ้ายทั้งหมด 42 คนจง
หาความน่าจะเป็นของคนที่ยกมือขวาในการทดลองครั้งน

วิธีทำ P(E) = ( ) / N

จำนวนผลการทดลองที่คนยกมือขวา
n (E) = 100-42 = 58
จํานวนการทดลองทั้งหมด N = 100

ดังนั้น P (E) = 85/100 =0.58
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เท่ากับ 0.58

กฎของความน่าจะเป็น

Probability

เพื่อให้ง่ายในการคำนวณหาค่ำความน่าจะเป็น อาจจะนำการหาความนำจะเป็น
ที่เป็น เนียน หรืออินเตอร์เซ็คชั่น หรือเป็นคอมพลีเมนต์ ของเหคุการณ์บางเหตุการณ์
มาให้ ซึ่งในการหาความน่าจะเป็นจะใช้กฎต่างๆ ดังนี้
กฎข้อที่ 1 ถ้า A' เป็นคอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ A จะได้ P(A') = 1 - P(A)

ตัวอย่าง Probability

โยนเหรียญปกติพร้อมกัน 3 เหรียญ จงหา
1. ความน่าจะเป็นที่ออกหัวทั้งสามเหรียญ
2. ความน่าจะเป็นที่เหรียญออกก้อยอย่างน้อยหนึ่งเหรียญ

วิธีทำ n(E)= ( ) / ( )
ความนำจะเป็นที่ออกหัวทั้งสามเหรียญ
H คือ เหตุการณ์ที่โยนเหรียญออกไปแล้วเหรียญออกหน้าเป็นหัว
T คือ เหตุการณ์ที่โยนเหรียญออกไปแล้วเหรียญออกหน้าเป็นก้อย
n(E) = (H,H,H)=1
n(S) = 8
P(E) = 1 / 8 = 0.125
ความนำจะเป็นที่เหรียญออกก้อยอย่างน้อยหนึ่งเหรียญ
ความน่จะเป็นที่เหรียญจะไม่ออกก้อยก็คือออกหัวทั้งสามเหรียญ

ดังนั้น P(A') = 1-P(A)
P(A')= 1-0.125 = 0.875
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เท่ากับ 0.875

กฎของความน่าจะเป็น

Probability

กฎข้อที่ 2 ถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ใดๆ ที่เกิดขึ้นในปริภูมิตัวอย่างเดียวกัน
ความน่าจะเป็นที่จะ เกิดขึ้นอย่างน้อย 1 เหตุการณ์ใน 2 เหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นคือ

∪ ∩P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)

ตัวอย่าง

Probability

สมใจทำการสอบเข้าทำงานที่บริษัทแห่งหนึ่ง ซึ่งมีทั้งการสอบสัมภาษณ์และการ สอบข้อ
เขียน โดยความน่าจะเป็นที่สมใจจะสอบผ่านข้อเขียน คือ 3/ 4 ความน่าจะเป็นในการสอบ
สัมภาษณ์ผ่าน คือ 3/ 5 และสอบไม่ผ่านทั้ง 2 อย่างคือ 1/ 3 จงหาความน่าจะเป็นที่สมใจจะ
สอบผ่าน อย่างน้อยหนึ่งอย่าง

ตัวอย่าง

∪ ∩วิธีทำ P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) Probability
ให้ A คือ เหตุการณ์ที่สอบข้อเขียนผ่าน
B คือ เหตุการณ์ที่สอบสัมภาษณ์ผ่าน
จะได้ P(A)= 3/4
P(B)= 3/5
∩P(A B)^'= 1/3
∩P(A B)=2/3

∩ดังนั้น P(A B)=3/4+3/5-2/3=0.68

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เท่ากับ 0.68

∩ ∅ ∩*** ถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน A B= จะได้ P(A B)=0

ความน่าจะเป็น แบบมีเงื่ อนไข

Probability

ตัวอย่าง

Probability

นักศึกษาคณะมนุษยศาสตร์ชั้นปีที่ 1 ของมหาวิทยาลัยแห่งหนึ่ง จำนวน 200 คนอาศัยอยู่
ในหอพักของมหาวิทยาลัย จำนวน 145 คน มีรถจักรยานยนต์ จำนวน 112 คน โดยมี
นักศึกษาที่อาศัยอยู่ในหอพักมหาวิทยาลัย และมีรถจักรยานยนต์จำนวน 87 คน จง
หาความน่าจะเป็นที่สุ่มเลือกนักศึกษามา 1 คน แล้วได้นักศึกษาที่อาศัยอยู่ในหอพักของ
มหาวิทยาลัยโดยเป็นนักศึกษาที่มีรถจักรยานยนต์

ตัวอย่าง

Probability

ความน่าจะเป็น แบบมีเงื่ อนไข

Probability

ตัวอย่าง

Probability

โยนลูกเต๋า 1 ลูก 2 ครั้งจงหาความน่าจะเป็นที่ในการโยนครั้งแรกออกแต้มเท่ากับ 3 และ
โยนครั้งที่ 2 ออกแต้มเป็นเลขคู่

ตัวอย่าง

Probability

อ้าง
อิง

STATISอTาICจSา,รมย์หพัานวิธท์ทยิพาลาัยครนาชฉภลัฏาดร้.อ2ย0เ2อ็0ด..ความน่าจะเป็น. PROBABILITY AND

THANK YOU

ผู้จัดท
ำโดย

นายพีรวิชญ์ โมระ
ดา 64414002009
ชั้นปีที่ 1
ห้อง 2

สาขาคณิตศ
าสตร์ (ค.บ.)



เสน
อ

อาจารย์พันธ์ทิพา คนฉลาด