หน่วย3 ปก

หนว่ ยท่ี 3 การควบคมุ คณุ ภาพ
กระบวนการโดยอาศยั สถติ ิ

ใบความรู้รายวิชา 02-250-205 การควบคุมคุณภาพ Quality Control

หนว่ ยที่ 3 การควบคมุ คณุ ภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สัปดาหท์ ี่

หัวขอ้ เนอื้ หา
3.1 ตารางแจกแจงความถี่
3.2 ตารางแจกแจงความถีส่ ะสม
3.3 ฮีสโตแกรม
3.4 การวเิ คราะห์ขอ้ มูลจากฮสี โตแกรม
3.5 กราฟความถี่สะสม
3.6 การหาค่าโดยประมาณค่าของคา่ เฉลย่ี และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจากกราฟความถี่สะสม
3.7 มัชฌิมเลขคณิตหรอื ค่าเฉลยี่ ( ̅)
3.8 ความเบย่ี งเบนมาตรฐาน ( )
3.9 โอกาสหรือความน่าจะเป็น
3.10 การกระจายของความนา่ จะเปน็ แบบนอร์มอล

จดุ ประสงค์เชิงพฤติกรรม
1. บอกวธิ ีสรา้ งตารางแจกแจงความถไ่ี ดอ้ ย่างถูกต้อง
2. สามารถคำนวณตารางแจกแจงความถ่ีสะสมได้อยา่ งถูกต้อง
3. บอกเกี่ยวกบั ฮสี โตแกรมได้อย่างถกู ต้อง
4. บอกการวเิ คราะหข์ อ้ มูลจากฮีสโตแกรมได้อย่างถกู ตอ้ ง
5. บออกเก่ยี วกบั กราฟความถีส่ ะสมไดอ้ ย่างถกู ต้อง
6. สามารถคำนวณหาค่าโดยประมาณค่าของค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจากกราฟความถี่สะสม

ได้อย่างถูกต้อง
7. สามารถคำนวณหาค่ามชั ฌมิ เลขคณติ หรือคา่ เฉลยี่ ( ̅) ได้อยา่ งถกู ต้อง
8. สามารถคำนวณหาค่าความเบยี่ งเบนมาตรฐาน ( ) ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
9. สามารถคำนวณหาค่าโอกาสหรอื ความนา่ จะเป็นได้อยา่ งถูกตอ้ ง
10. สามารถคำนวณหาการกระจายของความน่าจะเปน็ แบบนอรม์ อลได้อยา่ งถูกตอ้ ง

ใบความรู้รายวิชา 02-250-205 การควบคมุ คณุ ภาพ Quality Control

หน่วยที่ 3 การควบคุมคุณภาพกระบวนการโดยอาศยั สถิติ สปั ดาหท์ ่ี

สาระสำคัญ
ในโรงงานอตุ สาหกรรมมกี ารรวบรวมข้อมลู หลายประเภททกุ ๆ วนั ตัวอย่างเชน่ เปอร์เซน็ ตข์ องเสยี

อตั ราทำงานลว่ งเวลา จำนวนคนงานทข่ี าดงาน ความเหนยี วของงเส้นด้าย ความเหนียวของแท่งเหลก็ ขนาดของ
ผลิตภัณฑ์ชนิดตา่ ง ๆ น้ำหนักของวัตถุ เป็นตน้ คา่ เหล่าน้มี ักจะบันทึกในลกั ษณะท่ีเปน็ รายงานประจำวนั กราฟ
หรอื แผนภมู คิ วบคุม

รวบรวมขอ้ มลู เหลา่ นมี้ ีวตั ถปุ ระสงคท์ ่ีแตกตา่ งกนั เชน่ ถ้ามกี ารชักตวั อย่าง 10 ช้นิ จากผลติ ภณั ฑร์ นุ่
(Lot) หน่งึ เมือ่ ทำการวดั ตวั อย่างทง้ั 10 ช้ินแล้ว ข้อมูลจากตวั อยา่ งเหล่าน้ีจะเป็นหลักการชั้นพื้นฐานท่ีชว่ ยให้
ทราบวา่ ขนาคของรุน่ น้นั เหมาะสมอย่างไร มีของเสียมากน้อยเพยี งใด หรือกระบวนการผลติ ดหี รอื ไม่หลัง
จากนั้นกท็ ำการแก้ไขปรบั ปรุงบางส่วนตามตอ้ งการได้

เมอ่ื ทำการรวบรวมข้อมูลได้แล้วและนำข้อมูลมาศึกษา การศึกษาเกยี่ วกับข้อมูลกค็ ือ วิชาสถติ ิศาสตร์
(Statistics)

วธิ ีการทางสถิตเิ ปน็ เทคนคิ ทางคณิตศาสตร์ซ่ึงใหค้ วามสะดวกในการแปลความหมายขอ้ มูลทีไ่ ด้
รวบรวมไว้แลว้ การดำเนินงานตามระเบยี บวธิ ีสถติ มิ ี 4 ขนั้ คือ

1. การเกบ็ รวบรวบ (Collection)
2. การนำเสนอ (Presentation)
3. การวเิ คราะห์ (Analysis)
4. การแปลความหมาย (Interpresentation)
สถิตเิ บ้อื งต้นท่จี ะกล่าวถึงในบทนคี้ ือ ตารางแจกแจงความถี่ สโตแกรม มชั ฌิมเลขคณติ ความ
เบ่ียงเบนมาตรฐาน ความนา่ จะเป็น และพื้นที่ใต้โคง้ ปกติ

ใบความรูร้ ายวิชา 02-250-205 การควบคุมคณุ ภาพ Quality Control

หนว่ ยท่ี 3 การควบคมุ คณุ ภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สปั ดาห์ที่

3.1 ตารางแจกแจงความถ่ี
ในการเกบ็ ข้อมูล ถ้าขอ้ มลู มีจำนวนมากยอ่ มไม่สะดวกต่อการแปลความหมายของข้อมูล จำเป็น

ต้องนำขอ้ มูลมาเรยี บเรยี งใหม่ใหอ้ ยู่ในรปู ท่ีมองง่าย โดยทำการเรยี งลำดบั ของคะแนนแลว้ แบ่งออกเป็น
หมู่ ๆ อยา่ งมหี ลกั เกณฑท์ ำให้มองเหน็ ลักษณะของข้อมูล ใบบันทกึ ข้อมลู ท่เี รียบเรียงใหมน่ เ้ี รยี กวา่ ตาราง
แจกแจงความถี่

ตวั อย่างเช่น การวัดความหนาของชิ้นไมกา้ ได้ข้อมูลดังในตารางท่ี 3.1
ตารางที่ 3.1 ความหนาของชิน้ ไมก้า (10-3 น้วิ )

ขอ้ มลู XL XS

8.0# 12.4 12.5 14.0 13.5 12.0 14.0 12.0 10.0 14.5* 14.5 8.0
10.0 10.5 8.0# 15.0* 9.0 13.0 11.0 14.0 14.0 11.0 15.0 8.0
12.0 10.5 13.5 11.5 12.5 15.5* 14.0 7.5# 11.5 11.0 15.5 7.5
12.0 12.5 15.5 13.5 12.4 17.0 8.0# 11.0 11.5 17.0* 17.0 8.0
11.5 9.0# 9.5 11.5 12.4 14.0 11.5 13.0 13.0 15.0* 15.0 9.0

8.0# 13.0 15.0* 9.5 12.5 15.0 13.5 12.0 11.0 11.0 15.0 8.0
11.5 11.5 10.0 12.5 9.0 13.0 11.5 16.0* 10.5 9.0# 16.0 9.0
9.5 14.5* 10.0 5.0# 13.5 7.5 11.0 9.0 10.5 14.0 14.5 5.0
9.5 13.5* 9.0 8.0 12.5 12.0 9.5 10.0 7.5# 10.5 13.5 7.5
10.5 12.5 14.5* 13.0 12.5 12.0 13.0 8.5# 10.5 10.5 14.5 8.5

ใบความรู้รายวชิ า 02-250-205 การควบคมุ คณุ ภาพ Quality Control

หนว่ ยท่ี 3 การควบคุมคณุ ภาพกระบวนการโดยอาศยั สถิติ สัปดาหท์ ่ี

ตารางท่ี 3.1 ความหนาของชนิ้ ไมก้า (10-3 น้ิว) (ต่อ)

ขอ้ มูล XL XS
13.0 7.0
13.0* 10.0 11.0 8.5 10.5 7.0# 10.0 12.0 12.0 10.5 14.5 7.5
13.5 10.5 10.5 7.5# 8.0 12.5 10.5 14.5 12.0 8.0 12.0 8.0
11.0 8.0# 11..5 10.0 8.5 10.5 12.0* 10.5 11.0 10.5 14.5 8.5
14.5* 13.0 8.5 11.0 13.5 8.5# 11.0 11.0 10.0 12.5 14.5 6.0
12.0 7.0 8.0 13.5 13.0 6.0# 10.0 10.0 12.0 14.5*
15.0 7.5
13.0 8.0 10.0 9.0 13.0 15.0* 10.0 13.5 11.5 7.5 15.5 7.0
11.0 7.0# 7.5 15.5 13.0 15.5* 11.5 10.5 9.5 9.5 12.5 7.0
10.5 7.0# 10.0 12.5* 9.5 10.0 10.0 12.0 8.5 10.0 12.5 7.0
9.5 9.5 12.5# 7.0# 9.5 12.0 10.0 10.0 8.5 12.0 14.5 8.0
11.5 11.5 8.0# 10.5 14.5* 8.5 10.0 12.5 12.5 11.0

XL = ค่ามากทีส่ ุดในแตล่ ะแถว = * n = 200, XL = 17.0, R = 12.0
XS = ค่านอ้ ยท่ีสดุ ในแตล่ ะแถว = # XS = 5.0

ใบความรูร้ ายวิชา 02-250-205 การควบคมุ คุณภาพ Quality Control

หนว่ ยที่ 3 การควบคมุ คุณภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สัปดาห์ท่ี

วิธีสร้างตารางแจกแจงความถ่ี เม่ือเก็บขอ้ มูลมาแล้วให้ดำเนนิ การดังนี้

1. นับจำนวนข้อมูลทัง้ หมดไดเ้ ท่ากบั n ในตาราง 3.1 น้ี n = 200

2. ในแต่ละแถวหาข้อมูลที่มีค่าสูงสุด (XL) และต่ำสุด (XS) จากนั้นนำค่า (XL) ทั้งหมดมา

เปรียบเทียบกันเพื่อหาค่าสูงที่สุดเพียงค่าเดียวได้ XL = 17.0 ในทำนองเดียวกันนำค่าต่ำสุดของแต่ละแถวมา

เปรียบเทียบกนั เพื่อหาคา่ ต่ำทสี่ ุดได้ XS = 5.0

3. หาพสิ ัย (Range, R) ของข้อมูล เป็นการหาคา่ การกระจายของข้อมูลแบบหนง่ึ

พสิ ัย = คะแนนสงู สุด - คะแนนต่ำสุด

หรอื R = XL - XS

∴ R = 17.0 – 5.0 = 12.0

4. หาจำนวนชนั้ หรอื กลมุ่ (k) และความกว้างของแตล่ ะช้นั (i) การที่จะแบง่ จำนวนขอ้ มลู

ออกเปน็ ชั้นหรอื กลุ่มน้ัน สามารถหาคา่ โดยประมาณจากตาราง 3.2

ตาราง 3.2 จำนวนข้อมลู และจำนวนชั้น

จำนวนข้อมูล (n) จำนวนช้นั (k)

ต่ำกว่า 50 5-7

50-100 6-10

100-250 7-12

มากกว่า 250 10-20

หรือประมาณจำนวนชัน้ จากจำนวนขอ้ มูลถอดรูทสอง
k ≈ √

นำจำนวนชนั้ ท่ปี ระมาณไว้ไปหารค่าพิสัยท่ีหาได้ฝนข้อ 3 จะได้ความกว้างของช้ัน (i) โดยประมาณ ถา้ ดูจาก
ตารางที่ 3.2 เมื่อจำนวนขอ้ มูลเท่ากบั 200 จะให้แบ่งเป็น 12 ช้นั

ใบความรูร้ ายวิชา 02-250-205 การควบคมุ คุณภาพ Quality Control

หนว่ ยที่ 3 การควบคมุ คณุ ภาพกระบวนการโดยอาศยั สถิติ สัปดาหท์ ี่

∴ ความกว้างของชัน้ , i =



i = 12

12

หรือถ้าหาจำนวนช้นั จาก k = √

k = √200 = 14 ; k ตอ้ งเปน็ เลขจำนวนเต็มเสมอ

∴ ความกวา้ งของช้ัน, i = 12 = 0.857 ; ปดั คา่ i ให้มจี ำนวนทศนิยมเท่ากบั ของข้อมลู

14

แตเ่ พื่อความสะดวกในการคำนวณและเขยี นรปู จึงปัดคา่ i ให้เป็น 1.0 ดังนนั้ การจะใชจ้ ำนวนชั้น

เท่าใดก็ให้พิจารณาตามความเหมาะสม และค่าความกว้างของช้นั สามารถปรับค่าไดใ้ หม้ ากขน้ึ หรอื น้อยลงกไ็ ด้

เพ่อื ความสะดวกในการคำนวณ เม่ือปรบั ความกวา้ งของชนั้ ให้เหมาะสมแล้วจำนวนช้ันอาจเปลี่ยนไปจากค่าท่ี

ประมาณไวห้ รือไม่กไ็ ด้

5. หาขอบเขตของช้ัน (Class boundaries)

เมอื่ ขอ้ มูลตกอยู่ในขอบเขตของชนั้ ใดอาจจะเกิดความสบั สนหรือความลำบากใจที่จะให้ข้อมลู นั้นอยู่

ในชัน้ ใดดี เพ่ือหลกี เล่ียงปญั หาข้อนี้จะเพิ่มขอบเขตของช้ันเข้าไป โดยปกติขอบเขตของช้ันจะมจี ำนวนทศนิยม

มากกว่าจำนวนทศนิยมของข้อมลู อย่หู นีง่ ตำแหนง่ โดยเอาจำนวนตำแหน่งทศนยิ มมาหนึ่งหนว่ ยแลว้ หารดว้ ย 2

แลว้ นำค่านี้ไปลบจากค่าต่ำสุดของแตล่ ะชน้ั และนำไปบวกกับคา่ สงู สดุ ของแต่ะช้นั

ข้อมูลในตาราง 3.1 มีทศนยิ ม 1 ตำแหน่ง ขอบเขตของช้ันจะเทา่ กบั 0.1 = 0.05

2

ถา้ คะแนนของชั้นเป็น 6.8 ถึง 7.7 ขอบเขตของช้นั จะเป็น 6.75 ถงึ 7.75

6. เรยี งลำดบั ชั้นของขอ้ มลู

นำจำนวนชนั้ ที่แบง่ ไว้มาเรยี งลำดบั จะเรียงลำดับจากค่าน้อยไปมาก หรือมากไปหานอ้ ยกไ็ ด้ ถา้ เรียง

จากน้อยไปหามาก ชนั้ ท่อี ยบู่ นสดุ ตอ้ งครอบคลุมคา่ ต่ำสุดไวด้ ว้ ย สว่ นชั้นลา่ งสุดจะตอ้ งครอบคลมุ ค่าสงู สดุ ของ

ขอ้ มูลด้วย

7. เรยี งลำดบั ขอบเขตของชน้ั ตามการเรียงลำดบั ชนั้

ใบความรรู้ ายวชิ า 02-250-205 การควบคุมคุณภาพ Quality Control

หน่วยท่ี 3 การควบคุมคณุ ภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สปั ดาหท์ ี่

8. หาจดุ กงึ่ กลางชน้ั โดยเอาคา่ ขอบเขตตำ่ บวกกับค่าขอบเขตสูงของแตล่ ะชน้ั หารดว้ ย 2 ตัวอยา่ งเช่น

ขอบเขตของชั้นมคี า่ 6.75 ถงึ 7.75

จดุ กง่ึ กลางชั้น (Mid point) = 6.75+7.75 = 7.25

2

9. ขีดรอยคะแนนลงในตารางท่ีแบ่งชัน้ ไว้แล้ว จากนั้นนับจำนวนรอยขีดก็จะเป็นคา่ ความถี่ของแตล่ ะ

ช้นั จำนวนความถ่ที งั้ หมดรวมกันจะเทา่ กบั จำนวน n

ขอ้ มูลในตารางท่ี 3.1 ทำเป็นตารางแจกแจงความถไ่ี ดด้ ังตารางท่ี 3.3 ทำให้ทราบวา่ ในแต่ละช้ันมี

จำนวนข้อมลู อยู่เท่าไร ท้งั ยังทำให้ทราบลกั ษณะการกระจายของขอ้ มูลดว้ ย

ตารางท่ี 3.3 ตารางแจกแจงความถค่ี วามหนาของชิ้นไมกา้

คะแนน ขอบเขตของช้นั จุดก่ึงกลาง รอยขดี ความถี่

4.8 – 5.7 4.57 – 5.75 5.25 I 1

5.8 – 6.7 5.75 – 6.75 6.25 I 1

6.8 – 7.7 6.75 – 7.75 7.25 IIIII IIIII I 11

7.8 – 8.7 7.75 – 8.75 8.25 IIIII IIIII IIIII IIII 19

8.8 – 9.7 8.75 – 9.75 9.25 IIIII IIIII IIIII IIII 18

9.8 – 10.7 9.75 – 10.75 10.25 IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII 40

10.8 – 11.7 10.75 – 11.75 11.25 IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIII 29

11.8 – 12.7 11.75 – 12.75 12.25 IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII III 33

12.8 – 13.7 12.75 – 13.75 13.25 IIIII IIIII IIIII IIIII III 23

13.8 – 14.7 13.75 – 14.75 14.25 IIIII IIIII III 13

14.8 – 15.7 14.75 – 15.75 15.25 IIIII IIII 9

15.8 – 16.7 15.75 – 16.75 16.25 I 1

16.8 – 17.7 16.75 – 17.75 17.25 II 2

รวม 200

หมายเหตุ ถ้าทำรอยขีดให้มขี นาดเท่า ๆ กนั จะเห็นรูปการณก์ ระจายของข้อมูลได้

ใบความรรู้ ายวชิ า 02-250-205 การควบคุมคุณภาพ Quality Control

หนว่ ยที่ 3 การควบคมุ คณุ ภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สัปดาห์ที่

ตวั อย่าง ขอบขา่ ยของชิน้ ส่วนส่มุ ตรวจ : 40 ช้นิ

คา่ เฉพาะในการตรวจสอบ : เสน้ ผ่านศูนยก์ ลางของช้นิ สว่ น d = 8 ± 0.05 มม.

เส้นผา่ นศนู ย์กลางของช้ินส่วนท่วี ดั d เป็น มม.

ชิน้ ท่ี 1…..10 7.98 7.97 7.99 8.00 8.02 7.96 8.03 7.97 7.96 8.01

ชิ้นที่ 11…20 7.96 7.99 8.00 8.02 8.01 7.99 8.03 8.00 8.04 8.03

ช้นิ ที่ 21…30 7.99 8.05 8.03 8.00 8.04 7.97 7.98 7.99 8.01 8.02

ชิ้นที่ 31…40 8.02 8.01 8.05 7.94 7.98 8.00 8.01 8.03 8.02 8.00

ชัน้ ค่าเฉลี่ย ตารางนบั nj hj จำนวนของชนั้

Nr. ≥ < in % k = √

1 7.94 7.96 I 1 2.5
6 15 ความกวา้ งของชั้น
2 7.96 7.98 IIIII I

3 7.98 8.00 IIIII III 8 20 w =
11 27.5
4 8.00 8.02 IIIII IIIII I

5 8.02 8.04 IIIII IIIII 10 25 ความบ่อยครง้ั สัมพันธ์

6 8.04 8.06 IIII 4 10 hj = x 100%
40 100
S=

k = √ = √40 = 6.3 = 6 n คือ จำนวนของแต่ละคา่

w = = 0.11 = 0.018 mm = 0.02 mm k คือ จำนวนของแต่ละชน้ั

6 w คือ ความกวา้ งของชนั้
R คือ ความกว้างของช่วง Normal curve
nj คือ ความบอ่ ยครั้งสมบูรณ์
hj คือ ความบอ่ ยครั้งสมั พนั ธ์เป็น %

(ทม่ี า : ตารางคู๋มอื งานโลหะ หน้าท่ี 247, บรรเลง ศรนลิ และสมนึก วีฒนศรยี กลุ , 2554, กรงุ เทพฯ : VERLEG
EUROPA-LEHRMITTEL. NOURNEY, VOLLMER GmbH & Co. KG.)

ใบความรู้รายวิชา 02-250-205 การควบคมุ คุณภาพ Quality Control

หน่วยท่ี 3 การควบคมุ คุณภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สัปดาห์ท่ี

3.2 ตารางแจกแจงความถี่สะสม (CUMULATIVE FREQUENCY DISTRIBUTION)

ถ้าต้องการทราบจำนวนความถี่ของคะแนนที่อยู่ระหว่างคะแนน 2 จำนวนที่จัดไว้เป็นชั้น ๆ หาได้

จากตารางแจกแจงความถี่ แตถ่ ้าต้องการทราบจำนวนะแนนท่มี ากกวา่ หรือน้อยกวา่ คะแนนท่ีกำหนดให้ ก็จะหา

ได้จากตารางความถี่สะสม ตารางแจกแจงความถี่มีประโยชน์ในการคำนวณค่าสถิติในเร่ืองการจัดตำแหน่งและ

การเปรยี บเทียบ

ความถี่สะสมของคะแนนอาจจะนับจากคะแนนมากไปน้อยหรือจากน้อยไปมากก็ได้ แต่ที่นิยม

นำไปใช้มากคือ ความถี่สะสมจากคะแนนน้อยไปมาก

ขอ้ มลู จากตารางที่ 3.3 นำมาทำตารางความถ่ีสะสมความหนาของช้ินไมกา้ ไดเ้ ป็นตารางท่ี 3.4

ช้ันที่ ขอบเขตของชัน้ ความถ่ี ความถส่ี ะสม เปอร์เซน็ ตค์ วามถี่

1 4.57 – 5.75 1 1 0.5

2 5.75 – 6.75 1 2 1.0

3 6.75 – 7.75 11 13 6.5

4 7.75 – 8.75 19 32 16.0

5 8.75 – 9.75 18 50 25.0

6 9.75 – 10.75 40 90 45.0

7 10.75 – 11.75 29 119 59.0

8 11.75 – 12.75 33 152 76.0

9 12.75 – 13.75 23 175 87.5

10 13.75 – 14.75 13 188 94.0

11 14.75 – 15.75 9 197 98.5

12 15.75 – 16.75 1 198 99.0

13 16.75 – 17.75 2 200 100.0

ใบความรู้รายวชิ า 02-250-205 การควบคุมคุณภาพ Quality Control

หน่วยท่ี 3 การควบคุมคณุ ภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สัปดาห์ที่

ความถี่สะสมในตารางที่ 3.4 นี้มี 2 แบบคือ ความถี่สะสมธรรมดาและความถี่สะสมที่คิดเป็น
เปอร์เซ็นต์ ความถีส่ ะสมธรรมดาได้จากการนำความถ่ีของช้ันตน้ ๆ มารวมกนั ตัวอย่างเช่น ความถ่ีสะสมของชั้น
ที่ 5 เท่ากัน 50 ได้จากรวมความถี่ของช้ันที่ 1 ถึง 5 ความถี่สะสมของชัน้ อืน่ ๆกห็ าได้ในทำนองเดียวกนั ความถ่ี
สะสมสงู สุดจะเทา่ กบั จำนวนขอ้ มลู ทงั้ หมด

ความถี่สะสมที่คิดเป็นเปอร์เซ็นต์หาได้จากการนำความถี่สะสมในชั้นนั้นๆมาคิดเป็นเปอร์เซ็ นต์

ตัวอย่างเชน่ เปอรเ์ ซ็นต์ความถส่ี ะสมของชั้นที่ 5 เทา่ กับ 50 x 100 = 25% ชนั้ อ่ืนๆกห็ าไดใ้ นทำนอง

200

เดียวกัน เปอรเ์ ซ็นตค์ วามถ่ีสะสมสงู สุดจะเป็น 100
การอ่านค่าความถ่สี ะสม ตวั อย่างเชน่ ในชน้ั ที่ 5 มีความถสี่ ะสม 50 หรือ 25%

หมายความว่า จำนวนข้อมูลทีน่ ำมาตรวจสอบ 200 ตวั อยา่ ง มีช้ินหนานอ้ ยกวา่ 9.75 x 103 นว้ิ
อยู่ 50 ชน้ิ หรอื คิดเปน็ 25% ถ้าตอ้ งการทราบวา่ มชี น้ิ ทหี่ นามากกว่า 9.75 x 10' อยเู่ ท่าไร หาได้คอื
เอา 200 ลบดว้ ย 50 = 150 ช้ิน หรอื 100 ลบดว้ ย 25 = 75%

3.3 ฮสี โตแกรม
ฮีสโตแกรมคือแผนภูมิแท่งชุดหนึ่งซึ่งแสดงลักษณะการกระจายของข้อมูลโดยมีความสูงของแต่ละ

แท่งแทนขนาดของความถี่ของคะแนนแต่ละชนั้ และความกว้างของแต่ละแทง่ แทนระยะขอบเขตของชั้นท้ังสอง
ซ่งึ ความกวา้ งของแทง่ จะเท่ากบั ความกว้างของชั้น ตารางแจกแจงความถี่ของตาราง 3.3 นำมาสร้างฮีสโตแกรม
ไดเ้ ป็นรูป 3.1

ถ้ามีการกำหนดค่ามาตรฐานหรือค่าเฉพาะ (specification) ขึ้นมาในการตรวจสอบข้อมูล โดย
กำหนดว่าความหนาของชิ้นไมก้าให้อยู่ระหว่าง 8.5 x 10-3 ถึง 15.0 x 10-3 นิ้ว (0.0085 ถึง 0.0150 นิ้ว) เราก็
เขียนขดี จำกัดบนและล่างลงในฮีสโตแกรม จากข้อมูลชุดนี้พบว่ามีข้อมลู อยตู่ ่ำกว่าคา่ ที่กำหนดและบางส่วนมีค่า
สงู กวา่ ที่กำหนด ในรูปคือสว่ นท่แี รเงาไว้

เพือ่ ความสะดวกในการอ่านความสงู ของแทง่ กราฟ จะเขยี นตัวเลขกำกบั ความสงู ไว้ก็ได้
ชว่ งกงึ่ กลางของมาตรฐาน

= 85 x 15.0 = 11.75

2

ใบความรู้รายวิชา 02-250-205 การควบคมุ คุณภาพ Quality Control

หน่วยท่ี 3 การควบคุมคณุ ภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สัปดาหท์ ี่

รูปที่ 3.1 ความหนาของชิ้นไมก้า
(ที่มา : การควบคุมคุณภาพ หน้าที่ 37, เกษม พิพฒั นบ์ ัญญานุกูล, 2557, กรุงเทพฯ : ท้อป.)

หมายเหตุ การทกี่ ำหนดใหค้ วามหนาของชน้ิ ไมก้ามขี นาด 8.5 ถึง 15.0 x 10-3 นิ้ว เพราะว่าช้ินท่บี าง
เกินไปเมือ่ นำไปขึ้นรูปเปน็ ช้นิ งานแลว้ ความแข็งแรงจะไม่พอ แต่ถ้าช้ินหนาเกินไปทำให้การขน้ึ รูปยากขนาดท่ี
เหมาะสมคอื 8.5 ~ 15.0 x 10-3 นวิ้

3.4 การวเิ คราะห์ข้อมลู จากฮสี โตแกรม
หลงั จากสรา้ งฮีสโตแกรม ลากเส้นควบคมุ เฉพาะ (specification) แลว้ จะตอบปัญหา 3 ข้อน้ีได้คือ
1. ผลติ ภณั ฑ์ทไ่ี ด้รับเหมือนกับการตรวจคร้ังก่อนหรอื ไม่
2. ผลิตภณั ฑ์มีการกระจายอยู่ในช่วงกึง่ กลางดหี รือไม่ (well center)
3. ผลิตภณั ฑอ์ ย่ใู นมาตรฐานท่ีกำหนดหรือไม่ (meet engineering specification)
รปู ของฮสี โตแกรมท่สี ร้างขน้ึ มาจากข้อมลู ใด ๆ พอจะจำแนกออกไดเ้ ปน็ 12 ลกั ษณะ ดังรูปที่ 3.2

อธิบายไดด้ งั นี้

ใบความรรู้ ายวชิ า 02-250-205 การควบคุมคุณภาพ Quality Control

หน่วยท่ี 3 การควบคมุ คุณภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สัปดาห์ท่ี

รูปที่ 3.2 ลักษณะตา่ ง ๆ ของฮีสโตแกรม
(ท่ีมา : การควบคุมคุณภาพ หน้าที่ 37, เกษม พิพฒั น์บัญญานกุ ูล, 2557, กรงุ เทพฯ : ท้อป.)

รปู ท่ี 1 เปน็ รปู ทด่ี ที ี่สุด การกระจายอยชู่ ่วงก่งึ กลางและแคบ ทง้ั ยงั อยใู่ นขอบเขตมาตรฐานที่กำหนด
มอี ย่ใู นจินตนาการเท่านัน้

รูปท่ี 2 การกระจายของข้อมูลไม่อยู่ในช่วงกงึ่ กลางและมีด้านหนง่ึ ออกนอกขอบเขตที่กำหนด
รูปที่ 3 การกระจายของข้อมูลกวา้ งแตอ่ ยู่ในชอบเขดทีก่ ำหนด ทั้งยังอยู่ในช่วงก่งึ กลาง เป็นรปู ที่นา่ พอใจ

ในทางปฏิบัติตอ้ งการให้ขอ้ มลู กระจายอย่ใู นรปู นี้
รูปท่ี 4การกระจายของข้อมลู คลา้ ยกบั รปู ที่ 3 แตก่ ารกระจายเบ้ออกจากกึ่งกลางเลก็ น้อยและมีบางสว่ นออนอก

ขอ้ กำหนดบน
รปู ที่ 5 การกระจายของข้อมูลกระจายกว้างกวา่ ขอบเขตจำกัดทง้ั สองดา้ น
รปู ที่ 6 การกระจายของข้อมูล 2 ยอด (Bimodal) อาจเป็นเพราะวา่ ขอ้ มูลได้จากเคร่ืองจกั รทีแ่ ตกต่างกัน

2 ชนิด หรือจากการใชว้ ัตถุดิบท่แี ตกต่างกัน หรือจากผลติ ภณั ฑ์ 2 ชนิดอยู่ปนกัน
รูปที่ 7 การกระจายของข้อมูลเป็นแบบ 2 ยอดคลา้ ยกบั รูปท่ี แตก่ ารกระจายกวา้ งกว่า ทำให้ปลายทั้งสองออก

นอกขอบเขตท่ีกำหนด แสดงว่ามีงานทจ่ี ะต้องซ่อมแซมหรือมีของเสยี มากข้ึน
รูปท่ี 8 กระบวนการผลติ ไม่อยู่ในชว่ งกึง่ กลาง (off-center) ผลติ ภัณฑ์ได้ผ่านการคดั เลือก 100% มาแล้วโดยคดั

ของเสยี ออก หรือไม่ก็เปน็ เพราะการอา่ นค่ายังไม่ถูกตอ้ ง อ่านเฉพาะแต่ค่าบวก
รปู ที่ 9 กระบวนการผลติ เหมือนกบั รปู ท่ี 8 ซง่ึ ผลิตภณั ฑ์ได้ผ่านการตรวจสอบ 100% มาแลว้ แตก่ ารตรวจสอบ

ทำด้วยประสิทธภิ าพท่ีไมส่ มบูรณ์ ทำให้มีของเสียผ่านออกมา

ใบความรูร้ ายวชิ า 02-250-205 การควบคุมคุณภาพ Quality Control

หนว่ ยที่ 3 การควบคมุ คณุ ภาพกระบวนการโดยอาศยั สถิติ สัปดาห์ที่

รูปท่ี 10 กระบวนการผลติ คล้ายกบั รปู ที่ 8 หรอื 9 แสดงว่าการตรวจสอบหรือการวดั วา่ อะไรเปน็ ของเสียยังไม่
ชัดเจน หรือผู้ตรวจสอบตดั สนิ ใจไดไ้ ม่แนน่ อนวา่ ผลติ ภณั ฑ์นัน้ ดีหรือเสยี

รปู ท่ี 11 การกระจายของขอ้ มูลในรปู ใหญ่อย่ชู ว่ งกึ่งกลางดีและไม่ออกนอกขอบเขตท่ีกำหนดแต่มีรูปเล็ก
กระจายอยนู่ อกขอบเขต อาจเป็นเพราะเปน็ ช้นิ ส่วนของตอนตัง้ เคร่อื ง (set-up)

รูปท่ี 12 เปน็ การกระจายของขอ้ มูลที่อาจเกิดจากการที่ผู้ตรวจสอบอา่ นตัวเลขเป็นเลขใดเลขหนงึ่ ซ่งึ อาจเกิดจาก
การท่ีเคร่ืองมือวัดอ่านค่าได้ไมช่ ดั เจน ทำให้ผู้อา่ นต้องอา่ นคา่ เป็นค่าใดค่าหนึง่

3.5 กราฟความถ่ีสะสม
เป็นกราฟเส้นทแ่ี สดงความถีส่ ะสมของคะแนนต่ำสดุ ไปจนถงึ คะแนนสงู สุดจากตารางความถีส่ ะสม

โดยที่แกนตั้ง (แกน Y) แสดงจำนวนความถี่สะสมที่เป็นเปอร์เซ็นต์ แกนนอน (แกน X) แสดงขอบเขตของชั้น
ข้อมลู เม่ือนำขอ้ มลู ในตารางความถส่ี ะสมท่ี 3.4 มาทำเป็นกราฟความถ่สี ะสมจะไดก้ ราฟดงั ในรปู ที่ 3.3 เริ่มจาก
ขอบเขตของชั้น 4.75 มีความถี่สะสมเป็นศูนย์ 5.75 เป็น 0.5 เรียงลำดับเรื่อยไปจนในที่สุดขอบเขต 17.75 มี
ความถ่สี ะสมเป็น 100%

ถ้าเราอยากทราบว่ามีข้อมูลจำนวนเท่าใดที่อยู่ในมาตรฐานท่ีกำหนด ให้ลากเส้นจากความหนาท่ี 8.5
และ 15.0 (ค่ามาตรฐานที่กำหนด) ขึ้นไปตัดกับกราฟความถี่สะสมที่จุด A และ B ตามลำดับที่จุด A ลากเส้น
ขนานกับแนวนอนมาตัดแกน Y จะได้ความถ่สี ะสมเท่ากับ 12 หมายความวา่ ช้นิ ไมกา้ ท่ีมีความหนาน้อยกว่า 8.5
มีอยู่ 12% ในทำนองเดียวกันที่จุด B จะได้ความถี่สะสม 95% หมายความว่ามีชิ้นไมก้าหนาน้อยกว่า 15.0 อยู่
95%

ใบความรู้รายวชิ า 02-250-205 การควบคุมคณุ ภาพ Quality Control

หน่วยท่ี 3 การควบคมุ คุณภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สัปดาห์ที่

รปู ท่ี 3.3 กราฟความถสี่ ะสมความหนาของชน้ิ ไมก้า
(ท่ีมา : การควบคุมคุณภาพ หน้าที่ 39, เกษม พิพัฒนบ์ ญั ญานุกูล, 2557, กรุงเทพฯ : ท้อป.)

∴ ความหนาท่ีอยรู่ ะหว่าง 8.5 ~ 15.0 มีอยเู่ ท่ากับ 95 – 12 = 83%
หมายความวา่ มีไมก้าทีเ่ หมาะสมกับการใช้งานอยู่ 83%
และทีใ่ ช้งานไม่ได้มีอยู่ 100 – 83 = 17%
ทีห่ นากวา่ 15.0 มีอยู่ 100 – 95 = 5%

3.6 การหาค่าโดยประมาณของคา่ เฉลี่ยและค่าเบย่ี งเบนมาตรฐานจากกราฟความถี่สะสม
ค่าเฉลย่ี โดยประมาณจะมีคา่ อยู่กง่ึ กลางของข้อมูล ซง่ึ หมายความมวา่ จะมีจำนวนขอ้ มลู ท่นี ้อยกว่าหรือ

มากกวา่ อยู่ 50% มาตัดกราฟความถี่สะสมทจ่ี ดุ C ของรูปที่ 3.3 และลากเส้นต้ังฉากจากจุด C มาตดั แกน X จะ
ได้คา่ เฉล่ยี ( ̅) ของข้อมูลมีคา่ เทา่ กบั 11.15 x 10-3 นิว้

ใบความรู้รายวชิ า 02-250-205 การควบคุมคณุ ภาพ Quality Control

หนว่ ยที่ 3 การควบคมุ คุณภาพกระบวนการโดยอาศยั สถิติ สปั ดาหท์ ี่

พ้นื ท่ีใต้โคง้ ปกติรวมกนั เป็น 100% พน้ื ทที่ ี่อยู่ระหวา่ งคา่ ̅ ± จะมอี ยู่ 68% (ตามทฤษฎ)ี พน้ื ที่ท่ี
เหลอื จะมีอยู่เทา่ กบั 100 – 68 = 32% เม่อื แบ่งออกเปน็ 2 ส่วนเท่า ๆ กัน จะไดส้ ว่ นละ 16% พืน้ ท่ีสะสม
ทางดา้ นซ้ายมือเทา่ กับ 0 + 16 = 16% พนื้ ทีส่ ะสมทางดา้ นซา้ ยมาถงึ ด้านขวาซงึ่ ทำให้ด้านขวาเหลือ 16%
เทา่ กบั 100 – 16 = 84% แสดงดังรูป 3.4

รปู ท่ี 3.4 พน้ื ทใี่ ต้โค้งปกติ
(ท่ีมา : การควบคุมคุณภาพ หนา้ ท่ี 39, เกษม พิพฒั นบ์ ัญญานุกูล, 2557, กรงุ เทพฯ : ท้อป.)

ลากเสน้ จากความถ่สี ะสม 16% และ 84% มาตดั กราฟความถ่สี ะสมทจ่ี ุด D และ E ตามลำดับ จากจุด
D และ E ลากเส้นต้ังฉากตดั แกน X ได้คา่ ดงั นี้

ทีจ่ ุด 84% ได้ = 13.55
ทจ่ี ดุ 16% ได้ = 8.85
นำค่านม้ี าลบกันได้ค่า 2σ = 4.70

2σ = 2.35
= 2.35 x 10-3 นวิ้

∴ ค่าเบยี่ งเบนมาตรฐานโดยประมาณ ( ′) = 2.35 x 10-3 น้ิว

ใบความรรู้ ายวิชา 02-250-205 การควบคุมคุณภาพ Quality Control

หน่วยที่ 3 การควบคมุ คณุ ภาพกระบวนการโดยอาศยั สถิติ สปั ดาห์ท่ี

3.7 มัชฌิมเลขคณติ หรือคา่ เฉล่ีย ( ̅ )
ในการศกึ ษาลกั ษณะของข้อมลู โดยไม่ต้องนำตวั เลขในขอ้ มูลทงั้ หมดมาพิจารณา ค่าเฉลยี่ ของข้อมลู แต่

ละชุดจะเป็นตวั แทนท่ีดีอย่างหนง่ึ ของข้อมลู ชดุ นั้น
ค่าเฉล่ียจงึ เป็นตัวแทนของขอ้ มลู ชดุ หน่ึง ๆ อาจมีค่าเท่ากับหรือไมเ่ ท่ากับค่ากงึ่ กลางของขอ้ มลู ชุดนน้ั ๆ

ก็ได้
1. การคำนวณหาคา่ มัชฌิมเลขคณติ ของคะแนนท่ไี ม่ไดแ้ จกความถี่ หาไดจ้ ากสตู รท่ี 3.1
สมมติ X1, X2, X3,…Xn เป็นคะแนนของขอ้ มูลชดุ หนึ่ง ซ่ึงมี N จำนวน

มัชฌมิ เลขคณติ ̅ = 1 + 2 + 3+. . . + = ∑ ………………………(3.1)


2. การคำนวณหาคา่ มัชฌิมเลขคณิตของคะแนนทแี่ จกความถี่ หาไดจ้ ากสูตรท่ี 3.2

̅ = 1 1 + 2 2+. . . + = ∑ ………………………(3.2)


= จำนวนความถ่ขี องชน้ั
= จดุ กงึ่ กลางของชน้ั
∑ = ผลรวมของคะแนนท้งั หมด

ใบความรู้รายวชิ า 02-250-205 การควบคมุ คณุ ภาพ Quality Control

หน่วยท่ี 3 การควบคุมคุณภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สัปดาหท์ ี่

3. การคำนวณหาค่ามชั ฌิมเลขคณิตของคะแนนที่แจกความถี่โดยวิธีลัด หาไดจ้ ากสตู รที่ 3.3

̅ = A + i · ∑

∑
ถา้ ให้ E1 =

∴ x̅ = A + iE1 ………………………(3.3)

ถา้ เราสมมตใิ ห้จดุ ก่ึงกลางของชนั้ ใดชน้ั หนึ่ง (โดยมากเลอื กชั้นที่อยกู่ ลาง ๆ ของชดุ ข้อมูล) มีคา่ เปน็ A
เราจะได้ค่า di ของชน้ั นัน้ เปน็ ศนู ย์ ช้นั ที่จุดกึ่งกลางมคี า่ ตำ่ กว่า A และอยู่ตดิ กับ A จะมีคา่ -1, -2,…… เรียง
ตามลำดับจนสิน้ สุด สว่ นชนั้ ที่อย่ตู ิดกับ A แตม่ ีค่าสูงกว่าจะมคี ่าเป็น +1, +2, +3,…… เรยี งไปตามลำดับจนหมด

i = ความกวา้ งของชัน้

3.8 ความเบ่ียงเบนมาตรฐาน ( ̂ )

ข้อมูลหลายชุดท่ีมีค่าเฉล่ยี เท่ากนั ยังบอกไม่ไดว้ ่ามีคุณค่าเทา่ กนั หรอื แตกต่างกัน ต้องทำการวดั ค่าการ

กระจายของขอ้ มูลเหล่าน้ัน วิธีการวดั คา่ การกระจายท่ีนิยมใช้กันมากวธิ หี นงึ่ คือ ความเบ่ียงเบนมาตรฐาน

การคำนวณหาค่าความเบีย่ งเบนมาตรฐานทำได้ดังนี้

สำหรับขอ้ มูลท่ีมจี ำนวนตวั อยา่ งน้อย สำหรับข้อมลู ทีม่ ีจำนวนตวั อย่างมาก

(N ≤ 25) (N ≥ 25)

̂ = √∑(xi−x̅)2 ̂ = √∑(xi−x̅)2

N−1 N

= √N∑X2i −(∑Xi)2 = √ ∑ 2 − ̅2
N(N−1)

ใบความรู้รายวิชา 02-250-205 การควบคมุ คณุ ภาพ Quality Control

หน่วยที่ 3 การควบคุมคุณภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สปั ดาหท์ ี่

สำหรบั ข้อมลู ทีม่ จี ำนวนตัวอย่างมาก เม่ือมกี ารแจกแจงความถ่ี หาไดจ้ ากสตู รท่ี 3.4

̂ = √∑ ⅈ ⅈ2 − ̅ 22 ………………………(3.4)
………………………(3.5)


เม่อื ข้อมลู มีการแจกแจงความถี่โดยวิธีลดั หาไดจ้ ากสตู รท่ี 3.5

̂ = ⅈ ⋅ √ 2 − (∑ 1)2



ถา้ ให้ E2 = 2


σ̂ = ⅈ ⋅ √E2 − E12

σ̂ หมายถงึ ความเบ่ยี งเบนมาตรฐานที่คำนวณไดจ้ ากประชากรท่ีไมท่ ราบค่าการกระจาย

ตัวอย่างท่ี 3.1 การคำนวณหาคา่ เฉล่ีย (x̅) และสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน ( ̂ ) จากข้อมลู ของตารางที่ 4.3
โดยวธิ ีลดั
วธิ ีคำนวณ

เลือกจดุ กงึ่ กลางของช้นั ทีม่ ีค่า = 10.25 เป็นค่า A
ทำใหค้ ่า di ของชั้นนีม้ ีคา่ เปน็ 0 แลว้ เรียงลำดบั คา่ เป็นลบเมอ่ื ค่าจุดกงึ่ กลางของชั้นมคี า่ นอ้ ยกวา่ และมีคา่
เปน็ บวกเมื่อมคี ่ามากกวา่ ชน้ั กึ่งกลางท่ีเลือกเป็น A คำนวณค่าต่าง ๆ ได้ดงั ตาราง 3.5

ใบความรรู้ ายวชิ า 02-250-205 การควบคุมคณุ ภาพ Quality Control

หนว่ ยท่ี 3 การควบคมุ คณุ ภาพกระบวนการโดยอาศยั สถิติ สปั ดาห์ท่ี

ขอบเขตของช้ัน ตารางท่ี 3.5 ข้อมูลการหาคา่ เฉลยี่ โดยวธิ ลี ดั fidi Fidi2
4.75 – 5.75 จุดกึง่ กลาง X fi di -5 25
5.75 – 6.75 -4 16
6.75 – 7.75 5.25 1 -5 -33 99
7.75 – 8.75 6.25 1 -4 -38 76
8.75 – 9.75 7.25 11 -3 -18 18
9.75 – 10.75 8.25 19 -2 00
10.75 – 11.75 9.25 18 -1 29 29
11.75 – 12.75 A = 10.25 40 0 66 132
12.75 – 13.75 11.25 29 1 69 207
13.75 – 14.75 12.25 33 2 52 208
14.75 – 15.75 13.25 23 3 45 225
15.75 – 16.75 14.25 13 4 6 98
16.75 – 17.75 15.25 9 5 14 98
16.25 1 6
17.25 2 7 183 1169

N = 200

หา E1 = ∑ = 183 = 0.915

200
= ∑ 1169 = 5.845
หา E2 =
200
i = 1.00, A = 10.25 (กำหนด)

จากสมการ 3.3; x̅ = A + iE1 = 10.25 + (1.00)(0.915) = 11.165 x 10-3 นิ้ว ตอบ
จากสมการ 3.5; σ̂ = ⅈ ⋅ √E2 − E12 (1.00) = (1.00) √5.845 − (0.915)2 = 2.238 x 10-3 นิว้

ใบความร้รู ายวชิ า 02-250-205 การควบคุมคุณภาพ Quality Control

หน่วยท่ี 3 การควบคุมคุณภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สปั ดาหท์ ่ี

เปรยี บเทียบคา่ เฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่คำนวณไดก้ บั ทีห่ าจากกราฟความถี่สะสม

จากกราฟความถสี่ ะสม จากการคำนวณ

x̅ = 11.15 x̅ = 11.165

σ̂ = 2.35 σ̂ = 2.238

จะพบวา่ ค่าทัง้ 2 มคี ่าใกลเ้ คยี งกัน

3.9 โอกาสหรอื ความนา่ จะเปน็ (PROBABILITY)

เราคงเคยได้ยนิ วา่ “ตอ่ 2 เอา 1 ว่าทีมฟุตบอลไทยชนะ” กรุงเทพฯฝนตก 30% ตวั อย่างดังกลา่ วเปน็

การพูดโดยการคาดคะเนซ่งึ อาจจะมีข้อมลู มาสนับสนนุ อย่างไรกต็ ามมนั ก็เป็นเพยี งโอกาสท่จี ะเกดิ ขน้ึ เทา่ น้ัน

เหตกุ ารณจ์ ริง ๆ ทเี่ กิดขน้ึ อาจไมเ่ ป็นไปตามที่คาดคะเนไว้ก็ได้

คำจำกดั ความทางคณิตศาสตร์

ให้ P [E] = โอกาสทีจ่ ะเกิดเหตุการณ์ E ซงึ่ เป็นเหตกุ ารณใ์ ด ๆ กไ็ ด้

P [E] = หนทางทีจ่ ะเกดิ เหตุการณ์ E
หนทางทงั้ หมดท่ีจะเปน็ ได้

ตัวอย่างเช่น ในการโยนเหรยี ญ 1 อนั โอกาสทเ่ี หรียญจะออกด้านหัว หาไดด้ ังนี้

P [หัว] = หวั หัว = 1
+ กอ้ ย 2

หมายความวา่ โอกาสที่เหรยี ญจะออกด้านหัวมอี ยู่ 1/2
ในการเลน่ ไพ่ โอกาสทจ่ี ะได้ A ดอกจิกมีอยู่ 1/52 เพราะว่าไพห่ นงึ่ สำรบั มี 52 ใบ และ มี A ดอกจิก
เพียงใบเดยี ว

ใบความรู้รายวชิ า 02-250-205 การควบคุมคณุ ภาพ Quality Control

หน่วยที่ 3 การควบคุมคุณภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สปั ดาห์ท่ี

P [A ดอกจิก] = 1

52

คณุ สมบัติโดยท่วั ไปของความนา่ จะเป็น

1) 0 ≤ P [E] ≤ 1 โอกาสที่จะเกิดเหตกุ ารณ์ E มีค่าระหวา่ ง 0 ถึง 1

2) ∑in=1 P [E] = 1 ผลรวมของความนา่ จะเปน็ ท้งั หมดเท่ากับ 1
3) P [not E] = 1 – P [E] โอกาสที่จะเกดิ เหตุการณ์ที่ไมใ่ ช่ E มคี า่ เท่ากับหน่งึ ลบด้วยโอกาส

ที่จะเกิดเหตุการณ์ E

การกระจายของความนา่ จะเป็น (Probability Distributions)

ฮสี โตแกรมทส่ี รา้ งขึ้นมาจากข้อมูลของตัวอย่างไม่สามารถเปน็ ตัวแทนของประชากร (Population)

ฮีสโตแกรมที่สรา้ งขึ้นมาจากแต่ละตัวอยา่ งก็มีผลแตกตา่ งกันไป หน้าตาของประชากรพอจะดูไดจ้ ากตัวอย่าง ถ้า

ตัวอยา่ งน้นั มีจำนวนมากเพยี งพอ แบ่งแทง่ กราฟใหเ้ ป็นรปู แคบ ๆ เราจะสามารถลากเส้นผ่านจุดยอดแท่งกราฟ

ไดเ้ ปน็ เสน้ เรยี บ ๆ ดังรูปที่ 3.5

รปู ท่ี 3.5 ฮสี โตแกรม-จำนวนตวั อยา่ งมาก รปู ที่ 3.6 กราฟการกระจายของความนา่ จะเป็น
(ท่มี า : การควบคุมคุณภาพ หน้าที่ 43, เกษม พิพฒั น์บัญญานุกลู , 2557, กรุงเทพฯ : ทอ้ ป.)

ถ้าเส้นกราฟของฮสี โตแกรมนำมาพลอดเทยี บกบั ความถีส่ มั พัทธ์ (Relative frequency) ดงั รปู ท่ี 3.6
เราจะเรียกรปู นี้วา่ กราฟการกระจายของความน่าจะเปน็ (Probability distribution curve) โดยมแี กนต้ังเปน็
คา่ ความถี่สัมพัทธ์ (ความถีส่ มั พทั ธ์ กำหนดให้ผลรวมของความถที่ ง้ั หมด = 1) พื้นท่ใี ต้โค้งรวมกันเท่ากบั หนึ่ง
หนว่ ยซึ่งแทนความนา่ จะเปน็ ท้ังหมด (Total probability) ดังนน้ั ความน่าจะเปน็ ะยะทางระหวา่ ง 0.182 ถึง
0.185 คือ พ้นื ท่ีส่วนแรเงาของรูปท่ี 3.6 ความนา่ จะเปน็ ในส่วนที่ตอ้ งการนีส้ ามารถหาได้อกี วิธีหน่ึงโดยการ
คำนวณทางคณิตศาสตร์

ใบความรรู้ ายวิชา 02-250-205 การควบคุมคณุ ภาพ Quality Control

หน่วยที่ 3 การควบคมุ คุณภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สัปดาหท์ ี่

3.10 การกระจายของความน่าจะเปน็ แบบนอร์มอล (THE NORMAL PROBABILITY DISTRIBUTION)
การกระจายของความน่าจะเปน็ ท่มี ีรูปเปน็ รปู ระฆังคว่ำเรียกว่า Gaussion or normal curve ดังรูปท่ี

3.7

การกระจายแบบนอร์มอลมีตัววัด หรือพารามิเตอร์ ซึ่งมีอยู่ 2 ตัว คือ ค่าเฉลี่ย ( ) และค่าเบี่ยงเบน

มาตรฐาน ( ) ถา้ ตวั อยา่ งใด ๆ มีคา่ พารามิเตอร์ทั้ง 2 ตวั นีเ้ ท่ากนั การกระจายจะได้กราฟแบบเดียวกัน

รปู ท่ี 3.7 เราแบง่ แกนนอกออกเป็น 6 สว่ นเท่า ๆ กัน แตล่ ะส่วนมขี นาดเท่ากับหน่ึง ตรงกลางเป็น
ค่าเฉลี่ยให้มีค่าเป็น 0 ทางด้านซ้ายของค่าเฉลี่ยมี 3 ส่วนและเป็นค่าลบ ทางด้านขวาของค่าเฉลี่ยมีอีก 3 ส่วน
และเป็นค่าบวก แกนที่แบ่งใหม่นี้เรียกว่า แกนคะแนนมาตรฐาน Z (Standard value, Z) และเรียกกราฟนี้ว่า
กราฟการกระจายแบบนอร์มอลมาตรฐาน หรือเรียกสั้น ๆ ว่าโค้งปกติ ตามทฤษฎีพื้นที่ใต้โค้งปกติระหว่าง

± 3 = 99.73%

รูปท่ี 3.7 โคง้ ปกติมาตรฐาน (Normal curve)
(ที่มา : การควบคุมคุณภาพ หน้าท่ี 44, เกษม พิพฒั น์บัญญานกุ ลู , 2557, กรุงเทพฯ : ทอ้ ป.)

เมื่อค่า และ เปลย่ี นแปลงรปู ของกราฟจะเปลยี่ นไปด้วย เราสามารถที่จะหาความสัมพันธร์ ะหวา่ งตัวแปร
สุ่ม X, คา่ เฉล่ีย , คา่ เบี่ยงเบนมาตรฐาน และคะแนนมาตรฐาน Z ได้จากสูตรที่ 3.6

−
=

ใบความรู้รายวิชา 02-250-205 การควบคมุ คณุ ภาพ Quality Control

หนว่ ยที่ 3 การควบคุมคณุ ภาพกระบวนการโดยอาศยั สถิติ สปั ดาหท์ ่ี

คา่ ของ Z มีคุณสมบตั ติ า่ ง ๆ ดังน้ี
1. เป็นตัวเลขทไี่ ม่มหี นว่ ย
2. เปน็ ตัวเลขท่ีมคี ่าเล็ก 99.73% ของค่า X จะให้คา่ Z อยูร่ ะหว่าง ±3
3. เมอื่ ใชค้ กู่ ับตารางใต้โค้งปกติท่ีมคี า่ X ใด ๆ สามารถหาคา่ Z ได้
4. เมอื่ ทราบค่า Z ก็สามารถจะหาคา่ ความน่าจะเป็นได้ โดยใชค้ ู่กบั ตารางโคง้ ปกติ

ตวั อย่างที่ 4.2 ในการสอบวชิ าการควบคุมคณุ ภาพของนกั ศึกษา 2 แผนก ก. และ ข. โดยใชข้ อ้ สอบทีเ่ ช่อื ถือได้

2 ชุด ปราฎผลดงั นี้

ค่าเฉล่ยี , ค่าเบีย่ งเบนมาตรฐาน,

นักศึกษาแผนก ก. (สอบข้อสอบชดุ ท่ี 1) 90 8

นกั ศกึ ษาแผนก ข. (สอบข้อสอบชุดที่ 2) 90 20

นายแดงเป็นนักศึกษาแผนก ก. สอบได้ 85 คะแนน 90 8

นายเขยี วเป็นนักศึกษาแผนก ข. สอบได้ 85 คะแนน

นายแดงหรอื นายเขยี วเรยี นวิชาน้ไี ดด้ ีกว่ากัน

วิธที ำ แปลงคะแนนของนายแดงและนายเชยี วให้เปน็ คะแนนมาตรฐาน

ให้ Z1 เป็นคะแนนมาตรฐานของนายแดง
Z2 เปน็ คะแนนมาตรฐานของนายเขยี ว

จากสมการ 3.6 ; Z = X− μ
σ
1− 1 2− 2
ดงั นัน้ นายแดงได้ Z1 = 1 และนายเขยี วได้ Z2 = 2

นายแดงได้ X1 = 85, μ1= 90, σ1 = 8

∴ ได้ Z1 = 85−90 = -0.625
8
นายเขียวได้ X2 = 85, μ2= 90, σ2 = 20

∴ ได้ Z2 = 85−90 = -0.250
20

ใบความรู้รายวิชา 02-250-205 การควบคุมคณุ ภาพ Quality Control

หนว่ ยที่ 3 การควบคมุ คุณภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สปั ดาห์ที่

คะแนนมาตรฐานของนายแดง = -0.625
คะแนนมาตรฐานของนายเขยี ว = -0.250

จากรปู จะเห็นวา่ คะแนนมาตรฐานของนายแดงห่างจากคา่ เฉล่ยี (0) ไปทางซา้ ยมือมากกวา่ ของนาย
เขยี ว คือมีค่าลบมากกวา่ คะแนนมาตรฐานของนายเขยี วจงึ มคี ่าสงู กวา่ ของนายแดง แสดงว่านายเขียวมี
ความสามารถในการเรียนวชิ าการควบคมุ คุณภาพไดด้ ีกว่านายแดง

ตัวอยา่ งท่ี 3.3 กำหนดค่าเฉพาะของเสน้ ผา่ ศนู ย์กลางรอบนอกของชนิ้ งานอยา่ งหนงึ่ เปน็ 1.515 ถงึ 1.525 น้วิ
ค่าเฉล่ยี ของประชากร ( ) เปน็ 1.5202 นิว้ และคา่ เบยี่ งเบนมาตรฐาน ( ) เปน็ 0.0020 นว้ิ อยากทราบวา่
ชิ้นงานเหล่าน้ีมีอยู่กี่เปอร์เซน็ ต์ที่อย่ใู นขอบเขตมาตรฐาน

คำนวณค่า Z สำหรับข้อจำกดั บน (X = 1.525)
จาก Z = X− μ

σ

ข้อมลู : X = 1.525, = 1.5202, = 0.0020
∴ Z = 1.525− 1.5202 = 2.40

0.0020

เปิดคา่ Z = 2.40 จาตารางพน้ื ท่ีใตโ้ คง้ ปกติ (ตารางที่ 3.5) ได้คา่ ความน่าจะเป็น = 0.9918
นนั่ คือ P [X ≤ 1.525] = P [Z≤ 2.40] = 0.9918
คำนวณค่า Z สำหรบั ขอ้ จำกัดล่าง (X = 1.515)

ได้ Z = 1.515− 1.5202 = -2.60
0.0020

ใบความรู้รายวิชา 02-250-205 การควบคุมคุณภาพ Quality Control

หนว่ ยที่ 3 การควบคุมคณุ ภาพกระบวนการโดยอาศยั สถิติ สัปดาหท์ ่ี

เปดิ คา่ Z = -2.60 จากตารางพ้ืนทใี่ ต้โค้งปกติ ได้คา่ ความน่าจะเปน็ = 1-0.9953 = 0.0047
นั่นคือ P [X ≤ 1.515] = P [Z ≤ -2.60 ] = 0.0047

ความนา่ จะเป็นท่ีชิ้นงาน X มีค่าระหว่าง 1.515 ถงึ 1.525 = P [Z ≤ 2.40] = P [Z ≤ -2.60 ]
= 0.9918 – 0.0047
= 0.9871

หรอื โอกาสที่ชน้ิ งาน X มีคา่ อย่รู ะหว่าง 1.515 ถึง 1.525 = 0.9871 x 100 = 98.71 %

ใบความรรู้ ายวชิ า 02-250-205 การควบคุมคณุ ภาพ Quality Control

หน่วยที่ 3 การควบคมุ คณุ ภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สัปดาหท์ ี่

ตารางท่ี 3.5 ตารางการกระจายสะสมแบบนอรม์ อล

Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359
.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753
.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141
.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517
.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879

.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224
.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549
.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7704 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852
.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133
.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389

1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621
1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830
1.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .9015
1.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177
1.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9276 .9292 .9306 .9319

ใบความร้รู ายวชิ า 02-250-205 การควบคุมคุณภาพ Quality Control

หนว่ ยท่ี 3 การควบคุมคณุ ภาพกระบวนการโดยอาศยั สถิติ สปั ดาห์ท่ี

ตารางท่ี 3.5 ตารางการกระจายสะสมแบบนอรม์ อล (ตอ่ )

Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9415 .9429 .9441
1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545
1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633
1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706
1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767

2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817
2.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .9857
2.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .9890
2.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9909 .9911 .9913 .9916
2.4 .9918 .9920 .9922 .9925 9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .9936

2.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .9952
2.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .9964
2.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .9974
2.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .9981
2.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .9986

ใบความร้รู ายวชิ า 02-250-205 การควบคมุ คณุ ภาพ Quality Control

หน่วยท่ี 3 การควบคมุ คณุ ภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สปั ดาห์ที่

ตารางท่ี 3.5 ตารางการกระจายสะสมแบบนอรม์ อล (ตอ่ )

Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
3.0 .9987 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .9990
3.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .9993
3.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .9995
3.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9997
3.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998

Z 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 3.090 3.291 3.891 4.417
f(z) .90 .95 .975 .99 .995 .999 .9995 .9995 .999995
2[1-F(z)] .20 .10 .05 .02 .01 .002 .001 .0001 .00001

แบบฝกึ หดั รายวชิ า 02-250-205 การควบคุมคุณภาพ Quality Control

หน่วยท่ี 3 การควบคมุ คณุ ภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สปั ดาหท์ ่ี

แบบฝึกหัด
คำส่ัง ให้นักเรยี น  ข้อทเ่ี ห็นว่าถกู ต้องท่ีสุด
1. วิธสี รา้ งตารางแจกแจงความถี่ ข้อใดไม่ถูกต้อง
ก. นบั จำนวนขอ้ มลู ท้ังหมดได้เทา่ กับ n
ข. ในแตล่ ะแถวหาขอ้ มลู ท่มี ีค่าสงู สดุ เทา่ น้ัน
ค. หาพสิ ัยของขอ้ มลู
ง. หาจำนวนชัน้ และความกวา้ งของแต่ละชน้ั

2. จากตารางข้อมลู ชน้ั ท่ี 10 มคี วามถสี่ ะสมเท่ากบั ข้อใด
ก. 186
ข. 187
ค. 188
ง. 189

3. ข้อใดกล่าวถูกต้องเก่ียวกบั ฮสี โตแกรม
ก. ความกว้างของแตล่ ะแทง่ แทนระยะขอบเขตของช้ันท้ังสอง
ข. ความสูงของแตล่ ะแท่งแผนภมู แิ ทนขนาดของความถ่ีของคะแนนแต่ละ
ช้ัน
ค. ฮีสโตแกรม คือ แผนภมู แิ ท่งชุดหนง่ึ ซงึ่ แสดงลกั ษณะการกระจายของ
ขอ้ มลู
ง. ถูกทุกข้อ

แบบฝกึ หัดรายวชิ า 02-250-205 การควบคุมคุณภาพ Quality Control

หน่วยท่ี 3 การควบคมุ คุณภาพกระบวนการโดยอาศยั สถิติ สัปดาห์ท่ี

4. รปู ของฮสี โตแกรมทส่ี รา้ งขึ้นมาจากข้อมูลใด ๆ รปู ที่ 1 หมายความว่าอย่างไร

ก. การกระจายของข้อมูลกระจายกวา้ งกวา่ ขอบเขตจำกัดทั้งสองด้าน
ข. เปน็ รปู ท่ดี ที ่ีสุด การกระจายอยู่ชว่ งกึง่ กลางและแคบ ท้งั ยงั อยู่ในขอบเขตมาตรฐานที่กำหนดมอี ยใู่ น
จินตนาการเท่าน้นั
ค. การกระจายเบอ้ อกจากกง่ึ กลางเล็กน้อยและมบี างส่วนออกนอกขอ้ กำหนดบน
ง. การกระจายของขอ้ มูลกว้างแตอ่ ยใู่ นขอบเขตท่กี ำหนด

5. จากกราฟความถสี่ ะสม ข้อใดถกู ต้อง

ก. แกนนอน (แกนX) แสดงจำนวนความถี่สะสมที่เป็นเปอรเ์ ซน็ ต์
ข. แกนต้งั (แกนY) แสดงขอบเขตของชน้ั ขอ้ มลู
ค. เป็นกราฟที่แสดงความถีส่ ะสมของคะแนนสูงสุดไปจนถึงคะแนนต่ำสุด
ง. เป็นกราฟทแ่ี สดงความถี่สะสมของคะแนนต่ำสดุ ไปจนถึงคะแนนสงู สดุ

แบบฝกึ หัดรายวชิ า 02-250-205 การควบคุมคุณภาพ Quality Control

หนว่ ยท่ี 3 การควบคุมคุณภาพกระบวนการโดยอาศยั สถิติ สัปดาห์ท่ี

6. จากกราฟในข้อ 5. เมอ่ื ลากเส้นจากความถ่สี ะสม 16% และ 84% มาตัดกราฟความถี่สะสมที่จุด D และ E
ลากเสน้ ต้ังฉากมาตดั แกน X ไดค้ ่าดงั นี้ ทจ่ี ุด 84% ได้ = 13.55 ทจ่ี ดุ 16% = 8.85 จงคำนวณหาคา่ เบ่ียงเบน
มาตรฐาน ( ′)
ก. 2.35 x 10-3 น้ิว
ข. 3.45 x 10-3 นว้ิ
ค. 4.30 x 10-3 น้ิว
ง. 4.39 x 10-3 นิ้ว

7. จงคำนวณหาส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน ( ̅) โดยกำหนด A = 10.25 , E1 = 0.815 , i = 1.00
ก. 11.07
ข. 12.07
ค. 13.07
ง. 14.07

8. จงคำนวณหาส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน ( ̂ ) โดยกำหนด E1 = 0.815 , E2 = 4.845 , i = 1.00
ก. 1.899
ข. 1.911
ค. 2.040
ง. 2.238

แบบฝกึ หดั รายวชิ า 02-250-205 การควบคุมคุณภาพ Quality Control

หนว่ ยท่ี 3 การควบคุมคุณภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สปั ดาหท์ ่ี

9. ในการโยนเหรยี ญ 1 อัน โอกาสทเ่ี หรียญจะออกดา้ นหวั หาไดอ้ ย่างไร

ก. P [หวั ] = หวั ก้อย
+ ก้อย

ข. P [หวั ] = กอ้ ย หวั กอ้ ย
+

ค. P [หัว] = หวั หัว
+หวั

ง. P [หวั ] = หัว หวั
+ กอ้ ย

10. ในการสอบวิชาการควบคุมคุณภาพของนายประทีป ปรากฏผลดงั นี้ ค่าเฉล่ยี , = 80 และค่าเบ่ียงเบน

มาตรฐาน, = 6 ซ่งึ นายประทีปสอบได้คะแนน 75 คะแนน จงหาคะแนนมาตรฐานของนายประทีป
ก. -0.725
ข. -0.833
ค. -0.951
ง. -0.982

เฉลยแบบฝึกหดั รายวิชา 02-250-205 การควบคมุ คณุ ภาพ Quality Control

หนว่ ยที่ 3 การควบคุมคณุ ภาพกระบวนการโดยอาศัยสถิติ สัปดาห์ท่ี

เฉลยแบบฝึกหัด
1. ข.
2. ค.
3. ง.
4. ข.
5. ง.
6. ก.
7. ก.
8. ค.
9. ง.
10. ข.