BAC 2018 (Nombres Complexes)

18 BAC BAC

Magazine NOMBRES COMPLEXES

EXERCICE N°1 : PRINCIPALE SC 45' 5 points

1°) Résoudre dans , l’équation E  :z²  i 3 z 1  0 .

(On donnera les solutions sous forme exponentielle).

2°) Pour tout z  , on pose P z  3z4 7i 3 z3 18z²  7i 3 z  3 .

 a) Vérifier que P i 3 0 et que P  ei    0 .
 3 



b) Montrer que pour tout nombre complexe non nul, P  1   1 Pz .
 z  z4

c) En déduire que les nombres 3 i et ei 2 sont deux solutions de l’équation Pz  0 .
3 3

 3°) Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O,u,v .

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives e i  , 3ei  et ei 2 .
3 3 3

a) Construire les points A, B et C.

b) Construire le point D défini par OD  OA OC et donner son affixe sous la forme cartésienne.

c) La parallèle à la droite BD passant par A coupe la droite OD au point E.

Déterminer l’affixe du point E.

EXERCICE N°2 : CONTROLE SC 40' 4,5 points

 Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v . 3 et 3.

Dans la figure ci-dessous, C et C ' sont deux cercles de même centre O et de rayons respectifs

I– 1°) On considère le point P d’affixe p  2  i .

a) Vérifier que le point P appartient à C .

b) Construire le point P .

c) On désigne par  un argument du nombre p . Donner l’écriture exponentielle de p .

2°) Soit Q le point du cercle C ' tel que  OP     2  . On note q l’affixe du point Q.
 
,OQ



 a) Donner une mesure de l’angle orienté u, OQ .

b) Écrire le nombre complexe q sous forme exponentielle.

c) En déduire que p²  q puis que q  1  2 2 i .

II– On considère dans l’ensemble des nombre complexe, les équations :

E  : 16z²  8z  9  0 et E ' : 16z4  8z²  9  0

1°) a) Montrer que les solutions de l’équation E sont les nombres q et q .
4 4

b) En déduire les solutions de l’équations E ' .

1 Tél : +216 29 862 229 / +216 29 862 464 - Email : [email protected]

2°) a) Construire dans la figure ci-dessous les points images des solutions de E ' .

b) Montrer que ces points sont les sommets d’un rectangle.

EXERCICE N°3 : PRINCIPALE TECH 45' 5 points

Soit dans l’équation E: z²   2i 2 ei   z  4 ei  0.
 12  6



1°) a) Vérifier que : ei 5  ei   ei    ei 2  ei  et que ei 2  ei  i 2 ei 5
12  4 4  3 6 3 6 12



b) Vérifier que z1  2ei  est une solution de l’équation E .
3

c) Trouver alors l’autre solution de z2 de l’équation (E).

d) Écrire chacun des nombres complexes z1 et z2 sous forme cartésienne.

 2°) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé O,u,v , on considère les points A et B

d’affixes respectifs zA  1  i 3 et zB   3  i .
a) Vérifier que zB  i zA .
b) Déduire que le triangle OAB est isocèle rectangle.
c) Construire, dans la figure ci-contre, les points A et B.

   3°) Soit C le point du plan d’affixe zC  1  3  i 1  3 .

a) Montrer que OACB est un carré.
b) Placer le point C.
c) Déterminer la forme exponentielle de zC .

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EXERCICE N°4 : CONTROLE TECH 45' 5,5 points

1°) Résoudre dans , l’équation E1  : z²  2 iz  i  0.

2°) On considère dans , l’équation E  : z3  1 iz²2 z  i  0 .

a) Vérifier que 1 est une solution de E  .

b) Déterminer les nombres complexes a et b tels que :

z3  1 i z²2 z i  z 1z² az  b .

c) En déduire dans , les solutions de l’équation E  .

 3°) Dans Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v , on considère les points A, B et C

d’affixes respectifs zA  3  1 i , zB   3  1 i et zC  1 .
2 2 2 2

a) Mettre chacun des nombres complexes zA et zB sous forme exponentielle.

b) Montrer que les points A et B appartient au cercle de centre O et de rayon 1.

 Construire les points A , B et C dans le repère O,u,v .

4°) Soient les points E et F du plan d’affixes respectives zE  zA 1 et zF  zB 1 .
a) Montrer que OEAC et OFBC sont des parallélogrammes.

b) Construire alors E et F.

c) Vérifier que : ei 5  ei 7  ei 7   ei  1 et ei 13  ei   ei    ei 7 1.
12  12 12  6 12  12 12  6

 

d) Déduire la forme exponentielle de chacune des solutions de l’équation E1 

3 Tél : +216 29 862 229 / +216 29 862 464 - Email : [email protected]