91 KOMPETENSI DASAR: Setelah mengikuti pembelajaran transformasi siswa dapat : 1. Memahami konsep transformasi (dilatasi, translasi, pencerminan, rotasi) menggunakan objek-objek geometri 2. Menerapkan prinsip-prinsip transformasi (dilatasi, translasi, pencerminan, rotasi) dalam memecahkan permasalahan nyata PENGERTIAN TRANSFORMASI Untuk memindahkan satu titik atau bangun pada bidang dapat dilakukan dengan menggunakan transformasi. Transformasi Geometri adalah bagian dari geometri yang membicarakan perubahan, baik perubahan letak maupun bentuk penyajianya didasarkan dengan gambar dan matriks. Transformasi Geometri lebih sering disebut transformasi adalah mengubah setiap koordinat titik (titik-titik dari suatu bangun) menjadi koordinat lainnya pada bidang dengan satu aturan tertentu. Misalnya, transformasi T terhadap titik P(x,y) menghasilkan bayangan P'(x', y') operasi tersebut dapat ditulis sebagai : P( , ) P'( ', ') x y x y → Pernahkah kamu memperhatikan penerbangan suatu pesawat terbang? Pesawat tersebut akan melakukan perpindahan/perubahan letak dari suatu tempat ke tempat yang lain. Tahukah kamu, disebut apakah perubahan letak tersebut ? Dan masih ada perubahan lainnya yang terjadi di lingkungan kita. Untuk menjawabnya, pelajarilah bab ini dengan baik. Sumber : radioglobalmediasuarafm.com
92 Transformasi yang dibicarakan pada bahasan ini adalah mengenai : 1. Translasi ( Pergeseran ) 2. Refleksi ( Pencerminan ) 3. Rotasi ( Perputaran ) 4. Dilatasi ( Perkalian ) A. TRANSLASI ( PERGESERAN ) 1. Pengertian Translasi. Jika kalian amati, maka lampu antena remote, roda depan dan lampu belakang dari mobil-mobilan tersebut bergerak sejauh mobil-mobilan itu berjalan sejauh 1 meter. Arah perpindahan lampu antena dari tempat semula ke tempat yang baru sama dengan arah perpindahan roda depan maupun lampu belakang mobil-mobilan dari tempat semula ke tempat yang baru. Dengan demikian, semua bagian pada mobil-mobilan tersebut berpindah dengan jarak dan arah yang sama. Perhatikan gambar berikut ini ! Gambar 8.2 menunjukkan bidang ABC digeser sampai ke bidang A'B'C'. Setiap titik pada bidang ABC dipindahkan ke suatu titik pada bidang A'B'C' dengan jarak dan arah yang sama, sehingga pergeseran bidang ABC tersebut dapat diwakili oleh segmen garis berarah AA', BB' atau CC'. Pada gambar 8.1 menunjukkan seorang anak mengerakkan sebuah mobil-mobilan dengan menggunakan sebuah alat( remote control ) sejauh 1 meter sepanjang garis lurus. Gambar 8.1. Bermain mobil remote C A B C' B' A' Gambar 8.2
93 Jadi karena suatu pergeseran tertentu maka A A' → , B B' → ,dan C C' → . Jadi AA' = BB' = CC' dan AA' // BB' // CC' maka AB = A'B' , BC = B'C' dan AC= A'C' . Bidang ABC bidang A'B'C' → , maka bangun segitiga ABC dan segitiga A'B'C' tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran (kongruen). Kejadian perubahan letak seperti tersebut di atas inilah yang disebut dengan translasi atau pergeseran. Sifat – sifat Translasi : a. Jika ruas garis AB ditranslasi menjadi A'B' maka AB // A'B' dan panjang AB = A'B' b. Luas benda bayangan sama dengan luas benda asli c. Bayangan benda kongruen dengan benda asal d. Seluruh titik pada benda yang ditranslasi ikut bergerak dalam arah dan jarak yang sama. e. Dua atau lebih translasi yang berangkai dapat diwakili oleh sebuah translasi. Suatu persegi panjang KLMN dengan KL = 4 cm dan LM = 2 cm. a. gambarlahlah bayangan persegi panjang KLMN pada translasi yang diwakili oleh LN ! b. Tentukan panjang K'L' dan L'M' Penyelesaian : a. b. Panjang K'L' = KL = 4 cm dan L'M' = LM = 2 cm. Translasi ( pergeseran ) adalah suatu perpindahan atau pergeseran semua titik pada suatu bidang dengan jarak (besar) dan arah yang sama dan dapat diwakili oleh segmen garis berarah. K N L M 2 cm 4 cm K' N' M' L'
94 1. Nyatakanlah apakah masing-masing pernyataan berikut ini benar atau salah untuk suatu translasi. a. Panjang semua garis pada bangun tidak berubah. b. Semua titik mempunyai bayangan yang jaraknya sama. c. Bangun dan bayangannya kongruen. d. Tidak semua titik bergerak ke arah yang sama. e. Paling sedikit terdapat satu titik yang invarian (tetap). f. Translasi tersebut dapat diwakili oleh suatu ruas/segmen garis berarah. 2. Sebuah kapal berlayar dari A ke B sejauh 50 km dengan sudut jurusan 45o , kemudian dilanjutkan ke C sejauh 75 km dengan sudut jurusan 120o . a. Buatlah gambarnya ( 10 km diwakili 1 cm ) b. Buatlah arahnya bila dibuat satu garis berarah. 3. Suatu segitiga ABC dengan AB = 5 cm, BC = 6 cm, dan AC = 7 cm. Pada suatu translasi dengan panjang 8 cm , A A' → , B B' → ,dan C C' → a. Gambarlah bayangan segitiga ABC dengan translasi tersebut ! b. Tentukan panjang AA', CC', B'C' dan A'C' ! 4. 5. Gambarlah Δ PQR dan bayangannya yang ditranslasi oleh : a. QR P N M K Q L S R T Pada gambar di samping tampak pengubinan jajargenjang. a. Sebutkan empat segitiga yang kongruen b. Sebutkan segitiga-segitiga yang dapat dipetakan ke Δ KPQ dengan suatu translasi dan tunjukkan wakil translasi bagi setiap keadaan.
95 b. 2 QR c. PR dilanjutkan RQ 6. Pada suatu segitga siku-siku ABC diketahui AB = 4 cm, BC = 3 cm, dan AC = 5 cm. Suatu translasi dengan panjang 8 cm, memetakan A P → , B Q → ,dan C R → . a. Gambarlah ABC dan PQR pada translasi itu ! b. Tentukan panjang PQ, QR, PR, AP, dan CR !
96 Secara Notasi dilambangkan : T ( x, y ) P (a,b) P' ( a + x, b + y ) 2. Menyatakan Translasi dengan Pasangan Bilangan Suatu translasi dapat diwakili dengan suatu pasangan bilangan. Pasangan bilangan itu secara umum di tulis dengan T (a,b), dimana a dan b disebut komponen dari translasi. Translasi T (a,b) , artinya menggeser semua titik dengan a satuan mendatar ke kanan (bila positif) atau ke kiri ( bila negatif ) dan b satuan tegak ke atas ( bila positif ) atau ke bawah (bila negatif ). Perhatikan gambar 8.3 3. Menentukan Koordinat Bayangan pada Bidang Cartesius oleh Translasi Tertentu Suatu ABC dengan A(-1,-1), B(3,-2) dan C(1,3). Jika ABC ditranslasi T (- 6,3), maka: a. Gambarlah ABC dan bayangannya b. Tentukan pasangan koordinat titik A', B', dan C'! Penyelesaian : Translasi yang diwakili AB arahnya ke kanan 4 satuan dan ke atas 5 satuan , maka AB = (4, 5) Gambar 8.3 A B Perhatikan gambar 8.4 Jika sebuah titik P (a,b) ditranslasi T (x,y), artinya menggeser absis a sejauh x dan menggeser ordinat b sejauh y, sehingga diperoleh P' ( a + x, b + y). P (a,b) P' (a+x,b+y) x y O X Y Gambar 8.4
97 a.
98 b. ( 6,3) A( 1, 1) A'( 1 ( 6), 1 3) T − − − ⎯⎯⎯→ − + − − + ( 6,3) A( 1, 1) A'( 7,2) T − − − ⎯⎯⎯→ − ( 6,3) B(3, 2) B'(3 ( 6), 2 3) T − − ⎯⎯⎯→ + − − + ( 6,3) B(3, 2) B'( 3,1) T − − ⎯⎯⎯→ − ( 6,3) C(1,3) C'(1 ( 6),3 3) ⎯⎯⎯→ + − + T − ( 6,3) C(1,3) C'( 5,6) ⎯⎯⎯→ − T − 1. Tulislah dalam bentuk pasangan bilangan, translasi-translasi yang diwakili oleh ruas garis berarah AB,CD ,EF ,GH , dan IJ pada gambar di samping ! 2. Gambarlah ruas garis-ruas garis berarah translasi-translasi berikut ini pada kertas berpetak ! a. PR = (5,3) b. TU = (-6,2) c. LM = (4,-4) d. XY = (0,-5) e. VW = (-1,-6) 3. Tentukan koordinat bayangan dari titik-titik : K(2,-1), L(0,4), M(-2,-3) dan N(-4,5) pada translasi T ( -3,1). 4. Diketahui sebuah jajargenjang PQRS dengan P (3,2), Q (8,2), dan R (10,5). a. Tentukan koordinat titik S ! A B C D E F I J H G
99 b. Tentukan koordinat bayangan titik sudut PQRS bila ditranslasi oleh RP . 5. Diketahui suatu translasi A (3, 2) A' (2,5) − → . a. Tuliskan lambang pasangan bilangan untuk translasi tersebut ! b. Tentukan bayangan (-2,1), ( 4,2) dan (-5,-1) pada translasi tersebut! 6. Pada translasi T (-1,-2) , A' (4,1) adalah bayangan A dan B' (2,-3) adalah bayangan B. a. Tentukan koordinat A dan B! b. Sebutkan jajargenjang dalam diagram tersebut! 7. Sebuah kapal laut bergerak 25 km ke Selatan, kemudian bergerak 15 km ke arah Barat Daya. a. Tunjukkan translasi kapal laut tersebut dengan menggunakan gambar. b. Tunjukkan rute terpendek yang akan membawa kapal laut ke posisi akhir yang sama! 8. Kotak catur simbol mendatar dari kiri ke kanan A,B,C, ..., H, dan simbol vertikal 1, 2, 3, ..., 8. a. Kedudukan menteri C2 dipindah miring ( menyudut ) ke kanan sejauh 3 langkah, sebutkan kedudukan menteri sekarang. b. Kedudukan kuda pada G3 akan dipindah ke depan satu ke kiri, sebutkan kedudukan kuda sekarang. 9. Diketahui translasi T1 ( -4,3), T2 ( 5,-1), dan ABC dengan A (2,-2), B (6,-1), dan C (3,3). a. Tentukan T1 + T2 . b. Jika oleh translasi T1 + T2 bayangan dari ABC adalah A'B'C', tetukan koordinat dari A', B', dan C' ! 10. Titik P (a,-7) ditranslasikan berturut-turut T1 (2a+1,-3) dilanjutkan T2 ( -5,b) dan menghasilkan P' (5,3b-2). Tentukan nilai a dan b.
100 B. REFLEKSI ( PENCERMINAN ) 1. Pengertian Refleksi. Sifat-sifat Pencerminan : Untuk memahami sifat-sifat pencerminan perhatikan gambar 8.6 berikut. Perhatikan gambar 8.6 , ABC dicerminkan terhadap garis l menjadi A'B'C' . Gambar 8.5 Pada gambar 8.5 menunjukkan pencerminan bangunan rumah dan pohon-pohon dengan bayangannya dalam air. Terlihat bahwa benda dan bayangan memiliki bentuk yang sama tetapi dalam keadaan terbalik, jarak air ke benda dengan jarak air dengan bayangan memiliki jarak yang sama. Selain itu banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan pencerminan, misalnya kita dapat melihat bayangan sendiri waktu bercermin. B A A' C B' C' l v v II II I I Gambar 8.6
101 Dalam hal ini berlaku : a. AB = A'B' ; BC = B'C' ; dan AC = A'C' b. CAB = C'A'B' ; ABC = A'B'C' ; dan ACB = A'C'B' c. ABC kongruen dengan A'B'C' d. Jarak setiap titik pada benda asli ke cermin sama dengan jarak cermin ke titik pada benda bayangan. e. Titik-titik pada garis l akan tetap ( tidak berpindah ) sehingga disebut titik invarian dan garis l disebut garis invarian. f. Garis yang menghubungkan titik asal dan bayangannya tegak lurus terhadap cermin , A A' tegak lurus garis l ; BB' tegak lurus garis l; CC' tegak lurus garis l dan AA' // BB' // CC' . Penyelesaian : a. Panjang M A' = AM = 2 cm; AA' = 2AM = 4 cm: dan A'B = AB = 3 cm. b. AMB = 90o ; AA'B = 50o : dan A'BM = 90o – 50o = 40 o . 1. Perhatikan gambar berikut ini ! .S Q P a. Gambarlah bayangan titik S pada pencerminan terhadap garis PQ. b. Jika SS' memotong PQ di T dan ST = 2 cm, tentukan panjang SS' c. Berapa derajatkah besar STQ ? Perhatikan gambar di samping, A' adalah bayangan A oleh pencerminan KL. Tentukan : a. Panjang M A', AA' , dan A'B. b. Besar AMB, AA'B, dan A'BM. A A' L K M B 3 cm 50O 2 cm
102 2. Perhatikan gambar berikut ini! 3. P dan Q adalah titik pada garis h . Titik C terletak diluar garis h . Bayangan R pada pencerminan terhadap garis h adalah R'. a. Gambarlah pernyataan di atas. b. Tandailah semua pasangan garis yang sama panjang dan pasangan sudut yang sama besar dalam bangun PRQR'. c. Tentukan garis dan titik invarian! 4. Perhatikan gambar berikut ! 5. Gambarlah persegi panjang KLMN dengan diagonal LN. Gambarlah bayangan persegi panjang tersebut terhadap LN, berilah nama A pada bayangan K dan nama B pada bayangan M. Mengapa KL, LN, dan AB melalui titik yang sama yaitu titik O ? Mengapa titik-titik K, L, M, N, A, dan B semua terletak pada satu lingkaran? Dan sebutkan pusat lingkaran itu! 2. Pencerminan Pada Bidang Koordinat a. Pencerminan terhadap sumbu X Tentukan : a. Panjang AA' , A'B', dan NB'. b. Besar AMN, AA'B', dan A'B'B. A A' L K M B 3 cm 60 O 4 cm B' N 6 cm Pak Hasan dengan tinggi badan 175 cm berdiri di depan cermin datar dengan jarak 2 meter. a. Berapakah tinggi bayangan pak Hasan tersebut? b. Berapakah jarak bayangan terhadap cermin c. Berapa jarak antara pak Hasan dan bayangannya?
103 Gambar 8.7 menunjukkan pencerminan titik A , B, C dan D terhadap sumbu koordinat X Pada pencerminan terhadap sumbu X diperoleh : A(4,3) A'(4, 3) ⎯⎯⎯⎯→ − Csumbu X B ( 2,1) B'( 2, 1) Csumbu X − ⎯⎯⎯⎯→ − − C (2, 5) C'(2,5) Csumbu X − ⎯⎯⎯⎯→ D ( 5, 4) D'( 5,4) Csumbu X − − ⎯⎯⎯⎯→ − Coba kalian amati hasil pencerminan suatu titik yang dicerminkan terhadap sumbu X. Apa yang kalian peroleh ?. Jika suatu titik P (a, b) yang dicerminkan terhadap sumbu X maka bayangannya P' (a,-b). Jika titik P (4,-6) dicerminkan terhadap sumbu X, tentukan koordinat bayangan P Pada pencerminan terhadap sumbu X maka : X P ( , ) P' ( , ) Csumbu a b a b ⎯⎯⎯⎯→ − Gambar 8.7 Y O X A(4,3) . . A'(4,-3) . C (2,-5) B (- 2,1) . . B' (- 2,-1) C' (2,5) . D' (-5,4) . . D (-5,-4)
104 Penyelesaian : X P( , ) P'( , ) Csumbu a b a b ⎯⎯⎯⎯→ − X P(4, 6) P'(4, ( 6)) Csumbu − ⎯⎯⎯⎯→ − − X P(4, 6) P' (4,6) Csumbu − ⎯⎯⎯⎯→ Jadi bayangan titik P (4,-6) adalah P' (4,6). b. Pencerminan terhadap sumbu Y Gambar 8.8 menunjukkan pencerminan titik A , B, C dan D terhadap sumbu koordinat Y Pada pencerminan terhadap sumbu Y diperoleh : A(5,3) A'( 5,3) ⎯⎯⎯⎯→ − Csumbu Y B ( 3,1) B'(3,1) Csumbu Y − ⎯⎯⎯⎯→ C (2, 5) C'( 2, 5) Csumbu Y − ⎯⎯⎯⎯→ − − D ( 4,0) D'(4,0) Csumbu Y − ⎯⎯⎯⎯→ Coba kalian amati hasil pencerminan suatu titik yang dicerminkan terhadap sumbu Y. Apa yang kalian peroleh ? A(5,3) . Gambar 8.8 Y O X . D'(4,0) . C (2,-5) B (- 3,1) . . C' (- 2,-5) B' (3,1) . A' (-5,3) . . D (-4,0)
105 Jika suatu titik P (a, b) yang dicerminkan terhadap sumbu Y maka bayangannya P' (-a,b). Jika titik P (-3,-5) dicerminkan terhadap sumbu Y, tentukan koordinat bayangan P. Penyelesaian : Y P( , ) P'( , ) Csumbu a b a b ⎯⎯⎯→ − Y P( 3, 5) P'( ( 3), 5) Csumbu − − ⎯⎯⎯⎯→ − − − Y P( 3, 5) P' (3, 5) Csumbu − − ⎯⎯⎯⎯→ − Jadi bayangan titik P (-3,-5) adalah P' (3,-5). 1. Pada kertas berpetak, gambarlah R( 3, 6) dan S( 4, -5). a. Gambarlah bayangan R dan S pada pencerminan terhadap sumbu X, kemudian tulislah pasangan koordinatnya! b. Gambarlah bayangan R dan S pada pencerminan terhadap sumbu Y, kemudian tulislah pasangan koordinatnya! 2. Suatu Layang-layang KLMN dengan K(-4,-3), L(6,-3), M(9,2) dan N(-1,2). a. Gambarlah layang-layang KLMN dan bayangannya pada pencerminan terhadap sumbu Y! b. Tulislah koordinat titik-titik sudut bayangannya! 3. Salin dan lengkapilah daftar di bawah ini ! Titik (0,0) (4,0) (0,7) (4,5) (3,-5) (-4,1) (-3,-4) Bayangannya jika direfleksikan terhadap sumbu X .... .... .... .... .... .... .... Bayangannya jika direfleksikan terhadap .... .... .... .... .... .... .... Pada pencerminan terhadap sumbu Y maka : Y P ( , ) P' ( , ) Csumbu a b a b ⎯⎯⎯⎯→ −
106 sumbu Y 4. Diketahui A(2,4), B(0,5), C(-1,-6), D( 3,0) dan E(-4,3). a. Tulislah pasangan koordinat bayangan titik A, B, C, D, dan E pada refleksi terhadap sumbu X dalam bentuk X (0,2) (0, 2) ⎯⎯⎯⎯→ − Csumbu ! b. Titik-titik manankah yang invarian terhadap pemetaan itu? 5. Diketahui suatu persegi panjang ABCD dengan A(2,1), B(6,1), dan C(6,4). a. Tentukan koordinat titik D b. Tulislah koordinat titik-titik bayangan persegi panjang ABCD yang direfleksi terhadap sumbu X dilanjutkan direfleksi terhadap sumbu Y! c. Pencerminan terhadap garis dengan persamaan x = h Gambar 8.9 menunjukkan pencerminan titik P(a,b) terhadap garis dengan persamaan x = h. Bayangan dari titik P(a,b) pada pencerminan ini dinyatakan dengan P' (k,b), karena ordinat titik P sama dengan ordinat titik P' yaitu b. Sedangkan absis titik P' dapat ditentukan dengan cara mencari hubungan antara nilai k terhadap a dan h dengan cara berikut ini : Jika OA = a dan OB = h maka AB = h – a. O Y A X B C x = h a b h - a h b h - a k P (a,b) . P' (k,b) . Gambar 8.9 // //
107 BC = AB = h – a ( sifat pencerminan ) OC = OB + BC k = h + ( h – a ) k = 2h – a Dengan demikian , suatu titik P(a,b) yang direfleksikan atau dicerminkan terhadap x = h , maka diperoleh bayangan P' (2h - a,b). Tentukan hasil pencerminan titik-titik berikut jika : a. Titik P(5,4) dicerminkan terhadap garis x = 3. b. Titik Q(-4,1) dicerminkan terhadap garis x = -5. Penyelesaian : a. P ( , ) P' (2 , ) Cx h a b h a b ⎯⎯⎯→ − = b. Q ( , ) Q' (2 , ) Cx h a b h a b ⎯⎯⎯→ − = 3 P (5,4) P' (2(3) 5,4) ⎯⎯⎯→ − Cx= Q ( 4,1) Q' (2( 5) ( 4),1) Cx= −5 − ⎯⎯⎯→ − − − 3 P (5,4) P' (1,4) ⎯⎯⎯→ Cx= Q ( 4,1) Q' ( 6,1) Cx= −5 − ⎯⎯⎯→ − Jadi P' (1,4). Jadi Q' (-6,1). d. Pencerminan terhadap garis dengan persamaan y = k Pada pencerminan terhadap garis dengan persamaan x = h maka : P ( , ) P' (2 , ) Cx h a b h a b ⎯⎯⎯→ − = Y A C B y = k a b (k – b) c (k – b) k .P (a,b) .P' (a,c) = = a
108 Gambar 8.10 menunjukkan pencerminan titik P(a,b) terhadap garis dengan persamaan y = k. Bayangan dari titik P(a,b) pada pencerminan ini dinyatakan dengan P' (a,c), karena absis titik P sama dengan absis titik P' yaitu a. Sedangkan ordinat titik P' dapat ditentukan dengan cara mencari hubungan antara nilai c terhadap b dan k dengan cara berikut ini : Jika OA = b dan OB = k maka AB = k – b. BC = AB = k – b ( sifat pencerminan ) OC = OB + BC c = k + ( k – b ) c = 2k – b Dengan demikian , suatu titik P(a,b) yang direfleksikan atau dicerminkan terhadap y = k , maka diperoleh bayangan P' (a,2k - b). Tentukan hasil pencerminan titik-titik berikut jika : c. Titik P (2,5) dicerminkan terhadap garis y = 4. d. Titik L (4,-3) dicerminkan terhadap garis y = -1. Penyelesaian : a. P ( , ) P' ( ,2 ) CY K a b a k b ⎯⎯⎯→ − = b. 1 L ( , ) L' ( ,2 ) CY a b a k b ⎯⎯⎯→ − = − Pada pencerminan terhadap garis dengan persamaan y = k maka : P ( , ) P' ( ,2 ) Cy k a b a k b ⎯⎯⎯→ − =
109 4 P (2,5) P' (2,2(4) 5) ⎯⎯⎯→ − CY = 1 L (4, 3) L' (4, 2( 1) ( 3)) Cy= − − ⎯⎯⎯→ − − − 3 P (2,5) P' (2,3) ⎯⎯⎯→ Cx= 1 L ( 4,1) L' (4,1) Cy= − − ⎯⎯⎯→ Jadi P' (2,3). Jadi L' (4,1). 1. a. Gambarlah titik A(2,3) dan B(-5,-1) serta bayangannya, yaitu A' dan B', pada pencerminan terhadap garis x = 3 b. Dari gambar tulislah pasangan koordinat A' dan B' c. Tentukan koordinat A' dan B' dengan menggunakan rumus! 2. Salin dan lengkapilah daftar di bawah ini ! Titik (0,0) (3,0) (0,5) (6,3) (1,-5) (-3,2) (-4,-7) Bayangannya jika direfleksikan terhadap garis x = -2 .... .... .... .... .... .... .... Bayangannya jika direfleksikan terhadap garis y = 4 .... .... .... .... .... .... .... 3. Tentukan koordinat bayangan titik P( 3, -4) jika dicerminkan terhadap garis y = -3, kemudian dicerminkan lagi terhadap garis y = 5. 4. Bayangan titik D(1,5) pada pencerminan garis x = h adalah D'(-9,5). Tentukan nilai h. 5. Diketahui suatu segitiga ABC dengan A(-1,3), B(4,-2), dan C(2,5). Tulislah koordinat titik-titik bayangan segitiga ABC yang direfleksi terhadap garis y = 5 dilanjutkan direfleksi terhadap garis x = -2! e. Pencerminan terhadap garis dengan persamaan x = y Y O X . A(4,2) A'(2,4) . B (- 3,5) . C' (-4,1) . x = y
110 Gambar 8.11 menunjukkan pencerminan titik A , B, C dan D terhadap garis x = y. Pada pencerminan terhadap garis x = y diperoleh : A(4,2) A'(2,4) ⎯⎯⎯→ Cx y = B ( 3,5) B'(5, 3) Cx y = − ⎯⎯⎯→ − C (1, 4) C'( 4,1) Cx y = − ⎯⎯⎯→ − D ( 4, 3) D'( 3, 4) Cx y = − − ⎯⎯⎯→ − − Jadi jika suatu titik P (a, b) yang dicerminkan terhadap garis x = y maka bayangannya P' (b,a). Jika titik P (3,-4) dicerminkan terhadap garis x = y, tentukan koordinat bayangan P. Penyelesaian : P( , ) P'( , ) Cx y a b b a ⎯⎯⎯→= P(3, 4) P'( 4,3) Cx y = − ⎯⎯⎯→ − Jadi bayangan titik P (3,-4) adalah P' (-4,3). f. Pencerminan terhadap garis dengan persamaan x = -y Pada pencerminan terhadap garis x = y maka : P ( , ) P' ( , ) Cx y a b b a ⎯⎯⎯→=
111 Gambar 8.12 menunjukkan pencerminan titik A , B, C dan D terhadap garis x = -y. Pada pencerminan terhadap garis x = -y diperoleh : A(3,2) A'( 2, 3) ⎯⎯⎯→ − − Cx y =− B ( 3,4) B'( 4,3) Cx y =− − ⎯⎯⎯→ − C (1, 4) C'(4, 1) Cx y =− − ⎯⎯⎯→ − D (2,5) D'( 5, 2) ⎯⎯⎯→ − − Cx y =− Jadi jika suatu titik P (a, b) yang dicerminkan terhadap garis x = -y maka bayangannya P' (-b,-a). Jika titik P (4,-6) dicerminkan terhadap garis x = -y, tentukan koordinat bayangan P. Penyelesaian : Pada pencerminan terhadap garis x = -y maka : P ( , ) P' ( , ) Cx y a b b a ⎯⎯⎯→ − − =− . A(3,2) A'(-2,-3) . . C (1,-4) B (- 3,4) . . B' (-4,3) . C' (4,-1) D (2,5) . D'(-5,-2). Gambar 8.12 x = -y Y O X
112 P( , ) P'( , ) Cx y a b b a ⎯⎯⎯→ − − =− P(4, 6) P'( ( 6), 4) Cx y =− − ⎯⎯⎯→ − − − P(4, 6) P'(6, 4) Cx y =− − ⎯⎯⎯→ − Jadi bayangan titik P (4,-6) adalah P' (6,-4). 1. a. Pada bidang koordinat, gambarlah garis dengan persamaan x = y dan x = -y . b. Gambarlah titik P (-3, 5) dan bayangannya pada pencerminan terhadap garis x = y dan x = -y. c. Tulislah koordinat bayangan titik P tersebut. 2. Salin dan lengkapilah daftar di bawah ini ! Titik (0,0) (5,0) (0,2) (4,4) (2,-6) (-4,1) (-2,-5) Bayangannya jika direfleksikan terhadap garis x = y .... .... .... .... .... .... .... Bayangannya jika direfleksikan terhadap garis x = -y .... .... .... .... .... .... .... 3. Bayangan titik A(-8,9) pada pencerminan terhadap garis x = y adalah A'(a,b). Tentukan nilai a dan b! 4. Titik R ' ( -6, 7) adalah bayangan dari titik R(p,q) yang dicerminkan terhadap garis x = -y. Tentukan nilai p dan q 5. Diketahui ABC dengan A(2,3), B(2,-2) dan C(-3,4). a. Tentukan koordinat bayangan ABC bila dicerminkan terhadap garis x = y ! b. Tentukan koordinat bayangan ABC bila dicerminkan terhadap garis x = -y ! c. Tentukan koordinat bayangan ABC bila dicerminkan terhadap garis x = y ,kemudian dilanjutkan terhadap x = -y!
113 d. Tentukan koordinat bayangan ABC bila dicerminkan terhadap garis x = y ,kemudian dilanjutkan terhadap x = -y! e. Apakah hasil pertanyaan c dan d sama?
114 C. ROTASI ( PERPUTARAN ) 1. Pengertian Rotasi Rotasi atau perputaran sebagai transformasi semua titik pada bidang , yang masingmasing bergerak sepanjang busur lingkaran yang berpusatkan pada pusat rotasi. Setiap rotasi pada bidang datar ditentukan oleh tiga hal, yaitu sebagai berikut : a. Pusat rotasi Pusat rotasi sebagai titik tetap dalam menentukan arah dan besar rotasi. b. Jauh Rotasi ( besar rotasi ) Jauh rotasi ditentuka oleh besar sudut rotasi. Jauh rotasi dapat berupa pecahan setelah dibandingkan dengan putaran penuh ( 3600 ), antar lain : • + 90o ( A C, B D, C A, D B → → → → putaran berlawan arah jarum jam ) • - 90o ( 1 4 putaran searah arah jarum jam ) • + 180o ( 1 2 putaran berlawan arah jarum jam ) • + 270o ( 3 4 putaran berlawan arah jarum jam ) • - 270o ( 3 4 putaran searah arah jarum jam ) c. Arah Rotasi (searah atau berlawanan arah putran jarum jam ) Jika arah berlawanan jarum jam maka sudut putarnya positif (+), jika searah jarum jam maka sudut putarnya negatif (-). Gambar 8.13 Gambar 8.13 menunjukkan suatu rolling coaster / kemudi putar yang dapat melakukan perputaran, sehingga terjadi perubahan letak antara keranjang yang satu dengan yang lain. Masih ada contoh lain disekitar kita perubahan letak dengan perputaran, seperti perputaran jam diniding, perputaran roda , perputaran planet, dll. Mari kita bahas lebih lanjut dalam materi ini. Rotasi ( perputaran ) adalah transformasi semua titik pada bidang yang masing-masing bergerak sepanjang busur lingkaran yang berpusat pada pada pusat rotasi.
115 Suatu persegi panjang ABCD kedua diagonalnya berpotongan di O. Tulislah hasil titik –titik A, B, C dan D jika diputar dengan pusat O sejauh 180o ! Penyelesaian : Hasil ABCD yang dirotasi 180o dengan pusat O sebagai berikut : A C, B D, C A, D B → → → → . 1. Suatu persegi panjang ABCD dan kedua diagonalnya berpotongan di O. Gambarlah bayangan ABCD jika diputar 90o ke arah positif dengan pusat berikut ! a. O b. A c. B d. C e. D 2. Perhatikan gambar berikut ! Pada gambar di samping , sudut-sudut pada sama besar. Jika pada rotasi yang berpusat di O, E H → , tentukan hasil dari : a. A d. OG b. Q e. AB c. S f. RS 3. Buatlah OAB. Putarlah OAB dengan pusat O sejauh o berlawanan jarum jam. Jika A A' → dan B B' → , tentukan berikut ini! a. Bayangan dari AB. b. Bayangan dari OAB c. Segitiga yang kongruen D O C A B 180o U H G F E D C B T A S R Q P O W V
116 4. Gambar di bawah ini menunjukkan rotasi yang memetakan persegi panjang OABC ke OA'B'C' . a. Terangkanlah arah rotasinya! b. Tentukan besar rotasinya! c. Tulislah ruas garis-ruas garis yang sama panjang. d. Tulislah sudut-sudut yang sama besar e. Apakah yang dapat kamu simpulkan tentang persegi panjang OABC ke OA'B'C'. f. Titik manakah yang invarian pada rotasi tersebut? 5. Perhatikan gambar berikut ini! Pada gambar di samping, rotasi dengan pusat O memetakan segitiga sama sisi KLM ke K'L'M', sedemikian hingga M'L'//ML. Berapakah besar sudut rotasi dari : a. KM K'M' → b. KL K'L' → c. → KLM K'L'M'. A C O B C' A' B' . O M K L M' L' K'
117 2. Rotasi Pada Bidang Cartesius a. Rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 90o . Gambar 8.14 menunjukkan rotasi (perputaran) 90o titik A dan B dengan pusat rotasi O(0,0). Pada rotasi 90o titik A dan B dengan pusat rotasi O(0,0) diperoleh : ( (0,0),90 ) A(4, 2) A '( 2, 4) o O R ⎯⎯⎯⎯→ − ( (0,0),90 ) B( 2, 3) B'(3, 2) o O R − − ⎯⎯⎯⎯→ − Dari hasil di atas maka dapat disimpulkan bahwa : Gambar 8.14 Y O X . A(4,2) A'(-2,4) . B (--2,-3). . B' (3,-2) 90o 90o Pada perputaran atau rotasi 90o dengan pusat rotasi O(0,0) maka : ( (0,0),90 ) P ( , ) P' ( , ) o O R a b b a ⎯⎯⎯⎯→ − Hasil perputaran atau rotasi 90o dengan pusat rotasi O(0,0) sama dengan hasil perputaran atau rotasi -270o dengan pusat rotasi O(0,0) atau ( (0,0), 270 ) P ( , ) P' ( , ) o O R a b b a ⎯⎯⎯⎯⎯→ − −
118 Jika titik P (3,-5) dirotasi 90o dengan pusat rotasi O(0,0), tentukan koordinat bayangan P. Penyelesaian : ( (0,0),90 ) P( , ) P '( , ) o O R a b b a ⎯⎯⎯⎯→ − ( (0,0),90 ) P(3, 5) P '( ( 5),3) o O R − ⎯⎯⎯⎯→ − − ( (0,0),90 ) P(3, 5) P '(5,3) o O R − ⎯⎯⎯⎯→ Jadi bayangan titik P (3,-5) adalah P' (5,3). b. Rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh -90o . Gambar 8.15 menunjukkan rotasi (perputaran) -90o titik A dan B dengan pusat rotasi O(0,0). Pada rotasi -90o titik A dan B dengan pusat rotasi O(0,0) diperoleh : ( (0,0), 90 ) A(4,2) A'(2, 4) o O R ⎯⎯⎯⎯⎯→ − − ( (0,0), 90 ) B( 2, 3) B'( 3, 2) o O R − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ − Dari hasil di atas maka dapat disimpulkan bahwa : Gambar 8.15 Y O X . A(4,2) . A'(2,-4) . B (- 2,-3) B' (-3,2) . -90o -90o
119 Jika titik P (-4,-2) dirotasi -90o dengan pusat rotasi O(0,0), tentukan koordinat bayangan P. Penyelesaian : ( (0,0), 90 ) P( , ) P '( , ) o O R a b b a ⎯⎯⎯⎯⎯→ − − ( (0,0), 90 ) P( 4, 2) P ' ( 2, ( 4)) o O R − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ − − − ( (0,0), 90 ) P( 4, 2) P '( 2, 4) o O R − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ − Jadi bayangan titik P (-4,-2) adalah P' (-2,4). Pada perputaran atau rotasi -90o dengan pusat rotasi O(0,0) maka : ( (0,0), 90 ) P ( , ) P' ( , ) o O R a b b a ⎯⎯⎯⎯⎯→ − − Hasil perputaran atau rotasi -90o dengan pusat rotasi O(0,0) sama dengan hasil perputaran atau rotasi 270o dengan pusat rotasi O(0,0) atau ( (0,0),270 ) P ( , ) P' ( , ) o O R a b b a ⎯⎯⎯⎯⎯→ −
120 c. Rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 180 o Gambar 8.16 menunjukkan rotasi (perputaran) 180 o titik A dan B dengan pusat rotasi O(0,0). Pada rotasi 180 o titik A dan B dengan pusat rotasi O(0,0) diperoleh : ( (0,0),180 ) A(4,2) A'( 4, 2) o O R ⎯⎯⎯⎯⎯→ − − ( (0,0),180 ) B(3, 2) B'( 3, 2) o O R − ⎯⎯⎯⎯⎯→ − Dari hasil di atas maka dapat disimpulkan bahwa : Gambar 8.16 Y O X . A(4,2) . A'(-4,-2) . B (3,-2) B' (-3,2) . 180o 180o Pada perputaran atau rotasi 180 o dengan pusat rotasi O(0,0) maka : ( (0,0),180 ) P ( , ) P' ( , ) o O R a b a b ⎯⎯⎯⎯→ − − Pada perputaran atau rotasi -180o dengan pusat rotasi O(0,0) akan memperoleh bayangan yang sama dengan perputaran atau rotasi 180o dengan pusat rotasi O(0,0) hanya arahnya perputarannya searah dengan perputaran jarum jam. ( (0,0), 180 ) P ( , ) P' ( , ) o O R a b a b ⎯⎯⎯⎯⎯→ − − −
121 Jika titik P (-3,7) dirotasi 180 o dengan pusat rotasi O(0,0), tentukan koordinat bayangan P. Penyelesaian : ( (0,0),180 ) P( , ) P '( , ) o O R a b a b ⎯⎯⎯⎯⎯→ − − ( (0,0),180 ) P( 3, 7) P ' ( ( 3), 7) o O R − ⎯⎯⎯⎯⎯→ − − − ( (0,0),180 ) P( 3, 7) P '(3, 7) o O R − ⎯⎯⎯⎯⎯→ − Jadi bayangan titik P (-3,7) adalah P' (3,-7). 1. Salin dan lengkapilah daftar di bawah ini ! 2. Segitiga ABC dengan titik A(-3,-2), B(4,-2) dan C(-4,-5) . a. Gambarlah ABC dan bayangannnya pada rotasi 90o dengan pusat O(0,0). b. Tulislah koordinat bayangan ABC tersebut! 3. Suatu layang –layang KLMN dengan K(-2,8), L(-4,6), M(-2,0), dan N(0,6). a. Gambarlah layang –layang KLMN dan bayangannya pada rotasi -90o dengan pusat M . b. Tentukan koordinat titik-titik bayangannya. 4. Gambarlah persegi OABC dengan O(0,0) dan B(-5,5). OB sebagai diagonal persegi OABC. a. Tentukan koordinat A dan C ! b. Tentukan koordinat bayangan persegi OABC oleh rotasi [O,1800 ] Titik (0,0) (5,0) (0,2) (4,4) (2,-6) (-4,1) (-2,-5) Bayangannya jika dirotasi (O,900 ) .... .... .... .... .... .... .... Bayangannya jika dirotasi (O, - 900 ) .... .... .... .... .... .... .... Bayangannya jika dirotasi (O,1800 ) .... .... .... .... .... .... .... Bayangannya jika dirotasi (O,2700 ) .... .... .... .... .... .... ....
122 5. Segitiga PQR setelah dirotasi [O,90o ] bayangannya adalah P'Q'R' dengan P'(-3,2), Q'(2,-1) dan R'(2,4). Tentukan koordinat titik-titik P, Q dan R sebelum rotasi ! 6. Suatu titik A ( -3,4) dirotasi [O, o ] memperoleh bayangan A'(3,-4). a. Tentukan besar rotasi o ! b. Tentukan bayangan titik-titik B( -4,-6), C( 2,-5) dan D( 6,8) dirotasi dengan [O, o ]. 7. Pada kran sebuah bak mandi, jika dibuka penuh ( 360o ) maka kecepatan airnya 1 m2 /jam, jika dibuka setengah putaran kecepatan airnya 0,5 m2 /jam, jika seperempat putaran kecepatan airnya 0,25 m2 /jam, dan seterusnya. Supaya lebih irit penggunaan air leding kran tersebut tidak pernah dimatikan, tetapi hanya dibuka kurang lebih 5o . Pada waktu sehari semalam, berapa m2 air yang dikeluarkan?
123 c. DILATASI ( PERKALIAN ) 1. Pengertian Dilatasi Untuk mempelajari lebih lanjut tentang dilatasi coba kalian perhatikan gambar 8. 18 menunjukkan proyektor O yang memperbesar PQR menjadi P'Q'R' pada layar. Proyektor O yang memperbesar 3 kali PQR menjadi P'Q'R' pada layar. Hal ini berarti bahwa : P'Q' Q'R' P'R' OP' OQ' OR' 3 dan 3 PQ QR PR OP OQ OR = = = = = = . Oleh karena PQR dperbesar menjadi 3 kali, maka 3 disebut skala pembesaran dan O disebut pusat perbesaran. Peristiwa memperbesar atau memperkecil suatu bangun seperti contoh di atas disebut dilatasi atau perkalian, karena tiap sisi dari suatu bangun dikalikan dengan suatu bilangan tertentu yang disebut faktor skala, dan dilambangkan dengan k. Untuk memperbesar atau memperkecil bangun, letak pusat dilatasi dapat di dala, di luar atau ditepi suatu bangun yang akan didilatasikan. Pada gambar 8.17 menunjukkan model mobil dan mobil sebenarnya. Ukuran dan bentuk mobil sebenarnya tentu lebih besar beberapa kali dari bentuk modelnya. Keadaan ini dalam matematika disebut dilatasi atau perkalian. Gambar 8.17 Dilatasi adalah transformasi bidang yang memetakan setiap titik P ke titik P' pada suatu bidang tertentu sehingga OP' OP = k dengan O sebagai pusat dilatasi dan k faktor skala. jarak dari pusat dilatasi ke titik hasil P' Faktor skala= jarak dari pusat dilatasi ke titik asal P Dilatasi (perkalian) dengan pusat O dan faktor skala k dapat dinyatakan dengan notasi [O,k]. Jika k > 0 ( k positif ) , maka OP' dan OP searah sebesar k kali, dan jika k < 0 ( k negatif ) , maka OP' dan OP berlawan arah sebesar k kali O Gambar 8.18 R Q P R' Q' P'
124 Salinlah gambar di samping! a. Gambarlah hasil dilatasi dengan faktor skala 2 dan pusat O b. Gambarlah hasil dilatasi dengan faktor skala 1 2 − dan pusat O Penyelesaian : a. b. 1. M L M' K' L' K O M K L O . L M K O M' L' K' O P P' (a) O P' P (b) P' O P (c) P O P' (d)
125 Gambar di atas menunjukkan dilatasi dengan pusat O, sehingga OP' OP = k . Berapakah nilai k untuk masing-masing gambar tersebut ? 2. 3. 4. Karena dilatasi yang berpusat O maka A A' → dan B B' → . Gambarlah dilatasi untuk masing-masing soal di bawah ini. a. OA' 2OA = c. 2 OB' OB 5 = e. DE' 3DE = − b. 1 OA ' OA 2 = d. 5 OB OB' 2 = − f. 5 DE DE ' 2 = 5. Gambarlah persegi panjang RSTU sembarang pada kertas berpetak. Dilatasikan persegi panjang tersebut oleh : . O . O Salinlah bangun pada gambar di samping , kemudian buatlah sebagai berikut ! a. Pengecilannya dengan menggunakan pusat O dan faktor skala 1 2 b. Pembesaran dengan menggunakan pusat O dan faktor skala 2 (i) (ii) Salinlah bangun pada gambar di samping, kemudian tentukan : a. Pusat dilatasi b. Faktor dilatasi
126 a. [ R, 2 ] b. [ T, 1 2 − ] 3. Menentukan Koordinat Bayangan suatu titik pada Bidang Cartesius oleh Dilatasi dengan Pusat O(0,0) dan Faktor Skala k ( k bilangan bulat, k 0). Telah dipelajari bahwa pada dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k, jika : a. k > 0 ( positif ) maka arah bayangan searah dengan bangun semula, dan b. k < 0 ( negatif ) maka arah bayangan berlawanan arah dengan bangun semula. Diketahui segitiga ABC dengan A(2,1) , B(1,-2) dan C(-1,3). Gambarlah bayangan segitiga ABC jika dilatasi dengan [O,2] dan tuliskan koordinat bayangan A,B dan C. Penyelesaian : Jadi : [ ,2] A(2,1) A'(4,2) ⎯⎯⎯→ D O [ ,2] B(1, 2) B'(2, 4) D O − ⎯⎯⎯→ − [ ,2] C( 3,3) C'( 6,6) D O − ⎯⎯⎯→ − . A(2,1) . B(1,-2) . C(-3,3) X Y O A' (4,2) . . B' (2,-4) C' (-6,6) .
127 Dari contoh di atas maka dapat disimpulkan bahwa : 1. Salin dan lengkapilah daftar di bawah ini ! Titik (0,0) (6,0) (0,3) (3,3) (3,-9) (-6,3) (-9,-6) Bayangannya jika didilatasi [O,3] .... .... .... .... .... .... .... Bayangannya jika didilatasi [O ,-3] .... .... .... .... .... .... .... Bayangannya jika didilatasi [O, 2 3 ] .... .... .... .... .... .... .... Bayangannya jika didilatasi [O, 2 3 − ] .... .... .... .... .... .... .... 2. Segitiga ABC dengan A(-3,-2), B(4,-2) dan C(6,4). Tentukan : a. Koordinat bayangan pada dilatasi [O,2] b. Perbandingan luas sebelum dan sesudah dilatasi 3. Suatu belah ketupat PQRS dengan P(-2,-2),Q(6,2), R(10,10) , dan S(2,6). a. Gambarlah belah ketupat PQRS tersebut pada kertas berpetak ! b. Gambarlah P'Q'R'S' sebagai bayangan dari belah ketupat PQRS yang didilatasi [O, 1 2 − ] Pada dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k maka : [ , ] P ( , ) P' ( x , x ) D O k a b k a k b ⎯⎯⎯→ Pada dilatasi dengan pusat A(p,q) dan faktor skala k maka : [ ( , ), ] P ( , ) P' ( ( ), ( ) ) D A p q k a b p k a p q k b q ⎯⎯⎯⎯→ + − + −
128 c. Tulislah koordinat-koordinat P'Q'R'S'! 4. Titik sudut-titik sudut bayangan bangun persegi adalah O(0,0), R'(12,0), dan T' (0,12). a. Gambarlah bayangan tersebut dengan mencari terlebih dahulu letak titik S'. b. Gambarlah persegi ORST, sehingga OR' = 2 OR, OS' = OS, dan OT' = OT. c. Tulislah koordinat-koordinat titik R, S dan T. 5. Suatu persegi panjang ABCD dengan A(6,0), B(12,0), C(12,8) dan D(6,8) ! a. Gambarlah ABCD dan P adalah titik perpotongan diagonal persegi panjang tersebut! b. Gambarlah A'B'C'D' yang merupakan bayangan dari ABCD yang didilatasi dengan pusat P dan faktor skala 1 2 ! c. Tulislah koordinat A'B'C'D'!
129 Rangkuman 1. Translasi adalah suatu perpindahan semua titik pada suatu bidang dengan jarak dan arah yang sama 2. Pada translasi atau pergeseran tiap bangun adalah kogruen dengan bayangannya . 3. Pada translasi AB BC AC + = . 4. Pada translasi jika P(a,b) ditranslasi T(x,y) maka bayangannya P'(a+x , b+y). 5. Pada refleksi atau pencerminan tiap-tiap bangun adalah kogruen dengan bayangannya 6. Pada Refleksi ( pencerminan ) : a. Terhadap sumbu x, jika P(a,b) maka bayangannya P' (a,-b). b. Terhadap sumbu y, jika P(a,b) maka bayangannya P' (-a,b). c. Terhadap garis x = h, jika P(a,b) maka bayangannya P' (2h - a,b). d. Terhadap garis y = k, jika P(a,b) maka bayangannya P' (a,2k - b). e. Terhadap x = y, jika P(a,b) maka bayangannya P' (b,a). f. Terhadap x = - y, jika P(a,b) maka bayangannya P' (-b,-a). 7. Pada rotasi atau perputaran pada suatu bangun ditentukan oleh pusat rotasi, besar sudut dan arah rotasi. 8. Pada rotasi atau perputaran tiap-tiap bangun adalah kogruen dengan bayangannya 9. Pada rotasi : a. [O, o ] artinya rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh o , jika positif berlawanan arah dengan jarum jam dan jika negatif searah dengan jarum jam. b. Jika P(a,b) dirotasi [O,90o ] maka bayangannya P' (-b,a). c. Jika P(a,b) dirotasi [O,-90o ] maka bayangannya P' (b,-a). d. Jika P(a,b) dirotasi [O,180o ] maka bayangannya P' (-a,-b). 10. Pada dilatasi atau perkalian bangun dengan bayangannya adalah sebangun dan sisi-sisi yang bersesuaian sejajar. 11. Pada dilatasi yang berpusat di O dan faktor skala k ditulis [O,k]. 12. Pada dilatasi : a. Jika P(a,b) dilatasi [O,k] maka bayangannya P' (ka,kb). b. Jika P(a,b) dilatasi dengan pusat A(p,q) dan skala k atau [A,k] maka bayangannya P' (p+k(a-p) , q+k(b-q)).
130 A. Pilihlah jawaban yang paling tepat ! 1. Bayangan titik P ( -5,-6) oleh translalsi T(6,8) adalah ... . A. A' (0,2) B. A' (1,2) C. A' (1,-14) D. A' (-11,2) 2. Bayangan titik ( 4,-3) oleh translasi T1(5,-7) dilanjutkan T2(-8,3) adalah ... . A. (1,-7) B. (1,7) C. (-1,-7) D. (-1,7) 3. Titik A ditranslasi berturut-turut oleh T1(3,-1) dan T2(5,4) menghasilkan bayangan A'(12,9). Koordinat titik A adalah ... . A. ( -4,-6) B. (-4,6) C. (4,6) D. (4,14) 4. Translasi yang memindahkan titik A(5,2) ke A' (-5,-2) adalah ... . A. T(0,4) B. T(-4,-10) C. T(0,2) D. T(-10,-4) 5. Titik P (a,2b-3) ditranslasikan berturut-turut T1 (3a+2,2) dilanjutkan T2 ( -2a,-6) dan menghasilkan P' (6,3b-4). Nilai a dan b berturut-turut adalah ... . A. 2 dan 3 B. 2 dan -3 C. -3 dan 2 D. -3 dan -2 6. Bayangan titik P (3,-7) yang dicerminkan terhadap sumbu x adalah ... . A. P' (-3,-7) B. P' (-3,7) C. P' (3,7) D. P' (-7,3) 7. Bayangan titik A (3,4) yang dicerminkan terhadap garis x = -3 adalah ... . A. A' (-3,-4) B. A' (-3,4) C. A' (9,-4) D. A' (-9,4) 8. Jika titik R( -2,-3) dicerminkan berturut-turut terhadap sumbu y dilanjutkan garis y = -5 adalah .... A. R'' (-2,-7) B. R'' (2,-7) C. R'' (-2,-10) D. R'' (2,-10) 9. Koordinat bayangan titik K (3,4) jika dicerminkan terhadap garis x = 5 kemudian dicerminkan terhadap x = -y adalah ... . A. K'' (-4,-7) B. K'' (-7,-4) C. K'' (-4,7) D. K'' (7,-4) 10. Jika titik A(4,-6) berturut-turut dicerminkan terhadap garis x= y dilanjutkan ditranslasi T(4,-2) adalah .... A. A'' (-2,-2) B. A'' (2,-2) C. A'' (-2,2) D. A'' (2,2) 11. Bayangan titik D (-5,7) oleh rotasi [O,-90o ] adalah ... . A. D' (-7,-5) B. D' (-7,5) C. D' (7,5) D. D' (7,-5) 12. Bayangan titik P setelah dirotasi dengan [O,180o ] adalah P' (6,-10) maka koordinat titik P adalah ... .
131 A. (-6,10) B. (-6,-10) C. (10,-6) D. (-10,-6) 13. Titik M(5,-2) dicerminkan terhadap sumbu x, kemudian dilanjutkan dengan rotasi [O,90o ] maka koordinat bayangannya adalah ... . A. (-2,-5) B. (2,5) C. (-2,5) D. (2,-5) 14. Titik A(5,1) dirotasi dengan [O,180o ], kemudian dilanjutkan dengan translasi T(-4,3) maka koordinat bayangannya adalah ... . A. (-5,-2) B. (-9,4) C. (-9,2) D. (1,-2) 15. Titik G ( 5,-2) dirotasi [O,ao ] memperoleh bayangan G' (-2,-5). Nilai ao adalah ... . A. 180o B. 90 o C. -90o D. -270o 16. Gambar di atas OP' = k OP, maka nilai k adalah ... . A. 3 2 B. 2 3 C. 2 3 − D. 3 2 − 1 PR 2 17. Segitiga ABC dengan ukuran AB = 3 cm, AC = 4 cm dan BC = 5 cm. Jika segitiga ABC tersebut didilatasi dengan faktor skala 3, maka perbandingan luas bangun sebelum dan sesudah dilatasi adalah ... . A. 1 : 3 B. 1 : 6 C. 1 : 9 D. 1 : 12 18. Bayangan titik A(-2,6) dengan dilatasi [O, 1 2 ] adalah ... . A. A' (-1,-3) B. A' (1,3) C. A' (1,-3) D. A' (-1,3) 19. Sebuah bangun yang luasnya 10 cm2 didilatasi 4 kali, maka luas bangun setelah dilatasi adalah ... . A. 40 cm2 B. 100 cm2 C. 120 cm2 D. 160 cm2 20. Diketahui P' ( -12,6) dan OP' = -3OP , koordinat titik P adalah ... . A. (36,-18) B. ( -4,2) C.(4,-2) D. (-4,-2) B. Kerjakan soal-soal dibawah ini secara singkat dan jelas ! 1. Diketahui jajar genjang PQRS, dengan P(1,2), Q(4,2), dan S(2,4). a. Tentukan koordinat R. O P' P
132 b. Gambarlah PQRS dan bayangannya pada translasi yang diwakili 1 PR 2 . c. Tentukan koordinat titik-titik sudut bayangan tersebut. 2. Tentukan bayangan garis AB dengan A(3,0) dan B(5,-1) pada pencerminan terhadap garis x = 2 dilanjutkan dengan translasi T( 5, -7) kemudian dirotasi dengan pusat O sejauh 180o ! 3. Suatu titik P ( a, b) didilatasi [O,-2] kemudian dirotasi [O,90o ] menghasilkan P'' ( 8,6). Tentukan nilai a dan b ! 4. a. Gambarlah garis dengan persamaan y = 2x -4, kemudian pilihlah dua buah titik yang terletak pada garis itu. b. Tentukan koordinat bayanangan titik pilihanmu pada dilatasi [O, 1 1 2 − ] ,kemudian buatlah garis yang melalui titik-titik bayangan itu. c. Nyatakan persamaan garis yang melalui titik-titik bayangan itu. Garis tersebut merupakan bayangan garis y = 2x – 4 pada dilatasi [O, 1 1 2 − ]. 5. Jika kamu masuk ke gedung bioskop , kamu akan melihat cahaya yang muncul dari proyektor, maka : a. Jika pembesaran benda sampai 150 kali, berapakah lebar bayangan film yang lebarnya 2 cm ? b. Berapa lebar film, jika bayangan pada layar 1,5 meter ?
133 LATIHAN PAS KLS 9 1. Bentuk perkalian bilangan berpangkat dari 7x7x7x7x7x7x7 adalah .... A. 7x 7-6 C. 7-5x 7-2 B. 7 -7x 7-1 D. 7-2x 79 2. Bentuk sederhana dari 11-3 :115 adalah .... A. 11-8 C. 112 B. 11-2 D. 118 3. Diketahui 6 3n 2 2n -1 2 y ( y ) n+ n x x senilai dengan x a y b . Nilai dari b a adalah .... A. 4 C. 2 B. 3 D. 1 4. Notasi ilmiah dari bilangan 0,0001022 adalah .... A. 1,022 x 10-4 C. 102,2 x 10-4 B. 10,22 x 10-3 D. 1022 x 10-5 5. Bentuk desimal dari 2,75 × 10-3 adalah …. A. 0,00275 C. 0,275 B. 0,0275 D. 2,75 6. Bilangan jika dinyatakan dalam perpangkatan adalah …. A. C. (132 ) 3 B. D. (169)1/2 7. Hasil dari 2 45 + 20 - 125 adalah …. A. 2 5 C. 4 5 B. 3 5 D. 5 2 8. Bilangan yang senilai dengan 5 3 4 + adalah …. A. 2 5 - 6 C. 3 + 5 B. 5 - 3 D. 3 - 5 9. Dengan merasionalkan penyebut bentuk 5 5 5 − dapat disederhanakan menjadi .... A. 4 5 +1 C. 4 5 + 5
134 B. 4 5 −1 D. 4 5 − 5 10. Bentuk sederhana dari 2 3 3 6x4 2 adalah ...... A. 3 3 C. 6 3 B. 6 D. 12 11. Hasil dari 3 x 6 adalah .... A. 6 2 C. 3 2 B. 6 3 D. 3 3 12. Hasil dari : adalah .... A. 3 C. 2 B. 3 D. 2 13. Akar-akar dari persamaan x2 – 5x – 24 = 0 adalah…. A. -4 dan -6 C. 3 dan -8 B. 4 dan -6 D. -3 dan 8 14. Suatu fungsi kuadrat melalui titik (0, -2), (1, 3), dan (2, 10). Rumus fungsi kuadrat tersebut adalah …. A. f(x) = 2x2 + 4x – 2 C. f(x) = x2 – 4x + 2 B. f(x) = 2x2 + 4x – 2 D. f(x) = x2 + 4x – 2 15. Jika 2 dan 3 akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat yang dimaksud adalah..... A. x2 + x + 5 = 0 C. x2 - 5x + 6 = 0 B. x2 + 5x - 6 = 0 D. x2 + x + 5 = 0 16. Nilai x pada gambar segitiga siku-siku dibawah ini adalah …. A. 5 C. 8 B. 6 D. 10 17. Titik potong grafik fungsi kuadrat y=x2+3x−10 dengan sumbu X adalah …. A. (–5, 0) dan (2, 0) C. (5, 0) dan (2, 0) B. (–5, 0) dan (–2, 0) D. (5, 0) dan (–2,0) 18. Titik potong grafik fungsi kuadrat y= (x−2)2 −11 dengan sumbu Y adalah …. A. (0, –11) C. (0, –7) B. (0, –9) D. (0, –2) 19. Persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat y= x 2−4x+5 adalah …. A. x=8 C. x=2 B. x=4 D. x=1 20. Titik puncak dari parabola y = 2x 2 - 12x + 14 adalah. . . . . A. (3 , 4) C. (6 , 4) B. (3 , -4) D. (6 , -4) 21. Grafik fungsi y = x2 - 4x + 3 adalah… . A C x+3 x+5 x+1
135 B D 22. Sebuah persegi panjang memiliki ukuran panjang (3x – 3) cm dan lebar (x + 1) cm. Jika luasnya 72 cm2 , lebarnya adalah … A. 4 cm C. 8 cm B. 6 cm D. 9 cm 23. Lintasan lembing yang dilemparkan seorang atlet mempunyai persamaan h(t) = 40t– 5t2 dengan h menunjukkan tinggi lembing dalam meter dan t menunjukkan waktu dalam detik. Tinggi maksimum lintasan lembing tersebut adalah … A. 40 m C. 75 m B. 60 m D. 80 m 24. Seorang pembuat talang air mendapat pesanan membuat sebuah talang air dari lembaran seng yang lebarnya 50 cm dengan cara melipat lebarnya atas tiga bagian seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Nilai t supaya volume dari talang maksimumadalah…. A. 30 C.12,5 B. 25 D.10 25. Titik Q(1,7) ditranslasi dengan aturan T1 = ( dilanjutkan T2 =( dan mengasilkan bayangan Q’. Koordinat Q’ adalah …. A. (−4,1) C. (−5,2) B. (−4,4) D. (−5, 5) 26. Jika bangun geometri berikut direfleksikan terhadap garis h. Bayangan bangun geometri yang tepat adalah.... x t
136 A. C. B. D. 27. Bayangan titik P(4, −3), jika dicerminkan terhadap garis x = 3 adalah …. A. P′(4,−3) C. P′(−2, −3) B. P′(2, −3) D. P′(−2, −3) 28. Bayangan titik A(6,4) jika direfleksikan terhadap garis y = −3 adalah …. A. A′(6,4) C. A′(6, −10) B. A′(−10, 6) D. A′(−6, 10) 29. Bayangan pencerminan titik A(3,2) oleh garis y=x adalah…. A. (-3,2) C. (-2,-3) B. (-2,3) D. (2,3) 30. Bayangan titik P(5, 3), jika dicerminkan terhadap garis y = − x adalah …. A. P′ (5, 3) C. P′ (−5, 3) B. P′ (−3, −5) D. P′ (3, 5) 31. Bayangan titik P(1, 2) oleh rotasi dengan pusat titik O sejauh 90° berlawanan dengan arah perputaran jarum jam adalah…. A. P'(2, 1) C. P'(1, 2) B. P’(-2,1) D. P’(-1,2) 32. Suatu titik diputar 90° searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar titik Q(2,-3) menghasilkan titik P’(0,3). Titik tersebut adalah…. A. (-4, -5) C. (-5, 4) B. (5, -4) D. (3, 5) 33. Bayangan titik (3,-6) diputar 180° searah dengan berlawanan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar titik O. adalah…. A. (-3,-6) C. (6,3) B. (-3,6) D. (3,6) 34. Perhatikan dilatasi di bawah ini! Bayangan titik A oleh dilatasi dengan pusat titik O dengan skala dilatasi 3 adalah …. A. A1 C. A3 B. A2 D. A4 35. Bayangan titik Q(-3,7) pada dilatasi [O,3] adalah Q'. Koordinat titik Q' adalah …. A. (9,21) C. (9,-21) B. (-9,21) D. (-9,-21) A1 O A A2 A3 A4
137 SELAMAT BELAJAR !!! Rochmawati, S.Pd.