1 Standar Kompetensi Memahami sifat-sifat tabung, kerucut, dan bola serta menentukan ukurannya Kompetensi Dasar 1. Mengidentifikasi unsur-unsur tabung, kerucut dan bola 2. Menghitung luas selimut dan volume tabung, kerucut dan bola 3. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan tabung, kerucut, dan bola Kamu telah mengenal bangun-bangun ruang seperti tabung, kerucut, dan bola di Sekolah Dasar dan akan kamu pelajari kembali bangun ruang tersebut pada bab ini. Dalam kehidupan sehari-hari, kamu mungkin sering melihat bendabenda yang berbentuk tabung, kerucut, dan bola. Misalnya, sebuah tangki berbentuk tabung memiliki jari-jari 15 m dan tingginya 50 m. Jika tangki tersebut akan diisi minyak tanah sampai penuh, berapa liter minyak tanah yang diperlukan? Untuk menjawabnya, pelajarilah bab ini dengan baik.
2 2.1 Tabung Perhatikan Gambar 2.1 . Amatilah bentuk geometri bangun tersebut. Gambar kaleng tersebut merupakan tabung.Tabung (silinder) merupakan bangun sisi lengkung yang memiliki bidang alas dan bidang atas berbentuk lingkaran yang sejajar dan kongruen. Coba kamu sebutkan benda-benda yang berbentuk tabung yang ada di sekitarmu! 2.1.1 Unsur-Unsur Tabung Perhatikan Gambar 2.2 tabung meiliki unsur-unsur sebagai berikut : a. Ruas garis O1A = O1B adalah jari-jari(r) lingkaran alas dan O2C = O2D adalah jari-jari lingkaran atas tabung b. Ruas garis AB adalah diameter atau garis tengah lingkaran alas dan CD adalah diameter lingkaran atas tabung. c. Ruas garis BD, AC dan O1O2 adalah tinggi tabung (t) yaitu jarak antara alas dan tutup tabung. Ruas garis BC dan AD disebut garis pelukis tabung. d. Sisi alas sama dan sebangun dengan sisi tutup berbentuk lingkaran, sisi tegak berbentuk sisi lengkung yang disebut selimut tabung. Gambar 2.1 Sumber: ke2naischool.blogspot.com Gambar 2.2 tutup Selimut tabung O1 alas • A B C D O2 •
3 Luas selimut tabung = 2 r t Luas permukaan tabung = 2 r 2 + 2 rt atau 2 r(r + t) 2.1.2 Luas Permukaan Tabung Perhatikan Gambar 2.3(ii) di bawah ini yang merupakan jaring-jaring tabung Gambar 2.4 (i). Dari Gambar 2.3(ii) tersebut kita dapat menghitung luas permukaan tabung yang merupakan jumlah luas masing-masing sisi pembentuk tabung, yaitu luas selimut, luas sisi alas, dan luas sisi atas. Luas permukaan tabung merupakan gabungan dari luas selimut, luas sisi alas dan luas sisi atas. - Perlu diingat luas lingkaran = r 2 dan keliling lingkaran = 2 r . - Panjang selimut tabung = keliling alas tabung = 2 r . - Lebar selimut tabung = tinggi tabung = t. Luas selimut tabung = panjang x lebar = keliling alas x tinggi = 2 r x t = 2 r t Luas permukaan tabung = luas alas + luas tutup + luas selimut = r 2 + r 2 + 2 rt = 2 r 2 + 2 rt = 2 r(r + t) Dengan demikian, untuk tabung yang tertutup, berlaku rumus sebagai berikut Gambar 2.3 (i) (ii) r r M M N N Keliling lingkaran =2 r t • r t M N
4 Diketahui sebuah tabung dengan jari-jari alas 12 cm dan tinggi 28 cm. Tentukan : a. luas selimut tabung b. luas permukaan tabung Penyelesaian: Diketahui : r = 12 cm, t = 28 cm Ditanya : a. Luas selimut tabung b. luas permukaan tabung Diselesaikan : a. Luas selimut tabung = 2 rt = 2 x 1 7 22 x 12 x 28 4 = 2.112 Jadi luas selimut tabung adalah 2.112 cm2 . b. Luas permukaan tabung = 2 r(r + t) = 2 x 3,14 x 12 x( 12 + 28 ) = 75,36 x 40 = 3014,4 Jadi luas permukaan tabung adalah 3014,4 cm2 Tinggi sebuah tabung diketahui 15 cm dan luas selimutnya 1.320 cm2 . Dengan nilai = 7 22 , tentukanlah : a. panjang jari-jari alas tabung. b. luas permukaan tabung c. luas permukaan tabung tanpa tutup 12 cm
5 Penyelesaian: Diketahui : luas selimut= 1.320 cm2 ,t =15 cm Ditanya : a. panjang jari-jari alas tabung. b. luas permukaan tabung c.luas permukaan tabung tanpa tutup Diselesaikan : a. Luas selimut tabung = 2 rt 1.320 = 2 x 22 7 x r x 15 1.320 = 660 7 x r r = 1.320 : 660 7 r = 2 1.320 x 7 6601 r = 14 Jadi, panjang jari-jari alas tabung adalah 14 cm. b. Luas permukaan tabung = 2 r(r + t) = 2 x 7 22 x 14 x ( 14 + 15 ) = 88 x 29 = 2.552 Jadi, luas permukaan tabung adalah 2.552 cm2 . c. Luas permukaan tabung tanpa tutup = Luas alas + luas selimut tabung = r 2 + 2 rt = 1 7 22 x 14 2x 14 + 1.320 = 616 + 1.320 = 1.936 Jadi luas tabung tanpa tutup adalah 1.936 cm2 . 15 cm r
6 1. Jika diketahui panjang jari-jari alas sebuah tabung 7 cm dan tingginya 10 cm. Hitunglah luas selimut tabung tersebut dengan = 7 22 ! 2. Sebuah tabung mempunyai diameter alas 6 cm dan tinggi 12 cm. Hitung luas selimut tabung tersebut dengan = 3,14! 3. Sebuah tabung tanpa tutup memiliki jari-jari alas 10,5 dan tinggi tabungnya 20 cm. Jika nilai = 7 22 , hitunglah: a. luas selimut tabung b. luas sisi atau permukaan tabung 4. Pada gambar di samping diketahui sebuah tabung dengan diameter alas 3,5 cm dan dengan tinggi 6 cm. Hitunglah : a. Luas selimut tabung b. Luas sisi tabung tanpa tutup 5. Diketahui sebuah tabung dengan luas selimutnya 1.056 cm2 . Jika tinggi tabung 24 cm dan nilai = 7 22 , hitunglah panjang diameter alas tabung! 6. Luas permukaaan tabung adalah 596.600 mm2 dan jari-jari alas tabung 5 cm. Jika nilai = 3,14, hitunglah tinggi tabung tersebut! 7. Berpikir kritis.Jika jari-jari tabung diduakalikan, apakah luas permukaan menjadi dua kali sebelumnya? Jelaskan! 8. Sebuah alat musik gendang dengan membran terbuat dari kulit lembu dengan diameter 20 cm dan tinggi gendang 40 cm. Hitunglah luas gendang dengan nilai = 3,14! 9. Alat drum band berupa genderang yang membrannya terbuat dari kulit sintetis berbentuk lingkaran dengan diameter 70 cm. Lebar logam rangka genderang 42 cm. Hitunglah luas genderang dengan nilai = 7 22 ! 10. Penalaran. Bandung disuruh menggambar jaring-jaring tabung di atas kertas. Jaring-jaring tabung yang berjari-jari 2 cm dan tingginya 10 cm digambar di atas kertas berukuran 20 cm x 15 cm. Apakah kertas gambar itu cukup untuk membuat tabung yang diinginkan? Jelaskan 3,5 cm
7 Volume tabung = r 2 t atau Volume tabung = 2.1.3 Volume Tabung Tabung merupakan pendekatan dari prisma segi-n,dimana n mendekati tak hingga. Amatilah Gambar 2.4 dengan saksama, Gambar 2.4(a) dan (b) antara tabung dan prisma tegak mempunyai kesamaan, yaitu mempunyai dua bidang sejajar dan kongruen yaitu bidang atas kongruen dengan bidang alas. Sehingga keduannya memiliki kesamaan dalam cara mencari volumenya, yaitu luas alas × tinggi. Volume prisma bergantung pada bentuk alasnya. Jika alas prisma berbentuk segitiga, volume prisma segitiga adalah ( × alas × tinggi segitiga) × tinggi prisma. Bila segibanyak beraturan yang merupakan alas prisma memiliki sisi yang banyak sekali, akan didapat bahwa alas itu mendekati bentuk lingkaran, sehingga prisma akan menyerupai tabung seperti Gambar 2.4(a). Dengan demikian, cara menentukan volume tabung sama dengan cara menentukan volume prisma, yaitu V = luas alas × tinggi V = luas lingkaran x tinggi V = r 2 x t Dengan demikian, rumus volume tabung (V) adalah : dengan r = jari-jari lingkaran alas d = diameter lingkaran alas t = tinggi tabung Gambar 2.4 (a) (b)
8 Hitunglah volume tabung yang berjari-jari 20 cm dan tinggi 28 cm! Penyelesaian: Diketahui : jari-jari r = 20 cm,t = 28 cm Ditanya :Volume tabung (V) Diselesaikan : V = πr 2 t = 22 7 x 202 x 28 4 cm3 = 35.200 cm3 Jadi volume tabung tersebut 35.200 cm3 Pak Sulaiman mengisi drum minyak tanah hingga penuh dan isinya 192,5 liter. Drum tersebut berbentuk tabung dengan tinggi 0,98 m. Tentukan jari-jari drum tersebut ! Penyelesaian: Diketahui : Volume = 192,5 liter = 3.080 dm3 t = 0,98m = 9,8 dm Ditanya :Volume tabung (V) Diselesaikan : Volume tabung = πr2 t V = πr2 t 192,5 = 7 22 x r2 x 9,8 1,4 (ingat 1 liter sama dengan 1 dm3 ) 192,5= 30,8 x r2 r 2 = 192,5 30,8 r = √6,25 r = 2,5 dm Jadi jarijari drum adalah 2,5 dm = 25 cm 28 cm r = 20 cm r t = 9,8 dm m
9 1. Tentukan volume masing-masing tabung (a), (b) di samping! 2. Sebuah tabung memiliki jari-jari 10,5 cm dan tinggi 20 cm tentukan volume tabung tersebut ! (π = 7 22 ). 3. Sebuah tabung berjari-jari 22,5 cm dan tinggi 28 cm. Tentukan volume tabung tersebut ! 4. Berpikir kritis.Pak Sunarya akan mengisi bak mandi dengan timba yang berbentuk tabung dengan jari-jari 14 cm dan tinggi 40 cm. Bak mandi tersebut berbentuk balok dengan ukuran rusuk terdalam adalah 60 x 40 x 80 cm. Jika semula bak mandi tersebut kosong maka tentukan berapa kali Pak Sunarya harus menimba agar bak mandi tersebut penuh ! 5. Berpikir kritis.Bu Endang membeli minyak tanah 5 liter. Minyak tersebut akan diisikan pada tangki kompor yang berbentuk tabung dengan jari-jari 14 cm dan tinggi 12 cm. Dapatkah minyak tanah diisikan ke kompor dengan penuh? Apakah minyak tanah itu tersisa? Jika tersisa, berapa liter sisanya? 2.2 Kerucut Pernahkah kamu perhatikan topi seperti gambar 2.5 di samping ini. Topi seperti gambar 2.5 adalah topi petani atau caping yang sering digunakan petani di sawah atau di kebun. Tahukah kamu bahwa caping tersebut berbentuk kerucut. Amati Gambar 2.6 dengan seksama. Gambar 2.6(i) di samping memperlihatkan bahwa ∆ AOT sikusiku di O dengan OT terletak pada sumbu y. Jika ∆ AOT diputar satu putaran penuh, maka titik A melukis sebuah bidang lingkaran yang tegak lurus OT dan garis AT melukis permukaan lengkung atau bidang lengkung, diperoleh bangun ruang seperti Gambar 2.6 (ii). Bangun ruang tersebut dinamakan kerucut. Gambar 2.5 Sumber: bismacenter.ning.com A □ O T y T A O y (i) (ii) Gambar 2.6 Sumber: mycvmandiri.blogspot.com 20 cm r = 10 cm 28 cm d = 3,5 cm (a) (b)
10 2.2.1 Unsur-unsur Kerucut Amati kerucut pada Gambar 2.7 di samping ini. Unsur-unsur kerucut dapat diuraikan sebagai berikut. c. Bidang yang berbentuk lingkaran dinamakan bidang alas kerucut. d. Ruas garis OA = OB = r dinamakan jari-jari bidang alas kerucut. e. Ruas garis AB dinakaman diameter atau garis tengah bidang alas kerucut. f. Titik T dinamakan titik puncak kerucut. g. Titik O dinamakan titik pusat bidang alas kerucut. h. Ruas garis yang menghubungkan titik T dan titik O merupakan jarak titik puncak dengan alas kerucut dinamakan tinggi kerucut (t). i. Terdapat sebuah bidang lengkung yang dinamakan selimut kerucut dan ruas garis TB adalah garis pelukis kerucut yang dinotasikan dengan s. j. Terdapat sebuah rusuk berupa lingkaran yaitu perpotongan antara sisi lengkung dengan sisi alas. Gambar di samping merupakan sebuah kerucut. Sebutkan : a. Ruas garis yang merupakan diameter bidang alas kerucut b. Ruas garis yang merupakan jari-jari bidang alas kerucut c. Ruas garis yang merupakan tinggi kerucut d. Ruas garis yang merupakan garis pelukis kerucut Penyelesaian: a. Ruas garis KL merupakan diameter bidang alas kerucut b. Ruas garis KM, ML merupakan jari-jari bidang alas kerucut c. Ruas garis MN merupakan tinggi kerucut d. Ruas garis NL, KN merupakan garis pelukis kerucut Gambar 2.7 sisi lengkung /selimut (iii) T A B O r t titik puncak garis pelukis (s) tinggi kerucut jari-jari (r) sisi alas (bidang lingkaran) (iii) N K M L Q P
11 1. Sebutkan unsur-unsur kerucut pada gambar di samping! 2. Gambarlah sebuah kerucut dengan unsur-unsur: - P merupakan titik pusat bidang alas kerucut - K merupakan titik puncak kerucut - Ruas garis MP, RP, PV merupakan jari-jari bidang alas kerucut - Ruas garis VR merupakan tali busur terpanjang bidang alas kerucut - Ruas garis RK merupakan garis pelukis 2.2.2 Luas Permukaan Kerucut Berapa luas permukaan kerucut Gambar 2.8(i)? Amatilah Gambar 2.8 (i) menunjukkan kerucut dengan titik puncak T dan jari-jari bidang alasnya adalah r. Bila kerucut itu dipotong sepanjang ruas garis TB dan seputar lingkaran alasnya, serta diletakan pada bidang datar maka didapat jaringjaring kerucut, seperti pada Gambar 2.8(ii). Perhatikan jaring-jaring kerucut pada Gambar 2.8(ii) di samping! Menentukan luas permukaan kerucut Gambar 2.8(i) sama halnya dengan mencari luas jaring-jaring kerucut pada Gambar 2.8(ii). Perhatikan langkahlangkah berikut: Langkah 1: menentukan luas juring/selimu kerucut Panjang busur B1 B2 = keliling alas kerucut = 2r. Keliling lingkaran yang berjari-jari s adalah 2s. 12 = 12 12 2 = 2 2 Luas T B1 B2 = × = R S Q P T A B O r t Gambar 2.8 (i) (ii) s 2 r T B1 B2 r r r O s Selimut kerucut berbentuk juring Bidang alas kerucut berbentuk lingkaran
12 Luas permukaan kerucut = rs + 2 atau Luas permukaan kerucut = r(s + r) Langkah 2: menentukan luas bidang alas kerucut berbentuk lingkaran Luas lingkaran yang berjari-jari r adalah 2 . Dengan demikian, luas permukaan kerucut adalah L = luas selimut kerucut + luas alas kerucut L = rs + 2 = r(s + r) Jadi, rumus luas permukaan kerucut (luas kerucut) adalah dengan r = jari-jari alas , s = garis pelukis Sebuah kerucut berdiameter 10 cm. Jika panjang garis pelukisnya 13 cm dan = 3,14, hitunglah luas permukaan kerucut! Penyelesaian: Diketahui : diameter alas d=10 cm, s = 13 cm dan = 3,14 Ditanyakan : luas permukaan kerucut (L) Diselesaikan : Amati gambar kerucut didapat r = 5 cm dan s = 13 cm. Rumus luas permukaan kerucut adalah L = rs + 2 dan gantilah nilai , r dan s. L = (3,14)(5)(13) + (3,14)(52 ) L = 20,41 + 78,5 L = 98,91 Jadi , luas permukaan kerucut adalah 98,91 cm2 . Sebuah kerucut berdiameter 14 cm. Jika tinggi 24 cm dan = 22 7 , tentukan: a. Panjang garis pelukisnya b. Luas selimutnya c. Luas alasnya d. Luas permukaan kerucut tersebut 5 cm 13 cm 5 cm
13 Penyelesaian: Diketahui : diameter alas d=14 cm, t = 24 cm dan = 22 7 Ditanyakan : a. s e. Luas selimut (L1) f. Luas alas (L2 ) g. Luas permukaan kerucut (L) Diselesaikan : Amati gambar kerucut disamping dan didapat r = 7 cm, t =24 cm. a. Panjang garis pelukis = √ 2 + 2 = √7 2 + 242 = √49 + 576 = √625 = 25 Jadi, panjang garis pelukis adalah 25 cm. b. Luas selimut kerucut L1 = 1 = 22 7 × 7 × 25 1 = 550 Jadi, luas selimut kerucut adalah 550 cm2 . c. Luas alas kerucut 2 = 2 2 = 22 7 × 7 2 2 = 154 Jadi, luas alas kerucut adalah 154 cm2 . d. Luas permukaan kerucut = 1 + 2 L = 550 + 154 L = 704 Jadi, luas permukaan kerucut adalah 704 cm2 . 7 cm 24 cm 7 cm s
14 1. Sebuah kerucut dengan jari-jari 14 cm dan tinggi 48 cm. Dengan nilai = 7 22 tentukan: a. panjang garis pelukis b. luas permukaan kerucut 2. Diameter alas kerucut 18 cm dan tingginya 12 cm. Jika nilai = 3,14 hitunglah: a. panjang garis pelukis b. luas selimut kerucut 3. Kerucut pada gambar di samping memiliki garis tinggi 1,2 dm dan jari-jari 1,8 dm. Hitunglah : a. panjang garis pelukis b. luas permukaan kerucut 4. Sebuah kerucut memiliki luas selimut 880 cm2 . Jika panjang garis pelukisnya 20 cm hitunglah: a. tinggi kerucut b. panjang jari-jari alas kerucut c. luas permukaan kerucut 5. Luas selimut sebuah kerucut yang panjang jari-jari alasnya 35 cm adalah 5.500 cm2 . Hitunglah: a. panjang garis pelukis b. luas permukaan kerucut 6. Berpikir kritis Sebuah kerucut dibuat dari selembar seng berbentuk juring lingkaran dengan sudut pusat 315° dan jari-jarinya 16 cm. Hitunglah: a. panjang jari-jari alas kerucut b. tinggi kerucut 7. Berpikir Analisis Pada gambar di samping nampak sebuah kap lampu terbuat dari bahan plastik dengan jari-jari lingkaran atas 3 cm dan jari-jari lingkaran bawah 6 cm . Hitunglah luas bahan plastik yang digunakan untuk membuat kap lampu tersebut? 315° 1,8 dm 1,2 dm
15 2.2.3 Volume Kerucut Pada pembahasan volume sebelumnya telah kita ketahui rumus volume tabung. Bagaimanakah rumus volume kerucut? Bagaimana cara menurunkan rumus volume kerucut? Untuk itu lakukan kegiatan berikut : Kegiatan Siswa i) Sediakan bangun ruang tabung tanpa tutup dan kerucut tanpa alas, dengan: tinggi kerucut = tinggi tabung jari-jari kerucut = jari-jari tabung ii) Isilah kerucut dengan pasir lembut atau tepung sampai penuh, kemudian tuangkan pada tabung. iii) Ulangi langkah ii) hingga tabung penuh terisi pasir lembut atau tepung. iv) Hitung berapa kali kamu menuangkan pada tabung tersebut dengan takaran kerucut berisi pasir lembut atau tepung hingga tabung penuh! Perhatikan Gambar 2.8 Hasil pecobaan diperoleh bahwa tabung akan terisi penuh setelah diisi tiga kali isi kerucut. 3 x Volume kerucut = Volume tabung Volume kerucut = 3 1 x Volume tabung = 3 1 x πr 2 t = 3 1 πr 2 t r t r t T K L O r t Gambar 2.9 Gambar 2.10
16 Volume kerucut =1 3 2 t Untuk setiap kerucut berlaku rumus volume berikut: Sebuah kerucut memiliki jari-jari 18 cm dan tingginya 14 cm. Jika nilai π = 7 22 , hitunglah volume kerucut tersebut! Penyelesaian : Diketahui : jari-jari alas r = 18 cm, t = 14 cm dan = 22 7 Ditanyakan : volume kerucut (V) Diselesaikan : V = 3 1 πr2 t = 3 1 x 7 22 x 18 x 18 x 14 2 = 3 1 x 44 x 324 = 14.256 3 = 4.752 Jadi, volume kerucut tersebut adalah 4.752 cm3 . Ilustrasi gambar
17 Sebuah kerucut memiliki luas selimut 550 cm2 dan diameter 14 cm. Tentukan volume kerucut tersebut ! Penyelesaian : Diketahui : luas selimut kerucut = 550 cm2 , d = 14 cm Ditanyakan : volume kerucut (V) Diselesaikan : Menentukan tinggi kerucut: Luas selimut = πrs 550 = 7 22 x 7 x s 550 = 22s s = 22 550 = 25 Menentukan tinggi kerucut: t = 2 2 25 − 7 t = 625− 49 = 24 Jadi, volume kerucut adalah 1.232 cm3 . Volume kerucut : V = 3 1 πr2 t V = 3 1 x 7 22 x 7 x 7 x 24 8 V = 1.232 Ilustrasi gambar
18 1. Hitunglah volume kerucut yang memiliki a. jari-jari 3,5 cm dan tinggi 12 cm! b. diameter 20 cm dan tinggi 20 cm! 2. Hitunglah volume kerucut yang memiliki garis pelukis 17 cm dan tinggi 15 cm ! 3. Tentukan volume bangun ruang (a), (b) dan (c) berikut: 4. Sebuah kerucut memiliki luas selimut 2.130 cm 2 dan jari-jari 21 cm. Tentukan volume kerucut tersebut ! 5. Sebuah kerucut memiliki luas selimut 204,1 cm2 dan tinggi kerucut 12 cm. Hitunglah volume kerucut tersebut! 6. Tinggi sebuah kerucut sama dengan tinggi sebuah tabung yang berjari-jari 10 cm. Jika volume kerucut sama dengan volume tabung maka tentukan jari-jari kerucut tersebut ! 7. Hitunglah volume bangun ruang pada gambar (d) di samping! 8. Hitunglah volume potongan kerucut pada gambar (e) di samping! 45° (a) (b) (c) (d) (e)
19 9. Pada gambar di samping, sebuah kerucut berada dalam tabung dengan jari-jari alasnya sama dengan jari-jari tabung dan tinggi kerucut sama dengan tinggi tabung. Hitunglah volume ruangan dalam tabung diluar kerucut! 2.3 BOLA 2.3.1 Unsur-unsur pada Bola Pada Gambar 2.11 (i) diperlihatkan setengah lingkaran dengan diameter terletak pada sumbu y. Jika setengah lingkaran diputar dengan garis y sebagai sumbu putar satu putaran penuh, maka didapat Gambar 2.11 (ii). - titik B pada garis OB melukis sebuah bidang lingkaran yang tegak lurus MN. - busur MN melukis permukaan lengkung yang dinamakan bidang bola. Sehingga terbentuklah sebuah bangun ruang bola. Di sekitar rumahmu tentunya banyak bangun ruang yang berbentuk bola. Bola merupakan bangun ruang yang terdiri dari sebuah sisi lengkung. Perhatikan Gambar 2.11 (iii) di samping! Unsur-unsur bola adalah : a. Titik pusat bola (O). b. Jari-jari bola OA = OB =OP = r dan AB = diameter bola. c. Sebuah sisi lengkung. Gambar di samping merupakan sebuah bola. Sebutkan : a. Ruas garis yang merupakan diameter bola b. Ruas garis yang merupakan jari-jari bola O y M N r B y r O M N B Gambar 2.11 (i) (ii) (iii) P Q S O A B P O r r r
20 Penyelesaian a. Ruas garis PQ merupakan diameter bola b. Ruas garis PO, OQ dan OS merupakan jari-jari bola 1.Sebutkan unsur-unsur bola pada gambar (a)! 2.Gambarlah sebuah bola dengan unsur-unsur : - P merupakan titik pusat bola - Ruas garis MP, RP, PV merupakan jari-jari bola - Ruas garis VP dan PS merupakan diameter bola 2.3.2 Luas Permukaan Bola Untuk mengetahui luas permukaan bola, lakukanlah kegiatan berikut dengan kelompok belajarmu. Kegiatan Siswa i) Sediakan sebuah bola berukuran sedang, misalnya bola sepak, benang kasur,karton, penggaris, dan pulpen. ii) Ukurlah keliling bola tersebut menggunakan benang kasur. iii) Lilitkan benang kasur pada permukaan setengah bola sampai penuh, sepertipada gambar 2.12. (a) T P R M S benang kasur yang dililitkan pada permukaan setengah bola sampai penuh Bola Gambar 2.12
21 iv) Sediakan tabung dengan jari-jari alas dan tingginya sama dengan jari-jari bola. seperti pada gambar 2.13. v) Lilitkan benang yang tadi digunakan untuk melilit permukaan setengah bola pada selimut tabung yang kamu sediakan tadi. Lilitkan sampai habis. vi) Jika kamu melakukannya dengan benar, tampak bahwa benang dapat menutupi selimut tabung. vii) Hitunglah luas selimut tabung yang telah ditutupi benang! Dapatkah kamu menemukan hubungannya dengan luas permukaan setengah bola? Dari Kegiatan di atas, jelaslah bahwa luas permukaan setengah bola sama dengan luas selimut tabung. Luas permukaan setengah bola = luas selimut tabung = 2πr 2 Sehingga, Luas permukaan bola = 2 × luas permukaan setengah bola = 2 × 2πr 2 = 4πr 2 Jadi, luas permukaan bola dinyatakan dengan rumus sebagai berikut: Luas permukaan bola = = 4πr 2 Gambar 2.13 r t=r
22 Diketahui sebuah bola dengan jari-jari 7 dm. Tentukan luas permukaan bola tersebut. Penyelesaian: Diketahui : r = 7 dm Ditanyakan : luas permukaan bola Diselesaikan : Luas permukaan bola = 4πr 2 = 4 x 22 7 x7 x 7 = 616 Jadi, luas permukaan bola tersebut adalah 616 dm2 . Jika luas permukaan suatu bola 154 cm2 , tentukan panjang jari-jari bola tersebut. Penyelesaian: Diketahui : luas permukaan bola = 154 cm2 Ditanyakan : panjang jari-jari (r) Diselesaikan : Luas permukaan bola = 4πr 2 154 = 4 x 22 7 x r2 154 = 88 7 x r2 154 x 7 = 88r2 r 2 = 1.078 88 r 2 = 49 4 r = √ 49 4 r = 7 2 r = 3,5 Jadi, panjang jari-jari bola tersebut adalah 3,5 cm r=7 dm L=154 cm2
23 17,5 cm 1. Hitunglah luas permukaan bola yang mempunyai ukuran panjang : a. jari-jari 21 cm b. jari-jari 20 cm c. diameter 28 cm 2. Hitunglah luas permukaan bola yang tampak pada gambar (i) dan (ii) di samping! 3. Dengan nilai 7 22 = hitunglah panjang jari-jari bola yang memiliki luas permukaan 616 dm2 ! 4. Hitunglah panjang diameter bola yang memiliki luas permukaan 5.544 cm2 ! 5. Diketahui sebuah benda padat berbentuk setengah bola dengan diameter 24 cm. Dengan nilai =3,14 hitunglah luas permukaan benda tersebut! 6. Permukaan bumi hampir 70% merupakan lautan. Dengan jari-jari bumi 6.400 km berapakah luas daratannya! 7. Tiga buah bola masing-masing berjari-jari 2 cm, 3 cm, dan 4 cm. Jika luas permukaan masingmasing bola adalah L1, L2, dan L3, tentukan perbandingan: a. L1 : L2 b. L1 : L3 c. L1 : L2 : L3 8. Hitunglah luas permukaan dari 8 7 bagian bola padat yang berjari-jari 17,5 cm dengan nilai 7 22 = , seperti tampak pada gambar disamping! (i) (ii)
24 9. Berpikir kritis.Pada gambar di samping tampak sebuah bola di dalam sebuah tabung yang menyinggung sisi-sisi alas, sisi atas dan selimut tabung. Tunjukkan bahwa luas bola sama dengan luas selimut tabung! 10. Gambar di samping adalah es krim dengan bagian atas berbentuk setengah bola dan bagian wadahnya berbentuk kerucut. Jika garis pelukis wadah es krim sama panjangnya dengan diameter es krim, tunjukkan bahwa luas permukaan es krim sama dengan luas selimut wadahnya!
25 2.3.3 Volume Bola Untuk menentukan nilai hampiran volume bola, lakukanlah aktivitas berikut: Kegiatan Siswa i) Sediakan sebuah bola yang mudah dibelah dan belahlah bola tersebut menjadi dua bagian yang sama besar! ii) Sediakan kerucut yang jari-jari dan tingginya sama dengan jari-jari bola! iii)Isilah kerucut pada langkah ii) dengan pasir halus, kemudian masukkan ke dalam belahan bola pada langkah i)! iv)Ulangi langkah iii) hingga belahan bola terisi penuh! v) Hitunglah berapa kali kamu mengisi hingga belahan bola terisi penuh! Dari kegiatan di atas, dapat dilihat bahwa volume pasir yang dituangkan ke dalam wadah setengah bola tidak berubah. Ini berarti, untuk bangun setengah bola, dan kerucut yang berjari-jari sama, dan tinggi kerucut sama dengan dua kali jari-jarinya Gambar 2.14 (i) (ii) (iii)
26 Volumbola =4 3 3 t volume setengah bola sama dengan dua kali volume kerucut 2 1 x volume bola = 2 x volume kerucut Volume bola = 4 x volume kerucut = 4 x 3 1 πr 2 t ( substitusikan t =r) = 3 4 πr 2 r x r = 3 4 πr 3 Untuk setiap bola berlaku : dengan V = volume, r = jari-jari dan nilai π = 7 22 atau 3,14. Tentukan volume bola yang berjari-jari 3,5 cm! Penyelesaian: Diketahui : r = 3,5 cm Ditanyakan : volume bola Diselesaikan :V = 3 4 πr 3 V = 3 4 x 7 22 2 x 3,5 x 3,5 x 3,5 V = 6 1078 V = 179,67 Jadi, volume bola tersebut adalah 179,67 cm3 3,5 cm
27 Luas permukaan sebuah bola 5.544 cm2 . Dengan nilai π = 7 22 , hitunglah volume bola tersebut! Penyelesaian: Diketahui : luas permukaan bola L =5.544 cm2 π = 7 22 Ditanyakan : volume bola Diselesaikan :V = 3 4 πr 3 Menetukan jari-jari dari luas permukaan bola: Luas bola = 4 πr 2 5.544 = 4 x 7 22 x r 2 5.544 = 7 88 x r 2 r 2 = 5.544 : 7 88 r 2 = 5.544 63 x 88 7 1 r 2 = 441 r = 441 r = 21 Volume bola = 3 4 πr 3 = 3 4 x 7 22 1 x 21 x 21 1 = 1.848 Jadi, volume bola tersebut adalah 1.848 cm3 . L= 5.544 cm2
28 1. Tentukan volume bola yang berdiameter 7 cm! 2. Hitunglah volume bola yang memiliki panjang jari-jari 6 cm! 3. Sebuah bola memiliki luas permukaan 38,5 cm2 . Hitunglah volume bola tersebut ! 4. Tentukan volume bangun ruang gambar (i) dan gambar (ii) yang merupakan bola padat sebesar 8 7 bagian. 5. Sebuah bola dan tabung memiliki jari-jari dan volume yang sama . Jika tinggi tabung 16 cm, tentukan : a. Jari-jari kedua bangun tersebut ! b. Volume kedua bangun tersebut ! 6. Sebuah bola memiliki volume sama dengan luas permukaannya. Tentukan panjang diameter bola tersebut! 7. Sebuah bola memiliki volume 113,04 cm3 . Untuk nilai π = 3,14 tentukan jari-jari bola pada gambar di samping ! 8. Sebuah bola sepak diisi udara dengan pompa. Jika panjang garis tengah bola adalah 25 cm, berapa cm3 udara dalam bola tersebut! 9. Hitunglah berat lima bola besi yang masingmasing berdiameter 5 cm, dengan berat 1 cm3 = 7,8 gram! 10. Sebuah tangkai minyak tanah berbentuk kapsul yang kedua ujungnya berbentuk setengah bola. Jika panjang tangki 2,5 m dan tingginya 1,5 m, berapa liter minyak tanah yang dapat ditampung dalam tangki tersebut! 14 cm (i) (ii)
29 UJI KOMPETENSI I. Pilihlah salah satu jawaban yang benar! 1. Diameter sebuah tabung adalah 14 cm dan tingginya 25 cm. Luas selimut tabung adalah ... . a. 1.050 cm2 c. 1.150 cm2 b. 1.100 cm2 d. 1.200 cm2 2. Sebuah tabung luas sisinya 1.884 cm2 . Jika jari-jari tabung 10cm dan = 3,14 , maka tinggi tabung adalah ... . a. 30 cm c. 20 cm b. 25 cm d. 15 cm 3. Volume sebuah tabung adalah 6.930 cm3 . Jika tinggi tabung 20 cm dan 7 22 = , maka jari-jari tabung adalah .... a. 7 cm c. 14 cm b. 10,5 cm d. 21 cm 4. Tinggi sebuah tabung = 2 kali panjang jari-jarinya. Luas permukaan tabung tanpa tutup adalah ... . a. r(2r + t) c. 2 5r b. 3 2 r d. 4 2 r 5. Rasio antara volume bola dan volume tabung apabila bola dapat dimasukkan ke dalam tabung yang menyinggung sisi alas, atas, dan samping/dindingnya adalah .... a. 1:1 c. 2:1 b. 1:2 d. 2:3 6. Volume kerucut yang diameter alasnya 20 cm dan tingginya 24 cm dengan = 3,14 adalah .... a. 7.536 cm3 c. 2.512 cm3 b. 5.024 cm3 d. 1.105 cm3 7. Sebuah kerucut tingginya 8 cm dan jari-jari alasnya 6 cm, = 3,14 . Luas permukaan kerucut adalah .... a. 301,44 cm2 c. 113,04 cm2 b. 188,40 cm2 d. 100,48 cm2 8. Volume sebuah kerucut adalah 314 cm3 . Jika jari-jari alasnya 5 cm, maka panjang garis pelukisnya adalah .... a. 8 cm c. 13 cm b. 12 cm d. 15 cm 9. Gambar di bawah ini merupakan selimut sebuah kerucut. Tinggi kerucut tersebut adalah .... 120o 15 cm a. 5 cm b. 15 cm c. 10 2 d. 5 3
30 10. Luas selimut kerucut yang jari-jarinya 7 cm, dan tingginya 24 cm adalah .... a. 110 cm2 c. 225 cm2 b. 220 cm2 d. 550 cm2 11. Diameter dua buah kerucut adalah sama Bila panjang garis pelukis kedua kerucut itu mempunyai perbandingan 3:2 maka perbandingan luas selimut kedua kerucut itu adalah .... a. 2:3 c. 4:9 b. 3:2 d. 9:4 12. Sebuah bandul padat terbentuk dari kerucut dan belahan bola padat seperti pada gambar. Jika 1 cm3 beratnya 2 gram, maka berat bandul tersebut dengan = 3,14 adalah .... 13. Sebuah kerucut berjari-jari 7 cm dan tingginya 24 cm. Luas Selimut kerucut itu adalah .... a. 428 cm2 c. 550 cm2 b. 528 cm2 d. 616 cm2 14. Perhatikan gambar disamping ! Bola besi dimasukkan ke dalam gelas berbentuk tabung dengan sisi bola tepat menyinggung pada bidang sisi atas, bawah dan selimut gelas. Volume udara dalam gelas yang ada di luar bola adalah ….( π = 22 7 ) a. 359,33 cm3 b. 718,67 cm3 c. 1.078,01 cm3 d. 1.437 cm3 10 cm 3 cm a. 125,36 gram b. 150,72 gram c. 301,44 gram d. 452,16 gram 14 cm
31 15. Perhatikan gambar topi berikut ini! Topi tersebut terbuat dari karton, maka luas minimal karton yang diperlukan untuk membuat topi tersebut adalah.... a. 1.408 cm2 b. 1.138,5 cm2 c. 880 cm2 d. 792 cm2 16. Sebuah bola besi dengan diameter 7 cm dimasukkan ke dalam bejana yang berbentuk tabung dengan jari – jari 7 cm. Jika tabung berisi air dengan ketinggian 7 cm, maka kenaikan air setelah bola di masukkan tabung adalah .... a. 1 cm c. 3 1 1 cm b. 2 1 1 cm d. 6 1 1 cm 17. Diketahui setengah bola padat dengan diameter 10 cm. Luas permukaan benda tersebut adalah .... ( = 3,14) a. 235,5 cm2 c. 255,5 cm2 b. 245,5 cm2 d. 265,5 cm2 18. Sebuah kap lampu jari-jari lingkaran alasnya 14 cm, jari-jari lingkaran atas 7 cm dan tingginya 24 cm. Luas kain yang diperlukan untuk menutup kap lampu tersebut adalah .... a. 1.650 cm2 b. 1.804 cm2 c. 2.650 cm2 d. 2.804 cm2 19. Sebuah bola menyinggung sisi tabung bagian atas, bawah, dan selimut tabung, jika diameter bola 14 cm dan = 7 22 , volume udara didalam tabung diluar bola adalah ... . a. 581,7 cm3 c. 681,7 cm3 b. 618,7 cm3 d. 718,7 cm3 14 cm 7 cm 48 cm 25 cm
32 20. Perhatikan gambar yang terbentuk dari kerucut dan tabung! Luas permukaan bangun tersebut adalah .... a. 1.210 cm2 b. 1.342 cm2 c. 1.364 cm2 d. 1.518 cm2 II. Kerjakan dengan benar! 21. Luas selimut tabung adalah 660 cm2 dan jari-jarinya 7 cm. Tentukan tingginya! 22. Volume sebuah kaleng berbentuk tabung adalah 2.156 cm3 . Jika tinggi kaleng 14 cm, tentukan luas seluruh permukaan tabung! 23. Diketahui sebuah kerucut dengan jari-jari alas 10 cm dan tingginya 24 cm. Tentukan: a. Panjang garis pelukisnya b. Luas selimut kerucut c. Luas permukaan kerucut 24. Diketahui sebuah kerucut yang tingginya 20 cm dan panjang garis pelukisnya 25 cm. Tentukan volumenya! 25. Sebuah bola yang diameternya 20 cm. Tentukan volume bola tersebut! -000- 15 cm 39 cm 14 cm
33 SELAMAT BELAJAR !!! Rochmawati, S.Pd.