BAB 6 TEOREMA PYTHAGORAS KELAS 8 SEMESTER GASAL
1 Standar Kompetensii Menggunakan Teorema Pythagoras dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar 3.1 Menggunakan Teorema Pythagoras untuk menentukan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku. 3.2. Memecahkan masalah pada bangun datar yang berkaitan dengan Teorema Pythagoras Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini siswa diharapkan mampu: • Menjelaskan dan menemukan dalil Pythagoras, dan syarat berlakunya; • Menuliskan dalil Pythagoras untuk sisi-sisi segitiga; • Menghitung panjang sisi segitiga siku-siku jika sisi lainnya diketahui; • Menentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisi-sisinya; • Menghitung perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku khusus; • Menghitung panjang diagonal sisi dan ruang kubus dan balok; • Menerapkan dalil Pythagoras. Peta Konsep Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kalian harus menguasai materi mengenai segitiga, segi empat, sudut, dan bilangan kuadrat, serta akar kuadrat. Namun, sebelumnya mari kita ingat kembali mengenai luas persegi dan luas segitiga siku-siku. Masih ingatkah kamu tentang rumus luas persegi? Coba tentukan luas persegi dengan panjang sisi : a. 6 cm b. 5 m Jika kamu lupa, coba buka kembali catatan pelajaran sebelumnya karena dengan mengingat rumus luas persegi akan mempermudah mempelajari Bab 5 ini dengan baik. Luas persegi dan luas segitiga siku-siku sangat bermanfaat dalam menemukan teorema Pythagoras. Pythagoras Teorema Pythagoras B. Menggunakan dalil Pythagoras C. Menyelesaikan soal cerita yang berhubungan dengan
2 A. Teorema Pythagoras Siapakah Pythagoras itu? Pythagoras adalah seorang ahli matematika dan filsafat berkebangsaan Yunani yang hidup pada tahun 569 – 475 sebelum Masehi. Sebagai ahli metematika, ia mengungkapkan bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi - sisi yang lain. Untuk menemukan teorema Pythagoras lakukan kegiatan berikut. Ambillah dua potong kertas berbentuk persegi berukuran (b + c) cm seperti tampak pada Gambar 5.1 (i) dan 5.1 (ii). Kita akan menemukan hubungan antara besarnya a, b, dan c. Gambar 5.1 (i) menunjukkan persegi ABCD berukuran (b + c) cm. Pada keempat sudutnya buatlah empat segitiga sikusiku dengan panjang sisi siku-sikunya b cm dan c cm. Dari Gambar 5.1 (i) tampak bahwa luas persegi ABCD sama dengan luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir) ditambah luas empat segitiga siku-siku (luas daerah yang diarsir), sehingga diperoleh luas daerah yang diarsir = luas empat segitiga siku-siku = 4 1 2 b x c 1 2 = 2 bc dan luas daerah yang tidak diarsir= luas persegi PQRS = a × a = a2 . Lalu buatlah persegi EFGH berukuran (b + c) cm seperti tampak pada gambar 5.3 (ii). Pada dua buah sudutnya buatlah empat segitiga siku-siku sedemikian sehingga membentuk dua persegi panjang berukuran (b × c) cm. Dari Gambar 5.3 (ii) tampak bahwa luas persegi EFGH sama dengan luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir) ditambah luas empat segitiga siku-siku (luas daerah yang diarsir), sehingga diperoleh luas daerah yang diarsir = luas dua persegi panjang = 2 × b × c = 2 bc luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi KMGN + luas persegi OFML = (b × b) + (c × c) = b2 + c2 . Dari Gambar 5.1 (i) dan 5.1 (ii) tampak bahwa ukuran persegi ABCD = ukuran persegi EFGH, sehingga diperoleh luas persegi ABCD = luas persegi EFGH 2bc + a2 = 2bc + b2 + c2 a 2 = b2 + c2 . E F H G K L M N b c b c c 2 b 2 c b Gambar 5.1(ii) D C A b R c B b b b S P Q a a a a a 2 c c c Gambar 5.1(i)
3 Kesimpulan di atas jika digambarkan akan tampak seperti pada Gambar 5.1 (iii). Luas daerah persegi yang panjang sisinya adalah sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas daerah persegi yang panjang sisinya adalah sisi siku-siku segitiga tersebut. Kesimpulan tersebut selanjutnya dikenal dengan teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras tersebut selanjutnya dapat dirumuskan seperti berikut. Jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan a panjang sisi miring, sedangkan b dan c panjang sisi siku-sikunya maka berlaku a 2 = b2 + c2 . Pernyataan di atas jika diubah ke bentuk pengurangan menjadi b 2 = a2 - c 2 atau c 2 = a2 - b 2 . Nyatakan hubungan yang berlaku mengenai sisi-sisi segitiga pada gambar di bawah ini. Penyelesaian: Karena kedua segitiga di samping adalah segitiga sikusiku, maka berlaku teorema Pythagoras, yaitu kuadrat panjang sisi miring = jumlah kuadrat sisi siku-sikunya, sehingga berlaku a. q2 = p2 + r2 atau p2 = q2 - r 2 r 2 = q2 - p 2 b. k2 = l2 + m2 atau l2 = k2 - m2 m2 = k2 - l 2 B. PENGGUNAAN TEOREMA PYTHAGORAS 1. Menghitung Panjang Salah Satu Sisi Segitiga Siku-Siku jika Kedua Sisi Lain Diketahui Dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapat menghitung panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika panjang kedua sisi lain diketahui. A B C a b c l k m q p r Untuk setiap segitiga siku-siku, berlaku kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya a a 2 b 2 b c c 2 Gambar 5.1 (iii)
4 Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan AB = 6 cm dan BC = 8 cm. Hitunglah panjang AC. Penyelesaian: Dengan menggunakan teorema Pythagoras berlaku AC2 = AB2 + BC2 = 62 + 82 = 36 + 64 AC2 =100 AC = 100 = 10 Jadi, panjang AC = 10 cm 1. Gunakan teorema Pythagoras untuk menghitung nilai x pada gambar berikut. 2. Hitunglah nilai y pada setiap segitiga berikut. a. B. 3. Diketahui segitiga PQR siku-siku di P dengan PQ = 12 cm dan QR = 13 cm. a. Buatlah sketsa segitiga tersebut. b. Tentukan panjang PR. 4. Panjang hipotenusa suatu segitiga siku- siku adalah 15 cm, sedangkan panjang sisi siku-sikunya 12 cm dan x cm. Berapakah nilai x? 5. Pada gambar di samping, diketahui panjang AB = 12 cm, BC = 9 cm, dan CD = 25 cm. Tentukan panjang AD. A B C 6 cm 8 cm b. A B C D 12cm 9 cm 25 cm 4y y 3y 2 0 4,5 6 b a x 3 4 a. x 1 5 9
5 2. Menentukan Jenis Suatu Segitiga Pada bahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa kuadrat miring (hypothenusa) atau sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisinya. Dari pernyataan tersebut kita peroleh kebalikan dari dalil Pythagoras, Misalkan sisi terpanjang dari segitiga tersebut adalah a dan panjang sisi yang lainnya adalah b dan c, maka berlaku hubungan sebagai berikut yaitu: ➢ Jika kuadrat sisi miring atau sisi terpanjang sebuah segitiga sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisinya, maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku, atau ➢ Jika pada suatu segitiga berlaku a2 = b2 + c2 ,maka segitiga ABC tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan besar salah satu sudutnya 90ocm, ➢ Jika kuadrat sisi terpanjang lebih besar dari jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul a2 > b2 + c 2 ➢ Jika kuadrat sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga tersebut adalah segitiga lancip. a 2 < b2 + c2 Suatu segitiga ABC mempunyai panjang AB = 10 cm, BC = 24 cm, dan AC = 26 cm. Tentukan apakah segitiga tersebut termasuk segitiga siku-siku atau bukan! Penyelesaian: AB = 10, makaAB2=100 BC = 24, maka BC2 = 576 AC = 26, maka AC2 = 676 Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh hubungan bahwa 676 = 100 + 576. Sehingga AC2 = AB2 + BC2 Jadi segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku. 3. Tripel Pythagoras Bilangan-bilangan 3, 4, dan 5 serta 6, 8, dan 10 merupakan bilangan-bilangan yang memenuhi dalil Pythagoras, yaitu 52 = 32 + 42 dan 102 = 62 + 82 . Bilanganbilangan tersebut dapat dipandang sebagai panjang sisi sebuah segitiga siku-siku. Bilangan-bilangan yang memenuhi dalil Pythagoras seperti itu disebut tripel Pythagoras. Tripel Pythagoras adalah bilangan bulat positif yang kuadrat bilangan terbesarnya sama dengan jumlah kuadrat bilangan yang lainnya.
6 Tentukan apakah bilangan berikut termasuk tripel Pythagoras atau bukan! a. 12, 9, 15 b. 8, 10, 18 Penyelesaian: a. 152= 225 122 + 92 = 144 + 81 = 225 152 = 122 + 92 b. 132 = 169 8 2 + 102 = 64 + 100 = 164 132 ≠ 82 + 102 Jadi, a. 12, 9, 15 termasuk bilangan tripel Pythagoras. b. 8, 10, 13 bukan bilangan tripel Pythagoras. 1. Tentukan apakah segitiga yang panjang sisinya berikut ini termasuksegitiga siku-siku atau bukan! a. 12 cm, 13 cm, 5 cm d. 7 cm, 24 cm, 25 cm b. 13 cm, 7 cm, 14 cm e. 6 cm, 6 cm, 6 cm c. 8 cm, 15 cm, 17 cm 2. Tentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisi-sisinya sebagai berikut! a. 9 cm, 12 cm, 15 cm d. 8 cm, 15 cm, 20 cm b. 5 cm, 8 cm, 12 cm e. 7 cm, 24 cm, 25 cm c. 9 cm, 13 cm, 17 cm 3. Tentukan apakah bilangan asli berikut termasuk tripel Pythagoras atau bukan! a. 12, 16, 20 d. 6, 8, 10 b. 7, 8, 11 e. 8, 15, 17 c. 5, 3, 2 4. Perbandingan Sisi-Sisi pada Segitiga Siku-Siku dengan Sudut Khusus a. Sudut 300 dan 600 Perhatikan Gambar 5.2 Segitiga ABC di samping adalah segitiga sama sisi denganAB = BC = AC = 2x cm dan ∠A = B = C = 600 . Karena CD tegak lurus AB, maka CD merupakan garis tinggi sekaligus garis bagi∠ C, sehingga ∠ ACD = BCD = 300 . Diketahui ∠ ADC = ∠ BDC = 900 Titik D adalah titik tengah AB, di mana AB = 2x cm, sehingga panjang BD = x cm. 2 Gambar 5.2
7 Perhatikan CBD. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh CD2 = BC2 – BD2 CD = 2 2 BC – BD = 2 2 (2 ) x x − = 2 2 4x x − = 2 3x = x 3 Dengan demikian, diperoleh perbandingan BD : CD : BC = x: x 3 :2x = 1: 3 : 2. Perbandingan tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berkaitan dengan segitiga siku-siku khusus. Diketahui persegi panjang ABCD dengan panjang diagonal AC = 10 cm dan CAB = 300 . Tentukan (i) panjang AB; (ii) panjang BC; (iii) luas ABCD; Penyelesaian: Perbandingan sisi-sisi pada ABC adalah 1: 3 : 2 , sehingga (i) BC : AB : AC = 1: 3 : 2 AB : AC = 3 : 2 AB : 10 = 3 : 2 2AB = 10 3 AB = 10 3 2 = 5 3 cm (ii) BC : AC = 1 : 2 BC : 10 = 1 : 2 2BC = 10 BC = 10 2 = 5 cm (iii) Luas ABCD = AB x BC = 5 3 x 5 = 25 3 cm b. Sudut 450 Perhatikan Gambar 5.2. Gambar 5.2
8 Segitiga ABC pada Gambar 5.11 adalah segitiga siku-siku sama kaki. Sudut B siku-siku dengan panjang AB = BC = x cm dan ∠ A = ∠ C = 450 . Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh AC2 = AB 2+ BC2 AC = 2 2 AB + BC AC = 2 2 x + x AC = 2 2x AC = x 2 Dengan demikian, diperoleh perbandingan AB : BC : AC = x : x : x 2 = 1 : 1 : 2 1. Tentukan nilai x dan y pada segitiga sikusiku berikut. a. b. 2. Tentukan besar sudut x dan y (dalam derajat) pada segitiga siku-siku berikut. a. b. 3. Pada persegi panjang ABCD, diketahui AB = 30 cm dan ∠ CAB = 300 . Hitunglah a. panjang AC dan BC; b. keliling dan luas persegi panjang ABCD. 4. Penggunaan Teorema Pythagoras pada Bangun Datar dan Bangun Ruang Selain dimanfaatkan pada segitiga siku-siku, teorema Pythagoras juga dapat digunakan pada bangun datar dan bangun ruang matematika yang lain untuk mencari panjang sisi-sisi yang belum diketahui. Perhatikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm pada Gambar 5.3. Dapatkah kalian menyebutkan diagonal sisi kubus ABCD.EFGH? Gambar 5.3 3 3
9 Diagonal sisi adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada suatu bidang datar. Diagonal sisi kubus tersebut antara lain AF , BD , CH ,dan DE Misalkan kita akan menentukan panjang diagonal sisi BD . Perhatikan persegi ABCD. BD adalah salah satu diagonal sisi bidang ABCD. Sekarang, perhatikan Δ ABD. Karena Δ ABD siku-siku di A, maka dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh BD 2 = AD 2 + AB 2 = a 2 + a 2 = 2 a 2 BD = 2 2a = a 2 Selanjutnya, dapatkah kalian menyebutkan diagonal ruang kubus ABCD.EFGH? Diagonal ruang adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu bangun ruang. Diagonal ruang kubus ABCD.EFGH antara lain HB dan FD . Perhatikan BDH siku-siku di titik D, maka untuk menentukan panjang diagonal ruang HB dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras. HB 2 = BD 2 + DH 2 = (a 2 ) 2 + a 2 = 2a 2 + a 2 = 3a 2 HB = 2 3a = a 3 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang AB= 15 cm. Hitunglah panjang diagonal ruang AG . Penyelesaian: Perhatikan ACG. Karena ACG siku-siku di titik C, maka panjang diagonal ruang AG dapat dicari dengan rumus berikut. AG 2 = AC 2 + CG 2 Panjang diagonal sisi AC adalah AC 2 = AB 2 + BC 2 = 152 + 152 = 225 + 225 = 450
10 AC = 450 = 15 2 cm Jadi, panjang diagonal ruang AG adalah AG 2 = AC 2 + CG 2 = (15 2 ) 2 + 152 = 450 + 225 = 675 AG = 675 = 15 3 cm 1. Pada kubus ABCD.EFGH di bawah ini, diketahui panjang AB = 4 cm. Hitunglah a. panjang AC dan AG ; b. panjang CP c. luas bidang diagonal ACGE. 2. Pada kubus ABCD.EFGH di atas diketahui panjang diagonal sisi BE = 48 cm. Tentukan a. panjang AB ; b. panjang HB; c. panjang AP . 3. Pada gambar di bawah ini balok ABCD.EFGH dengan sisi alas ABCD dan sisi atas EFGH. Panjang rusuk AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan CG = 4 cm. Hitunglah a. luas dan keliling bidang ACGE; b. panjang diagonal ruang AG . C. MENYELESAIKAN MASALAH SEHARI HARI DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA PYTHAGORAS Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang disajikan dalam soal cerita dan dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Pythagoras. Untuk memudahkan menyelesaikannya diperlukan bantuan gambar (sketsa). Seorang anak menaikkan layang-layang dengan benang yang panjangnya 100 meter. Jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada di bawah layang-layang adalah 60 meter. Hitunglah ketinggian layang-layang.
11 Tinggi layang-layang = BC BC = 2 2 AC AB − = 2 2 100 60 − = 10000 3600 − = 6400 = 80 cm, Jadi tinggi layang-layang adalah 80 m. A. Pilihlah satu jawaban yang paling tepat, a, b, c, atau d! 1. Pernyataan-pernyataan di bawah ini yang benar untuk segitiga siku-siku ABC adalah …. a. c2 + a2 = b2 b. c2 – b 2 = a2 c. c2 + b2 = a2 d. a2 + b2 = c2 2. Pasangan tiga bilangan di bawah ini yang merupakan tripel Pythagoras adalah …. a. 12, 13, 6 c. 24, 5, 25 b. 14, 48, 50 d. 10, 6, 7 3. Dari segitiga berikut yang merupakan segitiga siku-siku adalah segitiga dengan panjang sisi …. a. 6 cm, 8 cm, dan 10 cm c. 10 cm, 15 cm, dan 20 cm b. 10 cm, 12 cm, dan 14 cm d. 7 cm, 15 cm, dan 18 cm 4. Segitiga PQR siku-siku di Q, jika PQ = 4 cm dan PR = 5 cm, maka panjang QR adalah …. a. 3 cm c. 16 cm b. 9 cm d. 20 cm 5. Panjang hipotenusa segitiga siku-siku adalah 30 cm, jika panjang salah satu sisinya 18 cm, maka panjang sisi lainnya adalah …. a. 6 cm c. 24 cm b. 8 cm d. 35 cm 6. Panjang diagonal-diagonal suatu belah ketupat 36 cm dan 48 cm. Panjang sisi belah ketupat adalah …. a. 20 cm c. 40 cm b. 30 cm d. 50 cm 7. Perhatikan segitiga PQR pada gambar di bawah !. Panjang PQ = QR = 13cm dan QT = 5 cm. Panjang PR = …. a
12 . 6 cm b. 8 cm c. 12 cm d. 24 cm 8. Panjang diagonal persegi panjang 24 cm x 7 cm adalah …. a. 25 cm c. 35 cm b. 31 cm d. 68 cm 9. Panjang sisi KLMN pada gambar adalah 17 cm. Keliling ABCD adalah …. a. 20 cm b. 48 cm c. 52 cm d. 60 cm 10. Panjang hipotenusa sebuah segitiga siku-siku samakaki dengan panjang sisi siku-siku 5 cm adalah …. a. 5 cm c. 75 cm b. 50 cm d. 125 cm 11. Nilai x pada gambar di bawah adalah …. a. 200 cm b. 120 cm c. 400 cm d. 100 cm 12. Panjang QR pada gambar di bawah ini adalah …. a. 26 cm b. 24 cm c. 16 cm d. 10 cm 13. Panjang BD pada ghambar di bawah adalah …. a. 10 cm b. 26 cm c. 34 cm d. 36 cm 14. Panjang sisi sebuah persegi 20 cm, maka panjang diagonalnya adalah …. a. 20 cm c. 400 cm b. 40 cm d. 800 cm 15. Pasangan tiga bilangan di bawah ini yang merupakan tripel Pythagoras adalah …. a. 4, 3, 6 c. 6, 8, 11 b. 5, 3, 4 d. 8, 10, 12 16. Panjang diagonal ruang suatu balok yang berukuran 6 cm x 8 cm x 10 cm adalah …. a. 14 cm c. 16 cm
13 b. 14,14 cm d. 16,16cm 17. Panjang sisi segitiga PQR pada gambar di bawah ini adalah 8 cm, maka panjang QB = …. a. 4 cm b. 6 cm c. 6,93 cm d. 8,94 cm 18. Panjang diagonal persegi 8 cm, panjang sisi persegi tersebut adalah …. a. 4 cm c. 5 cm b. 4,66 cm d. 5,66 cm 19. Sebuah tiang listrik dapat berdiri tegak jika ditahan dengan tali kawat baja. Jika jarak dari patok pengikat terhadap tiang listrik adalah 4 m dan tinggi tiang listrik 5 meter, maka panjang tali kawat yang dibutuhkan adalah…. a. √41 cm c. √21 cm b. 3 cm d. 5 cm 20. Seorang nakhoda kapal melihat puncak mercusuar yang berjarak 80 meter dari kapal. Jika diketahui tinggi mercusuar adalah 60 meter. Jarak nakhoda dari puncak mercusuar adalah…. a. 75 m c. 125 m b. 100 m d. 150 m B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat. 1. Pada gambar segitiga berikut hitunglah nilai x. 2. Nyatakan segitiga-segitiga berikut, lancip, siku-siku, atau tumpul. Jika merupakan segitiga siku-siku, lancip, atau tumpul, tentukan nama titik sudut yang siku-siku, lancip, atau tumpul. a. ABC, AB = 16 cm, BC = 30 cm , dan AC = 34 cm. b. PQR, PQ = 12 cm, QR = 10 cm, dan PR = 8 cm. c. KLM, KL = 15 cm, LM = 12 cm, dan KM = 8 cm. 3. Pada limas T.PQR di atas, diketahui panjang QR = 20 cm, PQ = 16 cm, dan TR = 28 cm. a. Hitunglah panjang PR dan PT. b. Tunjukkan bahwa TPQ siku-siku di Q. c. Kemudian, hitunglah panjang QT. 4. Riko mempunyai sebuah rumah pohon. Rumah pohon tersebut berada pada ketinggian 3 meter di atas tanah. Untuk menjangkau rumah pohon tersebut, Riko menggunakan tangga yang disandarkan ke batang pohon. Panjang tangga dengan pohon 5 meter. a. Buat sketsa gambar berdasarkan keterangan di atas! b. Tentukan jarak tangga yang akan dinaiki Riko dengan pohon! 5. Sebuah mobil bergerak dari kota A ke arah utara sejauh 40 km menuju kotaB. Dari kota B mobil tersebut melanjutkan perjalanan ke arah barat a b
14 sejauh 30 km menuju kota C. Setelah beristirahat sebentar, mobil tersebut melanjutkan perjalanan lagi ke arah selatan sejauh 60 km menuju kota D. a. Sketsa perjalanan mobil tersebut dari kota A sampai kota D! b. Tentukan jarak dari kota B ke kota D! c. Tentukan jarak kota A dengan kota D! SELAMAT BELAJAR!!!