BAB 2 LINGKARAN KELAS 8 SEMESTER GENAP
1 Standar Kompetensi Menentukan unsur, bagian lingkaran serta ukurannya Kompetensi Dasar 4.1 Menentukan unsur dan bagian-bagian lingkaran 4.2 Menghitung keliling dan luas bidang lingkaran 4.3 Menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, luas juring dalam pemecahan masalah 4.4 Menghitung panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran 4.5 Melukis lingkaran dalam dan lingkaran luar Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah: ➢ dapat menyebutkan unsur-unsur dan bagian-bagian lingkaran; ➢ dapat menemukan nilai phi; ➢ dapat menentukan rumus serta menghitung keliling dan luas lingkaran; ➢ dapat mengenal hubungan sudut pusat dan sudut keliling jika menghadap busur yang sama; ➢ dapat menentukan besar sudut keliling jika menghadap diameter dan busur yang sama; ➢ dapat menentukan panjang busur, luas juring, dan luas tembereng; ➢ dapat menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring dalam pemecahan masalah.
2 Peta Konsep Lingkaran Unsur-unsur Lingkaran Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring Menyelesaikan Permasalahan Nyata Yang Terkait Penerapan Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, Dan Luas Juring Hubungan Unsur-unsur Lingkaran Hubungan Sudut Pusat dan sudut keliling
3 Pernahkah kalian bersepeda? Pernahkah kalian Memperhatikan sepeda? Jika diperhatikan bentuk roda sepeda menyerupai lingkaran. Sebutkan benda-benda di sekitarmu yang berbentuk lingkaran. A. Lingkaran Dan Bagian-Bagiannya 1. Pengertian Lingkaran merupakan kumpulan titik-titik yang berjarak sama dari sebuah titik tetap. Titik tetep tersebut disebut pusat lingkaran. Jarak dari titik-titik ke pusat lingkaran dinamakan jari-jari lingkaran 2. Bagian – bagian lingkaran. Perhatikan gambar 6.2. Marilah kita pelajari bagian-bagian dari lingkaran a. Titik O dinamakan pusat lingkaran b. OA, OB, OC, OD dinamakan jari-jari lingkaran c. AB dinamakan diameter, yaitu garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran yang melaluipusat lingkaran. d. AD dinamakan tali busur lingkaran, yaitu garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran e. CBF dinamakan tembereng yaitu daerah yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur lingkaran. f. AOB dinamakan juring lingkaran, yaitu daerah yang dibatasi oleh 2 jarijari dan sebuah busur. g. OE dinamakan apotema yaitu jarak terpendek antara tali busur ke pusat lingkaran h. AB, BC, CD, AD dinamakan busur lingkaran.Busur lingkaran AB biasa ditulis AB . O r Gambar 6.1 Gambar 6.2 Sumber :http://semarang.olx.co.id
4 Perhatikan gambar 6.3 disamping. 1. Disebut apakah garis LN? 2. Disebut apakah garis lengkung NOP? 3. Disebut apakah garis KM? 4. Disebut apakah daerah arsiran NOP? 5. Disebut apakah daerah arsiran KLM? B. Keliling dan Luas Lingkaran 1. Menemukan nilai pendekatan phi ( ). Keliling lingkaran merupakan jarak lintasan yang dilalui dari titik P kembali ke titik P lagi.Sebelum menghitung keliling dan luas lingkaran, kalian harus mengetahui pendekatan π (phi) terlebih dahulu. Untuk menemukan nilai (phi), hitunglah perbandingan dari keliling dengan diameter yang kalian dapatkan. Benda Keliling Diameter ........................ ........................ ..................... ..................... ................... ................... ................... ................... P L M N O K Gambar 6.3 O P Gambar 6.4
5 Jika kalian menghitung dengan benar, kalian akan mendapatkan nilai perbandingan itu akan sama untuk setiap lingkaran. Nilai perbandingan itu disebut phi(π). Nilai pendekatan Phi (π) adalah 3,14 atau 22 7 . 2. Keliling lingkaran Dari hasil percobaan yang telah kalian lakukan, diperoleh K d = ↔ K = d Karena d = 2r maka K = x 2r = 2 r , sehingga pada setiap lingkaran berlaku rumus Dimana K = keliling lingkaran, d = diameter, r = jari-jari lingkaran 1. Hitunglah keliling lingkaran jika jari-jarinya 14 cm. Jawab: K = 2 r = 2 x x 14 = 88 Jadi, keliling lingkaran adalah 88 cm. 2. Hitung diameter lingkaran jika kelilingnya 132 cm. Jawab : K = d 132 = x d ↔ d = 132 x = 42 Jadi, diameter lingkaran adalah 42 cm K = d atau K = 2 r Dalam sejarah Tiongkok banyak ahli matematika berupaya menghitung π. Sedangkan hasil yang dicapai Zu Chongzhi pada abad ke-5 dapat dikatakan merupakan kemajuan dalam penghitungan π. Zu Chongzhi lahir di kota Jiankang( kota Nanjing) pada tahun 429. sejak kecil ia sangat cerdas dan suka pengetahuan di bidang matematika dan astronomi. Pada tahun 464 ketiga ia berumur 35 tahun, Zu Chengzhi mulai menghitung π.
6 1. Hitunglah keliling lingkaran jika jari-jarinya a. r = 7 cm b. r = 10 cm 2. Hitunglah diameter lingkaran jika diketahui kelilingnya a. 47,1 cm b. 132 cm 3. Diameter roda sebuah sepeda adalah 56 cm. Berapakah panjang lintasan sepeda itu jika roda berputar 100 kali? 4. Hitunglah keliling dari daerah yang di arsir berikut a. π = 22 7 b. Jika KL = 78, LM = 39 (π = 3,14) 5. Seorang pelari berada pada lintasan yang berbentuk lingkaran sepanjang 154 cm. Hitunglah jari- jari lintasan tersebut. 3. Luas Lingkaran a. Pendekatan Luas lingkaran dengan menghitung persegi satuan Luas lingkaran adalah luas daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran. Perhatikan gambar disamping. Daerah yang diarsir adalah luas lingkaran. Luas lingkaran dapat ditentukan dengan menghitung banyaknya persegi satuan dalam lingkaran tersebut. Dengan ketentuan jika lebih atau sama dengan setengah persegi dihitung satu satuan, sedang jika kurang dari setengah persegi Gambar 6.5
7 satuan tidak dihitung. Sehingga luas lingkaran pada gambar diatas adalah 32 satuan luas. Cobalah kalian ulangi kembali. b. Menemukan rumus luas lingkaran. Untuk menemukan rumus luas lingkaran, lakukan langkah-langkah berikut. a. Buatlah lingkaran dengan jari-jari 7 cm. b. Bagilah lingkaran menjadi 2 bagian sama besar, berilah warna yang berbeda. c. Bagilah lingkaran menjadi 12 juring yang masing-masing membentuk sudut 300 d. Bagilah salah satu juring menjadi 2 bagian e. Gunting dan susunlah setiap juring sehingga membentuk bangun yang menyerupai persegi panjang. Jika pemotongan juring semakin kecil, maka susunan juring akan semakin mirip persegi panjang. Dari kegiatan diatas kita peroleh bahwa luas lingkaran (L), dengan jari-jari r sama dengan luas persegi panjang dengan panjang r dan lebar r. L = p x l Karena r = 1 2 d, maka luas lingkaran juga dapat dirumuskan L = r 2 = ( 1 2 d )2 = 1 4 d 2 Sehingga luas lingkaran dapat ditulis dengan rumus Dimana L = luas lingkaran, r = jari-jari, d = diameter. L = r 2 atau L = 1 4 πd 2 Gambar 6.6 Gambar 6.7
8 1. Hitunglah luas lingkran yang berjari-jari 10 cm jika = 3,14 Jawab : L = πr 2 L = 3,14 x 10 x 10 L = 314 Jadi, luas lingkaran adalah 314 cm2 . 2. Sebuah keping VCD mempunyai luas permukaan 113,04 cm2 . Hitunglah panjang jari-jarinya. Jawab : L = πr 2 113,04 = 3,14 x r2 r 2 = r 2 = 36 r = 6 jadi, jari-jari lingkaran tersebut adalah 6 cm. 1. Hitung luas lingkaran jika diketahui a. r = 1,4 cm c. d = 20 cm b. r = 3,5 cm d. d = 56 cm 2. Hitung luas lingkaran yang berjari-jari dibawah ini jika = 3,14 a. 6 cm c. 24 cm b. 16 cm d. 30 cm 3. Untuk = , hitung jari-jari lingkaran jika luasnya a. 616 cm2 b. 1386 cm2 4. Sebuah lingkaran mempunyai luas dua kali kelilingnya. Hitung jari-jari lingkaran itu. 5. Dua buah lingkaran mempuanyai diameter masing-masing 14 cm dan 42 cm. Tentukan perbandingan luas kedua lingkaran tersebut.
9 C. Sudut Pusat, Sudut Keliling, Busur Dan Juring Lingkaran 1. Definisi sudut pusat dan sudut keliling a. Definisi sudut pusat : Perhatikan gambar di 6.8 samping ! Apakah kalian sudah mengerti yang dimaksud dengan sudut pusat? Sudut pusat adalah daerah sudut yang dibatasi oleh dua jari-jari lingkaran yang titik sudutnya merupakan titik pusat lingkaran. Pada gambar lingkaran dengan pusat titik O, terdapat POQ yang dibatasi oleh dua jari-jari yaitu OP dan OQ POQ disebut sudut pusat. b. Definisi sudut keliling : Selanjutnya, perhatikan gambar di samping Pada gambar lingkaran berpusat di titik O, terdapat dua talibusur AB dan BC yang berpotongan dan membentuk ABC. ABC merupakan sudut keliling dan menghadap busur AC 2. Hubungan Sudut Pusat Dan Sudut Keliling Adakah hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling suatu lingkaran? Perhatikan gambar, AOB adalah sudut pusat dan ACB adalah sudut keliling. AOB danACB menghadap busur yang sama yaitu busur AB. Bagaimanakah hubungan sudut AOB dan ACB ? Untuk mengetahui hubungan AOB dan ACB, buat garis bantu CD yang melalui titik O. Gambar 6.8 Gambar 6.10 Gambar 6.9
10 Pada gambar terdapat dua segitiga sama kaki, yaitu: Δ AOC dan ΔBOC. Jika ACO = x o dan BCO = y o Maka CAO = x o dan CBO = y o DOA = CAO + ACO (sudut luar Δ AOC) = x o +x o = 2x o DOB = CBO + BCO (sudutluar Δ BOC ) = y o + y o = 2 yo AOB = DOA + DOB = 2x o + 2y o AOB = 2 (x o + y o ) Dari hasil tersebut maka , Atau Pada gambar 6.12, jika AOB = 120o , maka berapakah besar ACB ? Jawab : ACB = 1 2 x AOB = 1 2 x 1200 = 600 “Besar sudut pusat adalah dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama, atau besar sudut keliling adalah setengah besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama” Gambar 6.11 Gambar 6.12 AOB = 2 x ACB ACB = 1 2 x AOB
11 3. Sifat Sudut Keliling a. Sudut Keliling Menghadap Diameter Lingkaran Padagambargaris KM merupakan diameter lingkarandan KOM = 180o , maka : KLM = 1 2 x KOM = 1 2 x 1800 = 900 Pada gambar 6.14 jika BCA = 32o , berapakah besar CBA ? Jawab : CBA = 180o - BAC – BCA = 180o - 90o – 32o = 90o – 32o = 68o b. Sudut – Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama Pada gambar, PQT, PRT dan PST adalah sudut-sudut keliling yang mengadap busur yang sama, yaitu busur PT. POT adalah sudut pusat yang juga menghadap busur PT, maka : PQT = x POT PRT = x POT PST = x POT Besar sudut-sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran adalah 90o Gambar 6.13 Gambar 6.15 Gambar 6.14
12 Dari hasil tersebut maka , atau Pada gambar, jika RPS = 250 dan PST = 500 , maka berapakah besar RTS dan PRT ? Jawab : RTS = RPS = 250 PRT = PST = 500 1. Perhatikan Gambar JikaBAC=260 , COD = 580 , hitunglah besar a. BOC b. CED PQT = PRT = PST Besar sudut-sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama adalah sama besar. Gambar 6.16 Gambar 6.16
13 2. Perhatikan Gambar di bawah ini, JikaEDG=780 , hitunglah : a. EOG b. Sudut reflex EOG c. EFG 3. Perhatikan Gambar JikaEAD= 260 , ADF=360 ,dan AD adalah diameter lingkaran,hitunglah a. EFD b.AEF 4. Menghitung Panjang Busur Lingkaran Busur adalah garis lengkung yang merupakan bagian dari keliling lingkaran, maka untuk menentukan panjang busur lingkaran digunakan perbandingan dengan keliling lingkarannya. Perhatikan gambar. Jika sudut pusat busur PQ adalah POQ, dan sudut pusat keliling lingkaran adalah 360o , maka akan terdapat perbandingan senilai, yaitu : Panjang busur PQ = JadiPanjangbusur PQ = Gambar 6.16 Gambar 6.16
14 1. Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 14 cm. Sebuahjuring AOB memilikisudutpusat 45o . Tentukan panjang busur AB Jawab Keliling lingkaran K = 2r = 2 x x 14 = 616 cm Panjang busur AB = cm 2. Padagambar , jikaAOB = 900danjari-jarilingkaran 7 cm ( = ), makaberapakahpanjangbusurAB ? Jawab : Panjang busur AB = cm = x 44 = 11 cm 5. Menghitung Luas Juring Lingkaran Juring adalah daerah yang merupakan bagian dari daerah (luas) lingkaran, maka untuk menentukan luas juring lingkaran digunakan perbandingan dengan luas lingkarannya. Perhatikan gambar. Jika sudut pusat juring AOB adalah AOB, dan sudut pusat daerah lingkaran adalah 360o , maka akan terdapat perbandingan senilai, yaitu : Luasjuring AOB = 616 77 360 45 = o o x 7 7 22 2 360 90 x o o JadiLuasJuring AOB =
15 Pada gambar, jikaAOB = 900 dan jari-jari lingkaran 7 cm (= ), maka berapakah luas juring AOB ? Jawab : Luas juring AOB = = = x 154 = 38,5 cm2 6. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas Juring Pada sebuah lingkaran berjari-jari r terdapat dua juring dengan sudut pusat dan panjang busur yang berbeda, yaitu busur AB dan juring AOB dengan sudut pusatAOB = α, dan busur CD dan juring COD dengan sudut pusatCOD = β. Perbandinganpanjangbusur AB dan CD adalah : Perbandingan luas juring AOB dan COD adalah Perbandingan 1 Perbandingan 2
16 Perbandingan 1 = Perbandingan 2 Pada gambar jika AOB = 15o , COD = 45o danpanjang busur AB = 6 cm, maka berapakah panjang busur CD ? Jawab : 1 3 = 6 Panjang Busur CD Panjangbusur CD = 3 x 6= 18 cm 1. Pada gambar di bawah ini jika AOF = 1200 , EOG=700 , panjang busur AF = 3 cm Hitunglah : a. Panjangbusur AE b.Panjangbusur FG
17 2. Padagambar di sampingjikaAOG = 720 , danluasjuring AOG = 45 cm2 . Hitung luas juring GOF dan luas lingkaran tersebut ! Pilih satu jawaban yang paling tepat! 1. Daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah.... A. Busur B. Tali Busur C. Juring D. Tembereng 2. Bagian lingkaran berikut yang disebut dengan Apotema adalah.... A. garis AB B. busur AB C. garis DE D. garis CF 3. Jika diameter suatu lingkaran 3,5 m dan π = 7 22 , maka keliling lingkaran adalah …. A. 11,5 m C. 10,5 m B. 11 m D. 7,5 m 4. Luas lingkaran yang berdiameter 20 cm adalah …. A. 154 cm2 C. 616 cm2 B. 314 cm2 D. 1256 cm2 · · A B C D E F
18 5. Luas suatu lingkaran adalah 616 cm2 . jika π = 7 22 , maka kelilingnya adalah …. A. 98 cm C. 78 cm B. 88 cm D. 68 cm 6. Untuk membuat bingkai antena parabola digunakan plat alumunium sepanjang 2,64 m. Jika π = 7 22 , maka diameter antena parabola tersebut adalah …. A. 96 cm C. 72 cm B. 84 cm D. 64 cm 7. Sebuah roda berputar 40 kali menempuh jarak 52,8 m. Jika π = 7 22 , maka jarijari roda tersebut adalah …. A. 35 cm C. 21 cm B. 28 cm D. 14 cm 8. Sebuah roda yang berdiameter 50 cm berputar 60 kali. Jika π = 3,14 , maka jarak yang ditempuh adalah …. A. 90,4 m C. 94,2 m B. 92,4 m D. 104 m 9. Luas lingkaran yang mempunyai panjang diameter 20 cm ( = 3,14 ) adalah .... A. 628 cm2 C. 135,6 cm2 B. 314 cm2 D. 62,8 cm2 10. Perhatikan gambar! Luas daerah yang diarsir disamping adalah.... A. 62 cm² B. 60 cm² C. 42 cm² D. 40 cm² 11. Perhatikan gambar! Gambar di samping adalah sebuah persegi yang di dalamnya terdapat sebuah lingkaran. Luas daerah yang diarsir adalah.... A. 42 cm² C. 154 cm² B. 84 cm² D. 196 cm² 14 cm 14cm 14 cm
19 12. Perhatikan gambar! Jika BOC = 40º, maka besar ADC adalah.... A. 40º B. 70º C. 80º D. 140º 13. Perhatikan gambar! Pada gambar diatas ABC sama kaki dengan AC = BC. Jika besar ACB = 56º,maka besar ADC = .... A. 44º B. 56º C. 62º D. 64º 14. Perhatikan gambar di samping! Diketahui O adalah pusat lingkaran dan besar AOC = 700 . Besar CDB adalah .... A. 350 B. 500 C. 550 D. 600 15. Perhatikan gambar ! Diketahui besar ADC = 1300 , maka besar ABC adalah …. A. 1300 B. 1000 C. 650 D. 500 16. Perhatikan gambar! Jika panjang busur BC = 18 cm, panjang busur AC adalah .... D · A B C O C D A B A C O B D D D A B C O . · 120º A O C B
20 A. 24 cm B. 28 cm C. 32 cm D. 38 cm 17. Perhatikan gambar! Jika luas juring OBC = x dan luas lingkaran = ⊙ , hubungan antara sudut pusat dan luas juring tertulis sbb : (i) = (ii) = (iii) = (iv) = Rumusan yang benar untuk pernyataan diatas adalah.... A. (i) dan (ii) C. (ii) dan (iii) B. (i) dan (iii) D. (iii) dan (iv) 18. Diketahui panjang jari-jari suatu lingkaran adalah 21 cm dan panjang busurnya 22 cm. Luas juring lingkaran tersebut adalah.... A. 48 cm² C. 132 cm² B. 66 cm² D. 231 cm² 19. Suatu juring lingkaran mempunyai luas 6 cm². Jika jari-jari lingkaran tersebut 4 cm, maka panjang busur pada juring tersebut adalah....... A. 3 cm C. 4 cm B. 3,5 cm D. 4,5 cm 20. Dari gambar di samping besar AOB = 450 , dengan OC = OD = DA =CB = 7 cm (π = 7 22 ) .Luas daerah yang diarsir adalah …. A. 462 cm2 B. 77 cm2 C. 57,75 cm2 D. 19,25 cm2 Selamat Belajar!!! α A B C ·O O B A 45 0 D C