จำนวนเชิงซ้อน

จำนวน
เชิงซ้อน

จัดทำโดย
น.ส.อนัญญา ศั กดิ์รัตนชัย
ชั้นม.5/2 เลขที่18
งานปรับคะแนนสอบกลางภาค
เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

ขอบเขตเนื้อหา

การสร้างจำนวนเชิงซ้อน
สมบัติเชิงพีชคณิ ตของจำนวนเชิงซ้อน
รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน
กราฟเเละค่าสั มบูรณ์ ของจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อนในรู ปขั้ ว
รากที่ n ในจำนวนเชิงซ้อน
สมการพหุนาม

การสร้าง
จำนวนเชิงซ้อน

นิ ยามของจำนวนเชิงซ้อนเเละ
การสร้างจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a , b) เมื่อ a เเละ b นั้นเป็นจำนวนจริง เเละกำหนดการ
เท่ากัน การบวกเเละการคูณของจำนวนเชิงซ้อน โดยเราจะกล่าวได้ว่า
1. การเท่ากันนั้น (a , b) = (c , d) ก็ต่อเมื่อ a = c เเละ b = d
2. การบวก (a , b) + (c , d) = (a + c , b + d)

3. การคูณ (a , b) · (c , d) = (ac - bd , ad - bc)
โดยที่ได้มานั้น จะได้ เซตของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเเทนด้วยสัญลักษณ์ว่า "C"
ดังนั้นหากเปรียบเทียบกับจำนวนเชิงซ้อน เราก็จะได้ว่า

z = (a , b)




โดย ค่าของ a นั้นเป็นส่วนจริง เราเรียกว่า ส่วนจริงของ z ซึ่งเขียนเเทนด้วย Re(z)
เเละค่าของ b นั้นเป็นส่วนจินตภาพ เราเรียกหว่า ส่วนจินตภาพของ z ซึ่งเขียนเเทนด้วย Im(z)

โดยที่กล่าวมานั้น เรียกว่า จำนวนจินตภาพเเท้
โดยมีข้อพิสูจน์ว่า ค่าจินตภาพนั้นจะไม่เท่ากับ 0 เราจึงกล่าวได้ว่า

เมื่อกำหนดให้ (0,1)(0,1) = (-1,0)
นั้นหมายความว่าถ้าเราเเทนค่า (0,1) ด้วย i เราจะกล่าวได้ว่า ทุกๆ 2 ตัวของ i คูณกัน จะได้ -1 เเละ

ทุกๆ 4 ตัวของ i คูณกัน จะได้ 1
ซึ่งเราสามารถเขียนอีกฟอร์มหนึ่งของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่า



z = (a , b
) = a + bi
ซึ่งกรณีนี้ทำให้เราได้ผลการบวกเเละผลการคูณใหม่ว่า

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i




ตัวอย่าง จงหาจำนวนจริงของ a , b ที่ทำให้ (
a + 3i) + (-2 + 3bi) = 4 + 9i
วิธีทำ (a + 3i) + (-2 + 3bi) = 4 + 9i
(a - 2) + (3 + 3b)i = 4 + 9i
จับเเยกหาค่าของ a ดังนั้น
a-2=4;a=6 คำตอบของข้อนี้คือ a = 6 เเละ b = 2
จับเเยกหาค่าของ b
3 + 3b = 9 ; b = 2

สมบัติของการบวกเเละการคูณ
ของจำนวนเชิงซ้อน

กำหนดให้ z1 / z2 / z3 เป็นจำนวนเชิงซ้อนเเล้วจะได้ว่า
สมบัติปิด : z1 + z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนเเละ z1z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน
สมบัติการสลับที่ : z1 + z2 = z2 + z1 เเละ z1z2 = z2z1
สมบัติการเปลี่ยนหมู่ : z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 เเละ z1(z2z3) = (z1z2)z3
สมบัติการเเจกเเจง : z1(z2+z3) = z1z2 + z1z3

สมบัติเชิงพีชคณิต
ของจำนวนเชิงซ้อน

สมบัติของพีชคณิตนั้นจะมีนอกจากการบวกเเละการคูณ
โดยจะมีหัวข้อใหญ่ๆดังต่อไปนี้



บทเอกลักษณ์ เเละตัวผกผันของการบวก
พิจารณาการบวกจำนวนเช
ิงซ้อนต่อไปนี้

(a, b) + (0 , 0) = (a+0, b+0) = (a, b)
ทำนองเดียวกัน (0 , 0) + (a, b) = (a, b)
ดังนั้น (0 , 0) เป็นเอกลักษณ์การบวกในระบบ

จำนวนเชิงซ้อน
หากลองพิสูจน์อีกรูปเเบบนั่นคือ (a, b) + ( - a, - b) = (a

- a, b - b) = (0, 0)
และ ( - a, - b) + (a , b) = (0 , 0)
ดังนั้น ( - a, - b) เป็นตัวผกผันการบวกของ (a , b)
หรือ - a - bi เป็นตัวผกผันการบวกของ a + bi
ตัวผกผันการบวกของจำนวนเชิงซ้อน z เขียนแทนด้วย

-z
ฉะนั้น - (a +bi) = - a - bi หรือเป็นการกระจาย

การลบนั่นเอง

ตัวอย่าง
ตัวผกผันการบวกของ ( - 8 , 2) คือ (8, - 2)

ตัวผกผันการบวกของ -4+3i คือ 4 - 3i
ตัวผกผันการบวกของ 2 - 3i คือ - 2+ 3i
ซึ่งจากบทข้างต้นนั้น เราจะนิยามการลบกันของ

จำนวนเชิงซ้อน ดังนี้
z - w = z + ( - w) สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z, w ใดๆ




เอกลักษณ์แล

ะตัว
ผกผันการคูณ

ตัวผกผันการคูณของ z เขียนแทนด้วย Z-1
เมื่อเขียน z = a+bi จะได้ว่า Z-1 =


ตัวอ
ย่าง
ตัวผกผันการคูณของ (4 ,- 3) คือ



ตัวผกผันการคูณของ - 3/13 +2/13i คือ



การหารจำนวนเชิงซ้อน



เมื่อกำหนดจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เท่ากับ(0, 0) มาให้ จะหาตัวผกผันการคูณของ
จำนวนเชิงซ้อนนี้ได้เสมอ ดังนั้นอาจนิยามการหารจำนวนเชิงซ้อนz ด้วย w เมื่อ W

(0,0) โดยอาศัยตัวผกผันการคูณของจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นตัวหารได้ดังนี้
จากบทนิยาม ถ้า z = a+bi และ w = c+di





อีกทฤษฏีหนึ่งกล่าวว่า z = a+bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะเรียก
จำนวนเชิงซ้อน

a - bi ว่าเป็นสังยุค (conjugate) ของ z และเขียนแทน
ด้วยสัญลักษณ์

นั่นคือ

สมบัติของสั งยุคของ
จำนวนเชิงซ้อน



ให้ z, z1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะได้ว่า



ตัวอย่าง
จงใช้สังยุคของตัวหารช่วยในการหาผลหารของการหาร 2 - i ด้วย 3 +
2i
วิธีทำ

รากที่สองของ
จำนวนเชิงซ้อน




รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน

ให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ รากที่สองของ z คือ จำนวนเชิงซ้อน w ซึ่ง ถ้า w เป็นรากที่สอง
ของ z แล้ว - w จะเป็นรากที่สองของ z ด้วย และรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์จะ
มีเพียงสองจำนวนเท่านั้น

สูตรของรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่า

เเต่บางครั้งค่า y นั้นสามารถเเบ่งได้ออกเป็น 2 กรณีนั่นคือ กรณีที่ค่าของ y มากกว่าหรือ
เท่ากับ 0 หรือค่าของ y น้อยกว่า 0 เราจึงได้ทฤษฏีบทว่า
กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z = x+ yi และให้

คลิปรากที่สองของ
จำนวนเชิงซ้อน
ในyoutube

กราฟเเละค่าสัมบูรณ์
ของจำนวนเชิงซ้อน








กราฟเเละค่าสั มบูรณ์ ของจำนวนเชิงซ้อน
เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนเขียนอยู่ในรูปของคู่อันดับ (a , b) หรือในรูป a + bi โดยที่ a
เป็นส่วนจริง และ b เป็นส่วนจินตภาพ ดังนั้นอาจเขียนแทนจำนวนเชิงซ้อน (a , b) ใด ๆ
ด้วยจุดบนระนาบได้เช่นเดียวกับการแทนคู่อันดับด้วยความสัมพันธ์ใดๆ ด้วยจุดบน
ระนาบในระบบมุมฉากและเรียกแกนนอนว่า แกนจริง (real axis) เรียกแกนตั้งว่า แกน
จินตภาพ (imaginary axis) แลเรียกระนาบที่เกิดจากแกนทั้งสองว่าระนาบเชิงซ้อน
(Complex plane) เพื่อความสะดวกจะใช้แกน X แทนแกนจริง และแกน Y แทนแกน
จินตภาพ

จำนวนเชิงซ้อน 3+ 2i แทนได้ด้วยจุด (3, 2) หรือแทนด้วยเวกเตอร์ที่มีจุด (0, 0)
เป็นจุดเริ่มต้น และจุด (3, 2) เป็นจุดสิ้นสุด ส่วนจำนวนเชิงซ้อนอื่นๆ เช่น - 3, 2i, 4 - I,
- 2+3i, แทนได้ด้วยจุดและเวกเตอร์บนระนาบเชิงซ้อนดังรูปที่ 1

ดังนั้นเราจึงได้นิยามว่า ค่าสัมบูรณ์ (absolute value หรือ modulus) ของ
จำนวนเชิงซ้อน a + bi คือ จำนวนจริง
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ |a + bi| จากบทนิยาม จะเห็นว่าค่าสัมบูรณ์ของ a + bi คือ
ระยะทางระหว่างจุดกำเนิด (0, 0) กับจุด (a, b) นั่นเอง
สมบัติของค่าสั มบูรณ์
ให้ z1, z2 และ z3 เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะได้ว่า
ถ้า z1 = a + bi และ z2 = c + di เป็น
จำนวนเชิงซ้อน แล้ว โดยบทนิยามค่าสัมบูรณ์ หมาย
ถึง ระยะทางระหว่างจุด (0, 0) และจุดที่แทน
จำนวนเชิงซ้อน z1 – z2 ในระนาบเชิงซ้อน

z1 – z2 = (a - c) + (b - d)i

จำนวนเชิงซ้อน
ในรูปขั้ว


ถ้า เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะสามารถเขียนแทน z ด้วยเวกเตอร์ระนาบได้

เมื่อกำหนด เป็นมุมบวกที่เล็กที่สุดซึ่งวัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน X ทางด้านบวก
ไปยัง. แทนระยะทางระหว่างจุดกำเนิด o กับ z จะได้ความสัมพันธ์ดังนี้

นอกจากนี้เรายังได้ความสัมพันธ์ที่ทำให้ค่า r และ จาก x และ y ดังนี้
ดังนั้นจึงอาจเขียนจำนวนเชิงซ้อน z ได้ในรูปใหม่เป็น

เรียกรูปแบบการเขียนจำนวนเชิงซ้อนที่เขียนในรูป. ว่าเป็นรูปเชิงขั้ว
(polar from) ของ z และเรียก. ว่า อาร์กิวเมนต์ (argument) ของ z สังเกตว่าเมื่อ
n เป็นจำนวนเต็มใดๆ

เราจึงได้ทฤษฏีที่กล่าวได้ว่า

รากที่ n ในจำนวนเชิงซ้อน

ถ้า แล้วรากที่ n ของ w มีทั้งหมด n ราก ที่แตกต่างกันคือ

สมการพหุนาม

ทฤษฎีบทหลักมูลของพืชคณิ ต
(Fundamental Theorem of Algebra)






ถ้า p(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าศูนย์แล้ว สมการ p(x) = 0
จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ
การพิสูจน์ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิตต้องอาศัยความรู้ระดับสูง จึงจะขอไม่

กล่าวถึงในที่นี้ อย่างไรก็ตามผลที่ตามมาของทฤษฎีบทหลักมูลพีชคณิต คือ ทฤษฎีบท
ต่อไปนี้

ทฤษฎีบท ถ้า p(x) เป็นพหุนามดีกรี แล้วสมการ p(x) = 0
จะมีคำตอบทั้งหมด n คำตอบ (นับคำตอบที่ซ้ำกันด้วย)
พิสูจน์ ให้ เป็นพหุนามดีกรี

โดยทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต จะได้ว่า สมการ p(x) = 0 มีอย่างน้อย 1 คำตอบ
สมมุติว่าเป็น c1 นั่นคือ x – c1 เป็นตัวประกอบของ p(x) ซึ่งทำให้ได้ว่า

โดยที่ q1 (x) เป็นพหุนามดีกรี n - 1
ถ้า สมการพหุนาม q1(x) ก็จะมีคำตอบอย่างน้อย 1 คำตอบเช่นกัน

โดยสมมติให้ชื่อว่า c2 ดังนั้น x – c2 ก็จะเป็นตัวประกอบของq1(x) ซึ่งทำให้ได้ว่า

โดยที่ q2 (x) เป็นพหุนามดีกรี n - 2
เมื่อดำเนินการเช่นนี้ไป n ครั้ง จะได้ว่า

แต่
เป็นพหุนามดีกรี n ซึ่งเท่ากับดีกรีของพหุนาม P(x) จึงได้ว่า r(x) ต้องเป็นค่า
คงตัว นั่นคือ r(x) = dเมื่อ

ดังนั้น
หรือคำตอบทั้งหมดของสมการ p(x) = 0 คือ

ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ

กำหนด p(x) เป็นพหุนามในรูป

ถ้า

เป็นตัวประกอบของพุหนาม p(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็มซึ่ง

และห.ร.ม. ของ m และ k คือ 1 แล้ว m หาร an ลงตัว และ k หาร a0
ลงตัว
ทฤษฎีบท ถ้าจำนวนเชิงซ้อน z เป็นคำตอบของสมการ
พหุนาม

โดยที่สัมประสิทธิ์ เป็นจำนวนจริงแล้วสังยุค จะเป็นคำตอบ
ของสมการพหุนามนี้ด้วย