e-Modul (Kaidah Pencacahan - Aturan Penjumlahan & Aturan Perkalian)

XII
SMA e - MODUL

KAIDAH PENCACAHAN

(ATURAN PENJUMLAHAN, ATURAN PERKALIAN, PERMUTASI &
KOMBINASI)

Disusun oleh:
HARIYANTO
([email protected])

PROGRAM
PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

DALAM JABATAN
DIKLAT KATEGORI 1 GELOMBANG 2

KELAS 001 MATEMATIKA
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA

2022

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

PEMERINTAH PROVINSI JAWA BARAT
DINAS PENDIDIKAN

SMA NEGERI 1 KEDOKANBUNDER

NSS : 30.102.18.101.01 NPSN : 20264425
Jl. Raya Kedokanbunder - Cangkingan, Kec. Kedokanbunder
Kabupaten Indramayu, Jawa Barat 45283 e_mail: [email protected]

LEMBAR PENGESAHAN

Indramayu, Desember 2022

Program Pendidikan Profesi Guru (PPG)
DALJAB

Mengetahui,

Kepala Sekolah SMAN 1 Kedokanbunder Mahasiswa PPG Daljab

ERNA SETYAWATI, M.Pd HARIYANTO, S.Pd
NIP. 19800806 200902 2 001

Menyetujui,
Pengawas Pembina

Drs. H. DIDI JUNAEDI, M.Pd
NIP. -

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI
PETA KONSEP
GLOSARIUM
PENDAHULUAN

Identitas Modul
Kompetensi Dasar
Deskripsi
Petunjuk Penggunaan Modul
Materi Pembelajaran
KEGIATAN PEMBELAJARAN
1. Tujuan
2. Uraian Materi
3. Rangkuman
DAFTAR PUSTAKA

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

PETA KONSEP

ATURAN ATURAN PENJUMLAHAN
PENCACAHAN ATURAN PERKALIAN
PERMUTASI
KOMBINASI

PELUANG

KAIDAH KEJADIAN SALING LEPAS
MAJEMUK KEJADIAN SALING BEBAS
KEJADIAN BERSYARAT

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

GLOSARIUM

FAKTORIAL : Hasil kali bilangan bulat Positif (bilangan Asli) berturut-turut dari n
sampai 1.
PERMUTASI : Susunan objek-objek dengan memperlihatkan urutan tertentu.
KOMBINASI : Susunan dari unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutan
unsur-unsur.

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

PENDAHULUAN

IDENTITAS MODUL : Matematika Wajib
: XII/ 2 (Genap)/ 4 JP
Nama Mata Pelajaran : Kaidah Pencacahan
Kelas/ Semester/ Alokasi Waktu
Judul e – Modul

KOMPETENSI DASAR

3.3. Menganalisis aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi
dan kombinasi) melalui masalah kontekstual.

3.3.1. Menjelaskan konsep aturan penjumlahan dan aturan perkalian.
3.3.2.
3.3.3. Menentukan penggunaan aturan penjumlahan dan aturan perkalian pada
masalah kontekstual.
3.3.4 Menentukan penggunaan aturan penjumlahan dan aturan perkalian pada
masalah kontekstual.

Menentukan penggunaan aturan perkalian dan aturan perkalian pada masalah
kontekstual.

3.3.5 Menganalisis aturan penjumlahan melalui masalah kontekstual.

3.3.6 Menganalisis aturan perkalian melalui masalah kontekstual.

3.4. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kaidah pencacahan
(aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi dan kombinasi)
3.4.1. Menyelesaikan masalah kontekstual terkait aturan penjumlahan.

3.4.2. Menyelesaikan masalah kontekstual terkait aturan perkalian.

DESKRIPSI

Kaidah Pencacahan adalah suatu ilmu yang berkaitan dengan menentukan banyaknya cara
suatu bercobaan banyak terjadi. Menentukan banyaknya cara suatu percobaan dapat terjadi
dilakukan dengan: Aturan Penjumlahan, Aturan Perkalian. Kaidah Pencacahan (Counting
Rules) didefinisikan sebagai suatu cara atau aturan untuk menghitung semua kemungkinan
yang dapat terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Terdapat beberapa metode dalam kaidah
pencacahan diantaranya: metode aturan pengisian tempat (Filling Slots), metode Permutasi
dan Metode Kombinasi.

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu kalian lakukan adalah sebagai berikut.

1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului
merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.

2. Jika kalian mempunyai kesulitan yang tidak dapat dipecahkan, catatlah, kemudian
tanyakan kepada guru pada saat kegiatan pembelajaran.
“Pendidikan itu setingkat dengan Olahraga, dimana
memungkinkan setiap orang untuk bersaing” – JOYCE MAYER
“Sekolah maupun kuliah tidak mengajarkan apa yang harus kita
pikirkan dalam hidup ini. Mereka mengajarkan kita cara Berpikir
Logis, Analisis dan Praktis” – AZIS WHITE

MATERI PEMBELAJARAN
Materi pembelajarn pada kompetensi ini adalah:

➢ Kaidah Pencacahan
➢ Permutasi
➢ Kombinasi

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

KEGIATAN PEMBELAJARAN

TUJUAN

Melalui model Problem Based Learning (PBL) dengan pendekatan Scientific berbasis
LKPD berbantu Liveworksheets, Media pembelajaran berbantu Powerpoint, serta dengan
pembelajaran diskusi dan tanya jawab, peserta didik mampu:
1. Menjelaskan konsep aturan penjumlahan dengan benar
2. Menjelaskan konsep aturan perkalian dengan benar
3. Menentukan penggunaan aturan penjumlahan pada masalah kontekstual dengan

benar
4. Menentukan penggunaan aturan perkalian pada masalah kontekstual dengan benar
5. Menganalisis aturan penjumlahan melalui masalah kontekstual dengan benar
6. Menganalisis aturan perkalian melalui masalah kontekstual dengan benar
7. Menyelesaikan masalah kontekstual terkait aturan penjumlahan dengan terampil
8. Menyelesaikan masalah kontekstual terkait aturan perkalian dengan terampil

1 ATURAN PENJUMLAHAN

Definisi
Misalkan, ada 1 cara melakukan kegiatan 1, 2 cara melakukan kegiatan 2, ..., cara
melakukan kegiatan k, dimana semua kegiatan tersebut tidak dapat dilakukan bersamaan,
maka banyak cara melakukan seluruh kegiatan adalah:

+ + + ⋯ +

Kapan digunakan aturan penjumlahan?
Aturan penjumlahan dipakai jika:

1. Ada beberapa kegiatan berbeda namun hanya satu yang dilakukan.
2. Kita sedang membagi kasus (terkadang ketika membagi kasus, aturan penjumlahan

biasanya dipakai beriringan dengan kaidah atau rumus lain).

Contoh 1:
Rafi Ahmad memiliki 5 mobil, 2 sepeda motor dan 3 sepeda. Berapa cara Rafi Ahmad
dapat ke kantor dengan kendaraannya?
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa Rafi Ahmad hanya dapat menggunakan salah satu kendaraan (tidak
dapat menggunakannya bersamaan).
5 + 2 + 3 = 10
Jadi, dengan aturan penjumlahan banyak cara Rafi Ahmad pergi ke kantor dengan
kendarannya adalah: 10 cara.

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

Contoh 2:
Dilan hendak mendengarkan lagu, terdiri dari 10 lagu irama pop, 5 lagu irama rock dan
3 irama dangdut. Berapa cara ia dapat memilih lagu yang akan didengar?
Penyelesaian:
Dilan hanya dapat mendengar salah satu lagu (tidak dapat mendengarkannya secara
bersamaan).
10 + 5 + 3 = 18
Jadi, dengan aturan penjumlahan, banyak cara Dilan memilih lagu yang akan
didengarnya adalah: 18 cara

2 ATURAN PERKALIAN

Definisi
Misalkan, ada 1 cara melakukan kegiatan 1, 2 cara melakukan kegiatan 2, ..., cara
melakukan kegiatan k, dimana semua kegiatan tersebut dilakukan bersamaan, maka banyak
cara melakukan seluruh kegiatan adalah:

× × × … ×

Kapan digunakan aturan perkalian?
Aturan perkalian dipakai jika:

1. Ada satu kegiatan terdiri dari beberapa tahap.
2. Ada beberapa kegiatan berbeda yang semuanya harus dilakukan.

Contoh:
Pada pemilihan pengurus OSIS terpilih tiga kandidat yakni Abdul, Beny, dan Cindi yang
akan dipilih menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Aturan pemilihan adalah setiap orang
hanya boleh dipilih untuk satu jabatan. Berapakah kemungkinan cara untuk memilih dari tiga
orang menjadi pengurus OSIS?
Penyelesaian:
Ada beberapa metode untuk menghitung banyak cara dalam pemilihan tersebut.

Cara Mendaftar
Mari kita coba untuk memilih tiap-tiap jabatan, yaitu:
a. Jabatan ketua OSIS Untuk jabatan ketua dapat dipilih dari ketiga kandidat yang
ditunjuk yakni Abdul (A), Beny (B), dan Cindi (C) sehingga untuk posisi ketua dapat
dipilih dengan 3 cara.
b. Jabatan sekretaris OSIS Karena posisi ketua sudah terisi oleh satu kandidat maka
posisi sekretaris hanya dapat dipilih dari 2 kandidat yang tersisa.
c. Jabatan bendahara OSIS Karena posisi ketua dan sekretaris sudah terisi maka posisi
bendahara hanya ada satu kandidat.

Dari uraian di atas banyak cara yang dapat dilakukan untuk memilih tiga kandidat
untuk menjadi pengurus OSIS adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara.

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

Cara Diagram Pohon
Untuk dapat lebih memahami uraian di atas perhatikan diagram berikut.

Contoh 2:

Seorang manajer supermarket ingin menyusun barang berdasarkan nomor seri barang. Dia

ingin menyusun nomor seri yang dimulai dari nomor 3000 sampai

dengan 8000 dan tidak memuat angka yang sama. Tentukan banyak nomor

seri yang disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Penyelesaian:
Setiap bilangan yang berada diantara 3000 dan 8000 pastilah memiliki banyak angka yang
sama yakni 4 angka

• Perhatikan untuk mengisi ribuan hanya dapat diisi angka 3, 4, 5, 6, 7. Artinya
terdapat 5 cara mengisi ribuan.

• Untuk mengisi ratusan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 7 yang mungkin.
• Untuk mengisi puluhan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 6 angka yang

mungkin.
• Untuk mengisi satuan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 5 angka yang

mungkin.
Dengan demikan, banyak angka yang dapat mengisi keempat posisi tersebut adalah
sebagai berikut:

57 6 5
Banyak susunan nomor seri barang yang diperoleh adalah: 5 × 7 × 6 × 5 = 1.050 cara.

Dari pembahasan masalah, contoh dan kegiatan di atas, dapat kita simpulkan dalam
aturan perkalian berikut ini. Matematika merupakan bahasa simbol. Oleh karena itu,
penulisan aturan perkalian di atas dapat disederhanakan dengan menggunakan
faktorial.

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

Faktorial
Definisi:

a. Jika n bilangan asli maka n! (dibaca “n faktorial”) didefinisikan dengan:
n! = n× (n-1) × (n-2) × (n-3) ×...×3×2×1
atau
n!=1×2×3×...× (n-3) × (n-2) × (n-1) × n

b. 0! = 1

Contoh :
Hitunglah 7! + 4!

Penyelesaian :
7! + 4! = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 1)

= 5.040 + 24 = 5.064

3 PERMUTASI

Definisi
Permutasi adalah susunan unsur berbeda yang dibentuk dari n unsur, diambil dari n unsur
atau sebagian unsur. Permutasi dapat dikelompokkan menjadi beberapa macam:
1. Permutasi dengan Unsur yang Berbeda
Contoh 1:
Seorang resepsionis klinik ingin mencetak nomor antrian pasien yang terdiri tiga angka
dari angka 1, 2, 3, dan 4. Tentukan banyak pilihan nomor antrian dibuat dari:
a. Tiga angka pertama.
b. Empat angka yang tersedia.

Penyelesaian:
a. Jika resepsionis menggunakan angka 1, 2, 3 maka nomor antrian yang dapat disusun

adalah:
123 132 213 231 312 321
Terdapat 6 angka kupon antrian.
b. Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4, maka susunan
nomor antrian yang diperoleh adalah:

123 142 231 312 341 421

124 143 234 314 342 423

132 213 243 321 412 431

134 214 241 324 413 432
PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

Sehingga terdapat 24 pilihan nomor antrian.

Mari kita cermati bagaimana menyelesaikan masalah di atas dengan menggunakan
konsep faktorial.

1. Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3 maka banyak
susunan nomor antrian adalah:

6 = 3x2x1 = 3x2x1 = 3! = 3!
1 1! (3−2)!

2. Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4 maka banyak
susunan nomor antrian adalah:

24 = 4x3x2x1 = 4x3x2x1 = 4! = 4!
1 1! (4−3)!

Demikian selanjutnya jika diteruskan, banyak susunan k angka dari n angka yang
disediakan yang dapat dibuat adalah:

! dengan n ≥ k. (*)
( − )!

Contoh 2:
Sekolah SMA Generasi Emas, setiap tahun mengadakan acara pentas seni. Biasanya 8
bulan sebelum acara akbar, para siswa melakukan pemilihan untuk jabatan ketua dan
sekretaris. Setelah melalui seleksi terdapat 5 kandidat yang mendaftarkan diri, yakni:

Ayu (A), Beni (B), Charli (C), Dayu (D), dan Edo (E).

Bagaimana kita mengetahui banyak cara memilih ketua dan sekretaris untuk acara pentas
seni sekolah tersebut?

Penyelesaian :
Untuk mengetahui banyak susunan pengurus dapat dilakukan dengan beberapa cara, antara
lain:

a) Dengan cara mendaftar: Seluruh kandidat yang mungkin dibuat dapat didaftarkan
sebagai berikut:
AB BA CA DA EA
AC BC CB DB EB
AD BD CD DC EC
AE BE CE DE ED
Dari daftar di atas diperoleh banyak susunan pengurus acara pentas seni adalah 20
cara.

b) Dengan Aturan Perkalian
Untuk masalah ini, akan dipilih 2 pengurus dari 5 kandidat yang ada. Dengan
menggunakan pola rumusan (*) diperoleh:

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

n = 5 dan k = 2

maka n! = 5! = 20 cara
( − )! (5−2)!

Dengan pembahasan Contoh 1 dan Contoh 2 ditemukan bahwa banyak susunan k

unsur berbeda dari n unsur yang tersedia dan memperhatikan urutan susunannya dapat

dirumuskan dengan n! . Bentuk susunan ini dikenal dengan ”permutasi”.
( − )!

Defenisi:

Permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia biasa dituliskan atau nPk serta P(n,
k) dengan k ≤ n.

• Banyak permutasi n unsur ditentukan dengan aturan

= n× (n-1) × (n-2) × (n-3) ×...×3×2×1 = n!
• Banyak permutasi unsur dari n unsur yang tersedia, dapat ditentukan dengan:

= n!
( − )!

Dari pembahasan permutasi-permutasi di atas, dapat kita simpulkan sifat berikut ini.

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

2. Permutasi dengan Unsur-Unsur yang Sama
Sifat :

Contoh:
Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari 3 huruf yang diambil dari huruf-
huruf pembentuk kata K O G N I T I V I S T I K?

Penyelesaian :
Tersedia 13 unsur dalam kata tersebut; yaitu huruf-huruf K, O, G, N, I, T, I, V, I, S,
T, I, K. Dari 13 unsur yang tersedia memuat 4 huruf I yang sama, 2 huruf K yang
sama dan 2 huruf T yang sama.

Jika kita partisi banyak huruf pembentuk kata K O G N I T I V I S T I K adalah
sebagai berikut:

Jadi permutasi yang melibatkan unsur yang sama, dihitung dengan menggunakan
Sifat, diperoleh:

3. Permutasi Siklis

Sifat:

Misalkan dari n unsur yang berbeda yang tersusun melingkar.

Banyak permutasi siklis dari n unsur tersebut dinyatakan:

Psiklis = (n-1)!

Contoh:
Beny (B), Edo (E), dan Lina (L) berencana makan bersama disebuah restoran.
Setelah memesan tempat, pramusaji menyiapkan sebuah meja bundar buat mereka.
Selang beberapa waktu Siti datang bergabung dengan mereka. Berapa banyak cara
keempat orang tersebut duduk mengelilingi meja bundar tersebut?

Penyelesaian:
Psiklis = (n – 1)!

= (4 – 1)! = 3! = 6 cara.

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

Ilustrasi :

4 KOMBINASI
Defenisi :
Sifat:

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

Contoh :
Diatas meja terdapat tiga buah amplop yaitu amplop A. amplop B, amplop C. Si Ibu
menyuruh anaknua mengambil dua amplop dari tiga amplop yang tersedua diatas
meja. Berapa banyaknya cara atau kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari
tiga buah amplop yang disediakan?

Penyelesaian :

C(3,2) = 3! =3
(3−2)!2!

RANGKUMAN

Jika suatu operasi terdiri dari 2 tahap, tahap pertama dapat dilakukan dengan m cara yang
sama, dan tahap kedua dapat dilakukan dengan n cara yang sama, maka keseluruhan operasi
dapat dilakukan dengan m + n cara. Cara pencacahan seperti ini disebut Aturan
Penjumlahan

Jika suatu operasi terdiri dari 2 tahap, tahap pertama dapat dilakukan dengan m cara yang
berbeda, dan tahap kedua dapat dilakukan dengan n cara yang berbeda, maka keseluruhan
operasi dapat dilakukan dengan m × n cara. Cara pencacahan seperti ini disebut Aturan
Perkalian

Faktorial:
1. ! = ( − )( − )( − ) … . .
2. ! =

Permutasi adalah susunan objek-objek dengan memperlihatkan urutan tertentu.
Permutasi n objek berbeda yang setiap kali diambil seluruhnya ( )

= ! = !

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

Permutasi n objek berbeda yang setiap kali diambil sebagian ( )
!

= ( − )( − ) … ( − + ) = ( − )!

Permutasi n objek yang tidak semua berbeda
!

= ! × ! × …

Kombinasi adalah susunan dari unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutan
unsur-unsur itu.

Kombinasi:

!
= ! ( − )!

LATIHAN SOAL

1. Hariyanto memiliki 3 mobil, 5 sepeda motor dan 10 sepeda. Berapa cara Hariyanto

dapat kekantor dengan kendaraannya?

2. Handayani hendak melihat video, terdiri dari 10 video bertema horor, 5 video bertema

romantis dan 21 video bertema komedi. Tentukan dengan bahasa kalian sendiri, ada

berapa cara Handayani dapat memilih video yang akan dilihat?

3. Marquez hendak mendengarkan musik, terdiri dari n musik bergenre pop, 3n musik

bergenre rock dan 1 musik bergenre dangdut. Jelaskan dengan bahasa kalian sendiri,
2

ada berapa cara Marquez dapat memilih musik yang akan didengar?

4. Roni mempunyai 25 buah kaos, 10 buah kemeja dan 4 buah celana panjang. Tentukan

banyaknya variasi paiakan yang dapat dipakai Candra!

5. Jihan akan memilih menu makan di Rumah Makan Padang terdiri dari sayur, lauk,

buah dan minuman, masing-masing satu macam. Jika terdapat 5 macam sayur, 5

macam lauk, 10 macam buah dan 10 macam minuman. Jelaskan dengan bahasa kalian

sendiri, berapakah banyaknya menu makanan di Rumah Makan Padang yang dapat

dipilih Jihan?

6. Dari 10 orang siswa akan dipilih masing-masing satu orang untuk menjabat sebagai

Ketua, Wakil, Sekretaris dan Bendahara. Tentukan banyak pilihan yang mungkin.

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)

DAFTAR PUSTAKA
➢ Abdur, R.S, dkk. 2018. Matematika kelas XII Wajib Edisi Revisi 2018. Jakarta.

Kemendikbud.
➢ https://www.catatanmatematika.com/2021/05/materi-kaidah-pencacahan-aturan-

penjumlahan-dan-aturan-perkalian.html
➢ https://www.ruangparabintang.com/2021/01/materi-contoh-soal-dan-

pembahasan.html
“Jika kamu tidak mengerjakan apa yang kamu inginkan, maka
kamu tidak akan mendapatkannya. Jika kamu tidak bertanya
maka jawabannya adalah tidak. Jika kamu tidak melangkah
maju, kamu akan berada ditempat yang sama” – QUOTES
MOTIVASI

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG)