โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง “ โคมไฟลายคณิต Handmade ” คณะผู้จัดท า 1. นางสาวสุริสา การวิชา รหัสนักศึกษา 62128183001 2. นางสาวปวีณา ปัญญากล้า รหัสนักศึกษา 62128183005 3. นางสาวสุภาพร พลแก้ว รหัสนักศึกษา 62128183006 4. นางสาวนิลาวรรณ์ แสงช้าง รหัสนักศึกษา 62128183017 5. นางสาวกนกวรรร บุญศรี รหัสนักศึกษา 62128183029 อาจารย์ที่ปรึกษา 1. อาจารย์ณัฐวัตร สุดจินดา 2. อาจารย์ ดร.วัสส์พร จิโรจพันธ์ สาขาวิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏวไลยอลงกรณ์ ในพระบรมราชูปถัมภ์ ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2565
บทคัดย่อ โคมไฟลายคณิต Handmade มีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษาการประดิษฐ์โคมไฟให้มีความสวยงาม เเละเพิ่มมูลค่า ของโคมไฟ เพื่อศึกษาความรู้เรื่อง รูปทรงเรขาคณิต เอนวิโลป (Envelope) เเละการแปลง ทางเรขาคณิต มาประยุกต์ใช้ในการออกแบบลวดลายโคมไฟด้วยโปรแกรม Geometer ’ s Sketchpad (GSP) ผู้จัดท าได้น าความรู้ ทักษะ และประสบการณ์ที่ได้เรียนรู้จากการเรียนในวิชาสัมมนาทาง คณิตศาสตร์ศึกษา รหัส วิชา EME403* และในรายวิชาอื่นๆ เพื่อมาบูรณาการเกิดเป็นองค์ความรู้ ฝึก ทักษะด้านวิชาชีพ เพิ่มประสบการณ์ในการท างาน โดยการพัฒนาและสร้างสรรค์นวัตกรรมใหม่ เพิ่ม ทักษะในการ ปฏิบัติงาน เสริมสร้างประสบการณ์ให้ได้มาตรฐานตามคุณวุฒิวิชาชีพของนักศึกษา ปลูกฝัง คุณธรรมที่ พึงประสงค์ตามความต้องการของสถานประกอบการประจ าวัน ตามหลักปรัชญาของเศรษฐกิจ พอเพียง ตลอดจนการใช้โคมไฟที่สร้างนี้เป็นการน าสิ่งประดิษฐ์หรือนวัตกรรมต่างๆ มาใช้ในการประหยัด พลังงานท าให้ประหยัดค่าใช้จ่าย เป็นการอนุรักษ์ฟื้นฟูธรรมชาติทรัพยากรธรรมชาติ และสิ่งแวดล้อม ซึ่ง เป็นการช่วยลดสภาวะโลกร้อนอนาคต ก
กิตติกรรมประกาศ โครงงานโคมไฟลายคณิต Handmade ส าหรับประดับตกแต่งภายในที่พักอาศัยแนวความคิดมา จาก เส้นด้าย ส าเร็จได้ด้วยดีเพราะได้รับความอนุเคราะห์จากบุคคลหลาย ๆ ท่านที่ได้กรุณาสละเวลาให้ ความรู้ให้ค าแนะน าและข้อคิดเห็นที่มีคุณค่าและเป็นประโยชน์ต่อโครงงานเป็นอย่างยิ่ง ผู้จัดท า ขอขอบพระคุณอาจารย์ที่ปรึกษาทั้ง 2 ท่าน คือ อาจารย์ณัฐวัตร สุดจินดา อาจารย์ ดร.วัสส์พร จิโรจพันธ์ ที่ให้ค าปรึกษาในการท างานตลอดมาและอาจารย์ทุก ๆ ท่านที่ให้ความรู้มากมาย ผู้จัดท ารู้สึกซาบซึ้งใน ความกรุณาและขอขอบพระคุณเป็นอย่างสูงมา ณ โอกาสนี้ ขอขอบพระคุณอาจารย์ทุกท่าน ในสาขาวิชา คณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏวไลยอลงกรณ์ ในพระบรมราชูปถัมภ์ ที่ให้ความอนุเคราะห์สถานที่ พร้อมทั้งวัสดุอุปกรณ์ในการท าโครงงาน ท าให้โครงงานนี้ด าเนินงานเป็นไปอย่างราบรื่นยิ่งขึ้น ขอขอบพระคุณครอบครัวที่ให้การสนับสนุนเรื่องงบประมาณและเป็นก าลังใจที่ดีเสมอมา สุดท้าย นี้ผู้จัดท าขอขอบพระคุณทุกท่านที่ไม่ได้กล่าวชื่อในที่นี้ที่ให้ความช่วยเหลือในการท างานทุก ๆ อย่าง จน โครงงานเล่มนี้ประสบผลส าเร็จลุล่วงไปได้ด้วยดี ข
สารบัญ เรื่อง บทคัดย่อ กิตติกรรมประกาศ สารบัญ บทที่ 1 บทน า บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวข้อง บทที่ 3 วิธีด าเนินการศึกษา บทที่ 4 ผลการด าเนินการ บทที่ 5 สรุปอภิปรายผลการด าเนินการและข้อเสนอแนะ บรรณานุกรม ภาคผนวก หน้ากขค14 14 23 24 25 26 ค
บทที่ 1 บทน า ที่มาและความส าคัญ โคมไฟเป็นอุปกรณ์ใช้ส าหรับให้เเสงสว่างในที่มืด แต่ปัจจุบันคนไทยบางส่วน นิยมน า โคมไฟมา เป็นเฟอร์นิเจอร์ตกแต่งบ้าน มากกว่าการน า โคมไฟมาใช้เพื่อให้เเสงสว่างเพียงอย่างเดียว โคมไฟมี 2 ลักษณะ ทั้งแบบตั้งโต๊ะ และแบบแขวน ซึ่งมีรูปแบบที่แตกต่างกันออกไปตามแต่วัสดุที่น า มาท า โคมไฟ การท า โคมไฟสามารถใช้วัสดุได้หลายชนิด อาทิเช่น อะลูมิเนียม พลาสติก ไม้ แก้ว หรือโคมไฟแฮนด์เมด จาก วัสดุเหลือใช้ เป็นต้น จากความนิยมการน า โคมไฟมาใช้เป็นเฟอร์นิเจอร์ตกเเต่งบ้าน คณะผู้จัดท า จึงได้มีความ คิดที่ จะประดิษฐ์โคมไฟรูปทรงเรขาคณิตขึ้นมา เเละตกเเต่งความสวยงามโดยออกแบบลวดลาย ผ่านโปรแกรม Geometer ’ s Sketchpad (GSP) ซึ่งคณะผู้จัดท า ได้น า ความรู้ทาง คณิตศาสตร์เรื่อง เอนวิโลป (Envelope) เเละการแปลงทางเรขาคณิต มาประยุกต์ใช้ร่วมด้วย จุดมุ่งหมายของการท าโครงงาน 1. เพื่อศึกษาการประดิษฐ์โคมไฟให้มีความสวยงาม เเละเพิ่มมูลค่า ของโคมไฟ 2. เพื่อศึกษาความรู้เรื่อง รูปทรงเรขาคณิต เอนวิโลป (Envelope) เเละการแปลงทางเรขาคณิต มาประยุกต์ใช้ในการออกแบบลวดลายโคมไฟด้วยโปรแกรม Geometer ’ s Sketchpad (GSP) สมมติฐานการศึกษาค้นคว้า สามารถออกแบบโคมไฟส าหรับประดับตกแต่งภายในที่พักอาศัยที่น าเส้นด้าย มาออกแบบ ผสมผสานร่วมกับเทคนิคการตกแต่งโดยใช้ เส้นโค้งเกิดจากเส้นตรง ของเอนวิโลป (Envelope) และใช้ โปรแกรม Geometer ’ s Sketchpad (GSP) ในการออกแบบลวดลายของโคมไฟ สามารถตอบสนองได้ ทั้งด้านการใช้สอยและด้านความสวยงาม มีรูปแบบแตกต่างจากโคมไฟที่มีวางจ าหน่ายอยู่ในท้องตลาด สามารถน าไปใช้สร้างบรรยากาศภายในที่พักอาศัยที่มีรูปแบบสมัยใหม่ได้ทราบถึงกระบวนการผลิตผลงาน ปัญหา แนวทางแก้ไข ขอบเขตของการศึกษาค้นคว้า การประดิษฐ์โคมไฟลวดลายคณิตศาสตร์ ตามหลักการของ เอนวิโลป (envelope) เพื่อน าไป ประดับตกแต่งภายในที่พักอาศัยให้มีแสงสว่างเพิ่มขึ้น นิยามศัพท์เฉพาะ เส้นโค้งเกิดจากเส้นตรง เอนวิโลป (envelope) คือ ถ้าลากเส้นตรงเป็นจ านวนมากๆ ค่อย ๆ เปลี่ยนทิศทางไปตามกฎเกณฑ์ที่ก าหนดไว้เส้นตรง เหล่านั้นจะตัดกับเส้นตรงที่อยู่ข้างเคียง และจะมีเส้น โค้งเส้นหนึ่งเกิดขึ้น ซึ่งจะสัมผัสชุดของเส้นตรงที่ ได้เขียนไว้แต่แรกทุกเส้น ยิ่งเขียนเส้นตรงให้มากขึ้น ก็จะ แลเห็นเส้นโค้งชัดเจนขึ้นในทางคณิตศาสตร์เรียกเส้นโค้งเช่นนี้ว่า เอนวิโลป (envelope) ของชุดเส้นตรง หรือเราอาจจะเรียกว่า เส้นขอบ ของชุด เส้นตรงก็ได้ 1
รูปเรขาคณิต คือ เรขาคณิต 2 มิติคือ รูปเรขาคณิตที่มีโครงสร้างและรูปร่างที่แน่นอน มีแบบ แผนโดยจะมีเพียงด้านกว้างและด้านยาว ไม่มีด้านลึก ท าให้ไม่มีเนื้อที่ภายในและปริมาตรนั่นเอง รูปทรงเรขาคณิต คือ รูปที่ลักษณะเป็น 3 มิติ โดยนอกจากจะแสดงความกว้าง ความยาวแล้ว ยัง มีความลึก หรือความหนา นูน ด้วย เช่น รูปทรงกลม ทรงสามเหลี่ยม ทรงกระบอก เป็นต้น ให้ ความรู้สึกมีปริมาตร ความหนาแน่น มีมวลสาร ที่เกิดจากการใช้ค่าน้ าหนัก หรือการจัดองค์ประกอบ ของ รูปทรง หลายรูปรวมกัน รูปสามเหลี่ยม (Triangle) คือ รูปปิดสองมิติที่มีสามด้าน สามมุม โดยมุมภายในรวมกันได้ 180 องศา แบ่งได้สองลักษณะ คือ แบ่งตามลักษณะของด้าน และแบ่งตามลักษณะของมุม รูปวงกลม (Circle)เป็นรูปปิดที่ไม่มีมุม วาดโดยการก าหนดจุดศูนย์กลางขึ้นมาหนึ่งจุด จากนั้น ลากเส้นโค้งให้มีระยะห่างจากจุดนั้นเท่ากันโดยตลอด วาดวนไปรอบจุดศูนย์กลางจนกระทั่งกลับมายัง จุดเริ่มต้น การเลื่อนขนาน (Translation) ต้องมีรูปต้นแบบ ทิศทางและระยะทางที่ต้องการเลื่อนรูป การ เลื่อนขนานเป็นการแปลงที่จับคู่จุดแต่ละจุดของรูปที่ได้จากการเลื่อนรูปต้นแบบไปในทางทิศทาง ใด ทิศทางหนึ่งด้วยระยะทางที่ก าหนด จุดแต่ละจุดบนรูปที่ได้จากการเลื่อนขนานระยะห่างจากจุดที่ สมนัย กันบนรูปต้นแบบเป็นระยะทางเท่ากัน การเลื่อนในลักษณะนี้เรียกอีกอย่างหนึ่ง ว่า “สไลด์(slide)” การสะท้อน ( Reflection ) เป็นการแปลงที่จุดทุกจุดของรูปต้นแบบเคลื่อนที่ข้ามเส้นตรง เส้น หนึ่ง ซึ่งเปรียบเหมือนกระจกหรือเรียกว่าเส้นสะท้อน โดยที่เส้นนี้จะแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับส่วน ของเส้น ตรงที่เชื่อมระหว่างจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปสะท้อนที่สมนัยกัน การหมุน (Rotation)เป็นการแปลงที่จุดทุกจุดของรูปต้นแบบเคลื่อนที่ไปเป็นมุมเดียวกัน รอบจุด ตรึงอยู่กับที่ที่ก าหนดหรือจุดหมุน การหมุนจะหมุนทวนเข็มนาฬิกาหรือตามเข็มนาฬิกา ตาม ขนาดของ มุมและทิศทางที่ต้องการหมุนโดยทั่วไปถ้าไม่ระบุทิศทางการหมุนจะถือว่าเป็นการหมุนทวน เข็มนาฬิกา การหมุนเป็นการแปลงที่เกิดจากการจับคู่ของ จุดแต่ละคู่ระหว่างรูปต้นแบบกับรูปที่ได้จาก การหมุน โปรแกรม The Geometer's Sketchpad หรือ GSP เป็นระบบซอฟต์แวร์ที่ใช้ส าหรับสร้าง ส ารวจ และการวิเคราะห์สิ่งต่างๆที่เกี่ยวกับเนื้อหาคณิตศาสตร์หลายด้าน โปรแกรม GSP เป็นสื่อ เทคโนโลยีที่ช่วยให้ผู้เรียนมีโอกาสเรียนรู้คณิตศาสตร์โดยการสร้างองค์ความรู้ด้วยตนเองเนื่องจากขณะใช้ โปรแกรม GSP ผู้ใช้สามารถสร้างตัวแบบคณิตศาสตร์ที่ท าให้เกิดการเคลื่อนไหวเชิงเรขาคณิต และ ผู้ใช้ สามารถท าปฏิกิริยาโต้ตอบได้ โปรแกรม GSP สามารถน ามาใช้ในการส ารวจเบื้องต้นเกี่ยวกับ รูปทรง เรขาคณิตและจ านวน ตลอดจนแสดงการเคลื่อนไหวของเนื้อหาด้านคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน และพัฒนา ความคิดเกี่ยวกับหัวข้อต่างๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ได้หลายแขนง เช่น เรขาคณิต พีชคณิต ตรีโกณมิติ แคลคูลัส และเนื้อหาอื่นๆ จึงมีความเหมาะสมที่ครูผู้สอนคณิตศาสตร์จะน ามาใช้ในการ จัดการเรียนรู้และ สร้างสื่อคอมพิวเตอร์ช่วยสอน ด้านศิลปะและการเคลื่อนไหว (Art / Animation) โปรแกรม GSP สามารถที่จะน าเครื่องมือมา สร้างรูปต่างๆ และสามารถใช้ค าสั่งเพื่อที่จะท าให้รูปดังกล่าวเคลื่อนไหวได้ตามที่ต้องการ ซึ่งเป็นโปรแกรม ที่ไม่เคยปรากฏมาก่อนในลักษณะนี้ แคลคูลัส (Calculus) เราสามารถใช้โปรแกรม GSP ค านวณหาปริมาตรของกล่องซึ่งเกิด จากการ ตัดมุมทั้งสี่ของกระดาษ ซึ่งเราจะเห็นการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของกล่อง ดังกล่าวจาก การเคลื่อนไหว และนอกจากนี้ยังสามารถใช้โปรแกรมดังกล่าวสร้างกราฟจากสมการต่างๆ ได้ 2
วงกลม (Circles) ในโปรแกรม GSP สามารถที่จะใช้เครื่องมือ Compass Tool สร้าง วงกลมได้ ตามที่ต้องการ และสามารถที่จะวัดหารัศมี เส้นรอบวง และค านวณหาพื้นที่ได้ เส้นตรงและมุม (Lines and Angles) ในการสร้างเส้นตรงและมุมโดยการใช้โปรแกรม GSP สามารถท าได้โดยง่าย ซึ่งเมื่อได้ท าการสร้างเส้นตรงและมุมเสร็จแล้วสามารถที่จะวัดขนาดของ เส้นตรง และมุมดังกล่าวได้ ซึ่งด้วยความสามารถและคุณสมบัติดังกล่าวท าให้การสรุป เนื้อหาและ ทฤษฎีเกี่ยวกับ เรื่องเส้นตรงและมุมท าได้รวดเร็วยิ่งขึ้น ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับ 1. ได้ชิ้นงานเป็นโคมไฟที่สวยงาม เเละสร้างมูลค่าของโคมไฟให้เพิ่มมากขึ้นได้ 2. ออกแบบลวดลายโคมไฟด้วยโปรแกรม Geometer ’ s Sketchpad (GSP) โดยน า ความรู้ เรื่อง รูปทรงเรขาคณิต เอนวิโลป (Envelope) เเละการแปลงทาง เรขาคณิต มาใช้ในการ ออกแบบได้ 3
บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวข้อง โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่องโคมไฟลายคณิตศาสตร์Handmade ผู้จัดท าได้ศึกษาเอกสารที่ เกี่ยวข้อง ดังนี้ 1. เส้นโค้งเกิดจากเส้นตรง เอนวิโลป (envelope) 2. รูปเรขาคณิตสองมิติ 3. การแปลงทางเรขาคณิต 4. โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรือ GSP 1. เส้นโค้งเกิดจากเส้นตรง เอนวิโลป (envelope) ถ้าลากเส้นตรงเป็นจ านวนมากๆ ค่อยๆ เปลี่ยนทิศทาง ไปตามกฎเกณฑ์ที่ก าหนดไว้เส้นตรง เหล่านั้นจะตัดกับเส้นตรงที่อยู่ข้างเคียงกัน และจะมีเส้นโค้งเส้นหนึ่งเกิดขึ้น ซึ่งจะสัมผัสชุดของเส้นตรงที่ ได้เขียนไว้แต่แรกทุกเส้น ยิ่งเขียนเส้นตรงให้มากขึ้น ก็จะแลเห็นเส้นโค้งชัดเจนยิ่งขึ้น ในทางคณิตศาสตร์ เรียกเส้นโค้งเช่นนี้ว่า เอนวิโลป (envelope) ของชุดเส้นตรง หรือเราอาจจะเรียกว่า เส้นขอบ ของชุด เส้นตรงก็ได้ วงกลมจากเส้นตรง ลองก าหนดเครื่องหมาย x บนกระดาษ ใช้ไม้บรรทัดวางบนกระดาษ ให้ริมข้างหนึ่งผ่านจุดตัดของ เครื่องหมาย x แล้วขีดเส้นตรงที่ริมของไม้บรรทัดอีกด้านหนึ่ง ค่อยๆ เลื่อนไม้บรรทัดโดยให้ริมหนึ่งผ่าน x เสมอ และขีดเส้นตรงที่อีกริมหนึ่งของไม้บรรทัด เมื่อหมุนไม้บรรทัดไปจนรอบ x ก็จะได้ชุดเส้นตรงรอบ x ด้วย จะเห็นได้ว่า จะมีวงกลมหนึ่งวง มีศูนย์กลางที่ x และสัมผัสเส้นตรงชุดนี้ทุกเส้น วงกลมนี้ก็คือ เส้น ขอบ หรือ เอนวิโลป ของเส้นตรง ซึ่งอยู่ห่างจาก x เป็น ระยะทางเท่ากับความกว้างของไม้บรรทัดนั่นเอง ถ้าลากเส้นตรงสองเส้นมีความยาวเส้นละ 4 นิ้ว และให้ท ามุมต่อกันเป็นมุมเล็กกว่า 90 องศา แบ่งสเกลบนเส้นทั้งสองออกเป็น 16 ส่วนโดยมีความยาว ส่วนละ 1/4 นิ้ว บนเส้นหนึ่งเขียนเลข 1, 2, 3,…,16 และเขียนตัวอักษร ก, ข, ค,…,บ บนอีกเส้นหนึ่ง ใช้เส้นตรงโยงจุด ก และจุด 16 จุด ข และจุด 15 จุด ค และจุด 14 เช่นนี้ไปจนครบ 16 จุดบนแต่ละเส้น เส้นขอบของเส้นตรงชุดนี้คือ เส้นโค้งพาราโบลา จากแนวความคิดนี้เราอาจประดิษฐ์ลวดลายแบบคณิตศาสตร์ขึ้นได้ โดยใช้ไม้สี่เหลี่ยมจัตุรัส (อาจจะใช้ไม้อัดหรือวัสดุอื่นก็ได้) ลากเส้นตรงสองเส้นให้ตั้งฉากกันและกัน และแบ่งไม้แบบเป็นสี่ส่วน 4
แบ่งสเกลจากจุดตัดออกไปทั้งสี่ทิศ ให้มีความยาวช่วงละครึ่งนิ้ว (หรือจะใช้หน่วยอื่นก็ได้) ก าหนดเลข 1, 2, 3,… ลงบนเส้นตรงทั้งสอง (ตามภาพ) แล้วเจาะรูตรงหมายเลขทั้งหมด ใช้เชือกเส้น เล็กๆ ที่มีสีสวยงามหรือเส้นด้ายไนลอนสีก็ได้ สอดเข้าไปในรูเข็ม สอดเข็มใต้ แผ่นกระดานตรงหมายเลข 8 บนแกน y ขึ้นมา แล้วสอดเข็มลงไปที่ หมายเลข 1 บนแกน x ดึงด้ายให้ตึงเสมอ ต่อไปสอดเข็มขึ้นมาตรงหมายเลข 2 บนแกน x แล้วน าเข็มไป สอดลงตรงหมายเลข 7 บนแกน y สอดเข็มขึ้นมาตรงหมายเลข 6 บนแกน y แล้วน าไปสอดลงตรง หมายเลข 3 บนแกน x ท าเช่นนี้ไปจนครบทุก หมายเลข จะได้เส้นด้ายตัดกันมีขอบเป็นเส้นโค้ง อยู่ในส่วน ที่หนึ่งของแผ่นไม้ แบบ อีกสามส่วนของแผ่นไม้แบบก็กระท าเช่นเดียวกัน จะได้ลวดลายที่มีเส้น ตรงเป็น ชุดๆ ออกจากเส้นตรงที่ตั้งฉากกันสองเส้นและมีเส้นโค้งเป็นเส้นขอบ เขียนวงกลมลงบนแผ่นไม้อัด แล้วแบ่งเส้นรอบวงของวงกลมออกเป็น 36 ส่วน โดยการวัดมุมที่ ศูนย์กลางของวงกลม 36 มุม มุมละ 10 องศา ไปโดย รอบ ใช้ด้ายไนลอนสีและเข็มเช่นในวิธีที่แล้ว เจาะรู ที่เส้นรอบของวงกลมตาม ต าแหน่งที่แบ่งไว้ 36 รูแล้วให้หมายเลขเรียงล าดับตั้งแต่ 1 จนถึง 36 เอาเข็ม สอดใต้ไม้อัดให้ขึ้นที่หมายเลข 1 แล้วสอดเข็มลงที่หมายเลข 10 และดึงเส้นด้าย ให้ตึง สอดเข็มขึ้นที่ หมายเลข 11 แล้วน าไปสอดที่หมายเลข 20 (หรือกลับไป ที่หมายเลข 2 ก็ได้) ท าเช่นนี้ไปจนครบทั้ง 36 หมายเลข จะได้รูปร่างของเส้น ด้ายเป็นเส้นตรงขึงตึงอยู่บนเส้นรอบวงกลมที่อยู่ห่างกัน 9 รู เส้นตรง เหล่านี้จะมี เส้นขอบเป็นวงกลมอีกวงหนึ่งอยู่ภายในวงกลมแรก และมีศูนย์กลางร่วมกัน 2. รูปทรงเรขาคณิต รูปทรงเรขาคณิต รูปทรง คือ รูปที่ลักษณะเป็น 3 มิติ โดยนอกจากจะแสดงความกว้าง ความยาว แล้ว ยัง มีความลึก หรือความหนา นูน ด้วย เช่น รูปทรงกลม ทรงสามเหลี่ยม ทรงกระบอก เป็นต้น ให้ ความรู้สึกมีปริมาตร ความหนาแน่น มีมวลสาร ที่เกิดจากการใช้ค่าน้ าหนัก หรือการจัดองค์ประกอบ ของ รูปทรง หลายรูปรวมกัน 5
2.1 ปริซึม ปริซึม เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหน้าตัด(ฐาน) ทั้งสองข้างเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุก ประการหน้าตัด (ฐาน) ทั้งสองอยู่ในระนาบที่ขนานกัน มีหน้าข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก การเรียกชื่อ ปริซึมจะเรียกตามรูปหน้าตัดของปริซึมส่วนต่างๆของปริซึมมีชื่อเรียก ดังนี้ 2.2 ทรงกระบอก ทรงกระบอก เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่ บนระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้หน้าตัด เป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกันฐานเสมอ ด้านข้างเป็นผิวเรียบโค้งส่วนต่างๆของทรงกระบอก ข้อแตกต่าง ของปริซึมกับทรงกระบอก คือ ฐาน ปริซึมเป็นรูปหลายเหลี่ยมทรงกระบอกเป็นวงกลม ด้านข้าง ปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทรงกระบอกเป็นผิวเรียบโค้ง 2.3 พีระมิด พีระมิด เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมที่ไม่อยุ่บนระนาบ เดียวกันกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น การเรียกชื่อพีระมิด จะเรียกตามรูปฐานของพีระมิด ส่วนต่างๆของพีระมิด 6
2.4 กรวย กรวย เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันกับ ฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใดๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรงดด้านข้างเป็นผิวโค้ง เรียบระมิ ส่วนต่างๆของกรวย ข้อแตกต่าง ของพีระมิดกับกรวย คือ ฐาน พีระมิดฐานรูปหลายเหลี่ยมกรวยฐานรูปวงกลม ด้านข้าง พีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยมผืนผ้า กรวยเป็นผิวเรียบโค้ง 2.5 ทรงกลม ทรงกลม เป็น รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีด้านข้างเป็นผิวโค้งเรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ห่าง จากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน เรียกจุดคงที่ว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม เรียกระยะที่เท่ากันว่า รัศมีของทรงกลม ส่วนต่างๆของทรงกลม 3. การแปลงทางเรขาคณิต 3.1 การเลื่อนขนาน การเลื่อนขนานบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีการเลื่อนจุดทุกจุดไปบนระนาบตาม แนวเส้นตรงในทิศทางเดียวกันและเป็นระยะเท่ากันตามที่ก าหนด รูปลูกกุญแจจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางตามลูกศรโดยที่ รูปร่างและขนาดไม่เปลี่ยนแปลง จากรูปจะเห็นว่า AM และ BN ยาวเท่ากันและขนานกัน 7
สมบัติของการเลื่อนขนาน 1. รูปที่ได้จากการเลื่อนขนานกับรูปต้นแบบเท่ากันทุกประการ 2. จุดแต่ละจุดที่สมนัยกันบนรูปที่ได้จากการเลื่อนขนานกับรูปต้นแบบจะมีระยะห่างเท่ากัน 3. ภายใต้การเลื่อนขนาน จะไม่มีการเปลี่ยนแปลงรูปร่างและขนาดของรูปต้นแบบ ตัวอย่าง จุดยอดของรูป ΔPQR คือ P(-3, 2) Q( 1, 4) และ R(3, 1) จงสร้างรูป ΔPQR แล้ววาดรูป สามเหลี่ยมที่เกิดจากการเลื่อนขนานไปทางขวา 4 หน่วย และขึ้นบน 3 หน่วย วิธีคิด หาค่าพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมใหม่ ดังนี้ จุดยอดเดิม ไปทางขวา 4 ขึ้นบน 3 จุดยอดใหม่ P(-3, 2) + (4, 3) => P′(1, 5) Q(1, 4) + (4, 3) => Q′(5, 7) R(3, 1) + (4, 3) => R′(7, 4) ค่าพิกัดของจุดยอดใหม่ คือ P′(1, 5) , Q′(5, 7) , R′(7, 4) เขียนกราฟของจุด P′, Q′ และ R′แล้ววาดรูป Δ P′ Q′ R′ ดังนี้ 3.2 การสะท้อน การสะท้อนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีเส้นตรง l ที่ตรึงเส้นหนึ่งเป็นเส้นสะท้อน แต่ละจุด P บนระนาบจะมีจุด P' เป็นภาพที่ได้จากการสะท้อนจุด P โดยที่ 1. ถ้าจุด P ไม่อยู่บนเส้นตรง l แล้วเส้นตรง l จะแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ PP' 2. ถ้าจุด P อยู่บนเส้นตรง l แล้วจุด P และจุด P' เป็นจุดเดียวกัน สมบัติของการสะท้อน 1. รูปต้นแบบกับภาพที่ได้จากการสะท้อน สามารถทับกันได้สนิทโดยต้องพลิกรูป หรือกล่าวว่า รูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการสะท้อนเท่ากันทุกประการ 2. ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบ กับจุดที่สมนัยกันบนภาพที่ได้จากการ สะท้อนจะขนานกัน รูปเรขาคณิตที่สามารถหารอยพับและพับรูปทั้งสองข้างของรอยพับให้ทับกันสนิทได้เรียกว่า รูป สมมาตรบนเส้น และเรียกรอยพับนี้ว่า แกนสมมาตร รูปสมมาตรบนเส้นแต่ละรูปอาจมีจ านวนแกน สมมาตรไม่เท่ากัน 8
เส้นสะท้อน (แกนสมมาตร) จะแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดแต่ละ จุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปสะท้อนที่สมนัยกัน สรุปได้ว่ารูปที่เกิดจาการสะท้อนก็คือรูปสมมาตรบนเส้น โดยมีเส้นสะท้อนคือแกนสมมาตรนั่นเอง การสะท้อนบนระนาบ วางรูปต้นแบบไว้ด้านใดด้านหนึ่งของเส้นสะท้อน ถ้าเส้นสะท้อนเป็นแกน Y พิกัดของภาพที่เกิดจากการสะท้อน คือการเปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกตัว หน้าเป็นเครื่องหมายตรงข้ามทุกจุดของรูปต้นแบบ ส่วนสมาชิกตัวหลังให้คงเดิมไว้ ถ้าเส้นสะท้อนเป็นแกน X พิกัดของภาพที่เกิดจากการสะท้อน คือการเปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกตัว หลังเป็นเครื่องหมายตรงข้ามทุกจุดของรูปต้นแบบ ส่วนสมาชิกตัวหน้าให้คงเดิมไว้ ถ้าเส้นสะท้อนขนานแกน X หรือแกน Y ให้นับช่องตารางหาระยะระหว่างจุดที่ก าหนดให้กับเส้นสะท้อน ซึ่งภาพของจุดนั้นจะอยู่ห่างจากเส้นสะท้อนเป็นระยะที่เท่ากันกับระยะที่นับได้เมื่อได้ภาพของจุดนั้นแล้ว จึงหาพิกัด ถ้าเส้นสะท้อนไม่ขนานแกน X และไม่ขนานกับแกน Y แต่เป็นเส้นในแนวทแยง ให้ลากเส้นตรงผ่านจุดที่ ก าหนดให้และตั้งฉากกับเส้นสะท้อน ภาพของจุดที่ก าหนดให้จะอยู่บนเส้นตั้งฉากที่สร้างขึ้นและอยู่ห่าง จากเส้นสะท้อนเป็นระยะเท่ากันกับจุดที่ก าหนดให้อยู่ห่างจากเส้นสะท้อน เมื่อได้ภาพของจุดนั้นแล้วจึงหา พิกัด 9
3.3 การหมุน การหมุนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีจุด O เป็นจุดที่ตรึงอยู่จุดหนึ่งเรียกว่า O ว่า จุดหมุน แต่ละจุด P บนระนาบ มีจุด P' เป็นภาพที่ได้จากการหมุนจุด P รอบจุด O ตามทิศทางที่ก าหนด ด้วยมุมที่มีขนาด K โดยที่ 1. ถ้าจุด P ไม่ใช่จุด O แล้ว OP = OP^' และขนาดของ เท่ากับ K 2. ถ้าจุด P เป็นจุดเดียวกันกับจุด O แล้ว P เป็นจุดหมุน สมบัติของการหมุน 1. สามารถเลื่อนรูปต้นแบบทับภาพที่ได้จากการหมุนได้สนิท โดยไม่ต้องพลิกรูปหรือกล่าวว่า รูป ต้นแบบ กับภาพที่ได้จากการหมุนเท่ากันทุกประการ 2. ส่วนของเส้นตรงบนรูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการหมุนส่วนของเส้นตรงนั้นไม่จ าเป็นต้อง ขนานกันทุกคู่ หรืออาจกล่าวได้ว่า จุดบนรูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการหมุนจุดนั้น แต่ละคู่อยู่บน วงกลมเดียวกันและมีจุดหมุนเป็นจุดศูนย์กลาง แต่วงกลมเหล่านี้ไม่จ าเป็นต้องมีรัศมียาวเท่ากัน ลักษณะของการหมุน การหมุนจะหมุนทวนเข็มหรือตามเข็มนาฬิกาก็ได้ จุดหมุนจะเป็นจุดที่อยู่บนรูปหรือนอกรูปก็ได้ โดยที่จุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบเคลื่อนที่รอบจุดหมุนด้วยขนานของมุมที่ก าหนด ตัวอย่าง ก าหนดให้ ∆A'B'C' เป็นภาพที่เกิดจากการหมุนรูป ∆ABC ตามเข็มนาฬิกาเป็นมุม 60 องศา โดยที่ A เป็นจุดหมุน และหมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุม 60 องศา โดยมีจุด O เป็นจุดหมุนที่ไม่อยู่บน รูปต้นแบบ วิธีท า กรณีที่ A อยู่บนรูปต้นแบบและเป็นจุดหมุน พิจารณาด้าน AC สร้างมุม CAC' กาง 60 องศาในทิศตามเข็มนาฬิกา แล้วลากด้าน AC' ให้มีความยาวเท่ากับด้าน AC ในท านองเดียวกันสร้างมุม BAB' กาง 60 องศา ในทิศตามเข็มนาฬิกา 10
และลากด้าน AB' ให้มีความยาวเท่ากับด้าน AB แล้วลากด้าน B'C' กรณีที่จุดหมุน O ไม่อยู่บนรูปต้นแบบ ลากเส้น AO และ BO สร้างมุม AOA' กาง 60 องศา ใน ทิศทวนเข็มนาฬิกา ลากเส้น OA' ให้มีความยาวเท่ากับด้าน OA ในท านองเดียวกัน สร้างมุม BOB' ทิศทวนเข็มนาฬิกากาง 60 องศา ลากเส้น OB' ให้มีความยาก เท่ากับด้าน AB ลากเส้นตรงเชื่อม B'C' 4. โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรือ GSP 4.1 ความหมายของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรือ GSP โปรแกรม The Geometer's Sketchpad เป็นระบบซอฟต์แวร์ที่ใช้ส าหรับสร้าง ส ารวจ และ การวิเคราะห์สิ่งต่างๆที่เกี่ยวกับเนื้อหาคณิตศาสตร์หลายด้าน โปรแกรม GSP เป็นสื่อเทคโนโลยีที่ช่วยให้ ผู้เรียนมีโอกาสเรียนรู้คณิตศาสตร์ โดยการสร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง เนื่องจากขณะใช้โปรแกรม GSP ผู้ใช้สามารถสร้างตัวแบบคณิตศาสตร์ที่ท าให้เกิดการเคลื่อนไหวเชิงเรขาคณิต และ ผู้ใช้สามารถท า ปฏิกิริยาโต้ตอบได้ โปรแกรม GSP สามารถน ามาใช้ในการส ารวจเบื้องต้นเกี่ยวกับ รูปทรงเรขาคณิตและ จ านวน ตลอดจนแสดงการเคลื่อนไหว ของเนื้อหาด้านคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน และพัฒนาความคิดเกี่ยวกับหัวข้อต่างๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ได้หลาย แขนง เช่น เรขาคณิต พีชคณิต ตรีโกณมิติแคลคูลัส และเนื้อหาอื่นๆ จึงมีความเหมาะสมที่ครูผู้สอน คณิตศาสตร์จะน ามา ใช้ในการ จัดการเรียนรู้และสร้างสื่อคอมพิวเตอร์ช่วยสอน 4.2 ความสามารถของโปรแกรม GSP 4.2.1 ด้านศิลปะและการเคลื่อนไหว (Art / Animation) โปรแกรม GSP สามารถที่จะน า เครื่องมือมาสร้างรูปต่างๆ และสามารถใช้ค าสั่งเพื่อที่จะท าให้รูปดังกล่าวเคลื่อนไหวได้ตามที่ต้องการ ซึ่ง เป็นโปรแกรมที่ไม่เคยปรากฏมาก่อนในลักษณะนี้ 11
4.2.2. แคลคูลัส (Calculus) เราสามารถใช้โปรแกรม GSP ค านวณหาปริมาตรของกล่องซึ่งเกิด จากการตัดมุมทั้งสี่ของกระดาษ ซึ่งเราจะเห็นการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของกล่อง ดังกล่าวจาก การ เคลื่อนไหว และนอกจากนี้ยังสามารถใช้โปรแกรมดังกล่าวสร้างกราฟจากสมการต่างๆ ได้ 4.2.3 วงกลม (Circles) ในโปรแกรม GSP สามารถที่จะใช้เครื่องมือ Compass Tool สร้าง วงกลมได้ตามที่ต้องการ และสามารถที่จะวัดหารัศมี เส้นรอบวง และค านวณหาพื้นที่ได้ 4.2.4 ภาคตัดกรวย (Conic Section) ส าหรับเรื่องภาคตัดกรวย โปรแกรม GSP สามารถที่จะ สร้างวงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเปอร์โบลา โดยการเคลื่อนที่ท าให้เห็นร่องรอย (Trace) ของกราฟ ซึ่ง จะท าให้เห็นรูปต่างๆ ได้ตามต้องการ 12
4.2.5 การเขียนกราฟและการหาจุดโคออร์ดิเนตในเรขาคณิต (Graphing / Coordinate Geometry) ในการเขียนกราฟจากรูปสมการต่างๆ โปรแกรม GSP สามารถสร้างรูปกราฟและหาจุด โคออร์ดิเนตในสมการต่างๆ ได้ 4.2.6 เส้นตรงและมุม (Lines and Angles) ในการสร้างเส้นตรงและมุมโดยการใช้โปรแกรม GSP สามารถท าได้โดยง่าย ซึ่งเมื่อได้ท าการสร้างเส้นตรงและมุมเสร็จแล้วสามารถที่จะวัดขนาดของ เส้นตรงและมุมดังกล่าวได้ ซึ่งด้วยความสามารถและคุณสมบัติดังกล่าวท าให้การสรุป เนื้อหาและทฤษฎี เกี่ยวกับเรื่องเส้นตรงและมุมท าได้รวดเร็วยิ่งขึ้น 4.2.7 รูปสามเหลี่ยม (Triangles) เมื่อสร้างรูปสามเหลี่ยมโดยการใช้โปรแกรม GSP แล้วเรา สามารถที่จะใช้ค าสั่งภายในโปรแกรมเพื่อค านวณหาความยาวของด้านแต่ละด้าน มุมแต่ละมุมและ ค านวณหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวได้ 4.2.8 ตรีโกณมิติ (Trigonometry) ในการหาฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้โปรแกรม GSP กระท าได้ โดยสร้างวงกลมหน่วย (Unit Circle) เมื่อก าหนดมุม C ตามรูปด้านล่าง ก็สามารถหาฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ ของมุม C ได้ตามต้องการ 13
บทที่ 3 วิธีด าเนินการศึกษา ขั้นตอนการด าเนินงาน โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง โคมไฟลายคณิต Handmade คณะผู้จัดท าได้ด าเนินการตาม ขั้นตอนดังนี้ 1. ท า การประชุมหาลื่อหัวข้อท า โครงงาน เพื่อน า เสนออาจารย์ที่ปรึกษาโครงงาน 2. ศึกษาและค้นคว้าข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับเรื่องที่สนใจ เรื่องรูปทรงเรขาคณิต เอนวิโลป (Envelope) เเละการแปลงทางเรขาคณิต เพื่อน า ข้อมูลมาประกอบการออกแบบ ลวดลาย และ การจัดท า โคมไฟ 3. เริ่มเขียนแผนโครงงานเพื่อน า เสนอ และปรึกษาอาจารย์ที่ปรึกษาโครงการ 4. เริ่มออกแบบลวดลาย และประดิษฐ์โคมไฟตามที่ออกแบบไว้ 5. รายงานความก้าวหน้าของโครงงาน การประดิษฐ์ชิ้นงาน และปัญหาที่เกิดขึ้น ต่ออาจารย์ที่ ปรึกษาโครงงาน เพื่อปรับปรุงแก้ไขให้ขึ้น 6. จัดท า รูปเล่มรายงานโครงงาน 7. น า เสนอโครงงาน และชิ้นงาน วัสดุ อุปกรณ์ ที่ใช้ท าโครงงาน ตะปูเข็ม กาวร้อน ไม้บัลซ่า ด้ายถัก ชุดหลอดไฟ กระดาษทราย 14
ค้อน ใบเลื่อย ไม้บรรทัด และดินสอ ปลั๊กสามตา กรรไกร ปืนกาว คีมดัดลวด 15
ขั้นตอนการท าชิ้นงาน 1. ออกแบบรูปทรง และลวดลายผ่านโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรือ GSP ได้ลวดลายเส้นโค้งที่เกิดจากเส้นตรง เอนวิโลป (envelope) และการแปลงทางเรขาคณิต ดังนี้ ลายโคมไฟแบบที่ 1 ใช้การสะท้อน ลายโคมไฟแบบที่ 2 ใช้การหมุน 16
ลายโคมไฟแบบที่ 3 ใช้การหมุน 2. วัดความยาวของไม้ และตัดตามขนาดที่ออกแบบไว้ แยกเป็นชิ้น ๆ 3. น าไม้แต่ละชิ้นที่ตัดเสร็จแล้ว มาประกอบเข้าด้วยกันเป็นด้าน ๆ เพื่อเป็นโครงสร้างของโคมไฟ โดยใช้ กาวร้อนในการยึดไม้ให้ติดกัน 17
4. วัดระยะห่างของจุด เพื่อใช้ส าหรับการท าลวดลาย ลงในโคมไฟแต่ละด้าน 5. ตอกตะปูเข็มตามจุดแต่ละจุดที่วัดไว้และใช้กาวร้อนแบบน้ าหยอดบริเวณรอยต่อระหว่างตะปูกับไม้ เพื่อเพิ่มความแข็งแรง 18
6. ร้อยไหมพรมตามตะปู เพื่อสร้างลวดลายตามที่ออกแบบไว้และหยอดกาวร้อนที่ปลายไหมพรม 7. น าโครงสร้างแต่ละด้านที่สร้างลวดลายเรียบร้อยแล้ว มาประกอบเข้าด้วยกันเป็นโคมไฟ 19
8. ประกอบหลอดไฟกับชุดสายไฟเข้าด้วยกัน แล้วน าไปยึดติดเข้ากับโคมไฟ 20
9. ตกแต่งโคมไฟเพิ่มเติมเพื่อความสวยงาม และสะดวกในการใช้งาน 21
งบประมาณ รายการ ราคา 1.ไม้บัลซ่าชนิดเสาเหลี่ยม ขนาด 10 mm จ านวน 17 แท่ง 680 2.ไหมพรม 240 3.หลอดไฟ 270 4.ชุดสายไฟ 240 5.กาวร้อน + กาวแท่ง 140 6.ปืนกาว 110 7.เลื่อย + ใบเลื่อย 85 8.ค้อน + ตะปูเข็ม 0 9.คีมตัดลวด 0 10.กรรไกร 0 11.ดินสอ + ไม้บรรทัด 0 รวม 1,765 ระยะเวลาและสถานที่ในการท าการศึกษา ระยะเวลาในการจัดท าโครงงาน มีดังนี้ สถานที่ในการท าการศึกษา : มหาวิทยาลัยราชภัฏวไลยอลงกรณ์ ในพระบรมราชูปถัมภ์ 22
บทที่ 4 ผลการด าเนินการ ผลการด าเนินการ โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่องโคมไฟลายคณิต Handmade มีวัตถุประสงค์ดังนี้1. เพื่อประดิษฐ์โคม ไฟให้มีความสวยงาม เเละเพิ่มมูลค่า ของโคมไฟ 2. เพื่อน าความรู้เรื่อง รูปทรงเรขาคณิต เอนวิโลป (Envelope) เเละการแปลงทางเรขาคณิต มาประยุกต์ใช้ในการออกแบบลวดลายโคมไฟด้วยโปรแกรม Geometer ’ s Sketchpad (GSP) จากการด าเนินการพบว่า โคมไฟที่จัดท า มี 3 รูปแบบ ได้แก่ รูปทรง สี่เหลี่ยมมุมฉาก,รูปทรงสามเหลี่ยมสิบหน้า,รูปทรงสามเหลี่ยมด้านเท่า แต่ละรูปทรงจะมีลวดลายที่ได้จาก การออกแบบโดยใช้โปรแกรม The Geometer's Sketchpad หรือ GSP น าความรู้ทางคณิตศาสตร์เรื่อง เส้นโค้งที่เกิดจากเส้นตรง หรือเอนวิโลป (envelope) และการแปลงทางเรขาคณิต ประกอบด้วย การ เลื่อนขนาน การสะท้อนและการหมุน มาประยุกต์ใช้ออกแบบลวดลายที่สวยงาม แล้วใช้ไหมพรมโยงเป็น เส้นตรง โดยโคมไฟทุกอันจะชุดสายไฟหลอดกลม มาประดับตกแต่งเพื่อให้เกิดแสงสว่าง และน าโคมไฟที่ ได้ไปใช้เพื่อเพิ่มแสงสว่างให้กับผู้ที่ต้องการตกแต่งอาคาร บ้าน ที่อยู่อาศัย ซึ่งจากการสังเกตพบว่าโคมไฟ แต่ละอันให้แสง สว่างที่มีสีสันสวยงามมาก แต่ระดับของแสงสว่างที่มีไม่มากนัก เป็นต้น 23
บทที่ 5 สรุป อภิปรายผลการด าเนินการและข้อเสนอแนะ สรุปผลและอภิปรายผลการด าเนินการ จากการท าโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่องโคมไฟลายคณิต Handmade ที่ต้องการแก้ปัญหาใน การ ตกแต่งที่พักอาศัย ซึ่งในเวลากลางคืน มีแสงสว่างไม่เพียงพอ ทางผู้จัดท า จึงมีแนวคิดที่จะประดิษฐ์โคมไฟ ที่สวยงามไว้ตกแต่งภายในที่พักอาศัย เพื่อให้เกิด แสงสว่างในเวลาค่ าคืน โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อ ประดิษฐ์ โคมไฟให้มีความส่องสว่างและสวยงาม เพื่อให้ที่พักอาศัยมีแสงสว่างที่เพียงพอ เพื่อนน าความรู้ทาง คณิตศาสตร์ เรื่อง เอนวิโลป (envelope) และการแปลงทาง เรขาคณิตมาประยุกต์ใช้ และเพื่อใช้ โปรแกรม The Geometer's Sketchpad หรือ GSP มา ออกแบบลวดลาย โดยโครงงานคณิตศาสตร์นี้ มี ขอบเขตการศึกษาได้แก่การประดิษฐ์โคมไฟเป็น ลวดลายคณิตศาสตร์ ตามหลักการของเอนวิโลป (envelope) เพื่อน าไปประดับตกแต่งที่พักอาศัย ให้มีแสงสว่างเพิ่มขึ้น สามารถสรุปผลการด าเนินการได้ ว่า โคมไฟที่จัดท า มี 3 รูปแบบ โคมไฟ แต่ละอันให้แสงสว่างที่มีสีสันสวยงามมาก และจากการส ารวจ ความพึงพอใจในการใช้น าโคมไฟไปใช้นั้น สามารถสรุปในแต่ละประเด็นได้ดังนี้ 1) ด้านความสวยงามของ โคมไฟ พบว่า มีความพึงพอใจกับ รูปทรงและลวดลายของโคมไฟที่มีความสวยงามแปลกตาเป็นอย่างมาก เนื่องจากโคมไฟมีสีสันสดใส สะดุดตา และมีลวดลายสวยงาม ไม่เคยพบเห็นลวดลายแบบนี้มาก่อน 2) ด้านความสว่างของโคมไฟ พบว่ามีความสว่างเพิ่มขึ้น แต่ระดับของแสงสว่างที่มีไม่มากนัก ยังไม่พียงพอ ส าหรับการน ามาใช้เพิ่มความสว่างในที่พักอาศัยที่มีพื้นที่กว้างนัก 3) ด้านรูปแบบของโคมไฟที่ชื่นชอบ ได้แก่ รูปทรงสามเหลี่ยมสิบหน้า เนื่องจากเป็นรูปทรงที่เปรียบเสมือนดวงดาวที่อยู่บนท้องฟ้า 4) ด้าน รูปแบบของโคมไฟที่ต้องการให้มีเพิ่มเติม ได้แก่ รูปแบบที่เป็นเอกลักษณ์ เป็นต้น ข้อเสนอแนะ 1. ควรใช้หลอดไฟ หรือดวงไฟ ให้มีความสว่างมากขึ้น 2. อาจน าแผ่นพลาสติกหรือแผ่นอะคริลิคในการหุ้มโคมไฟไม่ให้น้ าเข้าได้ เพื่อป้องกันการ เปียก ฝนและยืดอายุการใช้งาน 3. นอกจากไหมพรมแล้วยังสามารถน าเส้นด้ายหรือวัสดุลักษณะรูปทรงอื่นๆมาเป็นวัสดุได้อีก 24
บรรณานุกรม ตุง. การแปลงทางเรขาคณิต, [ออนไลน์. เข้าถึงได้จาก : https://shorturl.asia/jXwaT. (7 มกราคม 2566). นตรชนก วิชัยโน. (2561), โครงสร้างโมเลกุลโคเวเลนต์. [ออนไลน์). เข้าถึงได้จาก : https://shorturl.asia/Wm3CV. (8 มกราคม 2566) ปรุฬห์ รุจนธ ารงค์. (2556). ความรู้เกี่ยวกับคณิตศาสตร์. [ออนไลน์). เข้าถึงได้จาก : https://ganitasastra.wordpress.com/2013/04/02/pyramid/. (7 มกราคม 2566). พรรณราย หนูฤทธิ์. (2556), ลักษณะและสมบัติของปริซึม พี่ระมิด ทรงกระบอก กรวยและทรง กลม. [ออนไลน์1. เข้าถึงได้จาก :https://sites.google.com/site/pnarai253101/home/bth-thi1- smbati-laea-laksna-khxng-prisum. (7 มกราคม 2566), ศิริลักษณ์ สัมมาวิริยา. (2564). tutormaths.com. [ออนไลน์). เข้าถึงได้จาก : https://www.tutormaths.com/index.html. (12 กุมภาพันธ์ 2566). ณัฐนนท์ ตั้งสุนทรวิวัฒน์. (2562). สรุปสูตรเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ.[ออนไลน์). เข้าถึงได้ จาก : https://www.athometh.com/math/geometry/. (12 กุมภาพันธ์ 2566). แวววรรณ หลักบุญ. (2564). สไตล์เอนวิโลป. [ออนไลน์). เข้าถึงได้จาก : yn.ac.th/smss/modules/cabinet/upload_files/37209003268491631633757.pdf?fbclid=IwA R1d3K8GKvscspS5IVVzWTb2WldmrBAb3MFA1apTVppRYvelNb8iEUsd33E. (12 กุมภาพันธ์ 2566 ) 25
ภาคผนวก 26
ประวัติและความเป็นมา ประวัติและความเป็นมาของโปรแกรม GSP โปรแกรม Geometer’s Sketchpad (GSP)เป็นโปรแกรมคณิตศาสตร์ที ่ผลิตจากประเทศ สหรัฐอเมริกา เป็นโปรแกรมที่มีประสิทธิภาพโปรแกรมหนึ่ง สามารถน าไปใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ได้หลาย วิชา เช่น วิชาเรขาคณิต พีชคณิต ตรีโกณมิติและแคลคูลัสโปรแกรม GSP เป็นสื่อเทคโนโลยีที่ช่วยให้ ผู้เรียน มีโอกาสเรียนคณิตศาสตร์โดยการสร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง (ConstructivistApproach)และ เป็นการเรียนโดยเน้นผู้เรียนเป็นส าคัญ (Learner-CenteredLearning) โปรแกรม GSPเป็นสื่อที่ช่วยให้ ผู้เรียนพัฒนาทักษะของการนึกภาพ (Visualization) ทักษะของกระบวนการแก้ปัญหา (Problem Solving Skills) นอกจากนี้การใช้โปรแกรม GSP ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์เป็นการบูรณาการ สาระที่เกี่ยวข้องกับความรู้คณิตศาสตร์และทักษะด้านเทคโนโลยีเข้าด้วยกันท าให้ผู้เรียนมีโอกาสพัฒนา พหุปัญญาอันได้แก่ ปัญญาทางภาษา ด้านตรรกศาสตร์ด้านมิติสัมพันธ์และด้านศิลปะ ด้วยเหตุผล ดังกล่าว โปรแกรม GSP จึงได้รับรางวัลยอดเยี่ยมหลายรางวัล ประวัติและความเป็นมาของเส้นโค้งเกิดจากเส้นตรง เอนวิโลป (envelope) ถ้าลากเส้นตรงเป็นจ านวนมากๆ ค่อยๆ เปลี่ยนทิศทาง ไปตามกฎเกณฑ์ที่ก าหนดไว้ เส้นตรง เหล่านั้นจะตัดกับเส้นตรงที่อยู่ข้างเคียงกัน และจะมีเส้นโค้งเส้นหนึ่งเกิดขึ้น ซึ่งจะสัมผัสชุดของเส้นตรงที่ ได้เขียนไว้แต่แรกทุกเส้น ยิ่งเขียนเส้นตรงให้มากขึ้น ก็จะแลเห็นเส้นโค้งชัดเจนยิ่งขึ้น ในทางคณิตศาสตร์ เรียกเส้นโค้งเช่นนี้ว่า เอนวิโลป (envelope) ของชุดเส้นตรง หรือเราอาจจะเรียกว่า เส้นขอบ ของชุด เส้นตรงก็ได้ ลองก าหนดเครื่องหมาย x บนกระดาษ ใช้ไม้บรรทัดวางบนกระดาษ ให้ริมข้าง หนึ่งผ่านจุดตัดของเครื่องหมาย x แล้วขีดเส้นตรงที่ริมของไม้บรรทัดอีกด้าน หนึ่ง ค่อยๆ เลื่อนไม้บรรทัดโดยให้ริมหนึ่งผ่าน x เสมอ และขีดเส้นตรงที่อีกริม หนึ่งของไม้บรรทัด เมื่อหมุนไม้บรรทัดไปจนรอบ x ก็จะได้ชุดเส้นตรงรอบ x ด้วย จะเห็นได้ว่า จะมีวงกลมหนึ่งวง มีศูนย์กลางที่ x และสัมผัสเส้นตรงชุดนี้ ทุกเส้น วงกลมนี้ก็คือ เส้นขอบ หรือ เอนวิโลป ของเส้นตรง ซึ่งอยู่ห่างจาก x เป็น ระยะทางเท่ากับความกว้างของไม้บรรทัดนั่นเอง วงกลมจากเส้นตรง ถ้าลากเส้นตรงสองเส้นมีความยาวเส้นละ 4 นิ้ว และให้ท ามุมต่อกันเป็นมุมเล็กกว่า 90 องศา แบ่งสเกล บนเส้นทั้งสองออกเป็น 16 ส่วนโดยมีความยาว ส่วนละ 1/4 นิ้ว บนเส้นหนึ่งเขียนเลข 1, 2, 3,...,16 และ เขียนตัวอักษร ก, ข, ค,...,บ บนอีกเส้นหนึ่ง ใช้เส้นตรงโยงจุด ก และจุด 16 จุด ข และจุด 15 จุด ค และ จุด 14 เช่นนี้ไปจนครบ 16 จุดบนแต่ละเส้น เส้นขอบของเส้นตรงชุดนี้คือ เส้นโค้งพาราโบลา 27
จากแนวความคิดนี้เราอาจประดิษฐ์ลวดลายแบบคณิตศาสตร์ขึ้นได้ โดยใช้ไม้สี่เหลี่ยมจัตุรัส (อาจจะใช้ไม้ อัดหรือวัสดุอื่นก็ได้) ลากเส้นตรงสองเส้นให้ตั้งฉากกันและกัน และแบ่งไม้แบบเป็นสี่ส่วน แบ่งสเกลจาก จุดตัดออกไปทั้งสี่ทิศ ให้มีความยาวช่วงละครึ่งนิ้ว (หรือจะใช้หน่วยอื่นก็ได้) ก าหนดเลข 1, 2, 3,... ลงบน เส้นตรงทั้งสอง (ตามภาพ) แล้วเจาะรูตรงหมายเลขทั้งหมด ใช้เชือกเส้น เล็กๆ ที่มีสีสวยงามหรือเส้นด้าย ไนลอนสีก็ได้ สอดเข้าไปในรูเข็ม สอดเข็มใต้ แผ่นกระดานตรงหมายเลข 8 บนแกน y ขึ้นมา แล้วสอดเข็ม ลงไปที่หมายเลข 1 บนแกน x ดึงด้ายให้ตึงเสมอ ต่อไปสอดเข็มขึ้นมาตรงหมายเลข 2 บนแกน x แล้วน า เข็มไปสอดลงตรงหมายเลข 7 บนแกน y สอดเข็มขึ้นมาตรงหมายเลข 6 บนแกน y แล้วน าไปสอดลงตรง หมายเลข 3 บนแกน x ท าเช่นนี้ไปจนครบทุก หมายเลข จะได้เส้นด้ายตัดกันมีขอบเป็นเส้นโค้ง อยู่ในส่วน ที่หนึ่งของแผ่นไม้ แบบ อีกสามส่วนของแผ่นไม้แบบก็กระท าเช่นเดียวกัน จะได้ลวดลายที่มีเส้น ตรงเป็น ชุดๆ ออกจากเส้นตรงที่ตั้งฉากกันสองเส้นและมีเส้นโค้งเป็นเส้นขอบ เขียนวงกลมลงบนแผ่นไม้อัด แล้วแบ่งเส้นรอบวงของวงกลมออกเป็น 36 ส่วน โดยการวัดมุมที่ศูนย์กลาง ของวงกลม 36 มุม มุมละ 10 องศา ไปโดย รอบ ใช้ด้ายไนลอนสีและเข็มเช่นในวิธีที่แล้ว เจาะรูที่เส้นรอบ ของวงกลมตาม ต าแหน่งที่แบ่งไว้ 36 รู แล้วให้หมายเลขเรียงล าดับตั้งแต่ 1 จนถึง 36 เอาเข็ม สอดใต้ไม้ อัดให้ขึ้นที่หมายเลข 1 แล้วสอดเข็มลงที่หมายเลข 10 และดึงเส้นด้าย ให้ตึง สอดเข็มขึ้นที่หมายเลข 11 แล้วน าไปสอดที่หมายเลข 20 (หรือกลับไป ที่หมายเลข 2 ก็ได้) ท าเช่นนี้ไปจนครบทั้ง 36 หมายเลข จะได้ 28
รูปร่างของเส้น ด้ายเป็นเส้นตรงขึงตึงอยู่บนเส้นรอบวงกลมที่อยู่ห่างกัน 9 รู เส้นตรงเหล่านี้จะมี เส้นขอบ เป็นวงกลมอีกวงหนึ่งอยู่ภายในวงกลมแรก และมีศูนย์กลางร่วมกัน เราอาจจะน าความคิดนี้ไปออกแบบเป็นเครื่องประดับห้องแสดงนิทรรศการหรือประดับสถานที่ก็ได้ โดยใช้ เส้นลวดขดเป็นวงกลม และหมายต าแหน่ง บนวงกลมไว้ 36 แห่งเท่าๆ กัน ใช้เส้นลวดไนลอนผูกกับเส้น ลวดตรงจุดใดจุดหนึ่งที่หมายไว้ แล้วด าเนินวิธีการ เช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้วข้างต้น ก็จะได้สิ่งตกแต่งที่ดู งามตา คราวนี้ลองเขียนวงกลมและแบ่งเส้นรอบวงกลมออกเป็น 36 ส่วนเท่าๆ กัน แล้วเจาะรูเช่นเดียวกับวิธี ข้างต้น ให้หมายเลขรูบนวงกลมตั้งแต่เลข 1 จน ถึง 36 แล้วให้หมายเลขต่อไปนี้ซ้ าอีกรอบหนึ่งจนถึง หมายเลข 72 ใช้เส้นด้าย ไนลอนสีโยงจุดใดจุดหนึ่งบนวงกลม (โดยดึงเส้นด้ายระหว่างสองต าแหน่งให้ตึง อยู่เสมอ) โยงไปยังจุดซึ่งมีหมายเลขเป็นสองเท่า ของจุดตั้งต้น เช่น โยงจุด 1 ไปยังจุด 2 โยงจุด 2 ไปยังจุด 4 โยงจุด 3 ไปยังจุด 6 ท าเช่นนี้เรื่อยไปจนถึง โยงจุด 19 ไปยังจุด 38 โยงจุด 20 ไปยังจุด 40 ไปจนกระทั่งสุดท้ายโยงจุด 35 ไปยังจุด 70 เส้นขอบของชุดเส้นตรงที่อยู่ภายในวงกลมนี้คือ เส้นโค้งคาร์ดิออยด์ 29
ประวัติและความเป็นมาของการแปลงทางเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณิต คือ การเคลื่อนไหวของรูปเรขาคณิต โดย การเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุนของรูปหนึ่งๆ พบได้ในสิ่งแวดล้อมรอบตัวเรา สามารถจ าลองออกมาในรูปของการแปลง รวมทั้งงานศิลปะต่างๆ มอริทส์ คอร์เนลิส เอสเซอร์ (Maurits Cornelis Escher) เป็นศิลปินชาวดัทซ์ มีชื่อเสียงเรื่อง แบบรูปที่ประสานกันโดยการท าซ้ าๆ เกิดจากการเปลี่ยนต าแหน่งโดยการเลื่อนขนาน (Translation) การหมุน (Rotation) การสะท้อน (Reflection) รวมเรียกว่า (Tessellation)ดังตัวอย่าง 1. การเลื่อนขนาน คือ การแปลงแบบหนึ่งที่จุดทุกจุดของรูปต้นแบบเคลื่อนไปในทิศทางเดียวกันเป็น ระยะทางเท่าๆกัน จุดแต่ละจุดบนรูปที่ได้ากการเลื่อนขนานระยะห่างจากจุดที่สมนัยกันบนรูปต้นแบบเป็น ระยะทางเท่ากันการเลื่อนใน ลักษณะนี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “สไลด์ (Slide)” ในการเลื่อนขนานของรูปใดๆ จุดทุกจุดบนรูปจะเคลื่อนไปในแนวเส้นตรง และจุดทั้งหมดจะเคลื่อนไปใน ทิศทางเดียวกัน เป็นระยะทางเท่าๆกัน กับทางเดินของจุดนั้น 2.การสะท้อน เป็น การแปลงที่จุดทุกจุดของรูปต้นแบบเคลื่อนที่ข้ามเส้นตรงเส้นหนึ่ง ซึ่งเปรียบเสมือน กระจกหรือเรียกว่าเส้นสะท้อน (Reflection Line หรือ Mirror Line) โดยที่เส้นนี้จะแบ่งครึ่งและตั้งฉาก กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปสะท้อนที่สมนัยกัน 3. การหมุน เป็น การแปลงที่จุดทุกจุดของรูปต้นแบบเคลื่อนที่ไปเป็นมุมเดียวกันรอบจุดตรึงอยู่กับที่ที่ ก าหนดหรือจุดหมุนในการหมุน (Rotation) รูปใดๆ จุดทุกจุดบนรูปจะเคลื่อนไปรอบๆ จุดที่ก าหนด ซึ่ง เรียกว่า จุดศูนย์กลางของการหมุน (Center of Rotation) โดยจุดทั้งหมดจะเคลื่อนที่เป็นมุมเดียวกัน 30