ตรรกศาสตร์

METHEMETIC

LOGIC

Bฺ Y เอกธวัช



คำนำ

หนงั สืออิเลก็ ทรอนิคเลม่ น้ีจดั ทำข้นึ เพื่อช่วยเป็นเคร่ืองมือในกำรศึกษำโจทยแ์ ละเน้ือหำทำงทฤษฎี
ของเรื่องท่ีเก่ียวกบั ตรรกศำสตร์โดยผูเ้ ขียนมีควำมเชื่อวำ่ กำรศึกษำโจทยน์ ้นั มีควำมสำคญั มำกกว่ำกำรศึกษำ
ทฤษฎีแต่เพียงอย่ำงเดียวจึงไดจ้ ดั ทำหนงั สือเล่มน้ีข้ึนมำโดยไดร้ วบรวมคำแนะนำและวิธีคิดเกี่ยวกบั กำรทำ
โจทยต์ รรกศำสตร์อย่ำงละเอียดเพื่อให้ผอู้ ่ำนสำมำรถทำควำมเขำ้ ใจวิธีกำรที่เก่ียวกบั ตรรกศำสตร์จนไปถึง
กำรนำวธิ ีกำรตำ่ งๆในหนงั สือเลม่ น้ีไปประยกุ ตใ์ ช้

ผเู้ ขียนหวงั เป็นอยำ่ งยง่ิ วำ่ หนงั สืออิเลค็ ทรอนิคเล่มน้ีจะเป็นตวั ช่วยในกำรทำโจทยเ์ รื่องตรรกศำสตร์
ไดไ้ ม่มำกก็นอ้ ยและผเู้ ขียนยงั คำดหวงั วำ่ ผอู้ ่ำนจะเขำ้ ใจเจตนำรมณ์ของผเู้ ขยี นและเป็นจุดเริ่มตน้ ในกำรศึกษำ
คณิตศำสตร์ในช้นั สูงต่อไป

เอกธวชั สูงสุมำลย์
คนท่ีสนใจในวชิ ำคณิตศำสตร์เป็นอยำ่ งมำกคนหน่ึง

สารบญั

เร่ือง หน้า

ภำคทฤษฎี 1

ตรรกศำสตร์ 1

ประพจน์และค่ำควำมจริง 1
กำรเชื่อมประพจน์ 2
ประพจนท์ ่ีสมมูลกนั 3
สจั นิรันดร์ 4
ประโยคเปิ ดและตวั บ่งปริมำณ 6
กำรใหเ้ หตผุ ลทำงตรรกศำสตร์ 7

ภำคโจทย์ 10

ภำคกำรแสดงวิธีกำรทำโจทย์ 16

บรรณำนุกรม............................................................................................................25

ประวตั ิผจู้ ดั ทำ...........................................................................................................26

1

ภาคทฤษฎี

ตรรกศาสตร์

ตรรกศำสตร์(logic) โดยทวั่ ไปประกอบดว้ ยกำรศึกษำรูปแบบของขอ้ โตแ้ ยง้ อย่ำงเป็ นระบบ ขอ้
โตแ้ ยง้ ที่สมเหตสุ มผลคือขอ้ โตแ้ ยง้ ที่มีควำมสัมพนั ธ์ของกำรสนบั สนุนเชิงตรรกะที่เฉพำะเจำะจงระหว่ำงขอ้
สมมุติพ้นื ฐำนของขอ้ โตแ้ ยง้ และขอ้ สรุป

ตรรกศำสตร์เป็ นกำรศึกษำเชิงปรัชญำว่ำด้วยกำรให้เหตุผล โดยมักจะเป็ นส่วนสำคญั ของวิชำ
ปรัชญำ คณิตศำสตร์ คอมพิวเตอร์ รวมถึงภำษำศำสตร์ ตรรกศำสตร์เป็ นกำรตรวจสอบข้อโต้แย้งที่
สมเหตุสมผล หรือกำรใหเ้ หตุผลแบบผิดๆ ตรรกศำสตร์ เป็นกำรศึกษำท่ีมีมำนำนโดยมนุษยชำติท่ีเจริญแลว้
เช่น กรีก จีน หรืออินเดีย

1. ประพจน์และค่าความจริง
ประพจน์ หมำยถึงประโยคท่ีมีค่ำควำมจริงเป็นจิงหรือเทจ็ เพยี งอยำ่ งใดอยำ่ งหน่ึง
บทนิยาม ประพจนห์ มำยถึงประโยคที่มีค่ำควำมจริงเป็นจริงหรือเทจ็ เพียงอยำ่ งใดอยำ่ งหน่ึงเท่ำน้นั

การเขยี นสัญลกั ษณ์
ให้ A เป็นประพจน์
ประพจน์ A มีค่ำควำมจริงเป็นจริง จะเขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ T
ประพจน์ A มีคำ่ ควำมจริงเป็นเทจ็ จะเขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ F

จำกนิยำมขำ้ งตน้ จะอธิบำยต่อไปวำ่ ทุกๆส่ิงในเอกภพจะมีค่ำควำมจริงท่ีกำกบั เพียงสองอย่ำงคือ
จริง หรือ เท็จ เท่ำน้ัน โดยจะเป็ นจริงหรือเท็จเพียงอย่ำงใดอย่ำงหน่ึงและยงั สำมำรถพูดได้ว่ำประโยคใน
ชีวิตประจำวนั มีท้งั ประโยคท่ีเป็นประพจนแ์ ละไมเ่ ป็นประพจน์
ตวั อย่าง ประโยคต่อไปน้ีเป็นประพจน์หรือไม่ เพรำะอะไร
1 พระอำทิตยข์ ้ึนที่ทิศตะวนั ตก ตอบ เป็นประพจน์ เพรำะ สำมำรถระบคุ ำ่ ควำมจริงได(้ เป็นเทจ็ )
2 วนั เกิดปี น้ีเธอกลบั มำไดม้ ้ยั ตอบ ไม่เป็ นประพจน์ เพรำะ ไม่ทรำบค่ำควำมจริง อีกท้งั ยงั ไม่สำมำรถระบุ
เร่ืองรำวของประโยคน้ีได้ น่ันคือ เรำไม่สำมำรถทรำบไดว้ ่ำประโยคน้ีกล่ำวถึงอะไร จึงระบุค่ำควำมจริง
ไมไ่ ด้

2

3 ตำ่ ยมีนมหน่ึงกลอ่ ง ไปเปิ ดตเู้ ยน็ พบวำ่ ในตเู้ ยน็ มีอีกหน่ึงกล่อง ดงั น้นั ตำ่ ยมีนมสองกล่อง
ตอบ เป็นประพจน์ เพรำะ มีคำ่ ควำมจริงเป็นจริง
4 มีส่ิงมีชีวิตอ่ืนนอกเหนือจำกมนุษยอ์ ยใู่ นจกั รวำล
ตอบ ไมเ่ ป็นประพจน์ เพรำะ ในยคุ ปัจจุบนั ยงั ไมส่ ำมำรถหำขอ้ สรุปเรื่องมนุษยต์ ่ำงดำวได้
2 การเช่ือมประพจน์
ในหวั ขอ้ น้ีจะกลำ่ วถึงประพจนเ์ ชิงเดี่ยวและเคร่ืองหมำยเช่ือมประพจน์
ประพจน์เชิงเด่ียว คอื ประพจนท์ ่ีเขยี นอยตู่ วั เดียวโดดๆโดยไมม่ ีเคร่ืองหมำยเชื่อมประพจน์เช่ือมไว้
ประพจน์ท่ีเช่ือมแลว้ คือ ประพจน์ท่ีไดร้ ับกำรเชื่อมประพจน์ดว้ ยเคร่ืองหมำยเชื่อมประพจน์ อำจเรียกไดว้ ่ำ
ประพจนเ์ ชิงประกอบ
เคร่ืองหมายเชื่อมประพจน์
เคร่ืองหมำยเช่ือมประพจนท์ ำงตรรกศำสตร์มีอยู่ 5 อยำ่ งไดแ้ ก่
1 นิเสธ(negate) เขยี นแทนดว้ ย~ หมำยถึงระบุคำ่ ควำมจริงที่ตรงกนั ขำ้ มกบั ประพจน์ เช่น ใหป้ ระพจน์ p มีคำ่
ควำมจริงเป็น จริง ดงั น้นั ~p มีคำ่ ควำมจริงเป็นเทจ็
2 และ (…..and……) เขียนแทนดว้ ย ( ^ ) แทนดว้ ย p ^ q โดยจะมีคำ่ ควำมจริงเป็นจริงในกรณีเดียวคือกรณีที่
ประพจน์ ท้งั สองเป็นจริงเท่ำน้นั
3 หรือ (......or…...) เขียนแทนดว้ ย ( v ) เช่ือมโดย P v Q โดยจะมีค่ำควำมจริงเป็นเทจ็ ในกรณีเดียวคือกรณีท่ี
ประพจน์ ท้งั สองเป็นเทจ็ ท่ำน้นั
4 ถำ้ ......แลว้ (impire ) เขียนแทนดว้ ย ( → ) เชื่อมโดย p → q โดยจะมีค่ำควำมจริงเป็นเทจ็ ในกรณีเดียวคือ
กรณีท่ี ประพจนต์ วั หนำ้ เป็นจริงและประพจน์ตวั หลงั เป็นเทจ็
5 ก็ต่อเมื่อ(equivalent) เขียนแทนด้วย ( ↔ ) เชื่อมโดย p↔q โดย จะทีค่ำควำมจริงเป็ นเท็จในกรณีท่ีค่ำ
ควำมจริงต่ำงกนั โดยจะเรียกอยำ่ งสรุปวำ่ เป็นกำรสมมูลกนั
หมายเหตุ** ในกำรกำหนดประพจน์ p หรือ สัญลกั ษณ์อ่ืนๆ หำกกล่ำวในเรื่องตรรกศำสตร์แลว้ น้ัน กำร
กำหนดสัญลกั ษณ์แทนประพจน์ข้ึนมำใช้ในกำรคำนวน อำจไม่ตอ้ งบอกว่ำ กำหนดประพจน์.... ก็ได้
เนื่องจำกพวกเรำเขำ้ ใจตรงกนั อยู่แลว้ วำ่ กำรจะดำเนินกำรทำงตรรกศำสตร์ตอ้ งใชป้ ระพจน์เทำ่ น้นั ดงั น้นั จะมี
คำวำ่ กำหนดประพจนห์ รือไมน่ ้นั ใหล้ ะไวใ้ นฐำนที่เขำ้ ใจ

3

3ประพจน์ทส่ี มมูลกนั
บทนิยาม ให้ p และ q เป็นเป็นประพจน์ จะกล่ำวว่ำ p และ q สมมูลกนั ทำงตรรกศำสตร์ โดยเขียนแทนดว้ ย
p≡q หรือp ⇔ q ไดเ้ ม่ือประพจนท์ ้งั สองมีคำ่ ควำมจริงเป็นจริงทุกประกำร

ตวั อยำ่ งประพจนท์ ่ีสมมูลกนั
1.) p ^p≡ p
2.) p v p ≡ p
3.) (p v q) v r ≡ p v (q v r)
4.) (p ^ q) ^ r ≡ p^(q^ r)
5.) p v q ≡ q v p
6.) p ^ q ≡ p ^ q
7.) p v (q ^ r) ≡ (p v q) ^ (p v r)
8.) p^(q v r) ≡ ( p^ q) v (p ^ r )
9.) ∼(p v q) ≡ ∼p^∼q
10.) ∼(p ^ q) ≡ ∼p v ∼q
11.) ∼p → q ≡ p v ∼q
12.) p → q ≡ ∼p v q
13.) p → q ≡ ∼q→∼p
14.) p↔q ≡ (p → q) ^ (q → p ) ≡ (∼p v q) ^ (∼q v p)

4

4 สัจนริ ันดร์
บทนยิ าม สัจนิรันดร์คือประพจนท์ ่ีมีคำ่ ควำมจริงเป็นจริงเสมอ

จำกบทนิยำมน้ีจะอธิบำยเพิ่มเติมว่ำ กำรท่ีประพจน์ตวั ใดตวั หน่ึงจะเป็ นสัจนิรันดร์ไดก้ ็ต่อเมื่อ
ประพจน์น้นั มีคำ่ ควำมจริงเป็นจริงทกุ กรณี โดยยกตวั อยำ่ งประพจนท์ ่ีเป็นสัจนิรันดร์มำตวั นึง คือ
(p↔q) ↔ [(p → q) ^ (q → p )] โดยจะทำกำรทดสอบดว้ ยวธิ ีกำรตำ่ งๆเพอื่ ใหผ้ อู้ ำ่ นเขำ้ ใจถึงเง่ือนไขกำร
เป็นสัจนิรันดร์ โดยวิธีจะใชท้ ดสอบมีดงั ต่อไปน้ี
1 ทดสอบดว้ ยตำรำงแสดงคำ่ ควำมจริง
2 ทดสอบดว้ ยขอ้ ขดั แยง้
3 ทดสอบดว้ ยควำมสมเหตสุ มผล
4 ทดสอบดว้ ยกำรสมมูล

ตวั อย่าง จงแสดงวำ่ ประพจน์ (p↔q)↔ [(p → q) ^ (q → p )] เป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่ (p↔q) ↔
วธิ ีทา จะทดสอบดว้ ย 4 วธิ ีขำ้ งตน้ [(p → q) ^
วิธีท่ี 1 ทดสอบดว้ ยตำรำงค่ำควำมจริง โดยสร้ำงตำรำง และ นำค่ำควำมจริงใส่เขำ้ ไป (q → p )]

p q p↔q p → q q → p (p → q) ^ T
(q → p ) T
T
TTTTTT T
TFFFTF
FTFTFF
FFTTTT

จำกตำรำงคอลมั น์สุดทำ้ ย จะเห็นว่า ประพจน์ (p↔q)↔ [(p → q) ^ (q → p )] มีค่ำควำมจริงเป็นจริงทุก
ประกำร ดังน้นั ประพจน์ (p↔q)↔ [(p → q) ^ (q → p )] เป็ นสัจนริ ันดร์

5

วิธีที่ 2 ทดสอบโดยขอ้ ขดั แยง้
สมมตุ ิให้ ประพจน์ (p↔q)↔ [(p → q) ^ (q → p )] มีค่ำควำมจริงเป็นเทจ็ ตำมหลกั กำรพสิ ูจน์ หำก

ส่ิงท่ีเรำสมมตุ ิใหน้ ้นั เกิดขอ้ ขดั แยง้ แสดงวำ่ ส่ิงน้นั เป็นเทจ็
จำกที่เรำสมมตุ ิให้ ประพจน์ (p↔q)↔ [(p → q) ^ (q → p )] มีคำ่ ควำมจริงเป็นเทจ็ จึงไดว้ ำ่ (p↔q)

เป็นเทจ็ ........(1) และ [(p → q) ^ (q → p )] เป็นจริง.........(2) จำก(2) จะไดว้ ำ่ q และ p เป็นจริง นำคำ่ ควำม
จริงของ p และ q ไปแทนใน(1) จะไดว้ ำ่ (p↔q) เป็นจริง ซ่ึงเกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั (1) โดย (1) ระบุว่ำ (p↔q)
เป็นเทจ็ เมื่อเกิดขอ้ ขดั แยง้ จึงสรุปไดว้ ำ่ ประพจน์ (p↔q)↔ [(p → q) ^ (q → p )] เป็ นสัจนริ ันดร์

วธิ ที ่ี 3 ทดสอบดว้ ยควำมสมเหตสุ มผล

จำกหลกั กำรอำ้ งเหตุผล ระบุไวว้ ่ำ ประพจน์จะสมเหตุสมผลได้ ก็ต่อเม่ือ ประพจน์น้นั เป็นสัจนิรันดร์ ดงั น้นั

หำกเรำสำมำรถแสดงไดว้ ำ่ (p↔q)↔ [(p → q) ^ (q → p )] สมเหตสุ มผล แสดงวำ่

(p↔q)↔ [(p → q) ^ (q → p )] เป็นสจั นิรันดร์

จำกกำรสมมลู จะไดว้ ำ่

(p↔q)↔ [(p → q) ^ (q → p )]≡[ (p↔q)→ {(p → q) ^ (q → p)}]^ [{(p → q) ^ (q → p)}→ (p↔q)]

จะแยกกำรใหเ้ หตผุ ลออกเป็นสองคร้ัง โดยคร้ังแรกจะใหเ้ หตุผล (p↔q)→ {(p → q) ^ (q → p)} และคร้ัง

ที่สองจะใหเ้ หตุผล {(p → q) ^ (q → p)}→ (p↔q)

ใหเ้ หคุผลคร้ังแรก

กำหนด

1) (p↔q) เหตุ

2) (p → q) ^ (q → p) ผล

สมมุติใหเ้ หตุเป็นจริง จะไดว้ ำ่ p และ q มีค่ำควำมจริงเป็นจริง นำคำ่ ควำมจริงของ p และ q ไปแทนในผล จะ

ไดว้ ำ่ (p → q) ^ (q → p) เป็นจริง ดงั น้นั เหตุ (p↔q) สำมำรถสรุป ผล (p → q) ^ (q → p) ได้ จึงสรุปได้

วำ่ สมเหคสุ มผล

ใหเ้ หตุผลคร้ังท่ีสอง

กำหนด

(p → q) ^ (q → p) เหตุ

(p↔q) ผล

6

สมมุติใหเ้ หตุเป็นจริง จะไดว้ ำ่ p และ q มีคำ่ ควำมจริงเป็นจริง นำค่ำควำมจริงของ p และ q ไปแทนในผล จะ
ไดว้ ำ่ (p↔q) เป็นจริง ดงั น้นั สมเหตุสมผล
จำกกำรใหเ้ หตผุ ลท้งั สองคร้ังจะไดว้ ำ่ สมเหตุสมผลท้งั สองคร้ัง
ดงั น้นั ประพจน์ (p↔q)↔ [(p → q) ^ (q → p )] เป็ นสัจนิรันดร์

วธิ ที ี่ 4 ทดสอบโดยกำรสมมลู
จำก (p↔q)↔ [(p → q) ^ (q → p )] จะไดว้ ำ่ (p↔q)≡ [(p → q) ^ (q → p )] และ
[(p → q) ^ (q → p )] ≡ (p↔q)จำกบทนิยำมกำรสมมูลกล่ำวไว้ว่ำ ประพจน์จะสมมูลกันก็ต่อเม่ือ
ประพจน์น้นั เป็นสัจนิรันดร์ ดงั น้นั จำกบทนิยำมกำรสมมลู ขำ้ งตน้ จึงสรุปไดว้ ำ่
ประพจน์ (p↔q)↔ [(p → q) ^ (q → p )] เป็ นสัจนิรันดร์

1.2 ประโยคเปิ ดและตวั บ่งปริมาณ
บทนิยาม ประโยคเปิ ดหมำยถึงประโยคที่มีคุณสมบตั ิดงั น้ี
1 ไม่เป็นประพจน์
2 ประกอบดว้ ยตวั แปรหน่ึงตวั ข้นึ ไป
3 เมื่อแทนคำ่ ตวั แปรในเอกภพสมั พทั ธจ์ ะไดป้ ระโยคที่เป็นประพจน์

จำกนิยำมขำ้ งตน้ จะยกตวั อย่ำงประโยคเปิ ดเช่น x + y=8 เมื่อแทนค่ำ x และ y ดว้ ย 4 จะไดว้ ่ำ 4+4=8
เป็นประพจน์ โดยกำหนดใหท้ กุ ๆ x , y ∈ R

ตวั บ่งปริมาณ
ตวั บง่ ปริมำณท่ีใชใ้ นตรรกศำสตร์มี 2 ตวั คือ
1 ตวั บง่ ปริมำณสำหรับท้งั หมด( ∀) อ่ำนวำ่ สำหรับทกุ ๆ( for all) โดยตวั ประพจนท์ ี่มีตวั บ่งปริมำณน้ีจะเป็น
จริงเม่ือ ทุกๆx∈U ทำให้ F(x) เป็นจริง และจะเป็นเทจ็ เมื่อ มี x∈U เพยี งตวั เดียวท่ีทำให้ F(x) เป็นเทจ็
2 ตวั บง่ ปริมำณสำหรับบำงตวั (∃) อำ่ นวำ่ มี หรือ สำหรับบำงตวั หรือ มีบำงตวั ( for some) โดยประพจน์ที่มี
ควั บ่งปริมำณน้ีจะเป็นจริงเมื่อ มี x U บำงตวั ท่ีทำให้ f(x) เป็นจริง และจะเป็นเท็จเม่ือ ทุกๆx U ทำให้ f(x)
เป็ นเทจ็
จำกยอ่ หนำ้ ขำ้ งตน้ จะไดน้ ิเสธของตวั บ่งปริมำณคือ

7

~[∀xϵU,P(x)] ≡ ∃xϵU,~P(x)
~[ ∃xϵU,P(x)] ≡ ∀xϵU, ~P(x)

นอกจำกน้ีแลว้ เรำยงั สำมำรถแจกแจงตวั บง่ ปริมำณเขำ้ ไปในประพจนเ์ ชิงประกอบได้
ตัวอย่าง ∃ ,[p(x)^q(x)]≡ ∃ ,p(x) ^ ∃ ,q(x)

4.การให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์
ในเร่ืองกำรให้เหตุผลน้ี เรำต้องกำรจะทรำบว่ำเหตุและผลท่ีกำหนดมำน้ันสมเหตุสมผลหรือไม่

กล่ำวคือ เหตุตัวน้ันสำมำรถสรุปผลตัวน้ันได้หรือไม่ ซ่ึงกำรท่ีมันจะสรุปได้น้ันแหตุที่เชื่อมกับผลด้วย
เคร่ืองหมำย ถำ้ ...แลว้ จะต้องเป็ นสัจนิรันดร์ แต่นอกเหนือจำกกำรทดสอบสัจนิรันดร์แลว้ ยงั มีกฎกำร
อนุมำนและกฏทำงตรรกศำสตร์ที่สำมำรถใชส้ รุปผลไดเ้ ป็นอยำ่ งดีซ่ึงเป็นสิ่งจำเป็นอยำ่ งมำกสำหรับเรื่องน้ี
โดยกฎกำรอนุมำนที่จะพบไดบ้ ่อยคอื

1. กฎโมดสั โพเนนส์ คือ p^(p→q) ⇒p

2 กฎโมดสั โทเนนส์ คอื ~q^(p→q) ⇒~p

3.ตรรกบท คือ (p→q)^(q→r) ⇒(p→r)

4 กำรเลือก คอื p ^ q ⇒p หรือ q ตวั ใดตวั หน่ึง
5 กำรขยำยกำรเลือก p⇒p v q

และกฎทำงตรรกศำสตร์ท่ีน่ำสนใจดงั น้ี
กำหนดให้ p , q , r แทนประพจนใ์ ดๆ t แทนสจั นิรันดร์ F แทนควำมขดั แยง้
1. กฎกำรสลบั ท่ี p ^ q ≡ q ^p , p ^ q ≡ q v p
2. กฎกำรเปลี่ยนหมู่ (p ^ q) ^r ≡ p ^ (q ^ r) , (p ^ q) v r ≡p v (q ^ r)
3. กฎกำรแจกแจง p ^ (q v r) ≡p ^ q) v ( p ^ r) , p v (q ^ r) ≡ (p v q) ^ ( p v r)
4. กฎเอกลกั ษณ์ p v t ≡ t , p ^ t ≡ p
5. กฎนิเสธ p v ~p ≡t , p ^ ~ p ≡ F
6.กฎนิเสธซอ้ น ~(~p) ≡ p
7. กฎนิจพล p ^p ≡ p , p ≡ p

8

8. กฎของเดอมอเกน ~(p ^q) ≡ ~p v ~q , ~(p v q) ≡ ~p v ~q
9. กฎกำรครอบงำ p v t ≡ t , p ^ f ≡ f
10. กฎกำรซึมซบั p v (p ^ q) ≡ p , p ^ (p v q) ≡ p
11. นิเสธของ F และ t ~t ≡ F , ~F≡t
นอกจำกน้ีแลว้ ยงั ใชก้ ฎกำรสมมลู จำกเร่ืองกำรสมมูลมำช่วยในเร่ืองกำรใหเ้ หตผุ ลได้
หมายเหตุ*** เร่ืองน้ีอำจตอ้ งใชค้ วำมจำพอสมควร
โดยข้นั ตอนแสดงกำรอำ้ งเหตผุ ลมีดงั น้ี
1 กำหนดเหตุและผล
2 นำเหตทุ ้งั หมดมำเช่ือมดว้ ยและ
3 เช่ือมผลดว้ ย ถำ้ ....แลว้
4 หำวิธีสรุปวำ่ ผลท่ีกำหนดใหส้ อดคลอ้ งกบั เหตุหรือไม่

ตวั อย่าง กำหนดเหตุดงั น้ี
1 บีเป็นคนไมข่ ยนั
2 ถำ้ บีทำงำนแลว้ บีเป็นคนขยนั
ผล บีไมท่ ำงำน
วธิ ีทำ ให้ p แทนดว้ ย บีเป็นคนขยนั
ให้ q แทนดว้ ย บีทำงำน
ดงั น้นั เหตุ
1 ~p
2 q→p
ผล 3 ~q
เช่ือมเหตแุ ละผล จะไดว้ ำ่ ~p^(q→p) จำกกฎโมดสั โทเนนส์ สรุปไดว้ ำ่ ~q
ดงั น้นั สมเหตสุ มผล

9

ตัวอย่าง จงพจิ ำรณำวำ่ ขอ้ ควำมต่อไปน้ีสมเหตสุ มผลหรือไม่
เหตุ 1 ถำ้ ขอ้ สอบยำกทำใหส้ อบตก

2 วิทยส์ อบตก
ผล ขอ้ สอบยำก
วธิ ีทา ให้ p แทนดว้ ย ขอ้ สอบยำก q แทน สอบตก r แทน วิทยส์ อบตก
นำมำเขยี นใหม่
เหตุ 1 p→q

2r
ผล p
นำเหตมุ ำเชื่อม (p→q) ^ r →p
จะทำกำรทดสอบวำ่ (p→q) ^ r →p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ดว้ ยวธิ ีขอ้ ขดั แยง้
สมมุติให(้ p→q) ^ r →p เป็นเทจ็ จะไดว้ ำ่ (p→q) เป็นจริง และ r เป็นจริง และ p เป็นเทจ็ เม่ือนำp ไปแทน
ใน p→q จะไดว้ ำ่ ไมม่ ีกรณีไหนเลยท่ีเกิดขอ้ ขดั แยง้ ดงั น้นั (p→q) ^ r →p ไมเ่ ป็นสจั นิรันดร์
นน่ั คือ ไม่สมเหตุสมผล

10

ภาคโจทย์

ในส่วนน้ีจะเป็นกำรนำโจทยท์ ่ีน่ำสนใจมำใหท้ กุ ทำ่ นไดล้ องคดิ ส่วนกำรแสดงวิธีกำรเฉลยโจทยน์ ้นั จะ
อยใู่ นภำคต่อไป

1.กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ ประพจนใ์ นขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็นสัจนิรันดร์

ก).(q→p)→(p→q) ข).(~p ^ ~q)→(q→p)
ค).[(~p ^ ~q) " →" q]→(~q→p) ง). ).[(~p ^ q) " →" p]→(q→~p)
2. พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. ถ้า p,q และ r เป็นประพจน์ที่ (q⇒r)⇒p มีค่าความจริงเป็นจริงแล้ว ∼r⇒[(p⇒∼r)∧(∼q⇒p)] มีค่า
ความจริ งเป็ นจริ งด้วยเช่ นกัน

ข. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์คือ {x∈R|x2≤x+6} เม่ือ R คือซตของจานวนจริงแล้ว ∃x[5x=2(5^(− +
2))+23] มีค่าความจริงเป็นจริง

ข้อใดถกู ต้อง

ก). ก ถกู และ ข ผิด ข). ก และ ข ถกู

ค). ก ผดิ ข ถูก ง). ก และ ข ผดิ

3. 1 1 + 1 + 1= e เป็นประพจนห์ รือไม่
( + ) ( + )
+ +

ตอบ...........................................................................................

4. . ประโยค ∃ , , ,. 1 1 + 1 + 1 = e ทำไมถงึ เป็นประพจน์
( + ) ( + ) + +

ตอบ...........................................................................................................

5. กาหนดให้ P แทน 2^67 < 5^30 และ Q แทน 2^69 > 5^31

ประพจน์ (~Q↔P)→Qมคี ่าความจริงตรงกับค่าความจริงของประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้

ก).(Q ^ P)→ P ข).(P↔Q)→(P ^ Q) ค).( ~Q→P)→Q ง).(P↔~Q)→P

11

6.ประพจน์ ∃ , [4^ + 2^ = 72] มีคำ่ ควำมจรงิ เป็นจรงิ เม่อื เอกภพสมั พทั ธเ์ ป็นเซตในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

ก).{ ┤| |2 + 3| ≤ 7} ข).{ ┤| |3 − 2| > 7}

ค).{ ┤| | ^2 + 8 = 6 |} ง).{ | | − 3| > 1}

7 กำหนดให้ p และ q เป็นประพจนใ์ ดๆ ประพจน์ในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีเป็นสัจนิรันดร์

ก). ~p v (~p^q) ข).(q v ~q) ^ (p→~q)

ข). ~(p→~q)→q ค).(~p v q) →(~p ^ ~q)

8.กำหนดให้p.qและr เป็ นประพจน์โดยที่[p→(q→~r)]^q มีค่ำควำมจริงเป็ น จริง ประพจน์ในข้อใด
ต่อไปน้ี มีคำ่ ควำมจริงเป็น เทจ็

ก).(p ^ q)↔(p ^ r) ข).(p v q)↔(p ^ r)

ค).(p→q)↔( q v r) ง).q→(~p v r)

9). กำหนดให้ p.q และ r เป็นประพจนใ์ ดๆ

(ก) (~p→q)→(~q→p) เป็นสจั นิรันดร์

(ข)(p→q)↔(~p ^ q) เป็นสจั นิรันดร์

(ค)( p→q) v (~r→~q) สมมลู กบั p→r

ขอ้ ใดถกู ตอ้ ง

ก).ก ข ถูก ค ผิด ข). ก ค ถกู ข ผิด

ค).ข ค ถูก ก ผิด ง).ก ข ค ถูก

12

10). กำหนดให้ p.q และ r เป็นประพจน์ใดๆ พิจำรณำขอ้ ควำมตอ่ ไปน้ี

(ก)ถำ้ ประพจน์ p→(q v r) เป็นจริง แลว้ ประพจน์ (p→q)↔(p→r) เป็นจริง

(ข)ถำ้ ประพจนp์ →(q ^ r) เป็นเทจ็ แลว้ ประพจน์ [(~p→q)^r] v (p v ~r) เป็นจริง

ขอ้ ใดถกู

ก). ก ข ถกู ข).ก ถกู ข ผิด
ค). ก ผิด ข ถูก ง). ก ข ผิด
11). พจิ ำรณำเหตุและผลตอ่ ไปน้ี
เหตุ 1 คนท่ีออกกำลงั กำยทกุ คนสุขภำพดร

2 คนสุขภำพดีบำงคนชอบกินผกั
ผลสรุปใด สมเหตุสมผล
1).คนออกกำลงั กำยทุกคนชอบทำนผกั

2).คนที่ชอบทำนผกั ทุกคนมีสุขภำพดี

3).คนท่ีออกกำลงั กำยบำงคนชอบทำนผกั

4).คนสุขภำพดีบำงคนเป็นคนออกกำลงั กำย

12). พจิ ำรณำกำรอำ้ งเหตผุ ลต่อไปนี้

ก. เหตุ 1. ถำ้ ฝนไมต่ กแลว้ เดชำไปโรงเรียน

2. เดชำไม่ไปโรงเรียน

ผล ฝนตก

ข. เหตุ 1. รัตนาขยนั เรียน หรือรัตนาสอบชิงทุนรัฐบาลได้

2. รัตนำไมข่ ยนั เรียน

ผล รัตนำสอบชิงทุนรัฐบำลได้

พจิ ำรณำวำ่ ก และ ข สมเหตสุ มผลหรือไม่ และพิจำรณำขอ้ ควำมต่อไปน้ี

ก). ก ข สมเหตุสมผล ข).ก สมเหตุสมผล ข ไมส่ มเหตุสมผล

ค). ก ข ไม่สมเหตุสมผล ง). ก ไม่สมเหตสุ มผล ข สมเหตสุ มผล

13

13). สัตวเ์ ล้ียงลูกดว้ ยนม จดั อยใู่ นสัตวท์ ่ีมีกระดูกสันหลงั สำมำรถดำรงชีวิตไดใ้ นทุกสภำพสิงแวดลอ้ ม ขอ้
ใดสอดคลอ้ งกบั ขอ้ ควำมขำ้ งตน้
ก). ช้างเป็นสัตว์เลีย้ งลกู ด้วยนม
ข). สัตว์เลีย้ งลูกด้วยนม สามารถดารงชีวิตได้ในทุกสภาพแวดล้อม
ค). ช้างเป็นสัตว์ท่ีมีความอดทน
ง). สัตวท์ ี่ไมม่ ีกระดูกสันหลงั ไม่ค่อยมีควำมอดทน
14).คนไทยส่วนใหญป่ ระกอบอำชีพเสริม เพอื่ ใหม้ ีรำยไดเ้ พิมข้นึ ขอ้ ใดไม่สอดคลอ้ งกบั ขอ้ ควำม
ก). คนไทยส่วนใหญย่ ำกจน
ข). คนไทยบำงส่วนไมไ่ ดป้ ระกอบอำชีพเสริม
ค). คนไทยส่วนใหญต่ อ้ งกำรรำยไดม้ ำกข้ึน
ง). คนไทยบำงส่วนมีรำยไดม้ ำกข้ึน โดยท่ีไม่ไดป้ ระกอบอำชีพเสริม
15).กำรมี Facebook ทำใหผ้ คู้ นสำมำรถติดต่อส่ือสำรกนั มำกข้ึน แต่ก็ทำให้มีกำรหลอกลวงและกำรใส่ร้ำย
ป้ำยสีสูงข้นึ ” ขอ้ ใดสอดคลอ้ งกบั ขอ้ ควำมขำ้ งตน้
ก). กำรใส่ร้ำยป้ำยสีเกิดข้นึ จำกกำรมี Facebook
ข). มีคดีท่ีเกิดจำกกำรหลอกลวงใน Facebook สูงข้ึนทกุ ปี
ค). กำรใส่ร้ำยป้ำยสีจะมีนอ้ ยลง ถำ้ ไมม่ ี Facebook
ง). ถำ้ เรำคยุ กนั นอ้ ยลง กำรหลอกลวงและกำรใส่ร้ำยป้ำยสีก็จะลดลง
16). ไขมนั ทรำนส์ท่ีพบในเบเกอร่ีหรือโดนทั เกิดจำกกำรเปล่ียนโครงสร้ำงโมเลกุลของน้ำมนั พืช ไดร้ ับกำร
ยนื ยนั แลว้ วำ่ เป็นภยั ตอ่ สุขภำพ ขอ้ ใด ไม่ สอดคลอ้ งกบั ขอ้ ควำมขำ้ งตน้
ก). กำรเปล่ียนโครงสร้ำงโมเลกุลของน้ำมนั พชื เป็นภยั ต่อสุขภำพ
ข). โดนทั เป็นภยั ต่อสุขภำพ
ค). สุขภำพจะดีข้ึนได้ ถำ้ ไมก่ ินโดนทั
ง). ไขมนั ทรำนส์ทำใหต้ น้ ทุนกำรผลิตลดลง

14

17).คนไทยทุกคนอยำกใหเ้ ศรษฐกิจดีข้ึน ขอ้ ใด ไม่ สอดคลอ้ งกบั ขอ้ ควำม
ก). คนที่ ไมใ่ ช่คนไทยบำงส่วนอยำกใหเ้ ศรษฐกิจดีข้ึน
ข). คนไทยบำงส่วนไม่อยำกใหเ้ ศรษฐกิจดีข้ึน
ค). คนไทยส่วนใหญอ่ ยำกใหเ้ ศรษฐกิจดีข้ึน
ง). คนที่ อยำกใหเ้ ศรษฐกิจดีข้ึนบำงส่วนไม่ใช่คนไทย
18). นกั ธุรกิจบำงคนเป็นอำจำรย์ อำจำรยท์ กุ คนไม่เป็นคนเห็นแก่ตวั จะสรุปผลของขอ้ ควำมน้ีวำ่ อยำ่ งไร
ก). นกั ธุรกิจทกุ คนไมเ่ ป็นคนเห็นแก่ตวั
ข). คนเห็นแก่ตวั จะเป็นนกั ธุรกิจไม่ได้
ค). อำจำรยท์ กุ คนเห็นแก่ตวั
ง). นกั ธุรกิจบำงคนอำจจะเป็นคนเห็นแก่ตวั
19).จงพจิ ำรณำกำรอำ้ งเหตผุ ลตอ่ ไปน้ี
เหตุ 1ถำ้ กบร้องแลว้ ฝนตก

2 ฝนไมต่ ก
ผล กบไมร่ ้อง
วิธทา

15

20). จงพิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้
เหตุ 1 ถำ้ อำกำศร้อนอบอำ้ วแลว้ ฝนตก หรือ ถำ้ ฝนตกแลว้ ตน้ ไมส้ ดช่ืน
ผล ถำ้ อำกำศร้อนอบอำ้ วแลว้ ตน้ ไมส้ ดชื่น
วธิ ีทำ

16

ภาคการแสดงวธิ ีทาการโจทย์

1.กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ในขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็นสจั นิรันดร์

ก).(q→p)→(p→q) ข).(~p ^ ~q)→(q→p)

ค).[(~p ^ ~q) " →" q]→(~q→p) ง). ).[(~p ^ q) " →" p]→(q→~p)

ตอบขอ้ ข).(~p ^ ~q)→(q→p)

การเฉลย ในที่น้ีจะเฉลยดว้ ยวธิ ีขอ้ ขดั แยง้

ก).( q → p ) → (p → q)

สมมุติใหข้ อ้ ก).เป็นเทจ็ จะไดว้ ำ่ p และ q เป็นจริง และ เป็นเทจ็ ตำมลำดบั เมื่อนำคำ่ ควำมจริงของ p และ q
ไปแทนใน ( q → p ) จะไดว้ ำ่ ไม่มีขอ้ ขดั แยง้ เกิดข้ึน ดงั น้นั ก).ไมเ่ ป็นสจั นิรันดร์

ข). (~p ^ ~q)→(q→p)

สมมตุ ิให้ ข). เป็นเทจ็ จะไดว้ ำ่ p และ q มีค่ำควำมจริงคือ เทจ็ และ จริง ตำมลำดบั และไดว้ ำ่ (~p ^ ~q) เป็ น
จริง** เมื่อนำค่ำควำมจริงของ p และ q ไปแทนลงใน (~p ^ ~q) จะไดว้ ำ่ (~p ^ ~q) เป็นเทจ็ ซ่ึงเกิดขอ้ ขดั แยง้
กบั ** ดงั น้นั ข). เป็นสัจนิรันดร์

ค). [(~p ^ ~q) → q]→(~q→p)

สมมุติให้ ค).เป็นเทจ็ จะไดค้ ่ำควำมจริงดงั น้ี ~p เป็นจริง ดงั น้นั p เป็นเทจ็ q เป็นเท็จ และ ~q เป็นจริง นำคำ่
ควำมจริงท่ีมีไปแทนใน (~p ^ ~q) " →" q จะไดว้ ำ่ ไม่เกิดขอ้ ขดั แยง้ ดงั น้นั ค). ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ง). [(~p ^ q) → p]→(q→~p)

สมมตุ ิให้ ง). เป็นเทจ็ จะไดค้ ่ำควำมจริงคือ q เป็นเทจ็ ~p เป็นจริง p เป็นเท็จ ทำเช่นเดียวกนั กบั ขอ้ ค).จะได้
วำ่ ง). เป็นสัจนิรันดร์

17

2. พิจำรณำขอ้ ควำมต่อไปน้ี

ก. ถำ้ p,q และ r เป็นประพจนท์ ่ี (q⇒r)⇒p มีค่ำควำมจริงเป็นจริงแลว้ ∼r⇒[(p⇒∼r)∧(∼q⇒p)] มีค่ำ
ควำมจริงเป็นจริงดว้ ยเช่นกนั

ข. กำหนดเอกภพสัมพทั ธค์ อื {x∈R|x2≤x+6} เมื่อ R คือซตของจำนวนจริงแลว้ ∃x[5x=2(5^(-x+2))+23] มี
คำ่ ควำมจริงเป็นจริง

ขอ้ ใดถกู ตอ้ ง

ก). ก ถกู และ ข ผดิ ข). ก และ ข ถูก

ค). ก ผดิ ข ถูก ง). ก และ ข ผิด

ตอบขอ้ ข). ก และ ข ถกู

การเฉลย

ก).จำก (q⇒r)⇒p เป็นจริง จะไดว้ ำ่ p เป็นจริง q และ r เป็นจริงหรือเทจ็ เพยี งอยำ่ งใดอยำ่ งหน่ึง เมื่อนำค่ำ
ควำมจริงไปแทนใน ∼r⇒[(p⇒∼r)∧(∼q⇒p จะไดว้ ำ่ จริง ดงั น้นั ก).ถกู

ข). เลือก 2 R จะไดว้ ำ่ 5(2)=2(5^(−2 + 2))+23 จะได้ 25=25 ดงั น้นั ข). ถูก

3. 1 1 + 1 + 1 = เป็ นประพจน์หรือไม่
( + ) ( + ) + +

ตอบ ไมเ่ ป็นประพจน์ เพรำะวำ่ เรำไมท่ รำบวำ่ a b c e หมำยถึงอะไร

4. . ประโยค e∃ , ทำไมถึงเป็ นประพจน์
, ,. 1 1 + 1 + 1 =
( + ) ( + ) + +

ตอบ...............เป็นประพจน์เพรำะวำ่ มีตวั บ่งปริมำณ.......................................................................................

18

5. กำหนดให้ P แทน 2^67 < 5^30 และ Q แทน 2^69 > 5^31

ประพจน์ (~Q↔P)→Qมีค่ำควำมจริงตรงกบั ค่ำควำมจริงของประพจน์ในขอ้ ใดต่อไปน้ี

ก).(Q ^ P)→ P ข).(P↔Q)→(P ^ Q) ค).( ~Q→P)→Q ง).(P↔~Q)→P

ตอบ ก).(Q ^ P)→ P

การเฉลย 2^67 < 5^30 จะไดว้ า่ 2^67 < 5^30 = 67( 2) < 30{ 5}

=67(0.3) < 30(0.6) = 20.1 < 18 เป็ นเทจ็ นน่ั คอื P เป็ นเทจ็

Q ทำในทำนองเดียวกนั กบั P จะได้ 20.3<18.6 เป็นเทจ็ ดงั นนั่ Q เป็นเท็จ

จะไดว้ ำ่ (~Q↔P)→Q มีค่ำควำมจริงเป็นจริง ซ่ึงคำ่ ควำมจริงตรงกบั ก).

6.ประพจน์ ∃ , [4^ + 2^ = 72] มคี ่าความจริงเป็ นจริง เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็ นเซตในข้อใดต่อไปนี้

ก).{ ┤| |2 + 3| ≤ 7} ข).{ ┤| |3 − 2| > 7}

ค).{ ┤| | ^2 + 8 = 6 |} ง).{ | | − 3| > 1}

ตอบ ข).{ ┤| |3 − 2| > 7}

กำรเฉลย แกส้ มกำร 4^ + 2^ = 72 ดงั น้ี

4^ + 2^ − 72 = 0
2^2 + 2^ − 72 = 0
(2^ + 9)(2^ − 8) = 0

จะได้ 2^ = −9 หรือ 2^ = 8

พบวำ่ กรณี2^ = −9 เป็นเทจ็ และจำกอีกรณีจะได้ x=4

นำ x=4ไปแทนค่ำ ในสมกำรจะได้ 4^4 + 2^4 = 72 ซ่ึงเป็นจริง

นำ x=4 ไปแทนไน |3 − 2| > 7จะไดว้ ำ่ 10>7 ซ่ึงเป็นจริง

19

7 กำหนดให้ p และ q เป็นประพจนใ์ ดๆ ประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีเป็นสจั นิรันดร์

ก). ~p v (~p^q) ข).(q v ~q) ^ (p→~q)

ข). ~(p→~q)→q ค).(~p v q) →(~p ^ ~q)

ตอบ ข).(q v ~q) ^ (p→~q)

การเฉลย สำหรับวิธีคิดน้นั ใหค้ ดิ แบบเดียวกนั กบั ขอ้ 1 จึงจะไมอ่ ธิบำยช้ำ

8.กำหนดใหp้ .qและr เป็นประพจนโ์ ดยที่[p→(q→~r)]^q มีค่ำควำมจริงเป็น จริง ประพจน์ในขอ้ ใด
ตอ่ ไปน้ี มีคำ่ ควำมจริงเป็น เท็จ

ก).(p ^ q)↔(p ^ r) ข).(p v q)↔(p ^ r)

ค).(p→q)↔( q v r) ง).q→(~p v r)

ตอบ ก).(p ^ q)↔(p ^ r)

การเฉลย สำหรับขอ้ น้ีน้นั เนื่องจำกเรำทรำบวำ่ [p→(q→~r)]^q เป็นจริง ดงั น้นั p q และ r มีค่ำควำมจริง
คอื จริง จริง เทจ็ ตำมลำดบั นำค่ำควำมจริงที่ไดม้ ำไปแทนในตวั เลือก จะไดว้ ำ่ ขอ้ ก). เป็นเทจ็

20

9). กำหนดให้ p.q และ r เป็นประพจนใ์ ดๆ

(ก) (~p→q)→(~q→p) เป็นสจั นิรันดร์

(ข)(p→q)↔(~p ^ q) เป็นสจั นิรันดร์

(ค)( p→q) v (~r→~q) สมมลู กบั p→r

ขอ้ ใดถูกตอ้ ง

ก).ก ข ถกู ค ผดิ ข). ก ค ถกู ข ผิด

ค).ข ค ถกู ก ผิด ง).ก ข ค ถกู

ตอบ ก).ก ข ถกู ค ผดิ

การเฉลย จะเฉลยเฉพำะขอ้ ค เทำ่ น้นั ขอ้ ค ใหก้ ลบั ไปดูกฎตรรกะบท จะทรำบวำ่ ( p→q) v (~r→~q) ไม่
สมมลู กบั p→rดงั น้นั ค).ผดิ

10). กาหนดให้ p.q และ r เป็นประพจน์ใดๆ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก)ถ้าประพจน์ p→(q v r) เป็นจริง แล้วประพจน์ (p→q)↔(p→r) เป็นจริง

(ข)ถ้าประพจน์p→(q ^ r) เป็นเทจ็ แล้วประพจน์ [(~p→q)^r] v (p v ~r) เป็นจริง

ข้อใดถกู

ก). ก ข ถกู ข).ก ถูก ข ผิด

ค). ก ผิด ข ถูก ง). ก ข ผิด

ตอบ ก). ก ข ถกู

11). พิจำรณำเหตุและผลตอ่ ไปน้ี

เหตุ 1 คนท่ีออกกำลงั กำยทุกคนสุขภำพดี

2 คนสุขภำพดีบำงคนชอบกินผกั

ผลสรุปใด สมเหตสุ มผล

1).คนออกกำลงั กำยทุกคนชอบทำนผกั

2).คนท่ีชอบทำนผกั ทกุ คนมีสุขภำพดี

3).คนท่ีออกกำลงั กำยบำงคนชอบทำนผกั

4).คนสุขภำพดีบำงคนเป็นคนออกกำลงั กำย

21

ตอบ 3).คนที่ออกกำลงั กำยบำงคนชอบทำนผกั

การเฉลย เนื่องจำกคนท่ีออกกำลงั กำยจดั อยใู่ นคนสุขภำพและคนสุขภำพดีบำงคนชอบกินผกั จึงสรุปไดว้ ำ่

คนท่ีออกกำลงั กำยบำงคนชอบทำนผกั

12). พจิ ำรณำกำรอำ้ งเหตุผลตอ่ ไปน้ี

ก. เหตุ 1. ถำ้ ฝนไม่ตกแลว้ เดชำไปโรงเรียน

2. เดชำไมไ่ ปโรงเรียน

ผล ฝนตก

ข. เหตุ 1. รัตนาขยนั เรียน หรือรัตนาสอบชิงทนุ รัฐบาลได้

2. รัตนำไมข่ ยนั เรียน

ผล รัตนำสอบชิงทุนรัฐบำลได้

พจิ ำรณำวำ่ ก และ ข สมเหตุสมผลหรือไม่ และพิจำรณำขอ้ ควำมต่อไปน้ี

ก). ก ข สมเหตสุ มผล ข).ก สมเหตุสมผล ข ไมส่ มเหตสุ มผล

ค). ก ข ไมส่ มเหตุสมผล ง). ก ไมส่ มเหตสุ มผล ข สมเหตสุ มผล

ตอบ ข).ก สมเหตสุ มผล ข ไมส่ มเหตสุ มผล

กำรเฉลย เหตุ 1.ถำ้ ฝนไม่ตกแลว้ เดชำไปโรงเรียน

2. เดชำไม่ไปโรงเรียน

ผล ฝนตก

แทน ฝนไม่ตกดว้ ย ~p แทนเดชำไปโรงเรียนดว้ ย q

นำเหตุและผลมำเช่ือมกนั จะไดว้ ำ่ ~q ^ (~p→ ) →p ตำมกฎโมดสั โทเนนส์ จะไดว้ ำ่ สำมำรถสรุป p ได้

ดงั น้นั สมเหตสุ มผล

เหตุ 1. รัตนำขยนั เรียน หรือรัตนำสอบชิงทนุ รัฐบำลได้

2. รัตนำไม่ขยนั เรียน

ผล รัตนำสอบชิงทุนรัฐบำลได้

แทนรัตนำขยนั เรียนดว้ ย p แทน รัตนำสอบชิงทนุ รัฐบำลได้ ดว้ ย q

นำเหตุและผลมำเช่ือมกนั จะไดว้ ำ่ (p v q) ^ ~p→q

จำกกำรหำสัจนิรันดร์ที่มีอยใู่ นขอ้ ท่ีผำ่ นมำ นำมำใชก้ บั ขอ้ น้ี จะไดว้ ำ่ (p v q) ^ ~p→q ไมเ่ ป็นสัจนิรันดร์ นนั่

คือ ไม่สมเหตุสมผล

22

13). สตั วเ์ ล้ียงลูกดว้ ยนม จดั อยใู่ นสัตวท์ ี่มีกระดูกสนั หลงั สำมำรถดำรงชีวิตไดใ้ นทกุ สภำพสิงแวดลอ้ ม ขอ้
ใดสอดคลอ้ งกบั ขอ้ ควำมขำ้ งตน้
ก). ช้างเป็นสัตว์เลีย้ งลกู ด้วยนม
ข). สัตว์เลยี้ งลกู ด้วยนม สามารถดารงชีวิตได้ในทุกสภาพแวดล้อม
ค). ช้างเป็นสัตว์ที่มีความอดทน
ง). สัตวท์ ี่ไมม่ ีกระดูกสันหลงั ไมค่ อ่ ยมีควำมอดทน
ตอบ ข). สัตว์เลีย้ งลกู ด้วยนม สามารถดารงชีวิตได้ในทุกสภาพแวดล้อม
การเฉลย เนื่องจำกในโจทยไ์ มม่ ีกำรกลำ่ วถึงชำ้ ง และสัตวไ์ มม่ ีกระดูกสนั หลงั จึงไมส่ อดคลอ้ ง
14).คนไทยส่วนใหญ่ประกอบอำชีพเสริม เพื่อใหม้ ีรำยไดเ้ พิมข้ึน ขอ้ ใดไม่สอดคลอ้ งกบั ขอ้ ควำม
ก). คนไทยส่วนใหญย่ ำกจน
ข). คนไทยบำงส่วนไมไ่ ดป้ ระกอบอำชีพเสริม
ค). คนไทยส่วนใหญ่ตอ้ งกำรรำยไดม้ ำกข้ึน
ง). คนไทยบำงส่วนมีรำยไดม้ ำกข้ึน โดยที่ไมไ่ ดป้ ระกอบอำชีพเสริม
ตอบ ข). คนไทยบำงส่วนไม่ไดป้ ระกอบอำชีพเสริม เน่ืองจำกไม่ไดก้ ลำ่ วถึง
15).กำรมี Facebook ทำใหผ้ ูค้ นสำมำรถติดตอ่ ส่ือสำรกนั มำกข้นึ แตก่ ็ทำใหม้ ีกำรหลอกลวงและกำรใส่ร้ำย
ป้ำยสีสูงข้ึน” ขอ้ ใดสอดคลอ้ งกบั ขอ้ ควำมขำ้ งตน้
ก). กำรใส่ร้ำยป้ำยสีเกิดข้ึนจำกกำรมี Facebook
ข). มีคดีท่ีเกิดจำกกำรหลอกลวงใน Facebook สูงข้ึนทุกปี
ค). กำรใส่ร้ำยป้ำยสีจะมีนอ้ ยลง ถำ้ ไม่มี Facebook
ง). ถำ้ เรำคุยกนั นอ้ ยลง กำรหลอกลวงและกำรใส่ร้ำยป้ำยสีก็จะลดลง
ตอบค). การใส่ร้ายป้ายสีจะมนี ้อยลง ถ้าไม่มี Facebook โดยให้มองเป็นเหมือนการแย้งสลบั ที่
16). ไขมนั ทรำนส์ท่ีพบในเบเกอร่ีหรือโดนทั เกิดจำกกำรเปล่ียนโครงสร้ำงโมเลกุลของน้ำมนั พชื ไดร้ ับกำร
ยนื ยนั แลว้ วำ่ เป็นภยั ต่อสุขภำพ ขอ้ ใด ไม่ สอดคลอ้ งกบั ขอ้ ควำมขำ้ งตน้
ก). กำรเปล่ียนโครงสร้ำงโมเลกลุ ของน้ำมนั พืช เป็นภยั ต่อสุขภำพ
ข). โดนทั เป็นภยั ต่อสุขภำพ
ค). สุขภำพจะดีข้ึนได้ ถำ้ ไม่กินโดนทั
ง). ไขมนั ทรำนส์ทำใหต้ น้ ทุนกำรผลิตลดลง
ตอบ ง). ไขมนั ทรำนส์ทำใหต้ น้ ทุนกำรผลิตลดลง เพรำะไม่มีกำรกล่ำวถึง

23

17).คนไทยทกุ คนอยำกใหเ้ ศรษฐกิจดีข้ึน ขอ้ ใด ไม่ สอดคลอ้ งกบั ขอ้ ควำม
ก). คนท่ี ไม่ใช่คนไทยบำงส่วนอยำกใหเ้ ศรษฐกิจดีข้ึน
ข). คนไทยบำงส่วนไม่อยำกใหเ้ ศรษฐกิจดีข้ึน
ค). คนไทยส่วนใหญ่อยำกใหเ้ ศรษฐกิจดีข้นึ
ง). คนท่ี อยำกใหเ้ ศรษฐกิจดีข้ึนบำงส่วนไมใ่ ช่คนไทย
ตอบ ข). คนไทยบำงส่วนไมอ่ ยำกใหเ้ ศรษฐกิจดีข้ึน
แนวคิด เน่ืองจำกขอ้ ข กล่ำวตรงกนั ขำ้ มกบั โจทยจ์ ึงสรุปไดว้ ำ่ ไมเ่ ก่ียวขอ้ งกนั
18). นกั ธุรกิจบำงคนเป็นอำจำรย์ อำจำรยท์ ุกคนไมเ่ ป็นคนเห็นแก่ตวั จะสรุปผลของขอ้ ควำมน้ีวำ่ อยำ่ งไร
ก). นกั ธุรกิจทกุ คนไม่เป็นคนเห็นแก่ตวั
ข). คนเห็นแก่ตวั จะเป็นนกั ธุรกิจไมไ่ ด้
ค). อำจำรยท์ ุกคนเห็นแก่ตวั
ง). นกั ธุรกิจบำงคนอำจจะเป็นคนเห็นแก่ตวั
ตอบ ง). นกั ธุรกิจบำงคนอำจจะเป็นคนเห็นแก่ตวั
แนวคิด จำกโจทยเ์ รำจะทรำบวำ่ นกั ธุรกิจบำงคนไมเ่ ป็นคนเห็นแก่ตวั ในทำนองเดียวกนั เรำจึงสรุปไดว้ ำ่ นกั
ธุรกิจบำงคนอำจจะเป็ นคนเห็นแก่ตวั
19).จงพิจำรณำกำรอำ้ งเหตุผลตอ่ ไปน้ี
เหตุ 1ถำ้ กบร้องแลว้ ฝนตก

2 ฝนไม่ตก
ผล กบไมร่ ้อง
วธิ ีทา ตอบวำ่ สมเหตสุ มผล สาหรับแนวคิดน้นั ให้ดจู ากข้อ 12 อยำ่ งไรก็ตำมขอ้ น้ียงั สำมำรถทำวิธีอื่นไดอ้ ีก

24

20). จงพิจำรณำกำรอำ้ งเหตผุ ลต่อไปน้ี
เหตุ 1 ถำ้ อำกำศร้อนอบอำ้ วแลว้ ฝนตก หรือ ถำ้ ฝนตกแลว้ ตน้ ไมส้ ดช่ืน
ผล ถำ้ อำกำศร้อนอบอำ้ วแลว้ ตน้ ไมส้ ดช่ืน
วิธีทา ตอบไมส่ มเหตสุ มผล
การเฉลย
เขยี นเหตใุ หอ้ ยใู่ นรูปสัญลกั ษณ์ทำงตรรกสำสตร์จะไดว้ ำ่ โดยให้p แทน อำกำศร้อน q แทน ฝนตก
r แทน ตน้ ไมส้ ดชื่น และนำมำเขียนเป็นสัญลกั ษณ์ตรรกศำสตร์ไดด้ งั น้ี
เหตุ 1 (p→q) v (q→r)
ผล 2 p→r
นำเหตุและผลมำเชื่อมดว้ ยกนั จะไดว้ ำ่
(p→ q ) v (q → r)→(p→r)
ตำมกฏตรรกบทคอื (p→ q ) ^ (q → r)⇒(p→r) จะเห็นวำ่ เหตขุ อ้ น้ีน้นั เชื่อมดว้ ยหรือในขณะท่ีกฏตรรก
บทจะเชื่อมดว้ ยและ ดงั น้นั (p→ q ) v (q → r) ไมส่ ำมำรถสรุป p→r ได้ ดงั น้นั ไม่สมเหตุสมผล

25

บรรณานุกรม

ชูเดช ศรีสวสั ด์ิ. ตรรกศาสตร์. คณะวิทยำศำสตร์ มหำวิทยำลยั รำชภฏั อุดรธำนี; 2560.
ทรูปลูกปัญญำ. (2558). แนวข้อสอบpat1ตรรกศาสตร์. สืบคน้ เม่ือ1ตุลำคม2564,

จำก https://www.trueplookpanya.com/tcas/article/detail/71582
ปัญญำ สำโสภำ. การอ้างเหตผุ ล. คณะวทิ ยำศำสตร์ มหำวทิ ยำลยั รำชภฏั อดุ รธำนี; 2558.
ติวสอบกพ. (2558). ขอ้ สอบ ก.พ.(ภำค ก) ตรรกศำสตร์. สืบค้นเมื่อ1ตลุ าคม2564,

จำก https://ติวสอบกพ.com

26

ประวตั ผิ ู้จดั ทา

ช่ือ นำยเอกธวชั สูงสุมำลย์ ชื่อเล่น ปอนด์ รหสั นกั ศึกษำ 6304040118 เกิดวนั ท่ี 31 ธนั วำคม พ.ศ. 2544
อำยุ 19 ปี โทร 093-3239537 บิดำชื่อ นำย วทิ ยำ สกุล สูงสุมำลย์ อำยุ 56 ปี อำชีพ พนกั งำนรำชกำร
โทร 081-7490249 อำยุ 49 ปี อำชีพ ขำ้ รำชกำร โทร 080-7491345 สถำนะปัจจุบนั มำรดำเสียชีวิต
สิ่งชื่อชื่นชอบ กีฬำ เลน่ เกมส์ ส่ิงท่ีคำดหวงั ไว้ ไดท้ ำงำนเป็นครูคณิตศำสตร์

27