แก้กลางภาค_ขวัญจิรา_5/2_1

สารบัญ หน้า
3
ความหมายจำนวน 4
การสร้างจำนวนเชิงซ้อน 5
ความรู้เบื้องต้น 6
ปฏิบัติการจำนวนเชิงซ้อน 7
รูปเชิงขั้ว 8
ศัพท์สำคัญ 9
อินเวอร์ส สังยุค 10
สมการพหุนาม 11
รากเชิงซ้อน

ความหมาย

จำนวนเชิงซ้อน (complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซต
ของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน  ซึ่งทำให้สมการ  เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่ม
สมาชิกตัวอื่นๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณ
จำนวนเชิงซ้อน  ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป  โดยที่  และ  เป็นจำนวนจริง
โดยเราเรียก  และ  ว่าส่วนจริง(real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part)
ของ  ตามลำดับ
เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์  จากนิยามข้างต้นเราได้ว่า
เซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็น
จำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใดๆ ของเซตของ
จำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็น
จำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อน
เป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติปิดทางพีชคณิต (algebraically
closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็น
จำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต
นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า “เชิงซ้อน” ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความ
หมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การ
วิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

จำนวนเชิงซ้อน
ในระบบจำนวนจริง  สมการพหุนามบางสมการ  เช่น  x  +  1 = 0  ไม่มี
คำตอบเนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงใดๆ  จะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
เสมอ  ในที่นี้เราจะศึกษาวิธีการสร้างระบบจำนวนชนิดใหม่  เพื่อให้หาคำตอบของ
สมการพหุนามทุกสมการได้เสมอ  และเรียกจำนวนในระบบที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่า
จำนวนเชิงซ้อน  ( complex  numbers)  ซึ้งนอกจากจะปัญหาในเรื่องของการ
มีคำตอบของสมการพหุนามใดๆ  แล้ว  ยังสามารถประยุกต์อย่างกว้างขวางกับ
สาขาต่าง  ๆ  ทางด้านวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์

การสร้างจำนวนเชิงซ้อน

การสร้างจำนวนเชิงซ้อน  (Construction Of Complex Numbers)                จากที่กล่าวข้างต้นว่า
สมการพหุนาม  x  +  1 = 0  ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริงแต่นักคณิตศาสตร์ต้องการสร้างระบบจำนวน
ซึ้งขยายระบบจำนวนจริงออกไปเพื่อให้สามารถครอบคลุมทุกคำตอบของสมการพหุนามทั้งหมด
ได้  ดังนั้นจึงพิจารณาเซตที่มีจำนวนจริงเป็นสับเซต

บทนิยาม  จำนวนเชิงซ้อน  คือ  คู่อันดับ (a,b)  เมื่อ  a  และ  b  เป็นจำนวนจริงและกำหนดการเท่ากัน
การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน  ดังนี้

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน  (a,b)  และ  (c,d)
1. การเท่ากัน
( a , b ) =  ( c , d )  ก็ต่อเมื่อ  a = c  และ  b = d
2. การบวก
( a , b ) + ( c , d )  =  ( a + c , b + d )
3  การคูณ                                                ( a , b ) •  ( c , d )  =  ( ac – bd , ad + bc )
เราอาจเขียนแทน  ( a , c ) • ( c , d )  ด้วย  ( a , b )( c , d ) ก็ได้  เซตของจำนวนเชิงซ้อน
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  C

ความรู้เบื้องต้น

จำนวนเชิงซ้อน
1. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน
ระบบจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อน (Complex Number : C) ประกอบด้วย จำนวนจริง (R) และ จำนวนจินตภาพ (R')
Im
สัญลักษณ์และส่วนประกอบของจำนวนเชิงซ้อน
นิยมเขียนจำนวนเชิงซ้อนด้วยตัว 2 มีรูปทั่วไปของจำนวนเชิงซ้อนดังนี้
z=a+bi เมื่อ i=L-1
เรียก a ว่า "ส่วนจริง" แทนด้วย Re(z) และ เรียก b ว่า "ส่วนจินตภาพ" แทนด้วย Im(Z)
จำนวนจริงและจำนวนจินตภาพแท้

จำนวนจริง (real number) คือ จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์
จำนวนจินตภาพแท้ (purely imaginary number) คือ จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์
ค่าของ i
ค่าหลักของ i"
2
กรณีที่ n เป็นจำนวนอื่น ค่าของ " ให้ดูจากเศษเหลือจากการหาร " ด้วย 4
เศษ 1
เศษ 2
เศษ 3
เศษ 0 (ลงตัว)
-1
-i
การบวกและการคูณของชุด ที่กำลังเรียงติดกัน 4 ตัว
intin+l
Itin+ 2
tin+3 =0
เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
" .n+1 . in+2 . in + 3 = -1 เมื่อก เป็นจำนวนเต็มบวก

ปฏิบัติการจำนวนเชิงซ้อน

3. ปฏิบัติการจำนวนเชิงซ้อน
บวก - ลบ - คูณ - หาร
กำหนดให้ 2 =a +bi และ 22 =c +di เมื่อ a, 6, c, d เป็นจำนวนจริง

บวก : 4+22=(a+c)+(b+d)i
ลบ: -= (a-c)+(b-d)i
คูณ : 4Z = (ac -bd)+(ad +bo)i
(a + bi)(c -di)
หาร

ข้อควรรู้
1. ในเรื่องจำนวนเชิงซ้อน ผู้อ่านอาจพบสัญลักษณ์ (a, b) ซึ่งหมายถึง a +bi
2. เอกลักษณ์การบวกของ (2, 6) คือ (0, 0) เพราะว่า (a, b) + (0, 0) = (a, b)
3. อินเวอร์สการบวกของ (a, b) คือ (-a, -b) เพราะว่า (a, b) + (-a, -b) = (0, 0)
ดึงเลขชี้กำลังของ 2 ออกมานอกคำาสัมบูรณ์ได้
ขนาดของอินเวอร์สของ 2 เท่ากับ ส่วนกลับของขนาดของ 2
: โดยทั่วไป ขนาดของผลบวกไม่เท่ากับ ผลบวกของขนาด
เรียกความจริงนี้ว่า อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม

รูปเชิงขั้ว

4. รูปเชิงขั้ว
รูปเชิงขั้ว

รูปเชิงขั้ว (Polar Form) เป็นการเขียนจำนวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปของตรีโกณมิติ
พิจารณาจำนวนเชิงซ้อน z = a + bi ซึ่งแทนด้วยจุด (a, b) บนระนาบเชิงซ้อน
Im(z)
z = a+ bi
-Re(z)
ถ้าให้ แทนขนาดของเวกเตอร์เชิงซ้อน 2 แล้ว จะได้ว่า a =rcos และ b =rsinO
นั่นคือ
z = a+bi
แทนค่า a และ 6 จะได้
z = rcos0+rsine.i
เมื่อดึง r ออกมา จะได้รูปมาตรฐานของรูปเชิงขั้วคือ
z = r(cosO+isinO)= rcis
ในการเขียนรูปเชิงขั้วจะต้องรู้ 2 อย่าง
1. r คือ ขนาดของ 2 เรียกว่า โมดูลัส (modulus)
2. คือมุมที่วัดในทิศทวนเข็มนาฬิกาจากแกนจริง (แกนนอน) มายังเวกเตอร์เชิงซ้อน 2
โดย เรียกว่า อาร์กิวเมนต์ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Arg(z)
วิธีแปลงจำนวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว
1. หา rจากสูตร r= |2 = Va
2+62
2. หา 0 จากสูตร =actan
แล้วดูเครื่องหมายของ a และ 6 เพื่อเลือกจตุภาดของ 0
3. ในกรณีที่ 2 เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า จะอยู่บนแกน X
ในกรณีที่ 2 เป็นจำนวนจินตภาพแท้ จะได้ว่า จะอยู่บนแกน Y

ศัพท์สำคัญ

ศัพท์สำคัญ
สังยุค (conjugate)
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน z = a + bi คือ Z =a -bi สัญลักษณ์ 2 (อ่านว่า z บาร์)

สมบัติของสังยุค
1.(Z)=2
: สังยุดของสังยุคได้ตัวเดิม
2.C2=C·7
- ดึงค่าคงที่ออกนอกสังยุคได้
3.z⼟2=⼟
: กระจายสังยุดผ่านผลบวก - ผลลบได้
4. Z2=云·2
: กระจายสังยุคผ่านผลคูณได้
5.
互
กระจายสังยุดผ่านผลหารได้
Z2
6.(z)"=(z")
กระจายสังยุคผ่านการยกกำลังได้

ความสัมพันธ์ของ 2 และ 7
1. Re(z)=-(2+7)
2. Im(2)=(z-7)

อินเวอร์ส สังยุค

เอกลักษณ์และตัวผกผัน (อินเวอร์ส)
การบวกในระบบจานวนเชิงซ้อน
เอกลักษณ์การบวก
(0, 0) เป็นเอกลักษณ์การบวกในระบบจำนวนเชิงซ้อน
0 + 0i เป็นเป็นเอกลักษณ์การบวกในระบบจำนวนเชิงซ้อน
ตัวผกผัน (อินเวอร์ส) การบวก ตัวผกผัน(อินเวอร์ส) การบวกของ (a, b) คือ (−a, b)
ตัวผกผัน(อินเวอร์ส) การบวกของ a + bi คือ – – bi

เอกลักษณ์การคูณในระบบจานวนเชิงซ้อน
เอกลักษณ์การคูณ
(1, 0) เป็นเอกลักษณ์การคูณในระบบจำนวนเชิงซ้อน
1 + 0i เป็นเป็นเอกลักษณ์การคูณในระบบจำนวนเชิงซ้อน

สังยุค (conjugate) ของจำนวนเชิงซ้อน
บทนิยาม ให้ z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะเรียก
จำนวนเชิงซ้อน a – bi ว่าเป็นสังยุค (conjugate) ของ z และ
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 7 นั่นคือ 2 = abi = a-bi

สมการพหุนาม

สมการพหนาม
หลักเบื้องต้นในการแก้สมการพหุนาม
1. จัดรูปให้ฝั่งใดฝั่งหนึ่งเป็นศูนย์เสียก่อน
2. พยายามแยกตัวประกอบ โดยใช้ ทฤษฎีเศษ หรือ จับคู่ดึงตัวร่วม (สังเกตอัตราส่วนของสัมประสิทธิ)
เพื่อเขียนพหนามให้อยู่ในรูปของการดูณ แล้วจึงจับแต่ละวงเล็บเท่ากับ 0 ซึ่งจะเป็นไปตามทฤษฎี
ถ้า (x-r)(x-r2)..(x-h)=0 แล้ว x =T,12 .... h
-b⼟Vb
3. ในกรณีของสมการกำลังสอง ถ้าแยกตัวประกอบไม่ได้ ให้ใช้สูตร x =
2a
4. ค่าที่ทำให้แต่ละวงเล็บเป็นศูนย์ คือ คำตอบของสมการ
* คำตอบของสมการ = รากของสมการ = ผลเฉลยของสมการ
เพิ่มเติมเกี่ยวกับสมการ
1. กำหนดให้ p(x) = เป็นสมการพหุนามซึ่งสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนจริง พบว่า
ถ้า 2 =a + bi เป็นคำตอบของสมการ แล้ว 2 = a - bi ย่อมเป็นคำตอบของสมการด้วย
2. สมการที่มีจำนวนเชิงซ้อน a + bi เป็นคำตอบของสมการ คือ x2 - 2ax +22 +62 = 0
3. ในการสร้างสมการเมื่อรู้คำตอบของสมการ จะต้องติดค่คงที่ k ไว้ข้างหน้าสมการเสมอ
สมการที่มี และ เป็นคำตอบ คือ k (x - ⼝) (x - O) =0 เมื่อ k เป็นค่าคงที่
ทั้งนี้ โจทย์จะกำหนดเงื่อนไขมาให้หาค่า k ต่อไป
4. ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต (The Fundamental Theorem of Algebra)
พิสูจน์โดย เกาส์ (Carl Friedrich Gauss) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ซึ่งกล่าวไว้ว่า
สมการพหุนามกำลัง n ทุกสมการ จะมีคำตอบของสมการอย่างน้อย 1 คำตอบ
โดยคำตอบที่ว่านี้ อาจจะเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนก็ได้
5. ถ้า p(x) เป็นพหุนามดีกรี n แล้ว สมการ (x) - 0 จะมีดำตอบทั้งหมด x คำตอบซึ่งอาจซ้ำกันได้

รากเชิงซ้อน

รากเชิงซ้อน
สมบัติของรากที่ n
กำหนดให้ 2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ 270
1. รากที่ n ของ 2 จะมีแตกต่างกันทั้งหมด n ราก สมมติให้รากทั้งหมดคือ [/, 2. ร3.... โท.
2. ผลรวมของรากทุกตัวมีค่เท่ากับศูนย์
: trtr3t...+m =0
3. ขนาดของรากทุกตัวมีค่าเท่ากัน
: - -3=..-楼
วิธีการหาค่ารากที่ n ของ Z
ขั้นที่ 1 หาดำ รากหลัก (principal root) ของ 2 โดยแทนค่า k =0 ในสูตร
=rn
0+2k元
ขั้นที่ 2 หารากที่เหลือโดยแทนค่า k = 1, 2.... - I ในสูตรไปเรื่อยๆ จนดรบ n ราก
ดำอธิมาย รากแรทพี่ได้ คือ (!) เรียกว่า คำรากหลัก แล้วหารากที่เหลือจาการแบ่งมุม 27
ออกตามจำนวนราก แล้วบวกทบจากมุมของค่รากหลักไปเรื่อย ๆ จนครบทั้งหมด ก ราก
สูตรสำเร็จในการหา "รากที่สอง" ของ a + bi
ในการหารากที่สองของ z = a + bi อาจใช้สูตรสำเร็จ
โดยให้สังเกตว่าทั้ง 2 กรณีเป็นสูตรเดียวกัน