BAHAN AJAR PROGRAM LINEAR rev

Modul Kegiatan Belajar Mandiri

Oleh:
FATIMATUZ ZAHRO’

MATEMATIKAMGMP Matematika SMK TUREN

Kelas

Nama : ............................................. X
Kelas :……………..No Absen ..............
Sekolah : ..............................................

Semester 1

4Bab

PROGRAM
LINEAR

Kompetensi Dasar:
3.4 Menentukan nilai maksimum dan minimum

permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan
program linear dua variabel
4.4 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan
dengan program linear dua variabel

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Mah Esa sehingga penyusunan Modul Pembelajaran
bagi peserta didik ini dapat terselesaikan dengan baik. Modul Pembelajaran ini
merupakan sarana bagi peserta didik dalam menerima pembelajaran dengan lebih
mudah dan efisien.

Modul Pembelajaran yang disusun dengan pendekatan yang mendorong aktifitas dan
kreatifitas peserta didik dalam belajar, menekankan pengembangan karakter dan budi
pekerti. Adapaun muatan dalam Modul Pembelajaran ini berisi materi dan latihan soal,
diharapkan dapat mempermudah peserta didik dalam melaksanakan kegiatan belajar
mengajar.

Tujuan yang diharapkan dengan adanya Modul Pembelajaran yakni mempermudah
peserta didik memperoleh referensi dalam mencari berbagai informasi yang
berhubungan dengan pembelajaran yang berlangsung.

Harapan diterbitkannya Modul Pembelajaran ini dapat mempermudah peserta didik
dalam menguasai kompetensi yang menjadi tujuan pembelajaran. Suatu kebanggaan
bagi redaksi jika hal tersebut dapat terwujud, sehingga upaya untuk memperbaiki dan
meningkatkan kualitas Modul Pembelajaran ini akan selalu dilakukan.

Redaksi

BAB PROGRAM LINEAR – Oleh: Fatimatuz Zahro’ i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ........................................................................................................................................i
DAFTAR ISI ....................................................................................................................................................ii
PROGRAM LINEAR ...................................................................................................................................... 3
PETA KONSEP ............................................................................................................................................. 4
MATERI PEMBELAJARAN ........................................................................................................................... 4
A. PENGERTIAN........................................................................................................................................ 4
B. GRAFIK PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL...................................................................... 4
C. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL...................................................................... 6
D. MEMBUAT MODEL MATEMATIKA....................................................................................................... 7
E. MENENTUKAN NILAI OPTIMUM DENGAN UJI TITIK POJOK (TITIK EKSTRIM) .............................. 9
F. MENYELESAIKAN SOAL CERITA PROGRAM LINEAR...................................................................... 9
UJI KOMPETENSI....................................................................................................................................... 12
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................................................... 13

BAB PROGRAM LINEAR – Oleh: Fatimatuz Zahro’ ii

BAB

4 PROGRAM LINEAR

Kompetensi Inti Kompetensi Dasar

3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis 4.4 Menyelesaikan masalah kontekstual
pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan yang berkaitan dengan program
metakognitif berdasarkan rasa - ingin tahunya linear dua variabel
tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya
dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, Tujuan Pembelajaran
kebangsaan, kenegaraan, peradaban terkait
penyebab fenomena dan kejadian, serta Melalui penerapan pembelajaran
menerapkan penetahuan prosedural pada bidang PBL berbantuan geogebra,
kajian yang sepesifik sesuai dengan bakat dan inventor dan diskusi kelompok
minatnya untuk memecahkan masalah siswa mampu menyelesaikan
masalah kontekstual yang
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkrit berkaitan dengan program linear
dan ranah abstrak terkait dengan Pengembangan dua variabel.
dari yang dipelajari di Sekolah secara mandiri,
bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu
menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan

Apersepsi

Seorang pedagang menjual nasi kotak dengan dua jenis menu. Setiap hari pedagang paling
banyak menjual 200 nasi kotak. Jika untuk membuat nasi kotak dengan menu ayam
membutuhkan biaya Rp7.500,00 dan menu ceker lunak membutuhkan biaya Rp5.000,00. Modal
yang dimiliki pedagang tersebut Rp1.200.000,00. Jika menu ayam geprek dijual Rp10.000,00
dan ceker lunak dijual Rp7.000, 00, tentukan laba maksimum yang diperoleh pedagang
tersebut!

BAB PROGRAM LINEAR – Oleh: Fatimatuz Zahro’ 3

PETA KONSEP Pengertian
PROGRAM LINEAR
Grafik Pertidaksamaan
Linear Dua Variabel

Sistem Pertidaksamaan
Linear Dua Variabel

Membuat Model
Matematika

Menentukan Nilai
Optimum dengan Uji Titik

Pojok (Titik Ekstrim)

Menyelesaikan Soal Cerita
Program Linear

MATERI PEMBELAJARAN

A. PENGERTIAN
Program linear merupakan suatu cara yang dapat digunakan untuk

memecahkan suatu permasalahan (optimalisasi) dimana model matematikanya
terdiri atas beberapa pertidaksamaan linier.

B. GRAFIK PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu pertidaksamaan yang di

dalamnya memuat dua variabel yang masing-masing variabel berderajat satu dan
tidak terjadi perkalian antar variabelnya. Bentuk-bentuk pertidaksamaan linear dua
variabel dengan 1, 2, 1, 2, 1, 2 ∈ ℝ. serta x dan y peubah: + < ; +
≤ ; + > ; + ≥ .

Himpunan penyelesaian adalah himpunan semua titik (x,y) pada sistem
koordinat Kartesius yang memenuhi pertidaksamaan linear dua peubah. Misalnya,
untuk menggambar daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear + ≥ ,
maka terlebih dahulu gambarlah garis + = yang memotong sumbu-x di

BAB PROGRAM LINEAR – Oleh: Fatimatuz Zahro’ 4

( , 0) dan memotong sumbu-y di (0, ). Kemudian, ambil satu titik lain di luar garis.



Jika titik yang diambil memenuhi ax + by ≥ c, maka daerah yang diarsir adalah

daerah di mana titik tersebut berada. Daerah arsiran tersebut merupakan himpunan
penyelesaiannya. Sebaliknya, jika titik yang diambil tidak memenuhi ax + by ≥ c,

maka daerah yang diarsir adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut.

Apabila pertidaksamaannya menggunakan tanda > atau <, maka garis

digambar putus-putus. Titik-titik yang berada pada garis tersebut bukan merupakan
penyelesaiannya. Apabila pertidaksamaannya menggunakan tanda ≥ atau ≤, maka

garis digambar tidak putus-putus. Titik-titik yang berada pada garis tersebut

merupakan penyelesaiannya.

Contoh:

1. Tentukan grafik himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear 2 + 3 ≤ 6!

Jawab:

Langkah-langkah untuk membuat grafik adalah sebagai berikut.

a. Menentukan batas daerahnya, yaitu gambarlah garis dengan persamaan

2 + 3 = 6 pada bidang kartesius

( , )

0 2 (0,2)

3 0 (3,0) Bukan HP
2
b. Menentukan uji titik, yaitu menentukan daerah
yang memenuhi 2 + 3 ≤ 6.
Ambil sebarang titik yang tidak terletak pada garis
2 + 3 = 6 misalkan ttik (0,0), maka diperoleh. 03
HP
2x +3y  6

2.0 + 3.0  6

0  6 (benar)

Jadi, titik (0,0) terletak pada daerah himpunan penyelesaian.

c. Arsirlah daerah yang dibatasi garis 2 + 3 = 6 dan memuat titik (0,0).

2. Tentukan grafik himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear 3 + 4 >

12!

Jawab:

Langkah-langkah untuk membuat grafik adalah sebagai berikut.

a. Menentukan batas daerahnya 3 + 4 = 12

( , )

0 3 (0,3)

4 0 (4,0)

BAB PROGRAM LINEAR – Oleh: Fatimatuz Zahro’ 5

b. Menentukan uji sebarang titik
Uji di ttik (0,0) maka diperoleh

3x + 4y  2

2.0 + 3.0  2 3 HP
0  2 (salah)

Jadi, titik (0,0) tidak terletak Bukan
pada daerah himpunan penyelesaian. HP
4
0

c. Arsirlah daerah yang dibatasi garis 3 + 4 = 12 dan

tidak memuat titik (0,0).

C. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Sistem pertidaksamaan linear adalah sistem yang komponen-komponennya

terdiri atas sejumlah pertidaksamaan linear. Penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan merupakan irisan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan.

Contoh:

Gambarlah grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut:

2x +3y  6

x +3y  9

x0
y0

Jawab:

Mencari titik potong + 3 = 9
2 + = 6

( , ) Cek di titik (0,0) ( , ) Cek di titik (0,0)
0 6 (0,6) 2x + 3y  6 0 6 (0,3) x + 3y  9
3 0 (3,0) 2.0 + 3.0  6 3 0 (9,0) 0 + 3.0  9

06 09

Gambarlah grafik pada satu diagram kartesius.

Cara I: Daerah Kotor Cara II: Daerah Bersih

Daerah kotor adalah cara yang digunakan Daerah bersih adalah cara yang

untuk menentukan himpunan penyelesaian digunakan untuk menentukan himpunan

sistem pertidaksamaan linear dengan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear

mencari daerah yang paling kotor. Mencari dengan mencari daerah yang paling bersih.

daerah perpotongan dari semua arsiran Mengarsir yang bukan daerah penyelesaian

daerah penyelesaian. sehingga daerah yang paling bersih adalah

daerah penyelesaian.

BAB PROGRAM LINEAR – Oleh: Fatimatuz Zahro’ 6


6
3 3
HP 9
HP
03
0 39

Cara I: Daerah Kotor Cara II: Daerah Bersih

D. MEMBUAT MODEL MATEMATIKA

Model matematika merupakan penerjemahan permasalahan sehari-hari ke

dalam kalimat matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau

fungsi. Pada umumnya, model matematika dari setiap permasalahan program linear

secara umum terdiri atas 2 komponen, yaitu:

1. Fungsi kendala (berupa system pertidaksamaan linear)

2. Fungsi tujuan = ( , ) = +

Langkah-langkah membuat model matematika:

1. Baca soal secara cermat, dan misalkan (biasanya yang dimisalkan adalah

produknya)

2. Susun pertidaksamaannya berdasarkan kendala yang ada.

3. Susun fungsi tujuannya
Ciri khas model matematika pada program linear adalah selalu bertanda " <, ≤,

>" atau "≥" dengan nilai peubah x dan y yang selalu positif.

kurang dari 8 < 8

lebih dari 8 > 8

maksimal 8 ≤ 8

sebesar-besarnya bernilai 8

tidak lebih dari 8

paling banyak 8

minimal 8 ≥ 8

sekurang-kurangnya bernilai 8

tidak kurang dari 8

BAB PROGRAM LINEAR – Oleh: Fatimatuz Zahro’ 7

paling sedikit 8 < <
antara 3 dan 8

Contoh 1:
Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan
gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp8.000,00 per kg dan
pisang Rp6.000,00 per kg. Modal yang tersedia Rp 1.200.000,- dan gerobaknya
hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika mangga dijual Rp
9200 per kg dan pisang Rp 7.000,- per kg, maka tentukan laba maksimum yang
diperoleh!

Jawab: MANGGA PISANG MAKSIMUM
Misal: 8000 6000 1.200.000
: banyak manga 180
: banyak pisang -
9200 7000 -
Harga Beli 9200-8000 7000-6000
Muatan gerobak =1200 =1000
Harga Jual
Laba=
Harga jual-harga
beli

Fungsi kendala: 8000 + 6000 ≤ 1.200.000 atau
Fungsi Tujuan: 8000 +6000 ≤1.200.000 : 2 atau 4 + 3 ≤ 600

+ ≤ 180
≥ 0
≥ 0
1200x+1000y

Contoh 2:
Seorang atlet diwajibkan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama
mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua
mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, atlet itu
memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Harga tiap-tiap tablet, Rp 1.500
dan Rp2.000. Modelkan masalah tersebut ke dalam bentuk model matematika!

Jawab:
Misal
x adalah banyaknya tablet I

BAB PROGRAM LINEAR – Oleh: Fatimatuz Zahro’ 8

x adalah banyaknya tablet II

Jenis Tablet I Tablet II Kebutuhan
Vitamin
Vitamin A 5 10 20
Vitamin B 3 1 5
Harga 1500 2000 -

Fungsi kendala : 5 + 10 ≥ 20 disederhanakan menjadi + 2 ≥ 10
Fungsi Tujuan 3 + ≥ 5
≥ 0
≥ 0

: 1500 + 2000

E. MENENTUKAN NILAI OPTIMUM DENGAN UJI TITIK POJOK (TITIK EKSTRIM)
Uji titik pojok (titik ekstrim) merupakan cara yang sering digunakan dalam

menentukan nilai optimum fungsi objektif dari sistem pertidaksamaan linear, yaitu
dengan mensubstitusikan koordinat titik-titik pojok daerah penyelesaian ke dalam
fungsi objektif.

Langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan uji titik
pojok adalah sebagai berikut.
b. Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang diketahui.
c. Tentukan semua titik-titik pojok pada daerah penyelesaian tersebut.
d. Substitusi setiap titik pojok yang diperoleh ke dalam fungsi objektif yang diketahui.
e. Berdasarkan hasil pada langkah c, tetapkan nilai maksimum atau minimumnya.

Sesuai permasalahan yang ditanyakan.

F. MENYELESAIKAN SOAL CERITA PROGRAM LINEAR
Pada umumnya, masalah program linear adalah menentukan nilai optimum

(nilai maksimum atau nilai minimum). Langkah-langkah menyelesaikan masalah
program linear adalah sebagai berikut.
1. Ubah masalah verbal menjadi model matematika dalam fungsi kendala dan fungsi

objektif.
2. Gambar grafik pertidaksamaan linear dua variabel.
3. Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua

variabel.
4. Tentukan nilai optimum dengan menggunakan titik uji titik pojok (titik ekstrim) atau

garis selidik.
5. Membuat kesimpulan.

BAB PROGRAM LINEAR – Oleh: Fatimatuz Zahro’ 9

Contoh.
Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan
gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp8.000,00 per kg dan
pisang Rp6.000,00 per kg. Modal yang tersedia Rp1.200.000,00 dan gerobaknya
hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika mangga dijual
Rp9.200,00 per kg dan pisang Rp7.000,00 per kg, maka tentukan laba maksimum
yang diperoleh!

Jawab:

a. Membuat model matematika

Misal:

: banyak mangga

: banyak pisang

MANGGA PISANG MAKSIMUM
6000 1.200.000
Harga Beli 8000 180
-
Muatan gerobak 7000 -
7000-6000
Harga Jual 9200 =1000

Laba= 9200-8000

Harga jual-harga beli =1200

Fungsi kendala : 1. 8000 + 6000 ≤ 1.200.000 atau
Fungsi Tujuan 8000 +6000 ≤1.200.000 : 2 atau 4 + 3 ≤ 600

2. + ≤ 180
3. ≥ 0
4. ≥ 0
: Mamaksimalkan = 1200 + 1000

b. Menggambar grafik • + = 180
• 4 + 3 = 600 ( , )
( , ) 0 180 (0,180)
0 200 (0,200) 180 0 (180,0)
150 0 (150,0)
Cek di titik (0,0) Cek di titik (0,0)

4x + 3y  600 x + y  180
4.0 + 3.0  600 0 + 0  180

0 + 0  600 0  180
0  600

BAB PROGRAM LINEAR – Oleh: Fatimatuz Zahro’ 10



200
180

HP
0 150 180

Menentukan Titik Potong Substitusikan = 60

4x + 3y = 600 1 4x + 3y = 600 x + y = 180
x + y = 180 3 3x + 3y = 540 − 60 + y = 180

x = 60 y = 180 − 60
= 120
Jadi titik potongnya adalah (60,120)

c. Menentukan nilai maksimum/ minimum =180000
Titik 1200 + 1000 =192000
(150,0) 1200.150+1000.0=180000+0 =180000
(60,120) 1200.60+1000.120=72000+120000
(0,180) 1200.0+1000.180=0+180000

d. Kesimpulan
Jadi, keuntungan maksimumnya adalah Rp192.000,00 dengan 60 mangga dan
120 pisang

TUGAS

Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan benar!
1. Seorang pengusaha material hendak mengangkut 120 ton bawang dari gudang A ke

gudang B. Untuk keperluan ini sekurang-kurangnya diperlukan 50 kendaraan, truk yang
terdiri dari truk jenis I dengan kapasitas 3 ton dan truk jenis II dengan kapasitas 2 ton. Biaya
sewa truk jenis I dan truk jenis II berturut-turut adalah Rp200.000,00 dan Rp150.000,00.
Tentukan biaya minimum yang harus dikeluarkan pengusaha tersebut!

BAB PROGRAM LINEAR – Oleh: Fatimatuz Zahro’ 11

UJI KOMPETENSI

Jawablah pertanyaan ini dengan benar!
1. Sebuah perusahaan mampu memproduksi onderdil mobil dalam waktu 2 jam

menggunakan mesin I dan 3 jam dengan mesin II. Produksi onderdil sepeda motor
memerlukan waktu 2 jam menggunakan mesin I dan 1 jam dengan mesin II. Setiap
harinya, mesin I dan II masing-masing dapat bekerja maksimal 16 jam dan 12 jam.
Jika onderdil mobil memberikan keuntungan sebesar 200.000 perbuah, onderdil
sepeda motor memberikan keuntungan 100.000 perbuah, dan semua onderdil yang
diproduksi selalu habis terjual, tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh
perusahaan tersebut!

Program Remidial

Jawablah pertanyaan ini dengan benar!
1. Pedagang membeli teh A dengan harga Rp9.000,00 setiap box dan teh B dibeli

dengan harga Rp3.000,00 setiap box. Jika pedagang tersebut mempunyai modal
Rp180.000,00 dan pedagang mempunyai lemari yang hanya cukup ditempati untuk
40 box teh. Teh A setiap box di jual dengan laba Rp1.000,00 dan teh B Rp500,00,
maka pendapatan maksimum yang bisa diperoleh pedagang tersebut.

Program Pengayaan

Dokter meminta Alfin untuk menjaga kesehatan. Alfin disarankan minum dua jenis tablet setiap
hari. Tablet jenis I mengandung 4 mg vitamin A, 3 mg vitamin B dan 4 mg vitamin C. Tablet
jenis II mengandung 6 mg vitamin A, 1 mg vitamin B, dan 2 mg vitamin C. Dalam resepnya,
Alfin minimal memerlukan 25 mg vitamin A, 9 mg vitamin B, dan 16 mg vitamin C. Jika harga
tablet jenis I Rp4.000,00 per buah dan harga tablet jenis II Rp5.000,00 per buah, maka:

a. tentukan model matematika,
b. lukis grafiknya,
c. arsir daerah penyelesaian,
d. tentukan titik kritis (titik potong), dan
e. pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari.

BAB PROGRAM LINEAR – Oleh: Fatimatuz Zahro’ 12

DAFTAR PUSTAKA

Cahyani, Putri. 2019. Matematika untuk SMK/ MAK dan yang Sederajat Kelas X.
Surakarta: Putra Nugraha.

Kasmina dan Toali. 2018. Matematika untuk SMK/ MAK Kelas X: Berdasarkan Kurikulum
2013 KI-KD 2018. Jakarta: Erlangga.

Retnawati, Heri. 2008. Kreatif menggunakan matematika 2: untuk kelas XI Sekolah
Menengah Kejuruan/ Madrasah Aliyah Kejuruan Rumpun Seni, Pariwisata, dan
Teknologi Kerumahtanggaan. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen
Pendidikan Nasional.

Widodo, Untung. 2017. Mandiri Mengasah Kemampuan Diri Matematika untuk SMA/ MA
Kelas XI Kelompok Wajib. Jakarta: Erlangga

Zuliana, Eka. 2016. Mengasah Kemampuan Diri Matematika untuk SMK/ MAK kelas XI.
Jakarta: Erlangga.

BAB PROGRAM LINEAR – Oleh: Fatimatuz Zahro’ 13