ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2

โดย นางสาวจริ ิยา รอ่ งบุตรศรี

ก

ชุดเสริมทักษะ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 2
เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชาคณิตศาสตร์ จัดทาข้ึนเพื่อใช้ในการ
เรียนรู้ มีเนื้อหามุ่งส่งเสริมให้ผู้เรียนได้เรียนรู้ และพัฒนาทักษะ
ทางกระบวนการคิดวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ และบูรณาการเพื่อ
นาไปสู่การเรยี นรู้ดว้ ยตนเอง

ห วั ง ว่ า ชุ ด เ ส ริ ม ทั ก ษ ะ ท ฤ ษ ฎี บ ท พี ท า โ ก รั ส
ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 2 จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนรู้อย่างมี
ประสิทธิภาพ ตามหลักการของทางคณิตศาสตร์ และบรรลุ
เป้าหมายของทางหลักสูตร

ข

เรอื่ ง หนา้

คานา ก
สารบัญ ข
แบบทดสอบก่อนเรียน 1
ทบทวนความรู้เดิม
3
สมบตั ิของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก
แบบฝึกทักษะที่ 1 6
ทฤษฎบี ทพที าโกรัส
ความเป็นมาของพที าโกรสั 7
การแก้โจทยป์ ัญหาพที าโกรสั
10
แบบฝึกทักษะที่ 2 12
การแก้โจทยป์ ญั หาพีทาโกรสั (ตอ่ ) 13

เรือ่ ง ค

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส หน้า
แบบฝึกทักษะที่ 3
แบบฝึกทักษะท่ี 4 14
15
แบบทดสอบกอ่ นเรียน 16

1

2

3

นักเรียนเคยสังเกตหรือไม่วา่ ชีวติ ประจาวันของเราเก่ียวข้อง
กับรูปเรขาคณิตเสมอ เราใช้สมบัติของรูปเรขาคณิตในงานก่อสร้าง
เช่นใช้สมบัติของรูปสามเหล่ียมในการประกอบโครงของบ้านหรือ
อาคารให้มีความแข็งแรง ใช้มุมฉากในการตั้งเสาบ้านให้ต้ังฉากกับ
พ้ืนดินเพื่อให้บ้านแข็งแรงและรับน้าหนักได้ดี สร้างหน้าต่างและ
ประตูให้เป็นรูปสี่เหล่ียมมุมฉากเพ่ือความสวยงามและมองเห็น
ภายนอกได้กว้าง หรือสร้างไม้ค้าประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
คา้ ชายคาบ้านใหแ้ ขง็ แรงม่นั คง

ต่อไปนี้นักเรียนจะเรียนเกี่ยวกับสมบัติที่สาคัญของรูป
สามเหลย่ี มมุมฉาก

4

จากรปู ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ซง่ึ มี C เปน็ มมุ ฉาก
- AB เป็นด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก อยู่ตรงข้ามกบั มุม C แทนดว้ ยความ
ยาว c หนว่ ย
- AC เปน็ ด้านประกอบมมุ ฉาก อยู่ตรงขา้ มกบั มุม B แทนด้วยความ
ยาว b หน่วย
- BC เปน็ ดา้ นประกอบมุมฉาก อยู่ตรงขา้ มกบั มุม A แทนดว้ ยความ
ยาว a หนว่ ย

ให้สงั เกตว่า ดา้ นตรงข้ามมมุ ฉากเปน็ ดา้ นทย่ี าวทสี่ ดุ

5

ถ้า c แทนความยาวของด้านตรงขา้ มมุมฉาก
a และ b แทนความยาวของดา้ นประกอบมมุ ฉาก

จะได้ c2 = a2 + b2

ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านท้ังสามของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก
ข้างตน้ เป็นไปตามสมบัติของรูปสามเหลย่ี มมุมฉากท่ีกลา่ วว่า

“ สาหรับรูปสามเหล่ียมมุมฉากใดๆ กาลังสองของความยาวของ
ด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกาลังสองของความยาวของด้าน
ประกอบมุมฉาก ”

สมบัติข้างต้นน้ีเรียกว่า ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และเช่ือกันว่า
นกั คณติ ศาสตร์ชาวกรกี ชือ่ พีทาโกรัส เปน็ ผูพ้ สิ ูจนไ์ ดเ้ ปน็ คนแรก

6

7

พีทาโกรสั

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คือ ทฤษฎีความสัมพันธ์ของรูป
สามเหล่ียมมุมฉาก ถือเป็นพื้นฐานในการคานวณต่าง ๆ ที่มีการ
ประยุกต์ออกไปอย่างกว้างขวาง ซึ่งจาเป็นสาหรับการทาโจทย์
ประยุกต์ต่อไป

เราได้รู้จักความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูป
สามเหลี่ยมมุมฉากกันมาแล้ว นั่นคือ “สาหรับรูปสามเหล่ียมมุม
ฉากใด ๆ กาลงั สองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับ
ผลบวกของกาลังสองของความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก”

รู้หรือไม่ ว่าความสัมพันธ์ดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันมานานกว่า
3,000 ปีมาแล้ว ในช่ือ “ทฤษฎีบทพีทาโกรัส” แต่คนสมัยก่อน
สังเกตเห็นความสัมพันธ์ของพ้ืนที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนด้านทั้ง
สามของรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก ดังตัวอย่างต่อไปน้ี ...

8

พีทาโกรสั (ตอ่ )

ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ท่ีมี ABC เป็นมุมฉาก มี
BC ยาว 3 หนว่ ย, AC ยาว 4 หนว่ ย และ AB ยาว 5 หน่วย สร้างรูป
ส่ีเหลี่ยมจัตุรัส ABIH, สี่เหลี่ยมจัตุรัส BCED และรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส
ACDF บนด้าน AB, ด้าน BC และด้าน AC ตามลาดบั ดังรูป

จะได้ พน้ื ที่ของรูปสเี่ หลี่ยมจัตรุ สั ABIH เทา่ กบั 55 = 25 ตารางหน่วย
พืน้ ท่ีของรูปสี่เหลย่ี มจตั ุรสั BCED เท่ากบั 32 = 9 ตารางหน่วย
พนื้ ทข่ี องรูปสเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ACGF เทา่ กับ 42 = 16 ตารางหน่วย
ซง่ึ 25 = 9 + 16

ดังนัน้ พน้ื ทข่ี องรูปส่ีเหล่ยี มจตั ุรัส ABIH เท่ากับ ผลบวกของพื้นที่ของรูป
สี่เหลีย่ มจัตุรสั BCED และพืน้ ท่ขี องรูปส่เี หลีย่ มจตั รุ ัส ACGF

9

พีทาโกรสั (ตอ่ )

ตัวอย่างข้างต้นเป็นการแสดงความสัมพันธ์ตามทฤษฎีบทพีทา-
โกรัสที่กล่าวได้อีกแบบหนึ่ง ดังนี้ “สาหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ
พ้ืนที่ของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของ
พ้นื ท่ขี องรูปสเี่ หล่ยี มจัตรุ สั บนดา้ นประกอบมมุ ฉาก”

10

วาดรูป แล้วเขยี น ... อา่ นโจทย์ แลว้ หา ...

• ส่ิงท่ีรู้ • สง่ิ ท่ีโจทยใ์ ห้มา
• สง่ิ ทตี่ ้องการหา • ส่งิ ท่โี จทยถ์ ามหา

แกโ้ จทย์

ตรวจคาตอบ

11

(ตอ่ )

“ สาหรบั รูปสามเหล่ียมมุมฉากใด ๆ
กาลงั สองของความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉาก
เทา่ กบั ผลบวกของกาลังสองของความยาวของด้านประกอบมมุ ฉาก ”

12

13

(ตอ่ )

“ สาหรบั รูปสามเหล่ียมมุมฉากใด ๆ
กาลงั สองของความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉาก
เทา่ กบั ผลบวกของกาลังสองของความยาวของด้านประกอบมมุ ฉาก ”

14

เอาหละ!!! มาลองหาความยาวของดา้ นที่เหลอื ไปพรอ้ มๆกนั

15

16

17