Bahan Ajar matematika Peminatan kelas XI

POLINOMIAL

MATEMAKTEILKAASPXEIMINATAN

SMA NEGERI 4
BANGKALAN

KATA PENGANTAR

Puji syukur yang tak terhingga penulis panjatkan kehadirat Allah
SWT, atas segala rahmat dan hidayah-Nya, penulis dapat menyelesaikan modul
matematika Untuk SMA/MA Kelas XI Semester 2 Kurikulum 2013 ini dengan
baik.

Modul matematika ini disusun dengan tujuan untuk membantu siswa dalam
memahami materi-materi matematika dengan harapan nantinya dapat
meningkatkan hasil belajar siswa. Materi yang disajikan dalam modul ini juga
menggunakan bahasa yang sederhana dan mudah dimengerti sehingga pengguna
modul ini dapat dengan mudah dalam membacanya.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih terutama
kepada yang terhormat :

1. Kepala UPT SMA Negeri 4 Bangkalan Dra. Anisa Warda, MM.
2. Semua pihak yang telah membantu kelancaran penulisan modul ini
Modul Matematika ini jauh dari kata sempurna dan masih banyak
kekurangan yang kami rasakan, untuk itu kami sangat mengharapkan adanya
kritik dan saran yang sifatnya membangun demi kesempurnaan modul ini.

Bangkalan,
Desember 2020

Penulis

DAFTAR ISI

Halaman Judul …………………………………………………………………………………. Hal i
Kata Pengantar ……………………………………………………………………… ……….. Hal ii
Daftar Isi…………………………………………………………………………………………. Hal iii
Kurikulum 2013( KI dan KD ……………………………………………………………………… Hal vi-v
MODUL I: Suku Banyak( Polinomial)

A. Pengertian Polinomial……………………………………………………………………….. Hal 1
B. Operasi Aljabar pada Polinomial ………………………………………………………… Hal 2
C. Nilai Polinomila…………………………………………………………………………………. Hal 3
D. Pembagian pada Polinomial………………………………………………………………. Hal 4
E. Teorema Sisa…………………………………………………………………………………… Hal 9
F. Teorema Faktor……………………………………………………………………………….. Hal 12
G. Persamaan polinomial ……………………………………………………………………… Hal 13

Matematika Peminatan

Satuan Pendidikan : SMA Negeri 4 Bangkalan
Kelas / Semester : XI (Sebelas)/ 2 (genap)

A. KOPENTENSI INTI:
KI-1 dan KI-2:Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, santun, peduli (gotong
royong, kerjasama, toleran, damai), bertanggung jawab, responsif, dan pro-
aktif dalam berinteraksi secara efektif sesuai dengan perkembangan anak di
lingkungan, keluarga, sekolah, masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa,
negara, kawasan regional, dan kawasan internasional”.

KI-3: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual,
konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya
tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait
penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural
pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk
memecahkan masalah

KI-4: Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak
terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara
mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan
metode sesuai kaidah keilmua

B. KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR

3.4.Menganalisis keterbagian dan  Memahami pengertian
faktorisasi polinom polinomial

 Menganalisis hasil operasi
penjumlahan, pengurangan dan
perkalian dua polinomial serta
menerapkannya untuk
menyelesaikan masalah nyata.

 Menganalisis sifat keterbagian
dan faktorisasi polinomial.

 Menganalisis Teorema Sisa
serta faktorisasi polinomial
untuk mempermudah
penyelesaian masalah

4.4. Menyelesaikan masalah yang  Menentukan nilai suatu polinom.
berkaitan  Menentukan hasil bagi dan sisa

dengan faktorisasi polinomial suatu polinom dengan cara
bersusun dan horner.
 Menentukan sisa suatu polinom
oleh (ax+b).
 Menentukan sisa pembagian
oleh (x-a)(x-b).
 Memahami teorema faktor.
 Menentukan hasil pembagian,
jika diketahui sisa pembagian
dari suatu pembagian
berderajat dua yang dapat
difaktorkan.
 Menentukan hasil bagi dan
sisanya jika dibagi dengan
sukubanyak berderajat dua.
 Menentukan operasi aljabar dari
kombinasi koefisien jika sebuah
polinom yang berderajat tiga yang
memuat dua koefisien yang belum
diketahui, dan diketahui fungsi
pembagi dan sisa pembagiannya.
 Menentukan operasi aljabar akar-
akar polinom jika diketahui sebuah
polinom yang berderajat tiga yang
memuat koefisien yang belum
diketahui, dan diketahui salah satu
faktor linearnya

C. Materi Pembelajaran

 Materi Pokok : Suku Banyak ( Polinomial)

 Sub – Sub materi : - Pengertian suku banyak ( Polinomial)
- Operasi pada polinomial
- Nilai suku banyak
- Pembagian suku banyak
- Teorema sisa
- Teorema Faktor
- Akar –akar rasional

D. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari modulini siswa diharapakn dapat:
 Mendiskripsikan konsep dan menganalisis sifat operasi aljabar pada
polynomial dan menerapkan dalam menyelesaikan masalah dalam
matematika
 Mendiskripsikan aturan perkalian dan pembagian polynomial dan
menerapkan teorema sisa dan pemfaktoran polynomial dalam
menyelesaiakn masalah matematika

E. Penilaian
 Hasil tes evaluasi
 Psikomotor
 Afektif

PETA KONSEP

SUKU BANYAK /

Polinomial

Pengertian Operasi Nilai Pembagian Persamaan
polinomial aljabar Polinomial Polinomial Polinomial
pada
Polinomial

Penjumlahan Teorema Akar akar
Pengurangan Sisa Rasional
Perkalian
Teorema Jumlah dan
faktor hasil akar
akar
persamaaan

MODUL 1

SUKU BANYAK ( POLINOMIAL)

A.Pengertian Polinomial
Polinomial (suku banyak) dalam x yang berderajad n , dengan n bilangan cacah dan an ≠
0 dituliskan dalam bentuk:

y = F(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x+a0

Keterangan :

a0, a1, a2 ,…, an-1 , an adalah konstanta real

Derajat Suku Banyak adalah pangkat tertinggi dari pangkat-pangkat pada tiap-

tiap suku, disebut n. ( n bil asli)

anxn , an-1xn-1 ……. a2x2 , a1x , a0. Disebut suku banyak ( polinomil)
an koefisien xn , an-1 koefisien xn-1 , an-2 koefisien xn-2 dan seterusnya

a0 adalah suku tetap atau konstanta, tidak mengandung variabel/peubah.

Perhatikan Contoh Soal di bawah ini!

1. Tentukanlah derajat, banyak suku dan konstanta masing-masingnya dari

polinomial berikut!

a. f(x) = 2x5 + 3x4 - 5x2 + x - 7

b. f(x) = 7x5 - 3x4 - 7x3 + x2 + 8x – 12

Jawaban :

a. f(x) = 2x5 + 3x4 - 5x2 + x - 7

Derajat dari polinomial ( suku banyak) di atas adalah 5.

Banyak suku adalah 5 yaitu 2x5 , 3x4 , -5x2 ,x dan – 7

Konstanta x5 adalah 2

Konstanta x4 adalah 3 Konstanta x adalah 1

Konstanta x3 adalah 0 Konstanta x0 adalah -7

Konstanta x2 adalah -5

b. f(x) = 7x5 - 3x4 - 7x3 + x2 + 8x – 12

Derajat dari polinomial di atas adalah 5.

Banyak suku adalah 6 yaitu 7x5 , 3x4 , - 7x3 , x2 , 8x dan - 12

Konstanta x5 adalah 7

Konstanta x4 adalah -3 Konstanta x ada;lah 8

Konstanta x3 adalah -7 Konstanta x0 adalah -12

Konstanta x2 adalah 1

Hal 1

B.Operasi pada polinomial

Operasi yang akan dibahas yaitu penjumlahan, pengurangan dan perkalian pada
polinomial.
Perhatikan Contoh Soal di bawah ini!
1. Diketahui f (x) = 3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3 , g(x) = 4x3 – 6x2 + 7x – 1. Tentukanlah

a. f (x) + g(x)
b. f (x) - g(x)
2. Diketahui f (x) = x2 – 4x + 3 , g(x) = 6x2 – 1. Tentukanlah :
a. 2f(x) + 3g(x)
b. [f(x) – g(x)] x g(x)
c. [f(x) x g(x)] – 2f(x)

Jawaban :
1. Diketahui f (x) = 3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3 , g(x) = 4x3 – 6x2 + 7x – 1
a. f(x) + g(x)
f (x) + g(x) = (3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3) + (4x3 – 6x2 + 7x – 1)
= 3x4 + (-2 +4)x3 + (5-6)x2 + (-4+7)x + (3-1)
= 3x4 + 2 x3 – 1x2 + 3x + 2
b. f(x) - g(x)
f (x) - g(x) = (3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3) - (4x3 – 6x2 + 7x – 1)
= 3x4 + (-2 -4)x3 + (5+6)x2 + (-4-7)x + (3+1)
= 3x4 - 6x3 +11x2 - 11x + 4

2. Diketahui f (x) = x2 – 4x + 3 , g(x) = 6x2 – 1
a. 2f(x) + 3g(x)

2f(x) + 3g(x) = 2(x2 – 4x + 3) + 3(6x2 – 1)
= (2x2 – 8x + 6) + (18x2 – 3)
= 20x2 – 8x + 3

b. [f(x) – g(x)] x g(x)
[f(x) – g(x)] x g(x) = [(x2 – 4x + 3) - (6x2 – 1)] x (6x2 – 1)
= (-5x2 – 4x + 4) x (6x2 – 1)
= (-30x4 + 5x2) + (-24x3 + 4x) + (24x2 – 4)
= -30x4 - 24x3 + 29x2 + 4x – 4

c. [f(x) x g(x)] – 2f(x)
[f(x) x g(x)] – 2f(x) = [(x2 – 4x + 3) x (6x2 – 1)] - 2(x2 – 4x + 3)
= [(6x4 - x2) + (-24x3 +4x) + (18x2 – 3)] – (2x2– 8x + 6)
= (6x4 -24x3 + 17x2 + 4x – 3) - (2x2– 8x + 6)
= 6x4 - 24x3 + 15x2 + 12x – 9

Hal 2

Latihan 1

1. Diketahui f (x) = 4x4 – 8x3 + 12x2 – 9x + 7 , g(x) = x3 – 2x2 + 3x -6.
Tentukanlah

a. f (x) + g(x)
b. f (x) - g(x)
c. f (x) x g(x)

2. Diketahui f (x) = x2 – x + 3 , g(x) = 2x2 + 2x – 1. Tentukanlah :
a. 2[f(x)] + 3[g(x)]
b. 5[f(x) – g(x)] x 4[g(x)]
c. {[f(x) x g(x)] – 2f(x)} x g(x)

C.Nilai polinomial

Jika f(x) = axn + bxn-1+cXn-2+ … +z maka nilai suku banyak dapat dicari dengan cara

subtitusi dan skematik.

Perhatikan Contoh Soal di bawah ini!

1. Diketahui fungsi polinomial Maka nilai fungsi

tersebut untuk adalah...

2. Diketahui fungsi kuadrat f (x)  1 x2  3 x  5 untuk maka nilai suku
24

banyak

tersebut adalah...

Jawaban : dengan nilai

1.
Dengan cara subtitusi

Dengan cara Horner/ sintetik
Tentetukan terlebih dahulu konstanta dari masing-masing suku, kemudian
urutkan konstanta tersebut dari pangkat yang tertinggi hingga pangkat yang
terendah. Operasi yang akan dilakukan yaitu operasi penjumlahan dan
perkalian. Untuk operasi yang pertama, konstanta suku tertinggi di tambahkan
dengan 0 (nol) kemudian di kali dengan nilai x = -2. Hasilnya di tambahkan
dengan konstanta pangkat tertingggi k-2 dan begitu seterusnya. Seperti
dibawah ini

Hal 3

x=-2 2 3 0 -5 1 -7
0 -4 2 -4 18 -38 +

2 - 1 2 -9 19 - 45 nilai polinomial

f (x)  1 x2  3 x  5 dengan nilai x = 2
24
Dengan cara subtitusi

Dengan cara Horner/ sintetik

2 1/2 3/4 -5
7/2 +
01 -3/2 nilai polinomial

1/2 7/4

Latihan 2

1. Tentukanlah derajat, banyak suku dan konstanta masing-masingnya dari polinomial

berikut!
a. f(x) = 9x5 + 7x4 - 6x2 + 4x - 18
b. f(x) = x5 - 5x4 - 2x3 + 3x2 + 6x + 5

2. Diketahui fungsi polinomial . Tentukanlah nilai

fungsi tersebut untuk dengan cara subsitusi dan Cara horner/ sintetik

3. Diketahui fungsi kuadrat untuk Tentukanlah nilai

suku banyak tersebut dengan cara subsitusi dan Horner/ sintetik
4. Tentukan nilai suku banyak dengan cara substitusi f (x)  4x2  8x  2 utk x  1

2

D Pembagian polinomial
Pembagian suku banyak P(x) oleh Q(x)dapat ditulis sebagai berikut:

Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa pembagian
P(x) = Q(x) . H(x) + S

Hal 4

Keterangan: H(x) adalah hasil pembagian
P(x) suku banyak yang dibagi S adalah sisa pembagian
Q(x) adalah pembagi

1. Pembagian suku banyak P(x) dengan (x – a)

Pembagian suku banyak P(x) dengan pembagi Q(x) = x – a menghasilkan hasil
bagi H(x) dan sisa S(x) berderajat nol atau H(x) = konstanta, sebagai berikut:

Penentuan hasil bagi H(x) dan S(x) dari pembagian P(x) dengan (x – a) dapat
dilakukan dengan 2 cara yaitu, bersusun kebawah dan Cara horner

Perhatikan Contoh Soal di bawah ini!

1. Tentukan hasil bagi H(x) dan sisa S(x) dari pembagian

dengan !

jawaban :

 Cara bersusun ke bawah

x–1 x3 + 2x – 3 = x2 + x + 3
x3 – x2 - dan sisa

x2 + 2x – 3
x2 – x -

3x – 3

3x – 3

0

Jadi hasil bagi

Untuk lebih memahami tentang pembagian suku banyak Simak video berikut

Hal 5

 Cara horner/ sintetik

x=1 1 0 2 -3

01 1 3+

1 1 3 0 => sisa

Jadi hasil bagi dan sisa

2. Pembagian suku banyak P(x) dengan (ax – b)
Jika P(x) dibagi dengan (ax – b), maka hasil baginya jika menggunakan cara
horner adalah dan sisanya P(b/a), dengan H(x) hasil bagi dari pembagian

P(x) dengan (x = b/a).

Contoh Soal
Tentukan hasil bagi H(x) dan sisa S(x) dari pembagian
dengan

jawaban :

 Cara bersusun ke bawah

2x + 1 x3 + 2x – 3 = 1/2x2 - 1/4x + 9/8

x3 + 1/2x2 -

-1/2x2 + 2x – 3

-1/2x2 - 1/4x -

9/4x – 3

9/4x + 9/8 -

-33/8 sisa

Jadi hasil bagi yaitu dan sisa

 Cara horner/ Sintetik

x = -1/2 1 0 2 -3
0 -1/2 1/4 - 9/8 +

1 -1/2 9/4 -33/8 => sisa

Jadi hasil bagi jika menggunakan cara horner yaitu dengan a = 2

maka hasil dan sisa

Hal 6

3. Pembagian suku banyak dengan

Metode pembagian sintetik atau cara horner dapat digunakan untuk
menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak yang berbentuk

dan lainnya dengan syarat:

 Cara Horner / Sintetik

Cara horner hanya dapat digunakan untuk pembagi yang dapat difaktorkan

saja. Misalkan P(x) dibagi dengan suku banyak yang dapat

difaktorkan, dengan Hasil bagi adalah

dansisanya .

 Cara Horner-kino
Metode ini merupakan pengembangan dari bagan horner yang terbatas hanya
untuk pembagian yang bisa difaktorkan. Bagan horner-kino dapat diterapkan
untuk pembagi apapun juga

Perhatikan Contoh Soal di bawah ini

1. Tentukan hasil bagi dibagi

Jawaban :
 Cara bersusun ke bawah

dibagi !

x2 – x – 2 x4 – 3x2 + 2x – 1 = x2 + x hasil bagi

x4 - x3 – 2x2 -

x3 – x2 + 2x - 1

x3 - x2 - 2x -

4x – 1 sisa

Jadi didapatkan hasilnya adalah dan sisa adalah

 Cara horner dapat difaktorkan menjadi :
Pembagi

Hal 7

2 1 0 -3 2 -1

02 42 8+

-1 1 2 1 4 7 Sisa ke 1 (S1 )

0 -1 -1 0+

1 1 0 4 Sisa ke 2 (S2)

Jadi didapatkan hasilnya adalah H(x )= x2 + x dan sisa adalah

 Cara horner-kino

Pembagi , dicari nilai  c dan  b seperti berikut:
aa

a = 1 , b = -1 dan c = -2, sehingga :

2 1 0 -3 2 -1

00 220

1 01 1 00

1 1 0 4 -1 sisa

Jadi didapatkan hasilnya adalah H(x) = x2 + x dan sisa adalah s(x)  4x 1

Latihan 3

Tentukan hasil bagi H(x) dan sisa S(x) dari pembagian dengan menggunakan cara
bersusun, cara horner dan cara horner kino !

1. dibagi
2. P(x) = 3x4 + 2x2 –x + 1 dibagi Q(x) = 3x +2
3. dibagi

Hal 8

4. P(x) = 4x3 – 2x2+ x -1 dibagi Q(x) = 2x2+ x + 1

D.Teorema Sisa
Jikpaolsiunkuombainaylak P(x) dibagi (x – a) sisanya P(a), dibagi (x + a) sisanya P(-a) dan dibagi
(ax – b) sisanya P(b/a)

Perhatikan Contoh Soal di bawah ini!
1. Tentukan sisanya jika 2x3 – x2 + 7x + 6 dibagi (x + 1) !
2. Tentukan sisa dan hasil baginya jika x3 + 4x2 - 5x – 8 dibagi (x – 2) !
3. Tentukan nilai m supaya 4x4 – 12x3 + mx2 + 2 habis dibagi (2x – 1) !

Jawaban :
1. Sisanya jika 2x3 – x2 + 7x + 6 dibagi (x + 1) adalah
P(-1) = 2.(-1)3 – (-1)2 + 7(-1) + 6
=-2–1–7 +6
= -4

Sisa dan hasil baginya jika x3 + 4x2 - 5x – 8 dibagi (x – 2) adalah dengan teorema sisa,
kita dapatkan sisanya, yaitu

P(2) = 8 + 16 - 10 - 8
=6

tapi untuk menentukan hasil baginya yaitu H(x) kita gunakan: cara Horner:

2 1 4 -5 -8
0 2 12 14 +

1 6 76 sisa

Sehingga didapatkan hasil baginya yaitu x2 + 6x + 7

2. Nilai m supaya 4x4 – 12x3 + mx2 + 2 habis dibagi 2x – 1 adalah
habis dibagi berarti → S = 0
sehingga P(½) = 0
4(½)4 – 12(½)3 + m(½)2 + 2 = 0
¼ - 1½ + ¼m + 2 = 0
¼m = -¼ + 1½ - 2 (dikali 4)
m = -1 + 6 – 8
m=-3
Jadi didapat nilai m = -3

Hal 9

Pembagian Dengan (x –a)(x – b)
Bentuk pembagiannya dapat ditulis sebagai

P(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x)
Berarti: untuk x = a ,makaP(a) = S(a) dan untuk x = b maka,P(b) = S(b)
Catatan: S(x) berderajat 1, misal px + q

S(x) = P(a)  P(b) x  aP(b)  bP(a)
ab ab

Perhatikan Contoh Soal di bawah ini!
1. Tentukan sisa suku banyak (x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6) dibagi (x2 – x – 2) !

2. Suatu suku banyak bila dibagi oleh x + 2 bersisa -13, dibagi oleh (x – 3) sisanya 7.
Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x2 – x - 6 bersisa…

3. Jika suku banyak x3 – x2 + px + 7 dan suku banyak 2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x+1)

akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai p sama dengan…
4. Jika suku banyak P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3 dibagi oleh (x2 – 4) memberi sisa

(x + 23), maka a + b adalah...

Jawaban :

1. Bentuk pembagian ditulis: P(x) = (x2 – x – 2)H(x) + S(x) karena pembagi berderajat

2 maka sisa = S(x) berderajat 1,

misal: sisanya px + q

sehingga bentuk pembagian ditulis:

x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x2 – x – 2).H(x) + px + q

x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x + 1)(x – 2).H(x) + px + q

P(x) dibagi (x + 1) bersisa P(-1) P(x) = px + q
P(x) dibagi (x – 2) bersisa P(2) P(-1) = -p + q = -8

P(-1) = (-1)4 – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6 P(2) = 2p + q = -32 _
P(2) = 1+3–5–1–6 -3p = 24  p = -8
= -8
= 24 – 3.23 – 5.22 + 2 – 6 p = -8 disubstitusi ke
= 16 – 24 – 20 + 2 – 6 –p + q = -8
= -32 8 + q = -8  q = -16
Sisa: px + q = -8x + (-16)
Jadi sisa pembagiannya:

-8x -16

2. Misal sisanya: S(x) = ax + b,

P(x): (x + 2)  S(-2) = -13  -2a + b = -13

P(x): (x – 3)  S(3) = 7  3a + b = 7 -

-5a = -20 a = 4

Hal 10

a = 4 disubstitusi ke -2a + b = -13
-8 + b = -13
b = -5

Jadi sisanya adalah: ax + b = 4x - 5

3. x3 – x2 + px + 7 dibagi (x + 1) Karena sisanya sama,
Sisanya P(-1) = -1 -1 – p + 7 Berarti 5 – p = 4
=5-p
2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x + 1) -p=4–5
Sisanya P(-1) = -2 + 3 + 4 – 1 p=1
=4
jadi didapatkan nilai p adalah 1.

4. P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3 dan P(x):(x – 2)  sisa = P(2)
P(x) : (x2 – 4)  sisa = x + 23 16 + 4a – 2b + 3 = 2 + 23
Pembagi : (x2 – 4) = (x + 2)(x –2) 4a – 2b + 19 = 25
4a – 2b = 25 – 19
Maka: 4a – 2b = 6. . . (2)
P(x):(x + 2)  sisa = P(-2)
-16 + 4a + 2b + 3 = (-2) + 23
4a + 2b = 21 + 13
4a + 2b = 34 . . . ..(1)

Eliminasi pers (1) dan (2) a = 5 disubstitusi ke 4a – 2b = 6
4a + 2b = 34 20 – 2b = 6
4a – 2b = 6 + - 2b = -14
8a = 40 b=7

a=5 Jadi a + b = 5 + 7 = 12

Latihan 4

1. Tentukan sisa suku banyak (x4 – 9x3 – 3x2 + 4x – 1) dibagi (x2 – x – 6) !
2. Suatu suku banyak bila dibagi oleh x + 1 bersisa -15, dibagi oleh (x – 2) sisanya 8.

Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x2 – x - 2 bersisa…
3. Jika suku banyak x3 – px2 + 2x + 5 dan suku banyak 2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x-1)

akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai p sama dengan…
4. Jika suku banyak P(x) = 3x3 + ax2 - bx + 5 dibagi oleh (x2 – 9) memberi sisa (x + 3),

maka a + b adalah
5. Suku banyak f(x) dibagi (x+1) sisanya 10 dan jika dibagi( 2x-3) sisanya 5. Tentukan

sisanya Jika suku banyak dibagi ( 2x2-x-3)

Hal 11

E.Teorema Faktor
JifkfaFff(fxS)isapdaollaihnosumkuiablanyak; (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika
f(k) = 0. Artinya: Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai f(k) = 0 sebaliknya, jika
f(k) = 0 maka (x – k) merupakan faktor.

Perhatikan Contoh Soal di bawah ini!
1. Tunjukan (x + 1) faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1
2. Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
3. Tentukan faktor-faktor dari P(x) = = 2x3 + 11x2 – 7x – 6

Jawaban :
1. (x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0

P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1
= -1 + 4 – 2 – 1 = 0

Jadi, (x + 1) adalah faktornya.
Cara lain untuk menunjukan (x + 1) adalah faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1
adalah dengan cara horner

-1 1 42 -1
1+
0 -1 -3

1 3 -1 0 sisa

Karena sisa pembagiannya 0 maka (x + 1) merupakan factor
dari x3 + 4x2 + 2x

2. Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 6,
yaitu pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ± 1, ± 2, ± 3, dan ±6. Nilai-nilai k itu di
substitusikan ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh:

P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6
=2–1–7+6
=0

Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu faktor dari P(x) = 2x3 – x2 -7x +
6. Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x – 1) dengan
cara horner

1 2 -1 -7 6
0 2 1 -6 +

2 1 -6 0 sisa

Hal 12

Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2) dengan demikian
2x3 – x2 – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6)
2x3 – x2 – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)
Jadi faktor-faktornya adalah (x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)

3. Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 6,
yaitu pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k itu di
substitusikan ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh:
P(1) = 2.13 + 11.12 – 7.1 - 6
= 2 + 11 – 7 - 6
=0

Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu faktor dari
P(x) = 2x3 + 11 x2 -7x - 6. Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan
hasil bagi P(x) oleh (x – 1) dengan cara horner

1 2 11 -7 -6
0 2 13 6 +

2 13 6 0 sisa

Hasil baginya: H(x) = 2x2 + 13x + 6 = (2x + 1)(x + 6) dengan demikian
2x3 – x2 – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + 13x + 6)
2x3 – x2 – 7x + 6 = (x – 1)(2x + 1)(x + 6)

Jadi faktor-faktornya adalah (x – 1), (2x + 1 ) dan (x + 6)

E.Persamaan Polinomial

Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar-akar sebuah persamaan
suku banyak. Jika P(x) adalah suku banyak; dan (x – k) merupakan faktor dari P(x)
jika dan hanya jika k akar dari persamaan P(k) = 0
k disebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak: P(x) = 0

1. Teorema Akar-akar Rasional

Jika dan (x – k) merupakan

faktor dari P(x) maka k merupakan akar dari P(x).

Perhatikan Contoh Soal di bawah ini!

1. Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x3 – 7x + 6. Kemudian tentukan akar-akar

yang lain !

2.Persamaan x4 + 2x3 – 7x2 – 20x – 12 = 0 mempunyai akar-akar x = -2 dan x = 3.

Tentukan akar lainnya !

3.Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan polinomial x4 - 15x2 – 10x – 24 = 0

Hal 13

Jawaban :
1. Untuk menunjukan -3 akar dari P(x), cukup kita tunjukan bahwa
P(-3) = 0
P(x) = x3 – 7x + 6.
P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6

= -27 + 21 + 6
=0
Oleh karena P(-3) = 0, maka -3 adalah akar dari Persamaan P(x) = x3 – 7x + 6. Untuk
menentukan akar-akar yang lain,
kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi P(x) = x3 – 7x + 6 dengan (x + 3) sebagai
berikut :

-3 1 0 -7 6

0 -3 9 -6

+

1 -3 2 0 sisa

Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2
= (x – 1)(x – 2)

Sehingga persamaan suku banyak tsb dapat ditulis menjadi:
(x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0.
Jadi akar-akar yang lain adalah x = 1 dan x = 2

2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x = -2 dan x = 3 adalah
H(x) = (x + 2) (x – 3) = x2 – x – 6 sebagai faktor dari persamaan polinomial
x4 + 2x3 – 7x2 – 20x – 12 = 0

Berdasarkan cara horner-kino diperleh faktor lainnya :

1 2 -7 -20 -12

6

* *6 18 12

1 * 13 2*

+

1 32 00

Hal ini berarti x4 + 2x3 – 7x2 – 20x – 12 = 0
(x + 2) (x – 3) (x2 + 3x + 2) = 0
(x + 2) (x – 3) (x + 2) (x + 1) = 0

Jadi akar yang lainnya adalah x = -2 dan x = -1

Hal 14

3. misalkan f(x) = x4 - 15x2 – 10x – 24
Lakukan langkah (1)
Jumlah koofisien-koefisien f(x) = 1 - 15 – 10 + 24 = 0
Jadi, x = 1 merupakan akar dari f(x) = 0. Berdasarkan cara horner:

1 0 -15 -10 24
1 0 1 1 -14 -24 +

1 1 -14 -24 0 sisa

Maka x = -2 merupakan akarnya.
Sehingga h(x) = x2 – x - 12 = (x – 4) (x + 3)

x = 4 dan x = -3
akar-akar persamaan x4 - 15x2 – 10x – 24 = 0 adalah 1, -2, 4 dan -3
sehingga HP dari - 15x2 – 10x – 24 = 0 adalah {-3, -2, 1, 4}

2. .Jumlah dan hasil Akar-akar Persamaan Suku Banyak

Jika akar-akar Persamaan Sukubanyak: ax3 + bx2 + cx + d = 0 adalah

x1, x2 dan x3 maka :

x1 + x2 + x3 = - b
a

x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = c
a

x1 x2 x3 = d
a

Perhatikan Contoh Soal di bawah ini!

1. Jumlah akar-akar persamaan x3 – 3x2 + 2 = 0 adalah . . .

2. Hasil kali akar-akar persamaan 2x3 – x2 + 5x – 8 = 0 adalah. . .

3. Salah satu akar persamaan x3 + px2 – 3x – 10 = 0 adalah -2 jumlah akar-akar

persamaan tersebut adalah. . .

4. Akar-akar persamaan x3 – 4x2 + x – 4 = 0 adalah x1, x2, dan x3.
Nilai x12 + x22 + x32 adalah. . .

Jawaban :

1. a = 1, b = -3, c = 0, d = 2
b

x1 + x2 + x3 =
a

= 3
1

=3

Hal 15

2. a = 2, b = -1, c = 5, d = -8
x1.x2.x3 = c
a
=5
2

3. -2 adalah akar persamaan x3 + px2 – 3x - 10 = 0 → -2 memenuhi persamaan tsb.
sehingga: (-2)3 + p(-2)2 – 3(-2) – 10 = 0
-8 + 4p + 6 – 10 = 0
-8 + 4p + 6 – 10 = 0
4p – 12 = 0  4p = 12 p = 3
Persamaan tersebut: x3 + 3x2 – 3x – 10 = 0
Jumlah akar-akarnya: x1 + x2 + x3 = -b/a = -3/1 = -3

4. x1 + x2 + x3 = 4
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1
Jadi:
x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
= 42 – 2.1
= 16 – 2
= 14

Latihan 5

1. Tunjukan bahwa 1 adalah akar persamaan dari y3 – 9y2 + 20y – 12 =0 dan tentukan

akar-akar lain

2. Jika -2 adalah akar-akar persamaan dari 2x3 – 7x2 – mx -12 = 0. Tentukanlah akar-

akar persamaan tersebut

3. dan merupakan akar-akar persamaan . Jika ,

maka nilai adalah. .

4. Salah satu akar dari persamaan adalah -2. Hasil

kali kedua akar lainnya adalah. . .

5. Akar akar persamaan x3 – x2 + ax + 72= 0 adalah x1 dan x2 , Jika salah satu akarnya

adalah 3 dan x1 ˂ x2 ˂ x3 . Tentukan nilai x3 – x2 – x

Evaluasi

A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar.

1. jika f (x) = x 2  2x ; g(x)  2x dan h(x) = x + 3 , Maka g(x)h(x) – (3f(x)) adalah

a.5x2+12x b. x2 +12x c. x2 -12x d. –x2 – 12x e. –x2 + 12x

Hal 16

2. Nilai suku banyak dari f(x) = 3x4+ x2- x + 2 untuk x = -2

a.48 b. 46 c. 42 d. 40 e. 36

3. Diketahui fungsi f(x) = 2x3 –kx2 + x + 16. Jika f(1) = 9 , Nilai k =…

a. 16 b. 10 c. 9 d. 8 e. 4

4. Hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak 4x3 – 2x2 + x -1 dibagi 2x2 + x + 1

berturut turut adalah….

a.2x -1 dan x -1 c. 2x – 1 dan 2x – 1 e. 2x -2 dan x + 1

b.2x – 1 dan x + 1 d. 2x -2 dan –x - 1

5. Suatu suku banyak f (x) dibagi oleh (x – 2) sisanya 8, dan jika dibagi (x + 3)

sisanya -7. Sisa pembagian suku banyak f (x) oleh x2  x  6 adalah.......

a. 9x – 7 b. x + 6 c. 2x + 3 d. x – 4 e. 3x + 2

6. Suku banyak p (x) dibagi oleh (x2 – x – 2) sisanya (5x – 7) dan jika dibagi oleh

(x + 2) sisanya – 13. Sisa pembagian suku banyak oleh ( x2 – 4 ) adalah.....

a. 4x – 5 b. x – 15 c. –x – 15 d. 5x – 4 e. 8x – 5

7. Jika suku banyak 2x3 – px2 + qx +6 dan 2x3 + 3x2 – 4x – 1 mempunyai sisa sama

apabila dibagi oleh (x+ 1) maka nilai (p + q) =....

a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2

8. Diketahui suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x +b . Jika P(x) dibagi (x-1) sisa 11

, dibagi (x+1) sisa -1 Maka nilai ( 2a + b)=....

a. 13 b. 10 c. 8 d. 7 e. 6

9. Suku banyak 64x2 – 16 mempunyai faktor 4(2x + 1). Faktor-faktor linear yang

lainnya adalah.....

a. 4(2x + 1) c. (2x – 1)(2x + 1) e. 8x + 4

b. 4(2x – 1) d. (x + 1)(2x + 1)

10. Jika x = -2 adalah akar dari persamaan x3 + 4x2 +7x + k =0 , Maka nilai dari

(x12 + x22 + x32 ) =....

a.-2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2

Hal 17

B. Jawablah soal soal berikut !
1. Tentukan sisa dari f(x) = x4 + x3 - 2x2 + x + 2 jika dibagi (x + 2)
2. Suku banyak F(x) jika dibagi oleh (x-3) sisanya 8 dan jika dibagi oleh (x-2)

sisanya -7. Maka jika suku banyak itu dibagi oleh x2 – x - 6, Tentukan sisanya

3. Sisa pembagian f(x) = 2x4 – 2x2 – ax + 8 oleh g(x) = x – 2 adalah 18 tentukan :

a. nilai a b. hasil bagi dan sisa pembagian f(x) oleh ( x + 1 )

4. Salah satu akar persamaan suku banyak x3 – 2x2 + nx + 6 = 0 adalah x = 1.

Tentukan : a. Nilai a b. akar- akar yang lain

5. Akar –akar persamaan x3 – x2 + ax + 72 = 0 adlah x1 dan x2 , Jika salah satu

akarnya adalah 3 dan x1 ˂ x2 ˂ x3 . Tentukan nilai x3 - x2 – x1

Hal 18