ชุดที่-2

คำนำ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง พ้นื ทผ่ี ิวและปริมาตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 3 ชดุ ที่ 2
เร่ือง พน้ื ทผี่ วิ และปรมิ าตรของพีระมดิ ผูจ้ ัดทาได้จัดทาขึ้นเพือ่ ใหน้ ักเรียนสามารถบอกลักษณะและ
สมบตั ิของพรี ะมดิ หาพน้ื ทีผ่ วิ และปริมาตรของพรี ะมดิ ได้ และได้ฝึกทักษะด้านความคิด ลงมอื ปฏบิ ัติ
ใฝค่ วามรู้ดว้ ยตนเอง เนื่องจากนกั เรียนแตล่ ะคนมคี วามแตกตา่ งกัน เพ่ือช่วยให้นักเรียนได้มโี อกาส
เรียนรู้ตามความสามารถของตนเอง นอกจากนช้ี ุดแบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตรช์ ุดนี้ จะเป็นการกระต้นุ
ให้นกั เรียนมีทัศนคติทด่ี ีต่อวิชาคณิตศาสตรม์ ากข้ึน

ในการจัดทาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 1 เรอื่ ง พ้ืนทีผ่ ิวและปรมิ าตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 3
ชดุ ที่ 2 เรอ่ื ง พน้ื ทผ่ี ิวและปริมาตรของพีระมดิ ผูจ้ ดั ทาต้องขอขอบคุณผูท้ ใี่ ห้คาแนะนาทุกท่าน
หวังว่าแบบฝกึ ทักษะชุดน้ี จะเปน็ ประโยชน์ต่อการเรยี นการสอนในวชิ าคณิตศาสตร์ให้มปี ระสิทธิภาพ
มากยิง่ ขน้ึ

เจริญ พลิ ึก

สำรบญั

เรือ่ ง หน้ำ

คานา
คาชแ้ี จงเกย่ี วกบั ชุดแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ........................................................................... 1
คาแนะนาการใชแ้ บบฝึกทักษะสาหรับครู .................................................................................. 2
คาแนะนาการใชแ้ บบฝึกทักษะสาหรบั นักเรียน .......................................................................... 3
สาระ/มาตรฐานการเรยี นร/ู้ ตัวชวี้ ดั ........................................................................................... 4
สาระสาคญั ............................................................................................................................... 6
จดุ ประสงค์การเรียนรู้ ............................................................................................................... 7
แบบทดสอบก่อนเรียน ชดุ ที่ 2 ................................................................................................... 8
ใบความรูท้ ี่ 1 ........................................................................................................................... 12
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1.1 .................................................................................................................. 15
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1.2 ................................................................................................................ 18
ใบความรูท้ ่ี 2 ............................................................................................................................ 19
แบบฝึกทักษะท่ี 2.1 ................................................................................................................ 24
แบบฝึกทกั ษะท่ี 2.2 ................................................................................................................ 26
ใบความรู้ที่ 3 ............................................................................................................................ 27
แบบฝกึ ทักษะท่ี 3.1 ................................................................................................................ 31
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.2 ................................................................................................................ 33
แบบทดสอบหลงั เรียน ชุดที่ 2 ................................................................................................ 34

สำรบญั (ตอ่ )

เรื่อง หน้ำ

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน ชดุ ที่ 2 ....................................................................................... 37
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 1.1 ....................................................................................................... 38
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 1.2 ....................................................................................................... 41
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 2.1 ....................................................................................................... 43
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 2.2 ....................................................................................................... 46
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 3.1 ....................................................................................................... 48
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 3.2 ....................................................................................................... 51
เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น ชุดที่ 2 ........................................................................................ 53
ตารางบนั ทกึ คะแนนการประเมินผลการเรยี นรูโ้ ดยใชแ้ บบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ .................... 54
บรรณานกุ รม

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เรอ่ื ง พนื้ ท่ีผิวและปริมาตรของพีระมดิ  1

คำช้แี จง

เกยี่ วกบั ชดุ แบบฝึกทักษะคณติ ศำสตร์

 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชดุ นี้ เปน็ เอกสารการเรยี นการสอนในวชิ า ค23101
คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน เรือ่ ง พื้นท่ีผวิ และปรมิ าตร ชุดที่ 2 เรื่อง พนื้ ท่ีผวิ และปรมิ าตร
ของพีระมิด ใชส้ อนนกั เรยี นช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 3

 ชดุ แบบฝึกทักษะน้ปี ระกอบดว้ ย
 คาแนะนาการใช้แบบฝกึ ทกั ษะสาหรบั ครู
 คาแนะนาการใชแ้ บบฝึกทักษะสาหรบั นักเรยี น
 สาระ/มาตรฐานการเรยี นรู้/ตัวชี้วดั
 สาระสาคญั
 จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้
 แบบทดสอบก่อนเรียน ชดุ ที่ 2
 ใบความรู้ท่ี 1 – ใบความร้ทู ี่ 3
 แบบฝึกทกั ษะท่ี 1.1 – แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3.2
 แบบทดสอบหลังเรียน ชุดท่ี 2
 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน ชดุ ท่ี 2
 เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 1.1 – แบบฝึกทักษะท่ี 3.2
 เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน ชดุ ท่ี 2
 ตารางบันทกึ คะแนนการประเมนิ ผลการเรียนรโู้ ดยใชแ้ บบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์
 บรรณานกุ รม

 แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ชุดนี้ ใช้เวลาเรยี นทั้งสนิ้ 3 ชวั่ โมง

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชุดท่ี 2 เร่อื ง พืน้ ทผ่ี ิวและปรมิ าตรของพรี ะมดิ  2

คำแนะนำกำรใชแ้ บบฝกึ ทักษะ
สำหรับครู

 ครคู วรจดั เตรยี มชุดแบบฝึกทกั ษะซึ่งประกอบดว้ ย แบบทดสอบก่อนเรยี น
ใบความรู้ แบบฝกึ ทักษะ แบบทดสอบหลงั เรียน ตลอดจนอุปกรณ์ตา่ งๆ ให้ครบถ้วน

 ให้นกั เรยี นทาแบบทดสอบก่อนเรยี น ชุดท่ี 2 เพือ่ ประเมินความรู้เดมิ ของนักเรียน
 แจง้ จุดประสงค์การเรยี นรู้ให้นกั เรยี นทราบ
 แบง่ นักเรยี นเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 4 คน ใหม้ ีคนเก่ง 1 คน คนออ่ น 1 คน และคนทม่ี ี

ความสามารถปานกลาง 2 คน
 แจกชุดแบบฝึกทักษะคณิตศาสตรใ์ หน้ ักเรยี นศึกษาและแนะนาวิธีการใช้ชุดแบบฝึกทักษะ

เพ่อื นักเรียนจะไดป้ ฏิบัติได้ถูกต้อง
 ดาเนินการสอนตามกิจกรรมการเรียนรทู้ ี่กาหนดไว้ในแผนการจัดการเรียนรู้
 นักเรียนคนใดไมเ่ ข้าใจ ครคู วรให้คาแนะนาหรืออาจมอบหมายงานให้ศึกษาเพิ่มเตมิ

ในเวลาว่าง
 หลงั จากนักเรยี นศกึ ษาชดุ แบบฝึกทกั ษะและทากิจกรรมตามขั้นตอนเสรจ็ เรยี บร้อยแลว้

ให้นกั เรยี นทาแบบทดสอบหลังเรียน ชดุ ที่ 2
 ครบู นั ทึกคะแนนของนักเรียนแต่ละคนจากการทากิจกรรมในชุดแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์

ชดุ ท่ี 2 รวมท้ังการทาแบบทดสอบหลงั เรียน เพ่ือประเมินความกา้ วหนา้ ของนักเรยี น
หลังจากเรยี นโดยใช้แบบฝึกทักษะจบแต่ละชุด หากมนี ักเรียนไมผ่ า่ นเกณฑ์
ครคู วรจัดใหน้ ักเรียนทาแบบฝึกเสรมิ อีกครัง้ หนึง่
 การจัดชั้นเรยี นจะจัดให้นกั เรียนนั่งเรียนเป็นกลุ่มหรอื รายบคุ คลก็ได้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เรื่อง พนื้ ทผ่ี วิ และปริมาตรของพรี ะมดิ  3

คำแนะนำกำรใช้แบบฝึกทกั ษะ
สำหรับนกั เรยี น

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง พื้นท่ีผิวและปริมาตร ชุดน้ี เปน็ เอกสารประกอบ
การเรียนและเป็นเอกสารท่ีนักเรียนสามารถศกึ ษาไดด้ ้วยตัวเอง อา่ นคาแนะนาให้เขา้ ใจ ทาตาม
คาช้แี จงแตล่ ะขัน้ ตอนตั้งแต่ต้นจนจบ แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เร่อื ง พน้ื ทผ่ี วิ และ
ปริมาตรของพรี ะมิด ประกอบด้วยแบบฝึกทกั ษะที่ 1.1, 1.2, 2.1, 2.2, 3.1 และ 3.2

การทาแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ชดุ น้ี ใหน้ ักเรียนปฏบิ ัติตามข้ันตอน ดงั ต่อไปน้ี
 อ่านคาช้แี จงและทาความเขา้ ใจกบั จดุ ประสงค์การเรียนรู้ก่อนลงมือศึกษาชุดแบบฝึกทกั ษะ

คณิตศาสตร์
 ทาแบบทดสอบก่อนเรยี น ชุดท่ี 2 เพอ่ื ประเมินความรู้เดิมของนักเรยี น
 ศึกษาเน้ือหาใบความรู้และทาแบบฝึกทกั ษะที่ 1.1, 2.1 และ 3.1 เปน็ กลุ่มตามทีจ่ ดั ให้

ส่วนแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1.2, 2.2 และ 3.2 ให้นักเรียนทาเปน็ รายบุคคล พร้อมทั้ง
ตรวจคาตอบจากใบเฉลยทคี่ รจู ดั เตรยี มไว้ด้วยความต้งั ใจโดยปฏบิ ตั ิตามขัน้ ตอน
 หากนกั เรียนมปี ัญหาหรือข้อสงสยั ไมเ่ ขา้ ใจ ใหก้ ลับไปศึกษาเน้อื หาอีกครง้ั หรอื
ขอคาแนะนาจากครูผูส้ อนทันที
 ทาแบบทดสอบหลังเรยี นและตรวจคาตอบจากเฉลยเพ่ือเปรียบเทียบผลการพัฒนา
ของนกั เรียนอีกครง้ั หน่งึ
 นักเรียนตอ้ งมีความซื่อสัตยต์ อ่ ตนเอง ไม่เปดิ ดูเฉลยก่อนทาแบบฝึกหรือแบบทดสอบ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เรื่อง พนื้ ท่ผี วิ และปริมาตรของพีระมดิ  4

สำระ

สำระท่ี 2 กำรวัด

มำตรฐำนกำรเรียนรู้/ตัวชีว้ ดั

มาตรฐาน ค 2.1 เข้าใจพน้ื ฐานเกยี่ วกบั การวดั วัดและคาดคะเนขนาดของส่ิงท่ี
ตอ้ งการวดั

ตัวช้ีวดั ค 2.1 ม.3/1 หาพื้นทีผ่ วิ ของปริซึมและทรงกระบอก
ค 2.1 ม.3/2 หาปรมิ าตรของปรซิ ึม ทรงกระบอก พรี ะมิด กรวย และทรงกลม
ค 2.1 ม.3/4 ใชก้ ารคาดคะเนเกีย่ วกับการวัดในสถานการณต์ ่างๆ
ได้อย่างเหมาะสม

มาตรฐาน ค 2.2 แกปญั หาเกย่ี วกบั การวัด
ตวั ช้ีวดั ค 2.2 ม.3/1 ใช้ความรเู้ กี่ยวกับพนื้ ที่ พนื้ ทผี่ ิวและปริมาตร ในการแกปัญหา

ในสถานการณ์ตา่ งๆ

สำระท่ี 3 เรขำคณติ

มำตรฐำนกำรเรยี นรู้/ตวั ช้ีวัด

มาตรฐาน ค 3.1 อธบิ ายและวิเคราะห์รูปเรขาคณิตสองมิตแิ ละสามมิติ
ตวั ช้ีวัด ค 3.1 ม. 3/1 อธิบายลักษณะและสมบัตขิ องปริซึม พรี ะมิด ทรงกระบอก

กรวย และทรงกลม

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ ท่ี 2 เร่อื ง พื้นทผ่ี ิวและปริมาตรของพรี ะมดิ  5

สำระท่ี 6 ทกั ษะและกระบวนกำรทำงคณิตศำสตร์

มำตรฐำนกำรเรยี นรู้/ตัวชว้ี ดั

มาตรฐาน ค 6.1 มคี วามสามารถในการแก้ปญั หา การใหเหตผุ ล การสื่อสาร การสือ่
ความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอการเช่อื มโยงความรูตางๆ
ทางคณติ ศาสตร์และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อื่นๆ
และมีความคิดรเิ ริม่ สร้างสรรค์

ตัวชวี้ ัด ค 6.1 ม.3/1 ใช้วธิ ีการที่หลากหลายแกปญหา
ค 6.1 ม.3/2 ใชค้ วามรูทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์และเทคโนโลยี
ในการแกปัญหาในสถานการณตา่ งๆ ไดอ้ ย่างเหมาะสม
ค 6.1 ม.3/3 ใหเ้ หตุผลประกอบการตัดสนิ ใจและสรุปผลได้อย่างเหมาะสม
ค 6.1 ม.3/5 เช่อื มโยงความรู้ตา่ งๆ ในคณิตศาสตร์และนาความรู หลกั การ
กระบวนการทางคณิตศาสตร์เช่อื มโยงกับศาสตร์อ่ืนๆ

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เร่อื ง พน้ื ท่ผี วิ และปรมิ าตรของพีระมดิ  6

สำระสำคญั

รปู เรขาคณติ สามมิติทม่ี ฐี านเป็นรูปเหล่ยี มใดๆ ทมี่ ยี อดแหลมท่ีไม่อยู่บนระนาบ
เดียวกบั ฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหล่ยี มท่มี ีจุดยอดร่วมกนั ทยี่ อดแหลม
เรียกว่า พีระมิด

พืน้ ทีผ่ วิ ของพรี ะมิด หมายถึง ผลรวมของพื้นท่ีฐานกับพ้ืนที่ผิวของหน้าทุกหน้า
ของพรี ะมิดท่เี ปน็ รปู สามเหล่ียม

หรือ พน้ื ทผี่ วิ ของพีระมิด = พนื้ ทผ่ี วิ ข้ำง + พน้ื ท่ฐี ำน
พ้ืนทผ่ี วิ ขา้ งของพรี ะมิด หมายถงึ ผลรวมของพืน้ ทผ่ี วิ ของหนา้ ทกุ หน้าของ
พรี ะมิดทเ่ี ปน็ รูปสามเหลยี่ ม

ปริมำตรของพรี ะมดิ หมายถึง ความจขุ องพีระมดิ

ปรมิ าตรของพีระมดิ เป็นหนึง่ ในสามของปรมิ าตรของปรซิ ึมทมี่ ีพื้นท่ฐี านเทา่ กนั

และความสูงเทา่ กนั

สูตรปริมำตรของพีระมิด = 1  พ้ืนทฐ่ี ำน  สูง
3

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ชุดที่ 2 เร่อื ง พ้ืนทีผ่ ิวและปริมาตรของพรี ะมิด  7

จดุ ประสงคก์ ำรเรยี นรู้

 นักเรยี นสามารถอธบิ ายลกั ษณะและสมบตั ขิ องพรี ะมิดได้
 นกั เรยี นสามารถระบุรปู คล่ขี องพีระมิดท่ีกาหนดให้ได้
 นกั เรียนสามารถหาพ้นื ทผ่ี วิ ของพรี ะมิดได้
 นักเรยี นสามารถนาความรเู้ รือ่ งพ้ืนทผี่ วิ ของพรี ะมิดไปใช้แกป้ ัญหา
ในสถานการณ์ต่างๆ ได้
 นกั เรียนสามารถหาปริมาตรของพีระมิดได้
 นกั เรยี นสามารถนาความรเู้ รอื่ งปริมาตรของพรี ะมดิ ไปใชแ้ ก้ปัญหา
ในสถานการณต์ า่ งๆ ได้

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชดุ ท่ี 2 เรือ่ ง พน้ื ที่ผิวและปรมิ าตรของพรี ะมิด  8

แบบทดสอบกอ่ นเรียน

วชิ ำ ค23101 คณิตศำสตร์พน้ื ฐำน ชนั้ มัธยมศึกษำปที ่ี 3
เร่ือง พื้นท่ผี วิ และปรมิ ำตรของพรี ะมิด

คำช้ีแจง ให้นกั เรยี นทาเคร่ืองหมายกากบาท () ทับตวั อกั ษร ก, ข, ค และ ง
ทเ่ี ป็นคาตอบท่ถี ูกต้องที่สุดเพยี งคาตอบเดียว
ข้อสอบมีจานวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใชเ้ วลา 15 นาที

 รูปท่ีกาหนดให้ต่อไปนี้ ข้อใดคือพรี ะมิด

ก. ข.

ค. ง.

 ข้อใดเป็นรปู คลี่ของพีระมิด ข.
ก.

ค. ง.

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เร่ือง พ้ืนท่ีผิวและปรมิ าตรของพรี ะมดิ  9

 รปู คลีข่ องพีระมดิ ที่กาหนดให้ เป็นรปู คล่ีของพรี ะมดิ ชนิดใด

ก. รปู คลีพ่ รี ะมดิ ฐานห้าเหลย่ี ม
ข. รปู คลี่พีระมดิ ฐานหกเหล่ียม
ค. รูปคลพ่ี ีระมดิ ฐานสามเหลยี่ ม
ง. รูปคลี่พีระมิดฐานสี่เหลี่ยม

 พรี ะมิดฐานสเ่ี หล่ียมจตั รุ สั รปู น้ี มีพื้นท่ีผวิ ทง้ั หมดเท่าไร

24 ซม. ก. 896 ตารางเซนติเมตร
ข. 864 ตารางเซนตเิ มตร
ค. 782 ตารางเซนตเิ มตร
ง. 728 ตารางเซนตเิ มตร

14 ซม.

14 ซม.

 กาหนดพีระมดิ ฐานส่ีเหล่ยี มจัตรุ ัส มคี วามยาวดา้ นละ 8 เซนติเมตร
สงู เอยี งยาว 5 เซนตเิ มตร พีระมิดรูปนมี้ ีพื้นทผี่ ิวท้ังหมดเท่าไร

ก. 48 ตารางเซนตเิ มตร
ข. 64 ตารางเซนติเมตร
ค. 106 ตารางเซนตเิ มตร
ง. 144 ตารางเซนติเมตร

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ชุดที่ 2 เรอ่ื ง พื้นที่ผิวและปรมิ าตรของพีระมดิ  10

 พีระมดิ ฐานส่ีเหล่ียมผืนผา้ มีดา้ นประกอบมุมฉากยาว 32 เซนติเมตร และ
10 เซนตเิ มตร ตามลาดับ พีระมิดสงู 12 เซนติเมตร จะมีพื้นท่ผี ิวตรงกับข้อใด
ก. 520 ตารางเซนติเมตร
ข. 616 ตารางเซนติเมตร
ค. 736 ตารางเซนตเิ มตร
ง. 936 ตารางเซนติเมตร

 พรี ะมิดฐานสเี่ หลย่ี มจตั ุรสั รูปนี้มปี ริมาตรเทา่ ไร

ก. 1,568 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร
ข. 1,280 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร
ค. 1,152 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร
ง. 1,024 ลูกบาศก์เซนติเมตร

 พรี ะมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจตั ุรสั มีดา้ นยาวด้านละ 8 เซนตเิ มตร
สงู เอียง 5 เซนติเมตร พรี ะมดิ รปู นจ้ี ะมีปรมิ าตรเท่าไร

ก. 48 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร
ข. 64 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร
ค. 106 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร
ง. 144 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ชดุ ท่ี 2 เรื่อง พ้นื ทผ่ี วิ และปรมิ าตรของพรี ะมดิ  11

 พรี ะมิดสามเหลี่ยมด้านเท่า มีด้านยาวดา้ นละ 10 นิ้ว มสี ูงตรงยาว 15 นว้ิ

ปรมิ าตรของพรี ะมิดน้ีตรงกบั ข้อใด

ก. 130√3 ลูกบาศก์น้วิ ข. 132√3 ลกู บาศก์นิ้ว

ค. 125√3 ลกู บาศกน์ ว้ิ ง. 144√3 ลูกบาศก์น้ิว

 ขนมเทียนทรงพรี ะมดิ ฐานส่เี หลยี่ มจัตรุ ัส ยาวดา้ นละ 5 เซนตเิ มตร สงู 4 เซนติเมตร

ขนมเทยี นแตล่ ะห่อใช้แป้งประมาณ 3 ของเนือ้ ขนม ถา้ ต้องการทาขนมเทยี น
5
จานวน 200 ห่อ จะต้องใชแ้ ป้งเทา่ ใด

ก. 200 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

ข. 400 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

ค. 2,000 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

ง. 4,000 ลกู บาศก์เซนติเมตร

แบบทดสอบกอ่ นเรยี นได้คะแนนน้อย
ก็ไม่เปน็ ไรนะครบั เพ่อื นๆ

เด๋ยี วเราไปพยายามกันใหม่ในแบบทดสอบ
หลงั เรียนกนั นะครับ สู้ๆ นะครับ

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ชุดที่ 2 เรอ่ื ง พ้นื ท่ีผิวและปรมิ าตรของพรี ะมิด  12

ใบควำมรูท้ ่ี 1

วิชำ ค23101 คณิตศำสตร์พน้ื ฐำน ชัน้ มัธยมศึกษำปีท่ี 3
เรื่อง ลกั ษณะและสมบตั ขิ องพรี ะมดิ

พรี ะมดิ

ในชวี ติ ประจาวัน เราอาจพบสิ่งกอ่ สร้างท่ีเปน็ ส่วนประกอบมลี ักษณะเป็นพรี ะมดิ
เชน่ หลังคายอดโดมของมหาวิทยาลยั ธรรมศาสตร์ หลังคาบา้ นและอาคารตา่ งๆ

โดยทวั่ ไปเมอ่ื กล่าวถงึ พีระมดิ เรามักนกึ ถงึ และเขา้ ใจว่าพีระมดิ จะต้องมีฐาน
เปน็ รูปสเี่ หล่ียมจัตุรสั เช่นเดยี วกับฐานของพีระมดิ ประเทศอยี ิปตเ์ สมอ แต่ในทางคณติ ศาสตร์
แล้ว ฐานของพรี ะมดิ เปน็ รปู ทรงทม่ี ฐี านเป็นรูปหลายเหลยี่ ม มีผวิ ด้านข้างเป็นรูปสามเหล่ียม
มีจานวนเท่ากบั จานวนด้านของฐาน จดุ ยอดของรูปสามเหลย่ี มทกุ รูปไปพบกันท่ีจุดๆ เดียว
เรียกว่า ยอดของรปู พีระมิด พรี ะมิดท่มี จี านวนหน้าน้อยท่ีสุด คอื พีระมดิ ที่มฐี านเปน็
รูปสามเหลย่ี ม เป็นรปู ทรงที่มีผิวหนา้ สี่หนา้ เปน็ รูปสามเหลีย่ มท้งั หมด ภาษาอังกฤษ เรยี กวา่
tetrahedron

ถา้ ลากเส้นตรงจากยอดของพีระมดิ มาตง้ั ฉากกับฐาน เส้นต้ังฉากนผี้ า่ จดุ ศนู ย์ถว่ ง
ของฐานด้วย เราเรยี กพีระมดิ ชนิดนว้ี ่า พรี ะมิดตรง

หมพู่ รี ะมิดแหง่ กิซา

พรี ะมิดในประเทศอียปิ ต์ เปน็ หน่งึ ใน

หลังคายอดโดมของ พรี ะมิดทเ่ี ปน็ ทรี่ ู้จัก โดยมีหลายแหง่ ในประเทศ
มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์ อยี ิปต์ เปน็ สิ่งก่อสรา้ งของชาวอียปิ ต์โบราณ
สมยั กอ่ นยุคเหล็ก โดยเฉพาะพีระมิดคูฟูในหมู่

พีระมิดแห่งกิซา นับเป็นสิ่งกอ่ สรา้ งขนาดใหญ่ทีส่ ุดที่มนษุ ยเ์ คยสร้างข้นึ มา ซง่ึ แสดงใหเ้ ห็นถึง

ความกา้ วหนา้ ทางวิทยาการทีน่ ่าอัศจรรยข์ องอยี ิปต์โบราณ

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ชุดท่ี 2 เรื่อง พ้ืนทีผ่ ิวและปริมาตรของพรี ะมิด  13

พีระมิด (Pyramid)

รูปเรขาคณิตสามมิติทมี่ ีฐานเปน็ รปู เหล่ยี มใดๆ มยี อดแหลมทไ่ี ม่อยู่บนระนาบ
เดยี วกนั กบั ฐาน และหน้าทุกหน้าเปน็ รูปสามเหล่ียมทม่ี จี ดุ ยอดรวมกันทยี่ อดแหลมน้ัน เรยี กวา่
พรี ะมดิ

พรี ะมดิ ตรง พีระมดิ เอยี ง

ในทางคณิตศาสตร์ พรี ะมดิ ตรงเปน็ พีระมิดท่ีมีฐานเปน็ รูปหลายเหลย่ี มดา้ นเทา่
มมุ เทา่ และมีสันทุกเส้นยาวเท่ากนั

เราเรยี กช่อื พีระมิดชนิดต่างๆ ตามลกั ษณะของฐานของพีระมดิ ดงั ตวั อย่าง

พรี ะมดิ ฐำนสเี่ หล่ียมจตั รุ ัส พรี ะมดิ ฐำนหกเหลย่ี ม พรี ะมิดฐำนแปดเหล่ยี ม

ในบทเรียนน้ีจะกล่าวถงึ พีระมิดตรงและพรี ะมดิ ทีม่ สี นั ทกุ สันยาวเทา่ กันเทา่ น้นั

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ ชุดท่ี 2 เรอื่ ง พ้ืนทีผ่ วิ และปริมาตรของพรี ะมดิ  14

รปู คล่ีของพีระมดิ

รูปคล่ีพรี ะมดิ ฐานสามเหลีย่ ม พีระมิดฐานสามเหลยี่ ม

รปู คลพี่ รี ะมิดฐานส่ีเหลี่ยม พรี ะมิดฐานสเ่ี หลี่ยม

รปู คลพ่ี ีระมิดฐานหกเหลี่ยม พีระมิดฐานหกเหลี่ยม

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชดุ ท่ี 2 เรอื่ ง พื้นทผ่ี วิ และปริมาตรของพีระมิด  15

แบบฝึกทกั ษะที่ 1.1

วชิ ำ ค23101 คณิตศำสตร์พืน้ ฐำน ชัน้ มัธยมศึกษำปที ี่ 3
เร่อื ง ลกั ษณะและสมบัตขิ องพีระมดิ (คะแนนเต็ม 26 คะแนน)

กลมุ่ ท.่ี ........ชือ่ สมาชกิ 1. .…………………2. ……………………3. ……………………4. ……………………
 ให้นักเรียนบอกสว่ นตา่ งๆ ของพีระมิด (7 คะแนน)

 ใหน้ ักเรียนอธิบายลกั ษณะพรี ะมิดลงในช่องว่างให้ถกู ต้องสมบรู ณ์ (10 คะแนน)

พีระมดิ ลกั ษณะ ลกั ษณะ ควำมยำว ควำมยำว จำนวน
ของฐำน ของหนำ้ ของสูงเอยี ง ของสนั หนำ้
และส่วนสูง กบั สงู เอยี ง

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ ท่ี 2 เรื่อง พน้ื ทผ่ี ิวและปรมิ าตรของพีระมิด  16

 ให้ยกตัวอย่างพรี ะมิดมา 3 ชนิด แลว้ ระบชุ ื่อ วาดภาพประกอบ บรรยายลักษณะ
พื้นที่ผิวข้าง พื้นท่ฐี าน และแสดงรูปคล่ี (9 คะแนน)
3.1 พรี ะมิด...........................................

รปู ตน้ แบบ รูปคลี่

ลักษณะพืน้ ทผ่ี ิวข้าง ..............................................................
ลักษณะพื้นท่ีฐาน ..............................................................

3.2 พีระมดิ ...........................................

รูปต้นแบบ รูปคล่ี

ลักษณะพน้ื ทผ่ี วิ ขา้ ง ..............................................................
ลักษณะพื้นทฐ่ี าน ..............................................................

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ชุดท่ี 2 เรอื่ ง พืน้ ทผี่ ิวและปริมาตรของพรี ะมดิ  17
3.3 พรี ะมดิ ...........................................

รปู ตน้ แบบ รูปคลี่

ลกั ษณะพื้นที่ผิวขา้ ง ..............................................................
ลกั ษณะพน้ื ทีฐ่ าน ..............................................................

เปน็ อย่างไรบา้ งคะ ไมย่ ากเลยใชไ่ หม
ถา้ อยา่ งนนั้ เราไปทาแบบฝกึ ทักษะท่ี 1.2

กนั นะคะ

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ชดุ ท่ี 2 เรอ่ื ง พื้นทีผ่ ิวและปริมาตรของพีระมิด  18

แบบฝกึ ทักษะที่ 1.2

วิชำ ค23101 คณติ ศำสตรพ์ นื้ ฐำน ชน้ั มธั ยมศึกษำปีท่ี 3
เรอ่ื ง ลักษณะและสมบัตขิ องพีระมิด (คะแนนเตม็ 9 คะแนน)

ชื่อ………………………….…………………….…………ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3/………….…เลขท…ี่ ………………

 จากรูปทีก่ าหนดให้ จงบอกส่วนต่างๆ ของพรี ะมดิ (5 คะแนน)

1.1 จุดยอดของพีระมดิ คือ …………………………………
1.2 สนั ของพรี ะมิด คือ ………………………………………..
1.3 สูงเอียงคือ ...........................................................
1.4 สงู ตรง คือ ...........................................................
1.5 ฐาน คือ ...............................................................

 จากรปู พีระมิดฐานสี่เหลยี่ มจตั ุรสั ทีก่ าหนดให้ จงหาสูงตรง และสูงเอียง (4 คะแนน)

กาหนดให้ AD = 13 นิ้ว และ BE = 10 นว้ิ
จงหาสงู ตรง (A̅F) และสงู เอยี ง (A̅G)
แนวการตอบ
.....................................................................................
.....................................................................................
.................................................................................... .
......................................................................................
............................................................................................................................. .....................
............................................................................................................................. .....................
............................................................................................................. .....................................
............................................................................................................................. .....................

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เร่อื ง พืน้ ท่ีผิวและปริมาตรของพีระมดิ  19

ใบควำมรูท้ ่ี 2

วิชำ ค23101 คณติ ศำสตร์พ้นื ฐำน ช้นั มธั ยมศกึ ษำปที ่ี 3
เรอ่ื ง พืน้ ที่ผิวของพีระมิด

พ้นื ทผ่ี วิ ของ
พีระมิด

พน้ื ท่ผี วิ ของพีระมิด คือ ผลบวกของพื้นที่ฐานกบั พื้นทผี่ วิ ขา้ งของพีระมิด
พ้นื ท่ผี ิวขา้ งของพีระมิด คือ ผลรวมของพ้ืนท่ีของหนา้ ทุกหน้าของพรี ะมิดท่เี ป็นรูปสามเหลยี่ ม
ฐานของพีระมดิ แบง่ ได้เป็นรูปต่างๆ ดังนี้

รูปสามเหล่ียมใดๆ รูปสามเหล่ียมด้านเทา่

สูตรการหาพน้ื ท่ีของรูปสามเหลีย่ มใดๆ คอื สูตรการหาพน้ื ที่ของรปู สามเหลี่ยมดา้ นเทา่ คือ

1 × ฐาน × สูง √3 × (ดา้ น)2
4
2

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชุดที่ 2 เรอื่ ง พนื้ ทีผ่ วิ และปริมาตรของพรี ะมิด  20

รูปสามเหล่ียมด้านไม่เทา่ รปู สี่เหลย่ี มจัตรุ สั

a

cb

สูตรการหาพน้ื ทร่ี ปู สามเหล่ียมด้านไม่เทา่ คือ สตู รการหาพ้ืนท่ขี องรูปสเี่ หลีย่ มจัตุรสั คอื

√s(s-a)(s-b)(s-c) ด้ำน  ด้ำน
a+b+c
โดยท่ี s= 2

รปู สีเ่ หลยี่ มผืนผา้ รูปสี่เหลีย่ มด้านขนาน

สตู รการหาพ้ืนที่ของรปู สีเ่ หลี่ยมผืนผ้า คอื สตู รการหาพ้ืนที่ของรปู ส่เี หล่ยี มด้านขนาน คือ
กว้ำง  ยำว ฐำน  สงู

รปู สเ่ี หลย่ี มขนมเปยี กปูน รปู ส่ีเหลย่ี มรูปวา่ ว

สูตรการหาพน้ื ที่ของรูปสเี่ หล่ียมขนมเปยี กปูน และ สตู รการหาพ้ืนทข่ี องรปู สี่เหลย่ี มรูปว่าว คอื

1 × ผลคูณของเสน้ ทแยงมมุ

2

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เรือ่ ง พน้ื ที่ผิวและปรมิ าตรของพรี ะมิด  21

รปู ส่ีเหล่ยี มคางหมู รปู สเี่ หลีย่ มใดๆ

เสน้ กง่ิ

สตู รการหาพน้ื ทข่ี องรูปสเ่ี หล่ียมคางหมู คอื สตู รการหาพนื้ ที่ของรูปสเี่ หลย่ี มใดๆ คือ

1 × ผลบวกของด้านคู่ขนาน × สูง 1 × เส้นทแยงมุม × ผลบวกของเส้นกงิ่

2 2

รปู ห้ำเหลย่ี ม รปู หกเหล่ียม รูปแปดเหลยี่ ม หรือรูปจำนวนเหล่ียมใดๆ (ดำ้ นเทำ่ มุมเทำ่ )
รปู ต้งั แตห่ ำ้ เหลย่ี มดำ้ นเทำ่ มุมเทำ่ ขึน้ ไป

สตู รการหาพ้นื ทร่ี ูปต้ังแตห่ า้ เหล่ยี มดา้ นเท่ามุมเทา่ ขึ้นไป คือ

√3 × (ความยาวของด้าน)2 × จานวนเหลย่ี ม
4

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ชุดที่ 2 เร่อื ง พ้ืนทผ่ี วิ และปรมิ าตรของพีระมิด  22

ตวั อยำ่ งท่ี 1 พีระมิดฐานสีเ่ หลี่ยมจัตุรัสทมี่ ีความยาวดา้ นละ 4 นิว้
และมีสูงเอยี งยาว 6 นิว้ จงหาพ้ืนที่ผิวของพรี ะมิดน้ี

วธิ ที ำ พน้ื ที่ผิวขา้ งของพรี ะมิด = (21 × 4 × 6)
= 48 ตารางนวิ้
พืน้ ที่ผิวขา้ ง

พืน้ ทฐี่ าน = 44

= 16 ตารางนิ้ว

พื้นที่ผิวของพรี ะมิด = พ้นื ท่ผี ิวข้าง + พื้นท่ฐี าน

= 48 + 16

= 64 ตารางนวิ้

ดงั นนั้ พนื้ ทผี่ วิ ของพีระมิด คือ 64 ตารางน้ิว

ตอบ 64 ตารางนิ้ว

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชดุ ท่ี 2 เรอ่ื ง พืน้ ทผี่ วิ และปริมาตรของพรี ะมิด  23
A

ตวั อย่ำงท่ี 2

จากรูป E D
ให้ AB = 25 น้ิว B
G
BC = CD = 14 น้ิว F C

จงหาความยาวของสูงเอยี ง สงู ตรง และพ้นื ท่ีผิวของพีระมิด

จาก ABF จะได้ AF (สงู เอียง)

= = 24 น้ิว

จาก AFG จะได้ AG (สูงตรง)

= นว้ิ

ดงั นน้ั ความยาวของสงู เอยี งและสูงตรงของพรี ะมิดนเ้ี ทา่ กบั 24 นวิ้ และ นว้ิ

ตามลาดับ

พนื้ ทผ่ี วิ ของพีระมดิ = พื้นที่ฐาน + พื้นท่ีผิวขา้ ง

= (14 + 14) + ตารางน้ิว

= 196 + 672 ตารางน้วิ

= 868 ตารางนิ้ว

ดังน้นั พืน้ ท่ีผิวของพีระมดิ เท่ากบั 868 ตารางน้ิว

ตอบ 868 ตารางนิว้

ศึกษาตัวอย่างเข้าใจแล้ว
เราไปทาแบบฝกึ ทักษะกนั นะคะ

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ ชดุ ท่ี 2 เร่อื ง พืน้ ท่ผี ิวและปรมิ าตรของพีระมิด  24

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2.1

วชิ ำ ค23101 คณติ ศำสตร์พ้นื ฐำน ชั้นมัธยมศึกษำปที ่ี 3
เรื่อง พ้นื ท่ีผิวของพรี ะมิด (คะแนนเตม็ 20 คะแนน)

กลุม่ ที่ .......... ชอื่ สมาชกิ 1. ………………………………….…..2 ………………………………………….
3 ……………………………….………4 ……………………….…………………

 กาหนดรูปปริซึมในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ ใหน้ ักเรยี นหาพื้นท่ผี วิ ขา้ ง พ้นื ที่ฐาน

และพื้นทีผ่ วิ ทง้ั หมด (12 คะแนน) จาสูตรหาพื้นที่ของรูป
1.1 พรี ะมิดฐานสามเหล่ียมดา้ นเท่า สามเหลย่ี มใดๆ ไดไ้ หมเอย่

พน้ื ทผ่ี ิวข้าง =

พน้ื ท่ฐี าน =

6 ซม. พ้นื ที่ผวิ ท้ังหมด = พนื้ ที่ฐานของรูปหกเหลีย่ มท่ากบั
1.2 4 ซม. เท่าไร...ดตู วั อย่างซิครบั
พีระมดิ ฐานหกเหลยี่ มด้านเทา่

พน้ื ที่ผวิ ข้าง =

พน้ื ท่ฐี าน =
25 ซม. พื้นทผ่ี วิ ทั้งหมด =

12 ซม.

ตอ้ งหาสูงเอียงโดยใชท้ ฤษฎีบทพีทาโกรสั

1.3 พรี ะมิดฐานสี่เหลย่ี มจตั รุ สั
สงู เอียง =

พนื้ ท่ีผวิ ข้าง =
12 ซม. พืน้ ท่ีฐาน =

32 ซม. พน้ื ท่ผี วิ ทั้งหมด =

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชดุ ท่ี 2 เร่ือง พื้นท่ีผวิ และปรมิ าตรของพีระมดิ  25

 พีระมดิ ฐานสามเหลย่ี มด้านเท่า มีด้านยาวด้านละ 8 เซนตเิ มตร สงู เอียง
ยาว 10 เซนติเมตร จงหาพ้นื ท่ผี ิวขา้ ง พ้นื ที่ฐาน และพนื้ ท่ีผิวทัง้ หมด (4 คะแนน)

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..

 พรี ะมิดฐานสเ่ี หลีย่ มขนมเปียกปูน มดี ้านยาวดา้ นละ 5 เซนตเิ มตร เสน้ ทแยงมุม
ยาว 6 เซนตเิ มตร และ 8 เซนติเมตร สูงเอยี งยาว 18 เซนติเมตร จงหาพืน้ ท่ผี วิ ข้าง
พืน้ ทฐี่ าน และพ้ืนทผ่ี ิวท้งั หมด (4 คะแนน)

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..

เป็นอย่างไรบา้ งคะ ไม่ยากเลยใชไ่ หม
ถ้าอยา่ งนัน้ เราไปทาแบบฝึกทักษะ

กนั ต่อนะคะ

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชุดท่ี 2 เรอื่ ง พืน้ ทีผ่ ิวและปริมาตรของพรี ะมิด  26

แบบฝึกทักษะที่ 2.2

วิชำ ค23101 คณติ ศำสตรพ์ ้ืนฐำน ช้ันมธั ยมศกึ ษำปีที่ 3
เร่อื ง พน้ื ที่ผิวของพีระมิด (คะแนนเตม็ 8 คะแนน)

ชื่อ …………………...............................................ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 3/………………เลขที่.................

 จงหาพ้นื ท่ผี วิ ของพีระมิดท่ีมีสงู เอียงยาว 12 น้ิว มฐี านเป็นรปู สีเ่ หลีย่ มจตั รุ สั
มดี ้านยาวด้านละ 8 น้วิ (4 คะแนน)

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..

 จงหาพนื้ ทผ่ี วิ ของพีระมิดท่ีมสี ูงเอยี งยาว 10 น้วิ มฐี านเป็นรปู สีเ่ หลี่ยมจตั ุรสั
มีด้านยาวด้านละ 10 น้วิ (4 คะแนน)

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เรือ่ ง พ้นื ท่ีผวิ และปรมิ าตรของพีระมดิ  27

ใบควำมรู้ท่ี 3

วชิ ำ ค23101 คณิตศำสตรพ์ ื้นฐำน ชั้นมธั ยมศกึ ษำปีที่ 3
เร่ือง ปริมำตรของพีระมิด

ปรมิ ำตรของพรี ะมิด

นักเรียนร้จู ักการหาปริมาตรของปรซิ มึ มาแล้ว ในหัวข้อนี้เราจะตอ้ งนาความรู้ดังกลา่ ว
มาใช้ประกอบในการหาปรมิ าตรของพรี ะมิด เพอื่ ใหไ้ ด้แนวคิดในการหาปริมาตรของพีระมดิ
โดยให้นักเรียนทากจิ กรรมตอ่ ไปน้ี

1. ใชก้ ระดาษแขง็ ท่ีครูเตรยี มไวใ้ ห้ สร้างพีระมดิ ฐานเปดิ ตามที่กาหนดใหต้ อ่ ไปน้ี

พรี ะมิดฐานสามเหล่ียมดา้ นเท่า

พีระมิดฐานสี่เหลย่ี มจตั รุ สั

พรี ะมิดฐานส่เี หล่ยี มผนื ผา้
แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ชุดที่ 2 เร่ือง พน้ื ทผี่ ิวและปริมาตรของพรี ะมดิ  28

2. สรา้ งปรซิ ึมฐานเปดิ หนึ่งข้างให้มีความสูงเทา่ กับความสูงของพีระมิด และมฐี านเท่ากับ
พ้ืนท่ีฐานของพีระมดิ แตล่ ะรปู

3. ให้นกั เรียนใช้พีระมิดฐานสีเ่ หลีย่ มผืนผ้าท่ีสรา้ งไวม้ าตวงทราย โดยใสท่ รายใหเ้ ต็ม
พีระมิดฐานสีเ่ หลย่ี ม แลว้ เททรายจากพีระมิดใสล่ งไปในปริซมึ
ท่ีมฐี ำนเท่ำกันและควำมสูงเทำ่ กนั ดงั รูป

4. ใหน้ กั เรยี นหาว่าจะต้องเททรายจากพีระมิดทมี่ ีทรายเต็มกี่ครงั้ จึงจะได้ทรายเต็มพอดี
5. ใหน้ กั เรียนทาตามข้อ 3 และขอ้ 4 ซ้าอีก โดยเปลี่ยนพีระมดิ ฐานสามเหลย่ี มดา้ นเทา่ กับ
ปริซึมทม่ี ีพนื้ ท่ฐี านเท่ากันและความสูงเทา่ กนั หรือใชพ้ ีระมิดฐานสีเ่ หล่ียมจตั รุ สั กบั ปรซิ ึมท่มี ี
พ้นื ที่ฐานเท่ากนั และความสูงเท่ากัน
จากการทากจิ กรรมขา้ งตน้ เราจะพบวา่ ตอ้ งเททรายจากพรี ะมิดใส่ลงในปริซึมท่มี พี ืน้ ทีฐ่ าน
เท่ากันและความสงู เท่ากันจานวนสามครง้ั จงึ จะได้ทรายเต็มปริซมึ พอดี เราจงึ คาดการณ์ว่า
ปริมาตรของพีระมิดเป็นหนง่ึ ในสามของปรมิ าตรของปรซิ ึมท่มี ีพ้ืนท่ีฐานเท่ากนั และความสูง
เทา่ กัน ซง่ึ อาจแสดงความสัมพันธ์ด้วยรูปภาพไดด้ งั นี้

ในทางคณติ ศาสตร์ข้อความคาดการณ์ข้างตน้ เปน็ จริงดังความสมพนั ธ์ต่อไปน้ี

ปริมาตรของพรี ะมิด = 1 ของปริมาตรของปริซึมท่ีมีพ้ืนทีฐ่ านเทา่ กับพ้ืนที่ฐานของ
3
พรี ะมิดและความสงู เทา่ กบั ความสูงของพรี ะมดิ

= 1 (พื้นที่ฐานของปรซิ มึ  ความสูงของปรซิ ึม)
3

= 1 (พื้นท่ีฐานของพีระมิด  ความสงู ของพีระมดิ )
3
โดยทว่ั ไปสตู รการหาปริมาตรของพรี ะมิด เป็นดังนี้

ปริมาตรของพรี ะมดิ  1  พน้ื ทีฐ่ าน  สงู
3

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ชุดที่ 2 เรื่อง พื้นทผี่ ิวและปรมิ าตรของพีระมดิ  29

ตัวอย่ำงที่ 1 พรี ะมิดแกว้ ฐานสี่เหล่ยี มผนื ผ้า กว้าง 3 นวิ้ ยาว 4 นิว้
และสูง 5 น้วิ ใชส้ าหรับการทดลองเร่อื งการกระจาย
ของแสง ปริมาตรของพรี ะมิดนี้เป็นเท่าใด

วิธที ำ ฐานของพรี ะมดิ เปน็ รูปส่เี หล่ียมผนื ผา้ กวา้ ง 3 น้ิว และยาว 4 น้ิว

พรี ะมิดสูง 5 นว้ิ

เน่ืองจากปริมาตรของพรี ะมิด = 1  พื้นท่ฐี าน  สงู
ดังนั้น ปริมาตรของพรี ะมิด = 31  (3  4)  5
3
= 4  5 ลูกบาศก์นิ้ว

= 20 ลูกบาศก์นว้ิ

นน่ั คือ ปริมาตรของพรี ะมิด = 20 ลูกบาศกน์ ว้ิ

ตอบ 20 ลกู บาศกน์ ้ิว

ตัวอยำ่ งที่ 2 จงหาปริมาตรของพีระมิดฐานส่ีเหลี่ยมผืนผ้าที่มีพน้ื ทฐี่ าน
เทา่ กบั 96 ตารางเซนตเิ มตร และสูงตรง
ยาว 8 เซนติเมตร

วิธีทำ เนอ่ื งจากปรมิ าตรของพีระมดิ = 1  พนื้ ทฐ่ี าน  สูง
ปรมิ าตรของพีระมิดนี้ = 31  96  8 ลูกบาศก์เซนติเมตร
3

= 32  8 ลกู บาศก์เซนติเมตร
= 256 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ตอบ 256 ลกู บาศก์เซนติเมตร

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เร่ือง พืน้ ที่ผิวและปริมาตรของพรี ะมิด  30

ตัวอย่ำงท่ี 3 ทีท่ บั กระดาษหินอ่อนมีลักษณะเป็นพีระมิด
ฐานสีเ่ หลย่ี มจตั รุ สั สองอนั อันใหญ่มปี ริมาตรเป็น
แปดเทา่ ของปริมาตรของอันเล็ก ถา้ ความสูงของ
ทที่ บั กระดาษอันใหญ่เปน็ สองเทา่ ของความสงู ของอนั เล็ก
และพ้ืนทฐี่ านของท่ีทับกระดาษอนั เล็กเท่ากบั
25 ตารางเซนติเมตร ทท่ี ับกระดาษอนั ใหญ่
มฐี านยาวด้านละเท่าใด

วธิ ีทำ

ทท่ี ับกระดาษอันเลก็ สงู h เซนตเิ มตร

จะได้ที่ทบั กระดาษอนั ใหญส่ งู 2h เซนตเิ มตร

ให้ทท่ี บั กระดาษอนั ใหญ่มีฐานยาวด้านละ a เซนตเิ มตร

เนือ่ งจากปริมาตรของพีระมิด = 1  พ้ืนท่ีฐาน  สูง
จะไดป้ ริมาตรของท่ีทบั กระดาษใหญ่ = 31  a2  2h ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร

3 ตารางเซนติเมตร
เนือ่ งจากพน้ื ทฐ่ี านของท่ที ับกระดาษอนั เลก็ = 25

ดงั นน้ั ปรมิ าตรของที่ทับกระดาษอนั เล็ก = 1  25  h ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

3

เนอ่ื งจากปริมาตรของทที่ ับกระดาษอันใหญเ่ ปน็ แปดเทา่ ของปรมิ าตรของอันเล็ก

ดงั นัน้ ปริมาตรของท่ีทับกระดาษอันใหญ่ = 8  ปรมิ าตรของท่ที ับกระดาษอันเล็ก

จะได้ 1  a2  2h = 8  (13  25  h)
3
(8  25  h) (23h)
a2 = 3 

a2 = 100 31

a = 10
นน่ั คอื ที่ทับกระดาษอันใหญ่มีฐานยาวด้านละ 10 เซนติเมตร
ตอบ 10 เซนตเิ มตร
แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เร่อื ง พน้ื ท่ีผิวและปรมิ าตรของพีระมดิ 

แบบฝึกทกั ษะท่ี 3.1

วิชำ ค23101 คณติ ศำสตรพ์ ้นื ฐำน ชน้ั มัธยมศึกษำปที ่ี 3
เร่ือง ปริมำตรของพีระมิด (คะแนนเตม็ 26 คะแนน)

กลมุ่ ท่ี.........ชื่อสมาชิก 1. .……………………. ศกึ ษาตัวอย่างกันเข้าใจแลว้
2. ……………………… มาทาแบบฝึกทักษะ
3. ……………………… กนั นะคะ
4. ………………………

 ให้นักเรียนเตมิ คาตอบในชอ่ งวา่ งให้ถูกต้องสมบูรณ์ เมอื่ กาหนดส่วนตา่ งๆ

ของพีระมดิ ฐานเป็นรูปหลายเหลย่ี มดา้ นเท่ามุมเทา่ (10 คะแนน)

พีระมิด ควำมยำวของ พ้นื ท่ฐี ำน สงู ปริมำตร
ด้ำนฐำน (ซม.) (ซม.)2 (ซม.) (ซม.)3

ฐานสามเหลี่ยม 10 9

ฐานสเ่ี หลีย่ ม 8.2 10.5

ฐานหา้ เหล่ียม 12 495.36

ฐานสี่เหลี่ยม 64 320

ฐานหกเหลีย่ ม 6 7.5

 จงหาปริมาตรของพรี ะมิดฐานส่ีเหล่ยี มจตั รุ ัสท่มี ฐี านยาวดา้ นละ 6 น้ิว
และสูงตรง ยาว 8 นิ้ว (4 คะแนน)

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชุดท่ี 2 เรื่อง พน้ื ทผ่ี ิวและปริมาตรของพีระมิด  32
 จงหาปรมิ าตรของพรี ะมดิ ฐานสามเหล่ยี มดา้ นเท่าทมี่ ีความยาวด้านละ 9 น้วิ

และสูงตรง ยาว 8 นิว้ (√3 ≈ 1.732) (4 คะแนน)

 พีระมิดท่มี ีพนื้ ทฐี่ าน 24 ตารางเซนตเิ มตร สงู 6 เซนตเิ มตร จะมปี ริมาตรเท่าใด
(4 คะแนน)

 จงหาปรมิ าตรของพีระมดิ ฐานสี่เหล่ียมจตั ุรสั ทม่ี ีด้านยาวดา้ นละ 30 นิว้
และสูงเอียง ยาว 25 นวิ้ (4 คะแนน)

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ ท่ี 2 เรื่อง พ้นื ท่ีผวิ และปรมิ าตรของพรี ะมิด  33

แบบฝึกทกั ษะท่ี 3.2

วิชำ ค23101 คณิตศำสตร์พ้นื ฐำน ชน้ั มธั ยมศึกษำปที ่ี 3
เรอ่ื ง ปรมิ ำตรของพรี ะมิด (คะแนนเตม็ 8 คะแนน)

ชอ่ื ......................................................................ชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 3/............เลขท.ี่ ..............
 จงหาปรมิ าตรของพีระมดิ ฐานสีเ่ หลี่ยมคางหมูที่มดี ้านคขู่ นานยาว 10 เซนติเมตร
และ 12 เซนติเมตร ตามลาดบั ระยะหา่ งระหวา่ งด้านคขู่ นานยาว 9 เซนตเิ มตร
และสงู ตรง ยาว 17 เซนตเิ มตร (4 คะแนน)

 โลหะทรงพีระมิดตนั อันหน่งึ สงู 40 เซนตเิ มตร ฐานเป็นรูปส่เี หลย่ี มจตั รุ ัสยาวดา้ นละ
30 เซนตเิ มตร หย่อนโลหะนีล้ งในถงั ทรงลูกบาศกย์ าวด้านละ 40 เซนติเมตร
นา้ จะเต็มถงั จงหาวา่ เดิมมีน้าอยใู่ นถังสงู เทา่ ไร (4 คะแนน)

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เรือ่ ง พื้นท่ผี ิวและปรมิ าตรของพีระมดิ  34

แบบทดสอบหลังเรยี น

วิชำ ค23101 คณติ ศำสตร์พน้ื ฐำน ชน้ั มัธยมศกึ ษำปที ่ี 3
เรื่อง พ้นื ท่ีผิวและปรมิ ำตรของพรี ะมดิ

คำชแี้ จง ใหน้ กั เรียนทาเคร่ืองหมายกากบาท () ทบั ตวั อกั ษร ก, ข, ค และ ง
ที่เปน็ คาตอบทีถ่ ูกต้องท่สี ดุ เพยี งคาตอบเดยี ว
ข้อสอบมจี านวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใชเ้ วลา 15 นาที

 ขอ้ ใดเปน็ รปู คล่ขี องพรี ะมิด
ก. ข.

ค. ง.

 รูปท่กี าหนดให้ต่อไปน้ี ข้อใดคือพีระมดิ
ก. ข.

ค. ง.
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชดุ ท่ี 2 เรอื่ ง พนื้ ท่ผี วิ และปริมาตรของพีระมิด  35

 รูปคลี่ของพีระมดิ ที่กาหนดให้ เป็นรปู คลขี่ องพรี ะมิดชนดิ ใด

ก. รูปคล่พี ีระมดิ ฐานสามเหลี่ยม
ข. รปู คล่พี ีระมิดฐานหา้ เหลี่ยม
ค. รูปคล่ีพีระมิดฐานหกเหล่ียม
ง. รปู คลีพ่ รี ะมิดฐานส่ีเหลี่ยม

 กาหนดพรี ะมดิ ฐานสี่เหลยี่ มจัตรุ สั มคี วามยาวดา้ นละ 8 เซนติเมตร
สงู เอยี งยาว 5 เซนตเิ มตร พีระมดิ รูปนมี้ ีพน้ื ทีผ่ ิวท้ังหมดเทา่ ไร

ก. 144 ตารางเซนตเิ มตร
ข. 106 ตารางเซนติเมตร
ค. 64 ตารางเซนติเมตร
ง. 48 ตารางเซนตเิ มตร

 พรี ะมดิ ฐานส่ีเหล่ียมผืนผา้ มีดา้ นประกอบมุมฉากยาว 32 เซนตเิ มตร และ

10 เซนตเิ มตร ตามลาดับ พีระมิดสูง 12 เซนตเิ มตร จะมพี น้ื ทีผ่ วิ ตรงกับข้อใด

ก. 936 ตารางเซนติเมตร ข. 736 ตารางเซนตเิ มตร

ค. 616 ตารางเซนติเมตร ง. 520 ตารางเซนตเิ มตร

 พรี ะมิดฐานสเี่ หลี่ยมจตั ุรสั รูปน้ี มพี ื้นท่ผี ิวทง้ั หมดเท่าไร

24 ซม.

14 ซม.

ก. 728 ตารางเซนตเิ มตร
ข. 782 ตารางเซนติเมตร
ค. 864 ตารางเซนตเิ มตร
ง. 896 ตารางเซนติเมตร

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชุดที่ 2 เรอื่ ง พ้ืนทผ่ี ิวและปริมาตรของพรี ะมิด  36

 ขนมเทยี นทรงพรี ะมิดฐานสีเ่ หลี่ยมจตั รุ สั ยาวด้านละ 5 เซนติเมตร สงู 4 เซนติเมตร

ขนมเทยี นแตล่ ะห่อใชแ้ ป้งประมาณ 3 ของเน้ือขนม ถ้าต้องการทาขนมเทียน
5
จานวน 200 หอ่ จะต้องใช้แป้งเท่าใด

ก. 4,000 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร ข. 2,000 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

ค. 400 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร ง. 200 ลูกบาศก์เซนติเมตร

 พีระมิดฐานสเี่ หลย่ี มจัตรุ ัสรปู น้ี มีปริมาตรเทา่ ไร

ก. 1,024 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร
ข. 1,152 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร
ค. 1,280 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร
ง. 1,568 ลูกบาศก์เซนติเมตร

 พีระมิดตรงฐานส่ีเหลีย่ มจตั รุ ัส มีด้านยาวด้านละ 8 เซนติเมตร
สูงเอียง 5 เซนตเิ มตร พีระมิดรปู นีจ้ ะมีปรมิ าตรเทา่ ไร

ก. 144 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร
ข. 106 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร
ค. 64 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร
ง. 48 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

 พรี ะมิดสามเหลย่ี มด้านเท่า มีดา้ นยาวด้านละ 10 น้วิ มีสงู ตรงยาว 15 นิว้

ปรมิ าตรของพรี ะมดิ น้ีตรงกับขอ้ ใด

ก. 144√3 ลูกบาศกน์ ิว้ ข. 125√3 ลกู บาศก์น้ิว

ค. 132√3 ลูกบาศก์นิ้ว ง. 130√3 ลูกบาศก์น้ิว

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชุดท่ี 2 เรื่อง พน้ื ที่ผิวและปริมาตรของพีระมดิ  37

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น

วิชำ ค23101 คณิตศำสตรพ์ นื้ ฐำน ชน้ั มัธยมศกึ ษำปที ่ี 3
เรื่อง พนื้ ทผี่ ิวและปริมำตรของพรี ะมดิ

ค ง
ก ก
ข ข
ก ค
ง ง

ไม่ยากเลย
ใช่ไหมคะเพื่อนๆ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ชุดท่ี 2 เรอ่ื ง พื้นท่ีผวิ และปริมาตรของพรี ะมดิ  38

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1.1

วิชำ ค23101 คณิตศำสตร์พ้ืนฐำน ช้ันมัธยมศกึ ษำปที ี่ 3
เรอื่ ง ลกั ษณะและสมบัตขิ องพีระมดิ (คะแนนเตม็ 26 คะแนน)

เกณฑ์กำรให้คะแนน

ข้อ  เตมิ คาตอบ 7 ขอ้ ๆ ละ 1 คะแนน (คะแนนเต็ม 7 คะแนน)

1) ตอบถกู ได้ 1 คะแนน

2) ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน

ขอ้  เตมิ คาตอบ 20 ขอ้ ย่อย ข้อย่อยละ 0.5 คะแนน (คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

1) ตอบถูก 2 ขอ้ ย่อย ได้ 1 คะแนน

2) ตอบถกู 1 ข้อย่อย ได้ 0.5 คะแนน

3) ตอบผิด 2 ขอ้ ย่อย ได้ 0 คะแนน

ข้อ  เติมคาตอบ 3 ขอ้ ๆ ละ 3 คะแนน (คะแนนเต็ม 9 คะแนน)

1) ตอบถูกทุกคาตอบและวาดรปู คลีไ่ ดถ้ ูกตอ้ ง ได้ 3 คะแนน

2) ตอบถกู 2 คาตอบและวาดรปู คล่ไี ด้ถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

3) ตอบถูก 1 คาตอบหรือวาดรปู คลี่ได้ถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

4) ตอบผิดและวาดรูปคล่ีไมถ่ ูกตอ้ ง ได้ 0 คะแนน

 ให้นักเรียนบอกส่วนตา่ งๆ ของพรี ะมดิ (7 คะแนน)

ยอด ส่วนสงู
สนั

สงู เอยี ง ฐาน
ฐาน

ความยาวของด้านฐาน

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เรอื่ ง พนื้ ที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด  39

 ให้นกั เรยี นอธิบายลกั ษณะพรี ะมิดลงในชอ่ งวา่ งให้ถูกต้องสมบรู ณ์ (10 คะแนน)

พีระมิด ลักษณะ ลักษณะ ควำมยำว ควำมยำว จำนวน
ของฐำน ของหนำ้ ของสงู เอยี ง ของสันกบั หน้ำ
และสว่ นสงู สงู เอยี ง

รปู สี่เหล่ยี ม รูปสามเหลี่ยม สูงเอยี งยาวกว่า สันยาวกว่า 4
จัตุรสั สว่ นสงู สูงเอยี ง

รูปหกเหลีย่ ม รูปสามเหล่ยี ม สูงเอียงยาวกว่า สันยาวกวา่ 6
ส่วนสูง สงู เอยี ง

รปู สามเหลี่ยม รูปสามเหลี่ยม สูงเอียงยาวกว่า สนั ยาวกว่า 3
สว่ นสูง สงู เอยี ง 8

รูป รปู สามเหลีย่ ม สงู เอยี งยาวกวา่ สันยาวกวา่
แปดเหล่ยี ม ส่วนสูง สูงเอยี ง

 ให้ยกตัวอยา่ งพีระมดิ มา 3 ชนิด แลว้ ระบุชอ่ื วาดภาพประกอบ บรรยายลักษณะ
พืน้ ทผี่ วิ ขา้ ง พื้นท่ีฐาน และแสดงรปู คลี่ (9 คะแนน)

3.1 พีระมิด ฐานสีเ่ หล่ยี มจัตรุ สั

รปู ตน้ แบบ รูปคลี่

ลกั ษณะพนื้ ทผ่ี ิวขา้ ง เปน็ รปู สามเหล่ยี มหน้าจ่วั
ลักษณะพนื้ ทีฐ่ าน เป็นรปู ส่เี หลี่ยมจัตรุ ัส

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เร่อื ง พ้นื ที่ผิวและปรมิ าตรของพรี ะมิด  40
3.2 พรี ะมดิ ฐานสามเหลย่ี มดา้ นเท่า

รูปต้นแบบ รูปคล่ี

ลกั ษณะพน้ื ท่ผี วิ ข้าง เปน็ รปู สามเหลย่ี มหนา้ จ่วั
ลกั ษณะพน้ื ที่ฐาน เป็นรปู สามเหลยี่ ม

ลกั ษณะพนื้ ท่ผี วิ ข้าง เป็นรูปสามเหล่ียมหนา้ จ่ัว

3.3 พรี ะมดิ ฐานหกเหลี่ยมดา้ นเทา่

รูปต้นแบบ รปู คล่ี

ลกั ษณะพ้ืนที่ผวิ ขา้ ง เป็นรูปสามเหล่ยี มหนา้ จั่ว เป็นอยา่ งไรบา้ งคะ ไม่ยากเลย
ลักษณะพน้ื ที่ฐาน เป็นรปู หกเหลี่ยมดา้ นเทา่ ใช่ไหม ไปดเู ฉลยกันต่อนะคะ

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ ชุดที่ 2 เรอ่ื ง พ้นื ท่ผี ิวและปริมาตรของพรี ะมิด  41

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 1.2

วชิ ำ ค23101 คณิตศำสตรพ์ ้นื ฐำน ชนั้ มธั ยมศกึ ษำปีท่ี 3
เร่ือง ลักษณะและสมบัตขิ องพีระมดิ (คะแนนเต็ม 9 คะแนน)

เกณฑ์กำรใหค้ ะแนน

ข้อ  เติมคาตอบ 5 ขอ้ ๆ ละ 1 คะแนน (คะแนนเต็ม 5 คะแนน)

1) ตอบถูก ได้ 1 คะแนน

2) ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน

ข้อ  แสดงวิธที า 1 ขอ้ 4 คะแนน (คะแนนเต็ม 4 คะแนน)

คะแนน / ผลกำรแสดงวิธที ำที่ปรำกฏใหเ้ หน็
ควำมหมำย

4 (ดมี าก) การแสดงวิธที าชัดเจนสมบรู ณ์ คาตอบถกู ตอ้ งครบถว้ น

3 (ด)ี การแสดงวธิ ีทายังไมช่ ดั เจนดีนกั แตอ่ ยู่ในแนวทางที่ถกู ต้อง
คาตอบถกู ต้องครบถว้ น

การแสดงวิธีทายังไม่ชัดเจนหรอื ไม่แสดงวิธีทา แต่คาตอบถูกต้อง

2 (พอใช)้ ครบถว้ น/การแสดงวิธีทาชดั เจน สมบูรณ์ แต่คาตอบไม่ถูกตอ้ ง

ขาดการตรวจสอบ

การแสดงวิธที ายังไมช่ ดั เจนดีนักแต่อยู่ในแนวทางที่ถูกต้องและ

1 (ควรแก้ไข) คาตอบไมถ่ ูกต้อง/ไม่แสดงวธิ ที าและคาตอบท่ไี ด้ไม่ถูกต้อง

แต่อยใู่ นแนวทางท่ีถูกต้อง

0 (ตอ้ งปรบั ปรุง) ทาไดไ้ มถ่ งึ เกณฑ์

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เรื่อง พน้ื ทผ่ี ิวและปรมิ าตรของพรี ะมดิ  42

 จากรูปทกี่ าหนดให้ จงบอกส่วนต่างๆ ของพีระมดิ (5 คะแนน)
1.1 จดุ ยอดของพีระมิด คอื จดุ A
1.2 สนั ของพรี ะมิด คอื A̅B, A̅C, A̅D และ A̅E

1.3 สูงเอยี งคือ A̅G

1.4 สงู ตรง คอื A̅F
1.5 ฐาน คือ รปู สี่เหล่ียมจตั รุ สั BCDE

 จากรปู พีระมิดฐานสี่เหล่ยี มจัตรุ ัสที่กาหนดให้ จงหาสงู ตรง และสงู เอยี ง
กาหนดให้ AD = 13 นวิ้ และ BE = 10 นว้ิ

จงหาสงู ตรง (A̅F) และสงู เอียง (A̅G) (4 คะแนน)

แนวคดิ

จากทฤษฎบี ทพีทาโกรัส เม่อื AGD เป็น

รูปสามเหลีย่ มมุมฉาก จะได้ AG2 = 132 – 52

= 169 – 25 = 144

AG = 12

ดังนั้นสงู เอยี งยาว 12 นวิ้

พจิ ารณารปู สามเหล่ียม AFG จะได้ AF2 = AG2 – FG2

= 122 – 52

= 144 – 25 = 119

AF = √119

ดังนนั้ สูงตรงของพรี ะมิดยาว √119 นวิ้

ตอบ สูงเอยี งยาว 12 นิ้ว สูงตรงยาว √119 น้วิ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชดุ ท่ี 2 เรื่อง พ้นื ทผี่ ิวและปริมาตรของพีระมดิ  43

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.1

วชิ ำ ค 23101 คณิตศำสตรพ์ ื้นฐำน ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 3
เร่อื ง พนื้ ทผี่ วิ ของพรี ะมิด (คะแนนเตม็ 20 คะแนน)

เกณฑก์ ำรให้คะแนน

ขอ้  เตมิ คาตอบ 3 ข้อ (คะแนนเตม็ 12 คะแนน)

1) ตอบถูก ได้ 1 คะแนน

2) ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน

ขอ้ -  แสดงวิธีทา ขอ้ ละ 4 คะแนน (คะแนนเต็ม 8 คะแนน)

คะแนน / ผลกำรแสดงวธิ ีทำท่ีปรำกฏใหเ้ ห็น
ควำมหมำย

4 (ดมี าก) การแสดงวธิ ที าชัดเจนสมบรู ณ์ คาตอบถูกต้องครบถ้วน

3 (ด)ี การแสดงวิธีทายังไม่ชัดเจนดีนัก แต่อยู่ในแนวทางทถ่ี ูกตอ้ ง
คาตอบถกู ต้องครบถว้ น

การแสดงวธิ ที ายงั ไมช่ ดั เจนหรอื ไม่แสดงวธิ ที า แตค่ าตอบถูกตอ้ ง

2 (พอใช้) ครบถ้วน/การแสดงวธิ ที าชัดเจน สมบรู ณ์ แตค่ าตอบไม่ถูกตอ้ ง

ขาดการตรวจสอบ

การแสดงวธิ ีทายังไมช่ ัดเจนดีนกั แตอ่ ยู่ในแนวทางทถ่ี ูกต้องและ

1 (ควรแก้ไข) คาตอบไม่ถูกต้อง/ไม่แสดงวธิ ีทาและคาตอบทีไ่ ด้ไม่ถูกต้อง

แต่อยใู่ นแนวทางท่ถี ูกต้อง

0 (ตอ้ งปรบั ปรุง) ทาไดไ้ ม่ถึงเกณฑ์

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เรอื่ ง พ้ืนทผ่ี วิ และปรมิ าตรของพรี ะมดิ  44

 กาหนดรูปปรซิ ึมในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี ให้นกั เรยี นหาพ้ืนทผ่ี วิ ข้าง พ้นื ที่ฐาน และพื้นท่ีผวิ
ท้งั หมด (12 คะแนน)

1.1 พรี ะมิดฐานสามเหลี่ยมดา้ นเท่า

พ้นื ทผ่ี ิวข้าง = ตารางเซนตเิ มตร

พื้นทฐ่ี าน = ตารางเซนติเมตร
6 ซม. ตารางเซนตเิ มตร

4 ซม. พน้ื ท่ีผวิ ทัง้ หมด =

1.2 พีระมิดฐานหกเหล่ียมดา้ นเทา่ ( )2 ตารางเซนติเมตร
พืน้ ที่ผิวข้าง = ตารางเซนติเมตร
ตารางเซนติเมตร
25 ซม. พนื้ ที่ฐาน =
12 ซม. พนื้ ทผ่ี วิ ท้งั หมด =

1.3 พรี ะมิดฐานสี่เหลี่ยมจตั ุรัส =
สูงเอยี ง = 20 ตารางเซนติเมตร

พื้นที่ผวิ ข้าง =
12 ซม. = 1,280 ตารางเซนติเมตร

32 ซม. พืน้ ทฐ่ี าน = 32  32 = 1,024 ตารางเซนตเิ มตร
พื้นทผ่ี วิ ทั้งหมด = 1,280 + 1,024 = 2,304 ตารางเซนติเมตร

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชุดที่ 2 เรอื่ ง พืน้ ทผี่ ิวและปรมิ าตรของพีระมดิ  45

 พรี ะมดิ ฐานสามเหลย่ี มด้านเทา่ มีดา้ นยาวดา้ นละ 8 เซนตเิ มตร สงู เอียง
ยาว 10 เซนติเมตร จงหาพ้นื ทีผ่ ิวข้าง พื้นที่ฐาน และพ้นื ทผ่ี ิวท้ังหมด (4 คะแนน)

แนวคิด พื้นทผ่ี วิ ขา้ ง = = 120 ตารางเซนตเิ มตร

พน้ื ทฐ่ี าน = ตารางเซนติเมตร
พน้ื ทผ่ี วิ ทั้งหมด = ตารางเซนตเิ มตร

 พรี ะมดิ ฐานส่เี หลย่ี มขนมเปียกปนู มดี ้านยาวดา้ นละ 5 เซนติเมตร เส้นทแยงมุม
ยาว 6 เซนติเมตร และ 8 เซนตเิ มตร สูงเอยี งยาว 18 เซนตเิ มตร จงหาพ้ืนทีผ่ ิวข้าง
พ้นื ทฐ่ี าน และพน้ื ที่ผวิ ท้งั หมด (4 คะแนน)

แนวคิด พ้ืนทผ่ี ิวข้าง = (12 × 5 × 18) × 4 = 180 ตารางเซนตเิ มตร

พ้ืนที่ฐาน = 1 ×6×8 = 24 ตารางเซนตเิ มตร
2

พื้นทผ่ี ิวทงั้ หมด = 180 + 24 = 204 ตารางเซนติเมตร

ไม่ยากเลยใช่ไหมคะ ถ้าอย่างนั้น
เราไปดูเฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 2.2

กันตอ่ เลยนะคะ

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ ที่ 2 เรอื่ ง พืน้ ที่ผิวและปริมาตรของพรี ะมิด  46

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 2.2

วชิ ำ ค23101 คณติ ศำสตรพ์ ้ืนฐำน ช้นั มัธยมศึกษำปที ี่ 3
เรอื่ ง พื้นทผ่ี วิ ของพีระมดิ (คะแนนเตม็ 8 คะแนน)

เกณฑ์กำรให้คะแนน
ขอ้ - แสดงวธิ ีทา ขอ้ ละ 4 คะแนน (คะแนนเต็ม 8 คะแนน)

คะแนน / ผลกำรแสดงวิธที ำท่ีปรำกฏใหเ้ ห็น
ควำมหมำย

4 (ดมี าก) การแสดงวธิ ที าชดั เจนสมบูรณ์ คาตอบถูกตอ้ งครบถว้ น

3 (ด)ี การแสดงวิธที ายงั ไม่ชดั เจนดีนัก แตอ่ ยู่ในแนวทางทถี่ กู ตอ้ ง
คาตอบถูกต้องครบถ้วน

การแสดงวิธที ายงั ไมช่ ดั เจนหรือไม่แสดงวธิ ที า แต่คาตอบถูกต้อง

2 (พอใช้) ครบถว้ น/การแสดงวธิ ีทาชัดเจน สมบรู ณ์ แตค่ าตอบไมถ่ ูกต้อง

ขาดการตรวจสอบ

การแสดงวิธีทายงั ไมช่ ัดเจนดีนักแต่อยู่ในแนวทางท่ถี ูกต้องและ

1 (ควรแก้ไข) คาตอบไมถ่ ูกต้อง/ไมแ่ สดงวธิ ที าและคาตอบท่ีไดไ้ ม่ถูกต้อง

แตอ่ ยใู่ นแนวทางทีถ่ ูกต้อง

0 (ตอ้ งปรับปรุง) ทาไดไ้ ม่ถงึ เกณฑ์