E-book “จำนวนเชิงซ้อน”

Eb00K

COMPIex Nvmber

ธนาย น ทางประ ท ผล ม 5 13 29

.

-

พิธิสัชุ

ความหมาย

COMPK เ อ•
× Number เ ด มา แ สมการ ไ สามารถ หา ตอบ เ น R ไ

• เ ด I 1 วอ างโจท แ ในระบบ จน จ งไ ไ )

.

✗2 + | = 0 imaginarynvmber (จน นตภาพ )
.
2
๕ใ i.- Fi
✗ = -1

× ะ ± FT

า i"

•

เ อ i Fเ-
-

5.
_
.in/☒i2..-1'ib=-1...=-i'i7-.-Ii.. I i i ..

.. .

' i 8 .. 1 .. . เ อi " 4 า ครบ 4 แ ว จะ วน 1

=1
,

• ป วไป

ZZ ④ # bbii

/ | \

ใน เ ง อน R = จน จ ง IM ะ จบ นตภาพ
. .

Re CZ ) Iml2- )

า b--0 ; Z เ น จน จ ง
.

า a = 0 ^ b# 0 j Z เ น จ น เ ง อน เ น จน น ภาพ แ
..

้ทิจ็ป่ีท้ซิช็ป้ถิร็ป้ถิจิร้ซิช่ัทูร้ล่ืม่คีมำค๋ัห่ืม่ค้หิจ้ด่มิร้ก่ีท์ย่ยัตินำก้ด็ป่ีทำค่ม่ีท้ก่ืพิก

วอ าง การหา i"

I %1. ? , 26 ÷ 4 เศษ 2 2 -1
,
iะ

""

=
I ?2. 2564 ÷ 4 เศษ 2 , i 2 ะ -1
,_

I i23 "
+
3. i 24 + + i ?2 °46

. .. +=

ใน ว ะ าย - น +1

, = 2046-23 + 1

ะ 2024

ง 2024 ÷ 4 เศษ 0 ลง ว i. ะ 0

วอ างการ ด ป วไป

FI1. 8 + F4 ะ 8 + = 8 + โ4 i = 8+2 i

(2. 2 + I ) -4 l -2 I ) it2- + 8i = 2+9 i
-

่ัทูรัจ่ยัตัต้ต้ทัตำค่ยัต

การ เ น การ

• สม การบวก นวน เ ง อน

1. สม ด Z,+ €C
2. สม
3. สม สบ Z+ Zz = ZIZ,
4. สม
5. สม เป ยนก ม ,

เอก กษ ( zzt (Z +
นเวอ ส +3)z Z = , Zz ) + Zg
,

Z +A = Z A= 0
,
"

z + z 0=

• สม ณการ นวน เ ง อน

1. สม ด Zi Zz € C

2. สม สบ Zio Zz = Zz • Z

3. สม เป ยนก ม ,
4. สม
5. สม เอก กษ ziolzi Z3) = ( ZzZ -• )• Zg
นเวอ ส ,

Z• A = Z A=1
,
z•
" , E' เ น นเวอ สการ ณ

Z 0=

หา I 1 นเวอ สการ ณ )

¥ # อ!!"

Z=
ตร+5bi9-ะ =
✓µ ,.
.
-

ูสัหูค์ริอำคูค์ริอ็ป์ริอิตับ์ณัลิตับุ่ล่ีลิตับ่ีทัลิตับิปิตับ้ซิชำจูคิตับ์ริอิตับ์ณัลิตับุ่ล่ีลิตับ่ีทัลิตับิปิตับ้ซิชำจิตับินำด

• การหาร นวนเ ง อน

นาหนด Ziatbi , Zz ะ Ctdi

#หาร น = atbi (c- di )

=
Zz Ctdi (้c-di )

adiac- - + cbi - bdt 1)

_

Gtd2

= (actbd) + ( bc - adli

[4 d 2 ตร

การ ง ค bi

- อการก บ เค องหมายห าพจ

- Z ะ atbi E = a- bi
,

. สม การ ง ค

E1. Z - = + b2

E2. Z + = 2a

3. EZ - = 2bi

4. Z ± Zz = E± Zz
, ,

5. ZzZ • = Zi Zz
,

6. Z" = (E) "

7. Z = E , Z เ น จจน . ง

8. Z E= - Z เ นจาน . นตภาพ แ

,

้ทิจ็ปิร็ป้หุยัสิตับ์น้น่ืรัลืคุยัสูสักำน้ซิชำจ

วอ าง การบวก ลบ

( ( )1. -- 2 ti -4+2 i = -2+3 i
)2 + i - 4- 2 I

(2. 3- 4- 2 D- 5 i = 3-4+2 i -5 i = - 1- 3 i

3. 1-2 + i ) - ( 1+2 i ) ะ - 2- 1 + i -2 i = - 3- I

4. 15 + i ) (- 2- D- 16-3 I ) = 5 + i -2 + i -6+3 I =-3 +5 i

ณวอ าง การ หาร

1. (3+2 i )( 1+2 I ) +4in=3 +6 I +2 i - เ +8 i

2. )( - 2- 2 i ( 5- i ) = -10+2 i -10 i +2 -12-8 i

3. ( ) (2 + i 2- D i 5= 4- 2 i +2 i - 2 =

4. i 2 (2- I ) = 5
4-2i -2 iti2
-

_

2- i (้2 i )

# } โ §=3 i = 13+4i ) =3 +4 I

25

วอ าง การ ง ค

1. หา Z E = 64-3 i Z = 64+3 i
,,
2. หา
← E Z = 1 + ร3 i

,

E = 1- ร3 i

12 FงE-Z <- + = 1+3 = 4

ำคำคุยัด่ยัต๋ืรู้ชูค่ยัต่ยัต

เ น นวน

• เ น จนปก

ล- < เ า ง| เ >ล
3- 3
_

• เ น นวน + นวน เ ง อน
BCOmplex Number Line D

bi → ( -ด า Z9 bi)=> Ca b)
ง ,

. . . . . .. . . ลด ป

:

< >R

✓

ไ• จน นตภาพ สามารถ เ ยน บนเ น เ ยว บ จจาน . ง

เพราะ น เ น นวน ด าไ ไ จ ง เ น FI

• (แกนนอน แกน ×] เ ยก า แกน จ ง ( Realaxis )

• แกน ง [ แกน y ] เ ยก า แกน นตภาพ ( Imaginarylaxis)

ิจ่วีรัถิร่วีร่ชิร้ด่ม่คัว่ีทำจ็ปัมิรักีด้สีข่มิจ่ัฐุ่หูร์ุฉ่ค้ีนุจุก้ซิชำจำจ้สิต้สำจ้ส

1 าสม ร 1 สม รก าวไ า อการ ใ

า น เ นบวก ไ ดลบ

สม ร• า ของ นวน จ ง

หมาย ง " 0 "

ระยะทาง จาก ง นวน น

า 1- 51 ะ 5 y ;

_

สม ร• เพราะ ฉะ น เ อ จารณา ของ นวน นตภาพ

จะสามารถหาไ จาก ตร ทาก อ ส

IM

lzl = +Fน ซ
p ำ=3
=5

- * (3,4 )
-
- 1เ Re
-

⑧เ

สม ร• สม ของ เ ง อน

1. | Z 12 = Zi E 5. / Z" | = / Z / "

2. 1 Zl ะ 1-ZI "| ¥ |6.
11 ะ ; Z ¥0
Z

3G.IZ1.Zlt/lZ=zl4l E.lZl iZzl=/Z,l Z7.zll8z.1,+ZZ,-zZl zlZ1Z,I-lZd

้ซิช์ณูบำคิตับ้รูส้หัร่ีทูส้ดิจำจ์ณูบำคิพ่ืม้ันู่วุ่ง่ค้ันำจึถึถิรำจ์ณูบ่คิต่ม็ป้ัน่ค้หำทืค์ณูบ่ว้ด่ล์ณูบ่ค

ปเ ง ว

• Polar Formof Complex Number

ปo เ นการเ ยน จน เ ง อนใน แก เ ตอ

แอ• ขนาด ของ แก แทน วย r = lzl = tbโะ

. ศทางบอก วย มของ r บ แกน ✗ บวก ใน ศทวน เ ม

I. ""
b

A aB

จาก ป ABC นะา = Coso, 9in ช

a-_ rcos 0 , b = rsint

งน Z = a + bi = rcos 0 + ( rsino ) i

ตรZ = r Ccosotisin 8)

11
หาก จาก ~+
หาย จาก tan ฮะ

ูห้ท้หูส้ันัดู้ผ่วู้รูร็ขิทักำท่ีทุม้ดิท้ห้ด์ร์รูร้ซิชีข็ป้ัขิชูร

ตรเ ง ว น
ๆ

1. Zi Zz = [ ]Gsl + E) + isin ( + g)

E ¥ Gs |2. ะ
( G- E) t Isin ( -02)

""

Z =r
(3. cosn ฮ + isinn 8)

µ µ ) µ%4. Zn ะ ฦ|
+ isin

วอ าง การหา า สม ร

โ ะ1.
/ Zl = q + น i Z= 94 4

,

2. / Z / = 7 t 24 I , Z i72+2F = 25

วอ างโจท ใน ป เ ง ว

1. Z =3 +3 Bi

=/ าโL7• r
32+ ( 3 3)2 ะ 9 + 6=

i นะ• tan ฮะ 3

ฮะ 60 '

602Z ะ r Ccis ) = 6 ( cos 60 + isin

์ร้โ้ัขิชูร์ย่ยัต้บ๊ต้น์ณูบ่ค่ยัตุ้ท๊ึกุอุดุชุทุท่ือ้ัขิชูส

2. Z - ( -3,0 )
-

ปr• 1- 2 + 3ะ

3)

§• tan ฮะ = 0,0=180'

Z ะ 3 ([0518Gt Isinbof

วอ างโจท งหมด

1. ใ Z , ะ 1- i , Zz ะ -2+4 i

| | | |หา Zlt Zzt 1
1- I -2+4 i + |

=

Zi Zz +1 1- i + 2- 4 i + เ

= 1 ฒื่H

Bilre

=

| 3-4 Il

3+ § /ะ

ะ

|

2. / Z , Ezt Zz Il

| |= ( 1- i ) (- 2- 4 i ) + (-2+4 i ) ( 1 + I )

| |= 1- 2- 2 I - 4) +1-2+2I -4)

= | -121 /ะ 12

End.

๊ัญ้ห้ัท์ย่ยัต้ว