คณิตศาสตร์ เรื่องเซตและเลขยกกำลัง

เ ซ ต ป ล ะ เ ล ข ย ก กำ ลั ง
SET & EXPONENT

น า ง ส า ว ภู ริ ช ญ า ว ร ค ร บุ รี เ ล ข ที่ 3 1 ชั้ น ม . 6 / 5

1.เซต(set)

เซต หมายถึง กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง ชุด และเมื่อกล่าวถึง เซตของสิ่ง
ใดๆ จะทราบทันทีว่าในเซตนั้นมีอะไรบ้าง เราเรียกที่อยู่ของเซตว่า 'สมาชิก'
------สัญลักษณ์ ------------------------------------------------------

{ } แทน เซต

∈ แทน คำว่า” เป็นสมาชิก”
∉ แทนคำว่า “ไม่เป็นสมาชิก”
⊂ แทนคำว่า “สับเซต”
⊄ แทนคำว่า ” ไม่เป็นสับเซต”

วิธีการเขียน เซต
เขียนแบบแจกแจงสมาชิก

A={a,b,c}
B = { ก , {ข} , {ค,ง}}

เขียนแบบบอกเงื่อนไข
จะใช้เครื่องหมาย | แทนค่าว่า “โดยที่”

A = { x | x²-4x+3=0 }

การนับจำนวนสมาชิกในเซต
จำนวนสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย n(A)
ถ้าสมาชิกในเซตซ้ำกันให้เขียนเพียงครั้งเดียว

ชนิดของเซต
เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถบอกได้ว่ามีสมาชิกทั้งหมดกี่ตัว
เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่สามารถบอกได้ว่ามีสมาชิกทั้งหมดกี่ตัว

∅เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกในเซตเลย หรือเขียนแทนด้วย

เอกภพสัมพัทธ์ (U) คือ เซตที่กำหนดขอบเขตสิ่งที่เรากำลังพิจารณา

ความสัมพันธ์ระหว่างเซต
เซตที่เท่ากัน คือ เซตที่สมาชิกทุกตัวเหมือนกัน ถ้าเซต A เท่ากับ
เซต B จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A = B
เซตที่เทียบเท่ากัน คือ เซตที่จำนวนสมาชิกเท่ากัน

⊂ ≠สมบัติของสับเซต
1.ถ้า A B และ A B จะเรียก A ว่าเป็นสับเซตแท้ของ B
2.ถ้า A เป็นเซตจำกัด จะมีสมาชิก n ตัว แล้ว A มีสับเซตทั้งหมด
2n สับเซต
3.ถ้า A เป็นเซตจำกัด จะมีสมาชิก n ตัว แล้ว A มีสับเซตแท้
ทั้งหมด 2n -1 สับเซต
⊂4.Φ A (เซตว่างเป็นสับเซตทุกเซต)
⊂5.A A (ตัวเองก็เป็นสับเซตของตัวเอง)
⊂ ⊂ ⊂6.ถ้า A B และ B C แล้ว A C
⊂ ⊂7.A B และ B A ก็ต่อเมื่อ A = B
หมายเหตุ : Φ ( เซตว่าง ) ไม่มีสับเซต

เพาเวอร์เซต
เพาเวอร์เซตของ A คือ เซตที่รวม สมาชิกที่เป็นสับเซตของ A ทั้งหมดเอาไว้
ใช้สัญลักษณ์ P(A)

----สมบัติของเพาเวอร์เซต--------------------------------------------
-

≠ ∅1.P(A)
∅ ∈2. P(A)
∅ ⊂3. P(A)
∈4.A P(A)

5.ถ้า A มีสมาชิก n ตัวแล้ว P(A) มีจำนวนสมาชิกทั้งหมด 2n ตัว

⊂ ⊂6.A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)
∩ ∩7. P(A) P(B) = P(A B)
∪ ⊂ ∪8.P(A) P(B) P(A B)

การดำเนินของเซต

∪ยูเนียน ( UNION ) (เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ )

สมบัติของยูเนี่ยน (กำหนด A , B เป็นเซตใด ๆ )

∪ ∪1.A B = B A

∪2.A A = A
∪3.A U = U
∪∅4.A = A
∪ ∪ ∪ ∪5.(A B) C = A (B C)
∪ ∩ ∪ ∩ ∪6.A (B C) = (A B) (A C)
∪7.A A’ = U
∪ ∩8.(A B)’=A’ B’
∪ ∩9.A-(B C) = (A-B) (A-C)

∩อินเตอร์เซคชัน ( INTERSECTION ) (เขียนแทนด้วย

สัญลักษณ์ )
คุณสมบัติของอินเตอร์เซค ( กำหนด A,B เป็นเซตใด ๆ )

∩ ∩1.A B = B A
∩2.A A = A
∩3.A U = A
∩∅ ∅4.A =
∩ ∩ ∩ ∩5.(A B) C = A (B C)
∩ ∪ ∩ ∪ ∩6.A (B C) = (A B) (A C)
∩ ∅7.A A’ =
∩ ∪8.(A B)’ = A’ B’
∩ ∪9.A- (B C) = (A-B) (A-C)

คอมพลีเมนต์ ( COMPLEMENT )
คุณสมบัติของคอมพลีเมนต์

1.(A’)’ = A ; Aคู่’ = A
2.((A’)’)’ = A’ ; Aคี่’ = A’

∅3. ’ = U
∅4.U’ =
∪5.A A’ = U
∩ ∅6.A A’ =
⊂ ⊂7.A B ก็ต่อเมื่อ B’ A’
∩ ∅ ⊂8.A B = ก็ต่อเมื่อ A’ B’

ผลต่าง ( DIFFERRENCE )
คุณสมบัติของผลตา่ งระหว่างเซต

∅1.A-A =

∅2.A- = A
∅ ∅3. -A =

4.A-A’ = A

∅5.A-U =
⊂6.A-B A
∩ ∅7.A-B = A ก็ต่อเมื่อ A B =
∅ ⊂8.A-B = ก็ต่อเมื่อ A B

จำนวนของสมาชิกของเซตจำกัด
2 เซต

∪ ∩n(A B) = n(A)+n(B)-n(A B)

3 เซต

∪ ∪ ∩n(A B C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A B)-
∩ ∩ ∩ ∩n(A C)-n(B C)+n(A-n(A B C)

แบบฝึกหัด

1.จงเขียนเซตต่อไปนี้ในรูปแบบแจกแจงสมาชิก
1) เซตของสระในภาษาอังกฤษ
2) เซตของจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 10
3) เซตของจำนวนเต็มที่มากกว่า 100
4) x | x เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 3 และน้อยกว่า 10
5) x | x เป็นจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 0 กับ1

2.จงเขียนเซตต่อไปนี้ในรูปแบบบอกเงื่อนไขสมาชิก
1) {1,3,5,7,9}
2) { … ,-2,-1,0,1,2, … }
3) {1,4,9,16,25,36, … }

3.จงเขียนเซตทั้งหมดของเซตต่อไปนี้
1) {1}

2) {1,2}

3) {-1,0,1}
4) {x,y}

5) {a,b,c}

2.เลขยกกำลัง

การยกกำลัง หมายถึง การคูณซ้ำ ๆ กัน คือ a คูณกันเป็นจำนวน n
ตัว จะเขียนได้เป็น

----สมบัติเลขยกกำลัง----------------------------------------------

สมบัติข้อที่ 1 จะช่วยให้เราสามารถประหยัดเวลาในการคำนวณได้มาก คือ
เมื่อเราพบเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากับ 0 จะทำให้เลขยกกำลังตัวนั้นมีค่า
เท่ากับ 1 ได้ทันที

สมบัติข้อที่ 2 โดยปกติแล้วการเขียนเลขยกกำลังนิยมเขียนให้เลขยก
กำลังมีค่าเป็นบวกอยู่เสมอ เพราะฉะนั้นสมบัตินี้จะช่วยให้เราสามารถ
เปลี่ยนเลขยกกำลังที่ติดลบให้มาเป็นบวกได้

สมบัติข้อที่ 3 “เลขฐานเหมือนกันคูณกัน เลขยกกำลังนำมาบวกกัน”
สมบัติในข้อนี้จะช่วยให้เราสามารถยุบเลขยกกำลังที่มีเลขฐานเดียวกัน ให้
สามารถเขียนเพียงตัวเดียวได้

สมบัติข้อที่ 4 “ฐานเหมือนกันหารกัน เลขยกกำลังนำมาลบกัน”
สมบัติในข้อนี้จะช่วยให้เราสามารถยุบเลขยกกำลังที่มีเลขฐานเดียวกัน
ให้สามารถเขียนเพียงตัวเดียวได้

สมบัตข้อที่ 5 สมบัติการกระจายเลขยกกำลัง เพื่อความสะดวกในการยุบเลข
ยกกำลังที่มีการซ้อนกัน ซึ่งควรระวังวงเล็บดี ๆ เนื่องจากความหมายจะ
เปลี่ยนไปทันที ถ้าไม่ได้ใส่วงเล็บ

สมบัติข้อที่ 6 นี้คล้ายกับสมบัติข้อที่ 5 คือ ใช้หลักการการกระจาย
เหมือนกัน ข้อควรระวังของสมบัตินี้คือ สามารถกระจายได้แค่การคูณ
และการหารเท่านั้น โดยเลขยกกำลังจะไม่สามารถกระจายได้ในการบวก
และการลบเด็ดขาด

สมบัติข้อที่ 7 นี้คล้ายกับสมบัติข้อที่ 5 และ 6 คือ ใช้หลักการการกระจาย
เหมือนกัน ข้อควรระวังของสมบัตินี้คือ สามารถกระจายได้แค่การคูณและ
การหารเท่านั้น โดยเลขยกกำลังไม่สามารถกระจายได้ในการบวกและการลบ
เด็ดขาด