Epsilon 13

ÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG BẰNG TAM THỨC BẬC HAI - Nguyễn Văn Huyện QUAN ĐIỂM CỦA KANT VỀ K

NO 13 HÔNG GIAN VÀ THỜI GIAN - Nguyễn Ái Việt

VÀ CÁ tháng 2 \ 2

C CHUYÊN MỤC KHÁC PHSỐ uang nHưStneg-wLaêrtPhúucyễLnữDuy Liên

017HOÀN

ĐỊNHNNẢKGGOIẾGBVNIÍÀỚẨBINẰNHHNẠCỮGỦNNALTGĂRSNOỐSGỐNNGBBGAẠGUVNIYẢIÊBIBNÈTỘO-T-NÁỐNgNg- ôIaQH

SỬ

DỤ

NHỮ
VƯỢT



Epsilon - Một chặng đường

Ban Biên tập Epsilon

LỜI NGỎ TỪ TỔNG BIÊN TẬP

Vậy là chúng ta đã đi qua một chặng đường của 13 số Epsilon, tương đương với gần 800
ngày, 26 tháng và nhiều đêm thức trắng của các tác giả và các thành viên ban biên tập.

Cuộc tổng diễn tập đã thành công. Và hơn thế một tinh thần vì cộng đồng đã được lan tỏa.
Các tác giả đã đóng góp những bài viết tâm huyết của mình. Và các biên tập viên đã tốn
nhiều thời gian, công sức để sắp xếp, trình bày các bài viết đó trong một hình thức đẹp
nhất, khoa học nhất. Tất cả đã cùng tạo ra những số Epsilon đáng đọc và đáng lưu giữ.

Epsilon không phải là tờ báo để đọc trong một ngày hay một vài ngày. Hôm nay bạn đọc
có thể đọc (và hiểu được) một vài bài trong đó. Nhưng sau vài năm, nếu đọc lại, bạn đọc
có thể sẽ tìm được nhiều điều thú vị hơn thế (và hiểu được nhiều hơn). Vì thế tuy Epsilon
sẽ tạm dừng lại ở con số 13, những số báo của Epsilon chắc chắn vẫn sẽ còn hiện diện và
lan tỏa.

Và hơn cả 13 số báo Epsilon, tinh thần của Epsilon chắc chắn sẽ được tiếp nối qua những
con người đã làm nên nó. Đó là các tác giả, các biên tập viên và các bạn đọc thân thiết.
Tinh thần đó là sẵn sàng đóng góp vì cộng đồng với tất cả nhiệt huyết, trí tuệ và sự chuyên
nghiệp.

Trong lời ngỏ lần này, tôi với tư cách tổng biên tập, muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến
các tác giả, những người đã đóng góp các bài viết tuyệt vời của mình cho Epsilon, các
cộng tác viên, những người đã giúp chúng tôi dịch các bài viết hay từ nhiều thứ tiếng, các
bạn đọc, những người đã động viên và truyền cảm hứng cho công việc của chúng tôi. Và
tất nhiên là tôi muốn cảm ơn các cộng sự trẻ tuổi của tôi, những thành viên ban biên tập,
những người đã làm việc rất chuyên nghiệp và hoàn toàn bất vụ lợi. (Nhưng tôi cũng tin
rằng, tất cả mọi người đều đã thu được rất nhiều qua 13 số báo Epsilon).

Trong số các tác giả của Epsilon, tôi muốn đặc biệt nhắc đến các tác giả Ngô Quang
Hưng, Lý Ngọc Tuệ, Trần Quang Hùng, Nguyễn Duy Liên những người xứng đáng có
những tuyển tập riêng các bài viết dành cho Epsilon. Không dành được nhiều thời gian
cho Epsilon nhưng các GS Hà Huy Khoái, Đàm Thanh Sơn, Ngô Bảo Châu luôn có
những quan tâm đặc biệt dành cho chúng tôi, gợi ý đề tài và tạo cảm hứng cho chúng tôi
tiếp tục những khởi đầu của mình. Epsilon cũng đã chắp cánh cho những bài viết hay của
các bạn học sinh, trong đó đặc biệt là mảng hình học. Nổi bật trong số các tác giả trẻ tuổi
có thể nhắc đến bạn Nguyễn Trần Hữu Thịnh, học sinh lớp 12 chuyên toán trường THPT
chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ. Và các bà đỡ cho các bài viết hình học là hai biên tập viên
Trần Quang Hùng và Ngô Quang Dương.

Epsilon đã hoàn thành nhiệm vụ giai đoạn thứ nhất của mình. Nói như thế nghĩa là chặng
đường thứ nhất đã được đi qua. Nhưng cũng có nghĩa là sẽ còn chặng đường thứ hai.
Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ không ra các số định kỳ vào ngày 13 của các tháng chẵn
nữa. Thay vào đó sẽ là các tuyển tập theo các tác giả, theo các chủ đề, theo các chuyên
mục. Và những sản phẩm mới này sẽ bắt đầu xuất hiện ngay trong năm 2017.

Có nghĩa là Epsilon vẫn còn tiếp tục.

Và giờ đây, hãy cùng chúng tôi điểm lại những thăng trầm của Epsilon trong suốt 800
ngày qua.

Tạp chí Epsilon, Số 13, 02/2017

Epsilon - Một chặng đường và Những cột mốc

Ý tưởng về Epsilon được hình thành từ khoảng cuối năm 2014, và hiện thực hoá vào tháng 2
năm 2015, với số Epsilon đầu tiên. Trong phần này, chúng tôi tạm điểm qua những cột mốc
quan trọng trong suốt chặng đường phát triển của Epsilon.

• 13/2/2015: Epsilon số 1 ra đời với 8 tác giả, 9 bài viết qua 154 trang.
• 16/2/2015: Trang FB chính thức ra đời.
• 13/4/2015: Epsilon chính thức có logo và định dạng bìa mới. Tạp chí bắt đầu nhận được những

bài viết của những “cây đa cây đề” trong giới. Ban Biên tập tăng lên 5 thành viên. Lần đầu tiên
số lượt tải đạt con số 4000.
• 13/6/2015: Epsilon số 3 ra đời với logo được nâng cấp. Đây cũng là logo được giữ nguyên cho
đến số cuối cùng. Tạp chí tiếp tục phát triển cùng với số thành viên Ban Biên tập tăng lên thành
6 người.
• 13/8/2015: Epsilon số 4 phiên bản beta ra đời. Đây cũng là số Epsilon duy nhất không có phiên
bản chính thức.
• 13/10/2015: Epsilon số 5 ra đời, đây cũng là một trong những số dài nhất với 245 trang (đứng
thứ 2 sau số cuối cùng bạn đọc đang xem). Số lượng thành viên của ban biên tập cũng gia tăng
thành 7 người. Định dạng trang của Epsilon cũng được cập nhật.
• 29/10/2015: Số lượng người ủng hộ trang FB của Epsilon chính thức vượt qua 2.000 người.
• 13/12/2015: Epsilon số 6 với 18 bài viết trong 177 trang ra đời. Thành viên ban biên tập tiếp tục
tăng thêm và bắt đầu cố định ở con số 8 – 9 thành viên. Số người quan tâm lên đến hơn 20.000
và số lượt tải đã vượt quá 2.000.
• 13/2/2016: Epsilon đã đi hơn 1 năm và đón chào số 7 với 200 trang bài. Đây cũng là số đầu tiên
Epsilon bắt đầu áp dụng định dạng chuẩn cho cộng tác viên dễ dàng viết bài. Bắt đầu từ số này,
định dạng Epsilon thống nhất trong mọi mặt cho đến số cuối cùng.
• 13/4/2016: Epsilon số 8 ra đời với phong độ ổn định qua gần 15.000 người quan tâm.
• 13/6/2016: Epsilon số 9 ra mắt với 205 trang viết. Đây là số đầu tiên nhận được hơn 200 yêu
thích từ bạn đọc.
• 13/8/2016: Epsilon số 10 ra đời, lần đầu tiên số lượt tải vượt 10.000 lượt và từ đó giữ vững cho
đến các số cuối cùng.
• 13/10/2016: Epsilon số 11 ra mắt, với hơn 48.000 người quan tâm và đây vẫn là một kỷ lục của
báo, một thành công ngoài dự đoán của ban biên tập.
• 13/12/2016: Epsilon số 12 ra mắt với hơn 12.000 lượt tải từ bạn đọc.
• 10/1/2017: Tạp chí Pi, người anh của Epsilon ra đời, báo hiệu giai đoạn chạy đà của Epsilon đã
chuẩn bị hoàn thành.
• 13/2/2017: Epsilon cuối cùng, Epsilon số 13 ra mắt, lập kỷ lục là số dài nhất (327 trang), giới
thiệu nhiều bài toán nhất (390 bài), từ sự đóng góp của 30 tác giả và dịch giả.

4

Bạn đọc của
Epsilon

Epsilon 13 70% Tính đến thời điểm ra mắt số cuối
30% cùng, Epsilon có hơn 10.000 lượt
tải và hơn 5.000 người ái mộ.
Trong số đó có 70% bạn đọc là
phái mạnh và và 30% là những
người phụ nữ đáng mến.

13 12 11

PI

Ngày 13/2/2017, Epsilon chính Ngày 10/1/2017, tạp chí Pi, người Đều đặn các ngày 13 tháng chẵn, Epsilon luôn ra mắt
thức cuối cùng, anh của Epsilon ra đời, báo hiệu đúng hạn, với số lượng độc giả và người ái mộ gia
Epsilon 13 ra mắt bạn đọc. giai đoạn chạy đà của Epsilon đã tăng qua từng số báo. Tính trung bình, mỗi ngày
chuẩn bị hoàn thành. Epsilon được 4.600 lượt truy cập từ cộng đồng
người Việt ở 46 quốc gia trên thế giới. Có những bài
8 viết của Epsilon đã lan toả đển hơn 48.000 người, 10
một con số kỷ lục của Epsilon!

9

TÁC GIẢ BÀI VIẾT BÀI TOÁN

92 227 3.057

Epsilon Thành quả Epsilon
7
6 5

13/2/2016, Epsilon đã đi hơn 1 năm và đón Ngày 13/6/2016, Epsilon số 3 ra Epsilon số 5 là một trong những số
chào số 7 với 200 trang bài. Đây cũng là số đời với logo được nâng cấp. Đây dài nhất với 248 trang, giới thiệu
đầu tiên Epsilon bắt đầu áp dụng
cũng là logo được giữ nguyên cho tổng cộng 322 bài toán. Cùng với
định dạng chuẩn cho cộng tác viên
đến số cuối cùng. số này, số lượng người ủng hộ
dễ dàng viết bài. Bắt đầu từ
trang FB của Epsilon chính thức
số này, định dạng Epsilon
vượt qua 2000 người.
thống nhất trong

mọi mặt cho đến

số cuối cùng.

Epsilon 4
3

Epsilon Ngày 16/2/2015, trang Ngày 13/2/2015, Epsilon số 1 chính
2 FB chính thức, và cũng là thức ra đời với 8 tác giả, 9 bài viết, giới
trang duy nhất của thiệu với bạn đọc 209 bài toán qua 154
Epsilon ra đời. trang báo.

FB Epsilon 1

Ngày 13/4/2015, Epsilon chính
thức có logo và định dạng bìa mới.
Lần đầu tiên số lượt tải đạt con số
4000.

Hành trình

EPSILON









































































Tạp chí Epsilon, Số 13, 02/2017

4. Tổng kết

Kiểm chứng là mô hình là một phương pháp tự động để chứng minh tính đúng đắn của chương
trình. Liệt kê và kiểm tra tất cả các trạng thái có thể xảy ra là ý tưởng chính của phương pháp
này. Tuy nhiên, khuyết điểm của nó la không phù hợp với các hệ thống có quá nhiều hoặc vô
hạn trạng thái. Trừu tượng hóa là một phương pháp phổ biến để vượt qua khuyết điểm trên. Tuy
nhiên, mỗi phương pháp trừu tượng hóa chỉ phù hợp với một lớp hệ thống và tính chất nhất định.
Việc phát triển thêm nhiều hướng tiếp cận để giảm thiểu sự bùng nổ không gian trạng thái là
một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của lĩnh vực kiểm chứng là hệ thống.

Tài liệu

[1] Introduction to model checking. https://moves.rwth-aachen.de/teaching/
ss-15/introduction-to-model-checking. Accessed: 2017-01-30.

[2] Java pathfinder. http://babelfish.arc.nasa.gov/trac/jpf. Accessed: 2017-
01-30.

[3] Edmund Clarke, Orna Grumberg, Somesh Jha, Yuan Lu, and Helmut Veith.
Counterexample-guided abstraction refinement. In International Conference on Computer
Aided Verification, pages 154–169. Springer, 2000.

[4] Edmund M Clarke, Orna Grumberg, and Doron Peled. Model checking. MIT press, 1999.
[5] Leslie Lamport. Specifying systems: the TLA+ language and tools for hardware and soft-

ware engineers. Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., 2002.
[6] Chris Newcombe, Tim Rath, Fan Zhang, Bogdan Munteanu, Marc Brooker, and Michael

Deardeuff. How amazon web services uses formal methods. Communications of the ACM,
58(4):66–73, 2015.
[7] Michael Newman. Software errors cost us economy $59.5 billion annually. NIST Assesses
Technical Needs of Industry to Improve Software-Testing, 2002.
[8] Natarajan Shankar. Automated deduction for verification. ACM Computing Surveys
(CSUR), 41(4):20, 2009.

42

Tạp chí Epsilon, Số 13, 02/2017

CÁC PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG (TIẾP THEO)

Henry Tran
Wayne State University, Michigan, USA

LỜI BAN BIÊN TẬP

Bài viết của tác giả Henry Tran có nguyên bản là tiếng Anh, có ba phần chính gồm:

• Lý thuyết và ứng dụng lập trình MATLAB trong phương trình Parabolic.
• Lý thuyết và ứng dụng lập trình MATLAB trong phương trình Hyperbolic.
• Lý thuyết và ứng dụng lập trình MATLAB trong phương trình Elliptic.

Chúng tôi đã đăng phần đầu ở Epsilon số 11. Ở số báo này, chúng tôi sẽ đăng tiếp hai
phần còn lại, về Hyperbolic và Elliptic.

1. Các dạng toán Hyperbolic

1.1. Phương trình đạo hàm riêng dạng Hyperbolic

Một phương trình đạo hàm riêng bậc hai có dạng

a ∂2u + 2b ∂2u + c ∂2u + d ∂u + e ∂u + f = 0
∂x2 ∂xy ∂y2 ∂x ∂y

được gọi là bài toán hyperbolic nếu ma trận

M= a b ,
b c

thỏa mãn điều kiện det (M ) = ac − b2 < 0.

Phương trình sóng là một dạng cơ bản của PDEs trong bài toán hyperbolic của không gian một
chiều với a = 1.

43

Tạp chí Epsilon, Số 13, 02/2017

1.2. Bài toán mô hình phương trình sóng

Phương trình sóng được viết dưới dạng

∂2 u (x, t) = ∂2 u (x, t)
∂t2 ∂x2

Chúng ta có thể viết lại thành

1 [u (x + h, t) − 2u (x, t) + u (x − h, t)] = 1 [u (x, t + k) − 2u (x, t) + u (x, t − k)]
h2 k2

Ta cũng có công thức

u (x, t + k) = ρu (x + h, t) + 2 (1 − ρ) u (x, t) + ρu (x − h, t) − u (x, t − k) (∗) .

Điều kiện ổn định ở đây là ρ = k2 ≤ 1.
h2

Phương trình sóng và các điều kiện ban đầu là

 ∂2 u (x, t) = ∂2 u (x, t)
 ∂t2 ∂x2 (x)
u (x, 0) = f

 ut (x, 0) = 0 = 0
u (0, t) = u (1, t)

trong đó 0 ≤ x ≤ 1 and 0 ≤ t.

Nhắc lại rằng ut (x, t) = 1 [u (x, t + k) − u (x, t)] .
k

Từ t = 0, ta có 1
k
ut (x, 0) = [u (x, k) − u (x, 0)] .

Do đó, ta cũng có hệ phương trình tương tự

 ∂2 u (x, t) = ∂2 u (x, t)
 ∂t2 ∂x2
u (x, 0) = f (x)

 1 [u (x, k) − u (x, 0)] = 0
k u (0, t) = u (1, t) = 0

44

Tạp chí Epsilon, Số 13, 02/2017

với 0 ≤ x ≤ 1 and 0 ≤ t.

Từ phương trình của điều kiện ban đầu với điều kiện đầu tiên của ut (x, 0) = 0 là

1 [u (x, k) − u (x, 0)] = 0,
k

chúng ta có thể kết luận điều kiện đầu tiên của u (x, k) = u (x, 0) = f (x). Thay t = 0 trong
(∗), ta được

u (x, k) = ρu (x + h, 0) + 2 (1 − ρ) u (x, 0) + ρu (x − h, 0) − u (x, −k) .

Sử dụng xấp xỉ sai số trung tâm, ta có

1 [u (x, k) − u (x, −k)] = 0.
2k

Do đó, ta có điều kiện thứ hai của hệ điều kiện biên của (x, k) là

u (x, k) = 1 ρ [f (x + h) + f (x − h)] + (1 − ρ) f (x) .
2

1.3. Công thức tường minh

1.3.1. Phương pháp tường minh sử dụng công thức

Từ phương trình ban đầu, bằng việc dùng biến h, k lần lượt ký hiệu cho số gia của các biến x, t,
chúng ta có

1 [u (x + h, t) − 2u (x, t) + u (x − h, t)] = 1 [u (x, t + k) − 2u (x, t) + u (x, t − k)] .
h2 k2

Nó cũng có thể viết thành dạng

u (x, t + k) = ρu (x + h, t) + 2 (1 − ρ) u (x, t) + ρu (x − h, t) − u (x, t − k) .

Ở đây, điều kiện ổn định là ρ = k2 ≤ 1.
h2

Chúng ta có năm điểm được biểu diễn ở lược đồ sau

45

Tạp chí Epsilon, Số 13, 02/2017

1.3.2. Giải phương trình sóng và lập trình tính toán

a) Ví dụ

Chúng ta có hệ phương trình 

∂2 u (x, t) = ∂2 u (x, t)
∂t2 ∂x2
u (x, 0) = f (x)

 1 [u (x, k) − u (x, 0)] = 0
k u (0, t) = u (1, t) = 0

Sử dụng phần mềm MATLAB để giải với

f (x) = sin2πx, T = 1, L = 1, , nt = 200, nx = 32.

Điều kiện ban đầu là u (0, t) = u (1, t) = 0 và

1 [u (x, k) − u (x, 0)] = 0
k

hay 1
2
u (x, k) = ρ [f (x + h) + f (x − h)] + (1 − ρ) f (x)

b) Lập trình tính toán (xem thêm phần Phụ lục bên dưới)

Nghiệm chính xác là

uexact (x, t) = 1 [sin2π (x + t) + sin2π (x − t)] tại T = 1.
2

Chúng ta có các kết quả về nghiệm xấp xỉ bởi phương pháp sai phân hữu hạn và nghiệm chính
xác với T = 1 trong các hình minh họa.

Trong 2D: với T = 1, L = 1, nt = 200, nx = 8, 16, 32, 64.

46

Tạp chí Epsilon, Số 13, 02/2017
47

Tạp chí Epsilon, Số 13, 02/2017

So sánh giữa phương pháp sai phân hữu hạn và nghiệm chính xác

Minh họa của nghiệm gần đúng bởi phương pháp tường minh với T = 1
48

Tạp chí Epsilon, Số 13, 02/2017

Minh họa của nghiệm chính xác với T = 1
Bằng cách tính các sai số giữa nghiệm gần đúng và nghiệm chính xác, ta có bảng sau

2. Các dạng toán Elliptic

Phương trình đạo hàm riêng dạng Elliptic Một phương trình đạo hàm riêng bậc hai có dạng

a ∂2u + 2b ∂2u + c ∂2u + d ∂u + e ∂u + f = 0.
∂x2 ∂xy ∂y2 ∂x ∂y

được gọi là bài toán hyperbolic nếu ma trận

M= a b ,
b c

thỏa mãn điều kiện det (M ) = ac − b2 > 0.

49

Tạp chí Epsilon, Số 13, 02/2017

Phương trình Helmholtz là dạng đơn giản của PDEs trong bài toán elliptic của không gian một
chiều với a = 1.

2.1. Bài toán mô hình phương trình Helmholtz

Giả sử hàm số u = u(x, y) có hai biến là x và y, hàm này không xác định được cụ thể nhưng là
duy nhất. Ta giả sử vùng R được cho trước là mặt phẳng hai chiều xy

∇2u + f u = g (∗∗) ,
(x, y) là biết trước trên R

với ∇2u (x, y) = ∂2u + ,∂2u f = f (x, y) vàg = g (x, y) là các hàm được định nghĩa trong R.
∂x2
∂y2

Nếu f là hàm hằng thì (∗∗) được gọi là phương trình Helmholtz.

Nếu thayf = g = 0 vào (∗∗), ta có phương trình Laplace:

∇2u (x, y) = ∂2u + ∂2u = 0.
∂x2 ∂y2

Nếu thay f = 0, g = 0 vào (∗∗), ta có phương trình Poisson

∇2u (x, y) = ∂2u + ∂2u = g (x, y) .
∂x2 ∂y2

2.2. Công thức tường minh

Xét bài toán elliptic: ∇2u + f u = g nằm trong Ω = [0, 1]
u = 0 trên ∂ Ω = [0, 1]

Tương tự các phần trước, ta sẽ tìm nghiệm gần đúng của bài toán trên bằng phương pháp sai
phân hữu hạn.

Chúng ta bắt đầu bởi công thức đơn giản

fxx = ∂2f ≈ 1 [f (x + h, y) − 2f (x, y) + f (x − h, y)]
∂x2 h2

và ∂2f 1
∂y2 h2
fyy = ≈ [f (x, y + h) − 2f (x, y) + f (x, y − h)]

Sử dụng (∗∗), ta có 5 điểm trong phương trình Laplace

∇2u = ∂2u + ∂2u
∂x2 ∂y2

50