การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

SHM

การเคลอ่ื นท่ีแบบฮารม์ อนกิ อยา่ งง่าย

สอนโดย ครปู ิยาภัสร์ ศิริเตชะพฒั น์
สื่อประกอบการสอนรายวิชา ฟิสิกส์ 3 รหสั วิชา ว32203

หลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขึน้ พื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551 (ฉบบั ปรบั ปรงุ 2560)

การเคลือ่ นทแี่ บบฮารม์ อนกิ อย่างงา่ ย
1 ลกั ษณะการเคลือ่ นที่แบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย

2 ปริมาณที่เกีย่ วข้องกบั การเคลื่อนทีแ่ บบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย
3 แรงกบั การส่ันของมวลติดปลายสปริงและลูกต้มุ อยา่ งงา่ ย
4 ความถีธ่ รรมชาติและการส่ันพอ้ ง

1 ลกั ษณะการเคลือ่ นทีแ่ บบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย
(simple harmonic motion : SHM)

เป็นการเคล่ือนที่กลับไปกลับมาซ้ารอยเดิมผ่าน
ต้าแหน่งสมดุล โดยมีขนาดของการกระจัดสูงสุด
(แอมพลิจูด) และคาบของการเคล่ือนท่ีคงตวั

2 ปริมาณทีเ่ กีย่ วขอ้ งกบั การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย

fความถี่ 2 x3
1 การ
Tคาบ กระจัด

4 a5

อตั ราเรว็ ω vความถี่ความเร็ว ความเร่ง

เชิงมุม เชิงมมุ

2 ปริมาณที่เกีย่ วขอ้ งกับการเคลื่อนทีแ่ บบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย

1 ความถี่ (frequency) สญั ลกั ษณ์ f

fความถี่ คือ จานวนรอบในการเคลื่อนที่ 1 วินาที
มีหน่วยเป็น เฮิรตซ์ (Hz)

2 คาบ (period) สัญลกั ษณ์ T

T คาบ คือ เวลาที่ในการเคลือ่ นที่ครบ 1 รอบ
มีหน่วยเป็น วินาที (s)

2 ปริมาณที่เกีย่ วขอ้ งกบั การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย
f+ Tความถี่
คาบ

ความสัมพนั ธ์ของคาบและความถี่

พมิ พส์ มการท่ีน่ี

f = 1
T

2 ปริมาณที่เกีย่ วข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย

ตัวอย่าง 1 ถา้ อนุภาคสนั่ ครบ 40 คร้ัง ใน 50 วินาที จงหาความถี่และคาบการสน่ั ของ

อนภุ าค

วิธีทา ความถี่ f มีค่าเท่ากับจานวนรอบของวตั ถทุ ีเ่ คลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา
4พ0ิมพส์ มการท่ีน่ี
f = 50

f = 0.8 ครงั้ ตอ่ วินาที ตอบ

คาบ T มีค่าเทา่ กบั เวลาทีว่ ตั ถใุ ชใ้ นการเคลือ่ นที่ครบ 1 รอบ
1
T = 0.8

T = 1.25 วินาที ตอบ

2 ปริมาณทีเ่ กี่ยวขอ้ งกับการเคลือ่ นทีแ่ บบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย

x3 การ Asin เงาหมดุ
กระจัด
∅

พิมพส์ มการท ่ีน่ี

- A X = 0 X =Xi A

จากภาพการเคลือ่ นทีข่ องหมดุ เปน็ วงกลมด้วยอัตราเร็วเชงิ มมุ คงตวั เมื่อเวลาใด ๆ แผ่นกลม

หมุนไปเปน็ มุม ของหมดุ มีการเคลื่อนทีจ่ ากตาแหนง่ เริม่ ต้นX = 0 ไปยังยังตาแหนง่ ใด ๆ X =Xi
เงาจะเคลื่อนที่ด้วยความถีเ่ ชงิ มมุ เท่ากับอัตราเรว็ เชิงมมุ ของหมดุ ทาให้เกิดการกระจัดขึ้น X

2 ปริมาณทีเ่ กีย่ วขอ้ งกับการเคลือ่ นทีแ่ บบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย

x3 การ พิมพส์ มการท่ีน่ี
กระจัด

การกระจัดมีคา่ เท่ากับ x=Asin θ

จาก θ= ωt + ∅ จะไดก้ ารกระจัด

X = Asin (ωt+ ∅)

2 ปริมาณที่เกี่ยวขอ้ งกับการเคลื่อนทีแ่ บบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย

note

หน่วยมมุ เฟส

พมิ พส์ มการท่ีน่ี

ในระบบเอสไอ มุมมีหน่วยเป็นเรเดียน (radian) เช่น มุม เรเดียน
มีคา่ เทา่ กับ 180 องศา มุม 2 เรเดียน มีค่าเท่ากบั มมุ 360 องศา

2 ปริมาณที่เกีย่ วข้องกบั การเคลือ่ นทีแ่ บบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย

4 อตั ราเรว็ อตั ราเร็วเชิงมุม (angular speed) จะเกิดขึ้นเมื่อกรณีวตั ถุเคลื่อนที่

ωเชิงมุม เปน็ วงกลมในช่วงเวลา ∆t วตั ถุจะมีการกระจัดเชิงมมุ ∆
หาไดจ้ ากความสัมพนั ธ์
ความถี่
ω= ∆θ = 2π =2πf
เชิงมมุ ∆t T

***ในการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย จะเรียก ω ว่า
ความถี่เชิงมมุ (angular frequency) มีหนว่ ยเปน็ rad/s

2 ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนทีแ่ บบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

5

vความเร็ว

ความเร็วของการเคลือ่ นทีแ่ บบฮารม์ อนิกอยา่ งง่าย หาได้จากความสัมพนั ธ์

v = Aωcos (ωt+ ∅)

2 ปริมาณที่เกีย่ วขอ้ งกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย

aความเร่ง

ความเร่งของการเคลื่อนที่แบบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย หาไดจ้ ากความสัมพันธ์

a= −Aω2sin (ωt+ ∅)

2 ปริมาณที่เกี่ยวขอ้ งกับการเคลือ่ นทีแ่ บบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งความเรง่ และการกระจัดของการเคลือ่ นที่แบบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย

a = - ω2x

ความสมั พันธร์ ะหว่างความเร็วและการกระจดั ของการเคลื่อนทีแ่ บบฮารม์ อนิกอยา่ งง่าย

v = ±ω A2−x2

2 ปริมาณที่เกี่ยวขอ้ งกับการเคลือ่ นทีแ่ บบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย

สรุป

การกระจัด x =พมิ Aพส์ sมกinารท(่ีนω่ี t+ ∅)
ความเรว็ v = Aωcos(ωt+ ∅)
ความเรง่ a = - Aω2(ωt+ ∅)

3 แรงกบั การสน่ั ของมวลติดปลายสปริงและลูกตุ้มอยา่ งงา่ ย

พิมพส์ มการท่ีน่ี

แรงดึงกลับ (restoring force) เป็นแรงทีท่ าให้วัตถุเคลือ่ นที่
กลบั ไปกลบั มาซา้ ทางเดิม

3 แรงกบั การส่นั ของมวลติดปลายสปริงและลูกตุม้ อยา่ งงา่ ย

การสน่ั ของมวลติดปลายสปริง แรงสปริงที่กระทาต่อวัตถุมีขนาด

เท่ากับค่าคงตัวของสปริงคูณกับขนาด

ของการกระจัด แต่มีทิศตรงกันขา้ มกบั ทิศ

พิมพส์ มขกอารงทก่ีนา่ี รกระจัดตามสมการ

Fspring = -kx

การส่ันของมวลตดิ ปลายสปรงิ Fspring เป็นแรงดึงกลบั ของสปริง มีหน่วยเป็น นิวตัน (N)
x เปน็ การกระจัดของวัตถุ มหี น่วยเป็นเมตร (m)
k เป็นคา่ คงตวั ของสปริง มหี น่วยเปน็ นวิ ตันตอ่ เมตร (N/m)

3 แรงกับการส่ันของมวลติดปลายสปริงและลกู ตุ้มอย่างง่าย

การสน่ั ของมวลติดปลายสปริง ความถี่เชิงมุม คาบ และความถี่

ของการส่ันของมวลติดปลายสปริง (k)

มวลของวตั ถุ (m) ตามสมการ

พมิ พส์ มการท่ีน่ี k
m
ω=

T = 2π m
k

การส่ันของมวลตดิ ปลายสปรงิ F = 1 k
2π m

3 แรงกบั การสัน่ ของมวลติดปลายสปริงและลูกตุ้มอยา่ งงา่ ย

การแกวง่ ของลูกตุม้ อย่างง่าย

พิมพส์ มการท่ีน่ี

การแกว่งของลกู ตุ้มอยา่ งง่าย

3 แรงกบั การส่ันของมวลติดปลายสปริงและลูกตุ้มอยา่ งงา่ ย

การแกวง่ ของลกู ตมุ้ อยา่ งงา่ ย

แ ร ง ดึ ง ก ลั บ ที่ ก ร ะ ท า ใ ห้ ลู ก ตุ้ ม
พิมพส์ เมคกลารือ่ ทน่ีน่ีที่กลบั ไปกลับมา ตามสมการ

F = - mg sin θ

ถ้ามุม θ มีค่าน้อยมาก ๆ คิดเป็นมุม
s
ในหน่วยเรเดียน sin θ~ θ โดย θ = l

แผนภาพแรงที่ประทาต่อลกู ตุม้ มวล m F = - mg θ

3 แรงกับการสัน่ ของมวลติดปลายสปริงและลูกตุม้ อย่างง่าย

การแกวง่ ของลกู ตุ้มอย่างงา่ ย ความถี่เชิงมุม คาบ และความถี่ ของ

การ ตามสมการแกวง่ ของลกู ตุ้มอยา่ งง่าย

สมั พนั ธ์กบั ความยาวเชือก ตามสมการ

พมิ พส์ มการท่ีน่ี ω= g
l

T = 2π l
g

F = 1 g
2π l
แผนภาพแรงที่ประทาต่อลูกตุม้ มวล m

4 ความถีธ่ รรมชาติและการสน่ั พอ้ ง

ความถี่ธรรมชาติ

ค ว า ม ถี่ ธ ร ร ม ช า ติ
พมิ พส์ มก(าnรทa่ีนt่ี ural frequency) คือ

ความถี่ในการสั่นของวัตถุหรือ
ระบบที่มีแนวโนม้ ทีจ่ ะสนั่ เมื่อถูก
ร บ ก ว น ซึ่ ง ขึ้ น อ ยู่ กั บ
ลักษณะเฉพาะของแตล่ ะระบบ

4 ความถี่ธรรมชาติและการสน่ั พ้อง

การส่ันพอ้ ง

การส่ันพ้อง (resonance) เกิดขึน้ เมื่อวัตถุถูกกระตุ้นต่อเนื่อง
ให้สั่นอย่างอิสระด้วยแรงหพรมิ พือส์ พมกลารัทง่ีนง่ี านที่มีความถี่ใกล้เคียงกับ
ความถี่ธรรมชาติ วัตถุน้ันจะสั่นด้วยความถี่ธรรมชาติและสั่นด้วย
แอมพลิจูดทีม่ ีคา่ มาก

4 ความถีธ่ รรมชาติและการส่ันพ้อง

การประยกุ ตใ์ ชค้ วามรู้ การสั่นพ้องของสะพาน

พมิ พส์ มการท่ีน่ี

สะพานทาโคมานารโ์ รว์