11.3 三角函数的积分法 【sin x, cos x 的偶次幂及奇次幂的积分法】 常用的三角公式： sin cos 1 2 2 x x 2 1 cos 2 sin2 x x ， 2 1 cos 2 cos2 x x 2 cos 2 2 1 x 2 cos 2 2 1 x sin 2x 2sin xcos x 例：求 x dx 2 sin 。 解： x dx 2 sin dx x 2 cos 2 2 1 dx x dx 2 cos 2 2 1 dx cos 2x 2dx 4 1 2 1 cos 2 (2 ) 4 1 2 1 dx xd x x sin 2x C 4 1 2 1 例：求 x dx 3 sin 。 解一： x dx 3 sin sin x sin x dx 2 (1 cos x)sin x dx 2 (sin x cos x sin x)dx 2 (sin x cos x sin x)dx 2 sin x dx cos xsin xdx 2 sin cos (cos ) 2 x dx x d x C x x 3 cos cos 3 x C x cos 3 cos3 解二： x dx 3 sin sin x sin x dx 2 (1 cos ) (cos ) 2 x d x (cos 1) (cos ) 2 x d x x C x cos 3 cos 3 例：求 x dx 4 sin 。 解： x dx 4 sin dx x 2 2 1 cos 2 dx x x 4 1 2cos 2 cos 2 2 x cos 2x dx 4 1 cos 2 2 1 4 1 2 dx x x 2 1 cos 4 4 1 cos 2 2 1 4 1 x cos 4x dx 8 1 8 1 cos 2 2 1 4 1 x cos 4x dx 8 1 cos 2 2 1 8 3 dx xdx cos 4xdx 8 1 cos 2 2 1 8 3 cos 4 (4 ) 32 1 cos 2 (2 ) 4 1 8 3 dx x d x x d x x x sin 4x C 32 1 sin 2 4 1 8 3 例：求 sin x cos x dx 2 。 解： sin x cos x dx 2 sin (sin ) 2 x d x C x 3 sin3 例：求 x x dx 4 3 sin cos 。 解： x x dx 4 3 sin cos sin x cos x cos x dx 4 2 sin x(1sin x)cos x dx 4 2 (sin sin ) (sin ) 4 6 x x d x C x x 7 sin 5 sin5 7
【情况一】 sin x cos x (基本积分公式) x 3 sin x 3 cos x 5 sin x 5 cos x 7 sin x 7 cos x n sin x n cos 即若 n 为大于 1 的奇数，则提出一个 sin x 或 cos x， 而留下的 x n 1 sin 或 x n 1 cos ，其次数 n1 必为偶数， 必须利用三角函数的平方关系式 sin cos 1 2 2 x x 来代换。 【情况二】 x 2 sin x 2 cos x 4 sin x 4 cos x 6 sin x 6 cos x n sin x n cos 即若 n 为偶数，则必须利用三角函数余弦的倍角公式 2 cos 2 2 1 sin2 x x 或 2 cos 2 2 1 cos 2 x x 来代换。 【情况三】 sin x cos x 2 cos xsin x 2 x x 4 3 sin cos x x 4 3 cos sin x x 6 5 sin cos x x 6 5 cos sin x x m n sin cos x x m n cos sin 即若 m 为偶数，n 为奇数， 则由 x n cos 或 x n sin 提出一个 cos x 或 sin x， 而留下的 x n 1 cos 或 x n 1 sin ，其次数 n1(n 为大于 1 的奇数)必为偶数， 必须利用三角函数的平方关系式 sin cos 1 2 2 x x 来代换。
【情况四】 sin xcos x (可利用三角函数正弦的倍角公式 sin2x=2sinxcosx 来代换) x x 3 sin cos x x 3 cos sin x x 5 sin cos x x 5 cos sin x x 7 sin cos x x 7 cos sin x x n sin cos x x n cos sin x x 3 3 sin cos x x 3 5 sin cos x x 3 5 cos sin x x 3 7 sin cos x x 3 7 cos sin x x m n sin cos x x m n cos sin 即若 m 、n 均为奇数且无论 m =n 或 m n，则 (一)对于 x x m n sin cos ， 由 x m sin 提出一个 sin x， 而留下的 x m 1 sin ，其次数 m1(m 为大于 1 的奇数)必为偶数， 必须利用三角函数的平方本关系式 sin cos 1 2 2 x x 来代换。 《或》 由 x n cos 提出一个 cos x， 而留下的 x n 1 cos ，其次数 n1(n 为大于 1 的奇数)必为偶数， 必须利用三角函数的平方关系式 sin cos 1 2 2 x x 来代换。 (二)对于 x x m n cos sin ， 由 x m cos 提出一个 cos x， 而留下的 x m 1 cos ，其次数 m1(m 为大于 1 的奇数)必为偶数， 必须利用三角函数的平方关系式 sin cos 1 2 2 x x 来代换。 《或》 由 x n sin 提出一个 sin x， 而留下的 x n 1 sin ，其次数 n1(n 为大于 1 的奇数)必为偶数， 必须利用三角函数的平方关系式 sin cos 1 2 2 x x 来代换。
【情况五】 x x 2 2 sin cos x x 2 4 sin cos x x 2 4 cos sin x x 4 4 sin cos x x m n sin cos x x m n cos sin 即若 m 、n 均为偶数， (一)当 m =n 时，则 先利用三角函数正弦的倍角公式 sin 2x 2sin xcos x 来代换； 再利用三角函数余弦的倍角公式 2 cos 2 2 1 sin2 x x 来作下一步代换。 (二)当 m n 且 m <n 时，则 对于 x x m n sin cos ， 由 x x m n sin cos 提出 x x m m sin cos ，先利用三角函数正弦的倍角公式 sin 2x 2sin xcos x 来代换； 而留下的 x nm cos ，其次数 nm 必为偶数，再利用三角函数余弦的倍角公式 2 cos 2 2 1 cos 2 x x 来作下一步代换。 《或》 对于 x x m n cos sin ， 由 x x m n cos sin 提出 x x m m cos sin ，先利用三角函数正弦的倍角公式 sin 2x 2sin xcos x 来代换； 而留下的 x nm sin ，其次数 nm 必为偶数，再利用三角函数余弦的倍角公式 2 cos 2 2 1 sin2 x x 来作下一步代换。
【 tan x , sec x 的高次幂积分法】 常用的三角公式： tan sec 1 2 2 x x cot cos 1 2 2 x ec x 《注》 cot x , cos ecx 的高次幂积分法类似于 tan x , sec x 的高次幂积分法。 例：求 x x dx 4 tan sec 。 解一： x x dx 4 tan sec x x x dx 2 2 tan sec sec x x xdx 2 2 tan 1 tan sec (tan tan ) (tan ) 3 x x d x C x x 4 tan 2 tan2 4 解二： x x dx 4 tan sec sec x sec x tan x dx 3 sec (sec ) 3 x d x C x 4 sec4 例：求 x dx 4 tan 。 解： x dx 4 tan x xdx 2 2 tan tan tan x sec x 1 dx 2 2 x x x dx 2 2 2 tan sec tan tan xsec x sec x 1 dx 2 2 2 x x dx x dx dx 2 2 2 tan sec sec x d x x dx dx 2 2 tan (tan ) sec x x C x tan 3 tan3 例：求 x dx 4 sec 。 解： x dx 4 sec x xdx 2 2 sec sec x xdx 2 2 1 tan sec 1 tan (tan ) 2 x d x C x x 3 tan tan 3 例：求 x ec x dx 4 cot cos 。 解一： x ec x dx 4 cot cos x ec x ec x dx 2 2 cot cos cos x x ec xdx 2 2 cot 1 cot cos (cot cot ) (cot ) 3 x x d x C x x 4 cot 2 cot 2 4 x x C 2 4 cot 4 1 cot 2 1 解二： x ec x dx 4 cot cos cos ec x cos ecx cot x dx 3 cos (cos ) 3 ec x d ecx C ec x 4 cos 4 例：求 x dx 3 cot 。 解： x dx 3 cot x xdx 2 cot cot cot x cos ec x 1 dx 2 cot x cos ec x cot x dx 2 cot x cos ec x dx cot x dx 2 dx x x x d x sin cos cot (cot ) (sin ) sin 1 cot (cot ) d x x x d x x C x ln |sin | 2 cot2 C x x | sin 1 ln | 2 cot2 ecx C x ln | cos | 2 cot2
【情况一】 tan x (可利用三角函数的商数关系 x x x cos sin tan 来代换) sec x x 3 tan x 3 sec x 5 tan x 5 sec x 7 tan x 7 sec x n tan x n sec 即若 n 为大于 1 奇数，则提出 一个 tan2 x， (不在本节讨论范围内) 并利用三角函数的平方关系式 tan sec 1 2 2 x x 来代换。 【情况二】 x 2 tan (可利用三角函数的平方关系式 tan2 x=sec2 x1 来代换。) x 2 sec (基本积分公式) x 4 tan x 4 sec x 6 tan x 6 sec x n tan x n sec 即若 n 为大于 2 的偶数，则提出一个 tan2 x， 即若 n 为大于 2 的偶数，则提出一个 sec2 x， 并利用三角函数的平方关系式 并利用三角函数的平方关系式 tan sec 1 2 2 x x 来代换。 x x 2 2 sec 1 tan 来代换。 【情况三】 x x 2 tan sec x x 4 tan sec x x 6 tan sec x x 2 2 tan sec x x 2 4 tan sec x x 2 8 tan sec x x 3 2 tan sec x x 3 4 tan sec x x 3 10 tan sec x x m 2 tan sec x x m 4 tan sec x x m n tan sec 即若 m 为奇数或偶数，而 n 为偶数， (一)对于 m 为奇数或偶数，且 n 为偶数，则由 secn x 提出一个 sec2 x， 而留下的 secn2 x，其次数 n2(n 为大于 2 的偶数)必为偶数， 必须利用三角函数的平方关系式 x x 2 2 sec 1 tan 来代换。 (二)对于 m 为奇数且 n 为偶数，则由 secn x 提出一个 sec x 及 由 tanm x 提出一个 tan x，而留下的 tanm1 x， 其次数 m1(m 为大于 1 的奇数)必为偶数， 必须利用三角函数的平方关系式 tan sec 1 2 2 x x 来代换。 【情况四】 sec x tan x (基本积分公式) x x 3 sec tan x x 3 3 sec tan x x 5 3 sec tan x x 5 sec tan x x 3 5 sec tan x x 7 5 sec tan x x n sec tan x x n sec tan 3 x x m n sec tan 即若 m 、n 均为奇数且无论 m =n 或 m n， 则由 secm x 提出一个 sec x 及由 tann x 提出一个 tan x， 而留下的 tann1 x，其次数 n1(n 为大于 1 的奇数)必为偶数， 必须利用三角函数的平方关系式 tan sec 1 2 2 x x 来代换。
【利用积化和、差的变换公式求积分】 积化和、差的变换公式： 2sin cos sin sin 2cos sin sin sin 2cos cos cos cos 2sin sin cos cos 例：求 sin 2x cos3x dx。 解： sin 2x cos3x dx 2cos3xsin 2x dx 2 1 sin 3x 2x sin 3x 2x dx 2 1 sin 5x sin x dx 2 1 x dx sin x dx 2 1 sin 5 2 1 x dx sin x dx 2 1 sin 5 5 10 1 x d x sin x dx 2 1 sin 5 5 10 1 x cos x C 2 1 cos5 10 1 例：求 sin 2xsin3x dx。 解： sin 2xsin 3x dx (2sin 3xsin 2x) dx 2 1 cos 3x 2x cos 3x 2x dx 2 1 cos5x cos x dx 2 1 x dx cos x dx 2 1 cos5 2 1 x dx cos x dx 2 1 cos5 5 10 1 x d x cos x dx 2 1 cos5 5 10 1 x sin x C 2 1 sin 5 10 1
【含 sin x、cosx 的有理函数积分法】 利用万能公式换元，可以求含 sin x、cos x 的有理函数的不定积分： 令 2 tan x t ，则 2 1 2 tan t t x ， 2 1 2 sin t t x ， 2 2 1 1 cos t t x 此时， x t 1 2tan ，则 dt t dx 2 1 2 。 例：求 dx 3 5cos x 1 。 解：令 2 tan x t ，则 2 2 1 1 cos t t x ， 此时， x t 1 2tan ， dt t dx 2 1 2 。 dx 3 5cos x 1 dt t t t 2 2 2 1 2 1 1 3 5 1 dt t t 2 2 3(1 ) 5 1 2 dt 8t 2 2 2 dt 4t 1 1 2 dt 2t 1 2t 1 1 设 2 12 1 2 1 2 1 1 t B t A t t 则 1 A(2t 1) B(2t 1) 令 2 1 t ，得 1 2A 2 1 A 令 2 1 t ，得 1 2B 2 1 B 原式 dt t 2 2t 1 1 2 2 1 1 dt t dt t 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 (2 1) 2 1 1 4 1 2 1 2 1 1 4 1 d t t d t t t ln 2t 1 C 4 1 ln 2 1 4 1 C t t 2 1 2 1 ln 4 1 C x x 1 2 2 tan 1 2 2 tan ln 4 1
5 25 2 x x 2 4 x 2 x 【含 2 2 a x 、 2 2 a x 、 2 2 x a 的无理函数积分法】 当被积函数含有 2 2 a x 、 2 2 a x 、 2 2 x a 时，可分别作变量代换 x asin 、 x a tan 、 x asec ，把不定积分化为三角函数的不定积分， 求出结果后再代回原变量。 例：求 dx x x 2 2 4 。 解：令 x 2sin ，则 dx 2cos d dx x x 2 2 4 2cos d 4 4sin 4sin 2 2 d 2 2 4cos 4sin 2cos d 2cos 4sin 2cos 2 d 2 2 2sin 2 1 cos 2 d 2 d 2 cos 2 d 2 d cos 2 d 2 2 sin 2 C 2 2sin cos C C x x x 2 4 2 2 2 2sin 2 1 C x x x 2 4 2 2sin 2 1 例：求 dx x 25 1 2 。 解：令 x 5sec ，则 dx 5sec tan d dx x 25 1 2 5sec tan d 25sec 25 1 2 5sec tan d 25tan 1 2 d 5tan 5sec tan sec d d sec tan sec sec tan d sec tan sec sec tan 2 sec tan sec tan 1 d 1 ln sec tan C
3 2x 2 9 4x 1 2 5 25 5 ln C x x 1 2 5 25 ln C x x 1 2 ln x x 25 ln 5 C ln x x 25 C 2 ( ln 5 ) C C1 例：求 dx x 2 9 4 1 。 解：令 tan 23 2 x 3tan x ，则 dx d 2 sec 23 dx x 2 9 4 1 d 2 2 sec 23 9 9tan 1 d 2 2 9sec 3sec 21 d 3sec 3sec 21 2 sec d 21 d sec tan sec sec tan 21 d sec tan sec sec tan 21 2 sec tan sec tan 1 21 d 1 ln sec tan 21 C 1 2 32 3 9 4 ln 21 C x x 1 2 3 2 9 4 ln 21 C x x 1 2 ln 2 9 4 ln 3 21 x x C 1 2 ln 3 21 ln 2 9 4 21 x x C x x C 2 ln 2 9 4 21 ln 3) 21 ( C C1
11.4 分部积分法 当 u、v 为可导函数时，它们的积的导数为 dx dv u dx du uv v dx d 移项，得 dx du uv v dx d dx dv u 两边积分得 dx dx du uv dx v dx d dx dx dv u 即 udv uv vdu 这个公式叫做分部积分公式。 如果不定积分 udv 不易直接计算，而不定积分 vdu 却容易计算， 那么就可以通过分部积分公式来转化积分的形式。用这个公式求不定积分的方法叫做分部积分法。 《注》在实际应用分部积分法时，被积函数的哪一部分应视为 u，哪一部分应视 为 dv，需经过一番练习后才能掌握到适当选取 u 和 dv 的技巧。 例：求 xsin x dx。 解：令 u x, dv sin xdx ； 则 du dx, v cos x xsin x dx x(cos x) (cos x)dx x cos x cos xdx xcos x sin x C 例：求 xe dx x 。 解：令 u x dv e dx x , ； 则 x du dx, v e xe dx x xe e dx x x xe e C x x x e C x ( 1) 例：求 x cos 2x dx 。 解：令 u x, dv cos 2xdx ； cos 2 (2 ) 2 1 xd x 则 du dx v sin 2x 2 1 , x cos 2x dx x x sin 2xdx 2 1 sin 2 2 1 x x sin 2x d2x 4 1 sin 2 2 1 x x cos 2x C 4 1 sin 2 2 1
例：求 ln x dx 。 解：令 u ln x , dv dx ； 则 dx v x x du , 1 ln x dx dx x x x x 1 ln x ln x dx xln x x C ( x 1 )ln x C 例：求 x ln x dx 2 。 解：令 u x dv x dx 2 ln , ； 则 3 , 1 3 x dx v x du x ln x dx 2 dx x x x x 1 3 ln 33 3 x x dx x 2 3 31 ln 3 C x x x 3 3 1 ln 33 3 C x x x 9 ln 33 3 例： x x dx 2 tan 解：令 u x dv x dx 2 , tan ； (sec x 1) dx 2 则 du dx, v tan x x x x dx 2 tan x x x x x dx (tan ) (tan ) x(tan x x ) tan xdx x dx dx x dx xx x x x cos sin (tan ) d x x dx x x x x (cos ) cos1 (tan ) C x x x x x 2 (tan ) ln | cos | 2 C x x x x x 2 tan ln | cos | 2 2 x x x x C 2 21 tan ln | cos |解 二 ： x tan x dx x sec x 1 dx 2 2 = ( xsec x x )dx 2 = x xdx xdx 2 sec 对于 x xdx 2 sec ， 令 u x dv x dx 2 , sec ； 则 du dx , v tan x ∴ x x dx 2 tan x tan x tan xdx xdx dx x dx xx x x cos sin tan d x x dx x x x (cos ) cos1 tan x x x x C 2 21 tan ln | cos |
例：求 x dx 1 tan 。 解：令 u x dv dx tan , 1 ； 则 dx v x x du , 1 1 2 x dx 1 tan dx x x x x 2 1 1 1 tan xdx x x x 2 1 1 2 1 tan 2 1 (1 ) 1 1 2 1 tan 2 2 1 d x x x x x x x C ln(1 ) 2 1 tan 1 2 x x x C 1 2 tan ln 1 例：求 x x dx 1 sin 。 解：令 u x dv xdx sin , 1 , 则 2 , 1 1 2 2 x dx v x du 。 x x dx 1 sin dx x x x x 2 2 1 2 1 1 2 sin 2 dx x x x x 2 2 1 2 2 1 1 sin 2 对于 dx x x 2 2 1 令 x sin ，则 dx cos d ∴ x x dx 1 sin x d x cos 1 sin sin 2 1 sin 2 2 2 1 2 x d x 2 2 1 2 cos sin cos 2 1 sin 2 x d x cos sin cos 2 1 sin 2 2 1 2 x d x 1 2 2 2sin 4 1 sin 2 x d x (1 cos 2 ) 4 1 sin 2 1 2 x d d x cos 2 4 1 4 1 sin 2 1 2 cos 2 (2 ) 8 1 4 1 sin 2 1 2 x d d x x C x sin 2 8 1 4 1 sin 2 1 2 x C x 2sin cos 8 1 4 1 sin 2 1 2 例：求 x x dx 1 tan 。 解：令 u x dv xdx tan , 1 , 则 2 , 1 1 2 2 x dx v x du 。 x x dx 1 tan dx x x x x 2 2 1 2 1 1 2 tan 2 dx x x x x 2 2 2 1 2 1 1 tan 2 1 dx x x x x 2 2 2 1 1 1 1 2 1 tan 2 1 dx x x x 2 2 1 1 1 1 2 1 tan 2 1 x x x xC 2 1 1 tan 2 1 tan 2 1 x x x x C 2 1 1 tan 2 1 2 1 tan 2 1 x x x C 2 1 tan 2 1 2 1 2 1 x x x C 2 1 1 tan 2 1 2 1
2 1 x 1 x x C x sin cos 4 1 4 1 sin 2 1 2 x x x x C x 1 1 2 2 1 4 1 sin 4 1 sin 2 x x x C x 1 2 2 1 4 1 sin 4 1 2 x x x x C 2 1 2 1 4 1 2 1 sin 4 1 【连续应用分部积分公式求积分】 例：求 x sin x dx 2 。 解：令 u x , dv sin xdx 2 ； 则 du 2xdx, v cos x x sin x dx 2 x cos x (cos x) 2xdx 2 x cos x 2 x cos x dx 2 对于 x cos xdx， 令 u x, dv cos xdx ； 则 du dx, v sin x x sin x dx 2 cos 2( sin sin ) 2 x x x x xdx x cos x 2xsin x 2 sin xdx 2 x cos x 2xsin x 2cos x C 2 (2 x )cos x 2xsin x C 2 例：求 e dx x 。 解：令 x t 2 x t ，则 dx 2t dt e dx e t dt x t 2 te dt t 2 对于 te dt t 令 u t dv e dt t , ； 则 t du dt, v e ∴ e dx x te e dt t t 2 te e dt t t 2 2 te e C t t 2 2 t e C t 2( 1) x e C x 2( 1) 例：求 sin x dx 。 解：令 x t 2 x t ，则 dx 2t dt sin x dx = sint 2t dt 2 tsint dt 对于 t t dt sin 令 u t, dv sint dt ； 则 du dt, v cost ∴ sin x dx 2( cos cos ) t t t dt 2t cost 2 cost dt 2t cost 2sint C 2sin x x cos x C 例：求 x e dx 2 x 。 解：令 u x dv e dx x , 2 ； 则 x du 2xdx, v e x e dx 2 x x e e xdx x x 2 2 x e xe dx x x 2 2 对于 xe dx x ， 令 u x dv e dx x , ； 则 x du dx, v e x e dx 2 x x e xe e dx x x x 2 2 x e xe e dx x x x 2 2 2 x e xe e C x x x 2 2 2 x x e C x ( 2 2) 2
例：求 x x dx 5 2 sin 。 解：令 2 t x ，则 dt 2xdx x x dx 5 2 sin = x sin x 2xdx 2 1 4 2 t t dt sin 2 1 2 对于 t t dt sin 2 ，令 u t , dv sin t dt 2 ； 则 du 2t dt, v cost x x dx 5 2 sin t t t t dt cos cos 2 2 1 2 t t t t dt cos cos 2 1 2 对于 t costdx ，令 u t, dv costdx ； 则 du dt, v sint x x dx 5 2 sin t cost tsin t sin t dt 2 1 2 t cost tsin t cost C 2 1 2 t t t t C cos sin 2 1 1 2 (2 t )cost tsin t C 2 1 2 x x x x C 4 2 2 2 2 cos sin 2 1 【反复使用分部积分公式后又回到原来所求的积分】 例：求 e x dx x sin 。 解：令 u e dv xdx x , sin ； 则 du e dx v x x , cos e x dx x sin e x x e dx x x cos cos e x e xdx x x cos cos 对于 e xdx x cos ， 令 u e dv xdx x , cos ； 则 du e dx v x x , sin e x dx x sin e x x cos e x e xdx x x sin sin e x dx x 2 sin e x x cos e x x sin 即 e x dx e x e x C x x x cos 2 1 sin 2 1 sin e x x C x (sin cos ) 2 1 例：求 xdx 3 sec 。 解：令 u x dv xdx 2 sec , sec ； 则 du sec x tan xdx, v tan x xdx 3 sec sec x tan x tan xsec xdx 2 sec x tan x sec x 1 sec xdx 2 sec x tan x sec x sec x dx 3 sec x tan x sec xdx sec xdx 3 ∴ x dx 3 2 sec sec x tan x sec xdx 即 xdx 3 sec x x sec xdx 2 1 sec tan 2 1 2 1 sec tan 2 1 x x dx x x x x x sec tan sec sec tan 2 1 sec tan 2 1 x x dx x x x x x sec tan sec sec tan 2 2 1 sec tan 2 1 x x d x x x x sec tan sec tan 1 2 1 sec tan 2 1 x x ln sec x tan x C