คณิตศาสตร์ ม. 5 นาย ณัช ณั พล พงษ์ก่อสร้า ร้ ง เลขที่10
บทที่ 1 เรื่อ รื่ ง เลขยกกำ ลัง เลขยกกำ ลังเป็น ป็ เรื่อ รื่ งที่นัก นั เรีย รี นได้ศึ ด้ ศึ กษาบ้า บ้ งแล้วใน ระดับ ดั มัธ มั ยมศึกษาตอนต้น ซึ่ง ซึ่ อยู่ใยู่ นรูป รู แบบเลขยก กำ ลังที่มีเ มี ลขชี้กำ ชี้ กำ ลังเป็น ป็ จำ นวนเต็ม 1. เลขยกกำ ลัง คืออะไร ? เลขยกกำ ลัง คือ การเขีย ขี นตัวเลขที่มีก มี ารคูณ คู ซ้ำ หลาย ๆครั้งใ รั้ นรูป แบบย่อ ย่ ให้มี ห้ ค มี วามยาวที่สั้น สั้ ลงทำ ให้ส ห้ ามารถอ่านได้เข้า ข้ใจได้ง่ายกว่า ว่ การเขีย ขี นจำ นวนมากและทำ ให้ก ห้ ารคำ นวณทางคณิตศาสตร์ง่ ร์ ง่ ายขึ้น ขึ้ ในบางรูปแบบโดยการเขีย ขี น เลขยกกำ ลัง จะมีส่ มี ว ส่ นประกอบทั้งห ทั้ มด 2 ส่ว ส่ น คือ ฐานของเลขยกกำ ลัง เลขชี้กำ ชี้ กำ ลัง 1 เลขยกกำ ลัง คืออะไร
อย่า ย่ งที่กล่าวไปข้า ข้ งต้นแล้วว่า ว่ เลขยกกำ ลังจะประกอบไป ด้ว ด้ ยส่ว ส่ นประกอบหลักทั้ง ทั้ หมด 2 ส่ว ส่ น คือ ฐานของเลขยกกำ ลัง (a) เลขชี้กำ ชี้ กำ ลัง (n) โดยเราจะเขีย ขี นเลขยกกำ ลังให้อ ห้ ยู่ใยู่ นรูป รู an กล่าวคือ ในกรณีที่เราต้องเขีย ขี นผลคูณ คู ของจำ นวนที่ซ้ำ กันหลายๆครั้ง รั้ เช่น ช่ 2 x 2 x 2 เราสามารถเขีย ขี นให้อ ห้ ยู่ใยู่ น รูป รู ของเลขยกกำ ลังได้เ ด้ป็น ป็ 23 โดยฐานของเลขยกกำ ลัง คือค่าของตัวเลขที่ซ้ำ กัน และเลขชี้กำ ชี้ กำ ลังคือจำ นวนที่ซ้ำ กันของตัวเลขนั้น นั้ เขียนได้เลย 2. ส่ว ส่ นประกอบของเลขยกกำ ลัง
1) am x an = am + n (ถ้า เลขยกกำ ลังฐานเหมือ มื นกันคูณ คู กัน ให้นำ ห้ นำเลขชี้กำ ชี้ กำ ลังมาบวกกัน) 2) (am)n = amn (นำ เลขชี้กำ ชี้ กำ ลัง n ไปคูณ คู กับ m ) 3) (a x b)n = an x bn (นำ เลขชี้กำ ชี้ กำ ลัง n ไปยกกำ ลังทุก ทุ ตัวใน วงเล็บ) สูต สู รของเลขยกกำ ลัง
สมบัติ บั ติ ของเลขยกกำ ลัง คือ กระบวนการใน การจัด จั รูปของเลขยกกำ ลังให้อ ห้ ยู่ใยู่ นรูปที่ ต่างออกไป เพื่อ พื่ ที่จะทำ ให้ส ห้ ามารถทำ ความ เข้า ข้ใจได้ง่ ด้ ง่ ายขึ้น ขึ้ หรือ รื สั้น สั้ ลงกว่า ว่ เดิม โดยมี สมบัติ บั ติ ของเลขยกกำ ลัง โดยสรุปจะมี ทั้ง ทั้ หมด 7 ข้อ ข้ แต่ในบางหนังสือ สื จะมีจำ มี จำนวน มากกว่า ว่ 7 ข้อ ข้ เนื่องจากมีก มี ารประยุกต์ใช้ ในรูปแบบต่างๆเพิ่ม พิ่ เติมได้อีกแต่ในที่นี้จะ ขอสรุปเฉพาะข้อ ข้ ที่มีค มี วามสำ คัญเพื่อ พื่ ให้ไห้ ม่ เกิดความสับ สั สน เขียนได้เลย 3. สมบัติ บั ติ ของเลขยกกำ ลัง
ถ้า a , b เป็น ป็ จำ นวนจริงริใด ๆ และ m , n เป็น ป็ จำ นวนเต็มบวก 1) การคูณ คู เลขยกกำ ลัง ถ้าเลขยกกำ ลังมีฐ มี านเหมือ มื นกัน เมื่อ มื่ คูณ คู กัน ให้นำ ห้ นำเลขชี้กำ ชี้ กำ ลังของตัวคูณ คู แต่ละตัวมาบวกกัน โดย ใช้ฐ ช้ านตัวเดิมดินั่น นั่ คือ a a = a เช่น ช่ 2 2 = 2 =2 2) การหารเลขยกกำ ลัง ถ้าเลขยกกำ ลังมีฐ มี านเหมือ มื นกัน เมื่อ มื่ หารกัน ให้นำ ห้ นำเลขชี้กำ ชี้ กำ ลังของตัวหารไปลบเลขชี้กำ ชี้ กำ ลังของ ตัวตั้ง ตั้ โดยใช้ฐ ช้ านตัวเดิมดินั่น นั่ คือ a a = a เช่น ช่ 3 3 = 3 = 3 3) เลขยกกำ ลังซ้อ ซ้ น ให้นำ ห้ นำเลขชี้กำ ชี้ กำ ลังมาคูณ คู กัน นั่น นั่ คือ (a ) = a เช่น ช่ (3 ) = 3 สมบัติ บั ติ ของเลขยกกำ ลัง
4) เลขยกกำ ลังของผลคูณ คู สามารถกระจายเป็นผลคูณ คู ของเลขยกกำ ลังแต่ละตัว เมื่อ มื่ มีฐ มี านคงเดิมดินั่น นั่ คือ (ab) = a b เช่น ช่ (3p) = 3 p 5) เลขยกกำ ลังของผลหาร สามารถกระจายเป็นผลหารของ เลขยกกำ ลังแต่ละตัว เมื่อ มื่ มีฐ มี านคงเดิมดินั่น นั่ คือ = เช่น ช่ = 6) เลขยกกำ ลังที่มีเ มี ลขชี้กำ ชี้ กำ ลังเป็นจำ นวนลบ สามารถเขีย ขี น ให้เ ห้ป็น ป็ ส่ว ส่ นกลับของ เลขยกกำ ลังที่มีเ มี ลขชี้กำ ชี้ กำ ลังเป็นจำ นวนบวกได้ นั่น นั่ คือ a = เช่น ช่ x = 7) เลขยกกำ ลังที่มีเ มี ลขชี้กำ ชี้ กำ ลังเป็นศูนย์(ย์0) เลขยกกำ ลังที่มี เลขชี้กำ ชี้ กำ ลังเป็นศูนย์ (0) มีค่ มี ค่ าเท่ากับ 1 เสมอ นั่น นั่ คือ a = 1 เมื่อ มื่ a 0 เช่น ช่ 5 = 1
เขียนได้เลย ฟัง ฟั ชั่น ชั่ คู่อั คู่ อั นดับ ดั (Order Pair) เป็น ป็ การจับ จั คู่สิ่ คู่ งสิ่ของโดย ถือลำ ดับ ดั เป็น ป็ สำ คัญ เช่น ช่ คู่อั คู่ อั นดับ ดั a, b จะเขีย ขี นแทน ด้ว ด้ ย (a, b) เรีย รี ก a ว่า ว่ เป็น ป็ สมาชิกชิตัวหน้า น้ และเรีย รี ก b ว่า ว่ เป็น ป็ สมาชิกชิตัวหลัง (การเท่ากับของคู่อั คู่ อั นดับ ดั ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ มื่ a = c และ b = d
ผลคูณ คู คาร์ที ร์ ที เชีย ชี น (Cartesian Product) ผลคูณ คู คาร์ที ร์ ที เซีย ซี นของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อั คู่ อั นดับ ดั (a, b) ทั้ง ทั้ หมด โดยที่ a เป็น ป็ สมาชิกชิของเซต A และ b เป็น ป็ สมาชิกชิของเซต B สัญ สั ลักษณ์ ผลคูณ คู คาร์ที ร์ ที เซีย ซี นของเซต A และเซต B เขีย ขี นแทนด้ว ด้ ย A x B หรือ รื เขีย ขี นในรูป รู เซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่ ด้ า ว่ ต่อ
ความสัม สั พัน พั ธ์ (Relation) r เป็น ป็ ความสัม สั พัน พั ธ์จ ธ์ าก A ไป B ก็ต่อเมื่อ มื่ r เป็น ป็ สับ สั เซตของ A x B โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัพิย สั ) (Range) 1 โดเมน (Domain) ของความสัม สั พัน พั ธ์r ธ์ คือ เซตที่มีส มี มาชิกชิตัวหน้า น้ ของ ทุก ทุ คู่อั คู่ อั นดับ ดั ในความสัม สั พัน พั ธ์ r ใช้สั ช้ ญ สั ลักษณ์แ ณ์ ทนด้ว ด้ ย Dr ดัง ดั นั้น นั้ Dr = {x | (x, y) ε r} 2 เรนจ์ (Range) ของความสัม สั พัน พั ธ์ r คือ เซตที่มีส มี มาชิกชิตัวหลังของ ทุก ทุ คู่อั คู่ อั นดับ ดั ในความสัม สั พัน พั ธ์ r ใช้สั ช้ ญ สั ลักษณ์แ ณ์ ทนด้ว ด้ ย R rดัง ดั นั้น นั้ Rr = {y | (x, y) ε r} ความสัม สั พัน พั ธ์
ฟัง ฟั ก์ชัน ชั คือ ความสัม สั พัน พั ธ์ซึ่ ธ์ ซึ่ ง ซึ่ในสองคู่อั คู่ อั นดับ ดั ใดๆ ของ ความสัม สั พัน พั ธ์นั้ ธ์ น นั้ ถ้าสมาชิกชิตัวหน้า น้ เหมือ มื นกันแล้ว สมาชิกชิตัว หลังต้องไม่ต่ ม่ ต่ างกัน นั่น นั่ คือ ถ้า (x1,y1) ∈ r และ (x1,y2) ∈ r แล้ว y1= y2
1.สมบัติ บั ติ การบวก log a M + log a N = log a ( M•N ) 2.สมบัติ บั ติ การลบ log a M – log a N = log a (M/N) 3.สมบัติ บั ติ ของเลขลอการิทึ ริ ทึ ม ที่เท่ากับเลขฐาน log a a = 1 เมื่อ มื่ a > 0 และ a ≠ 1 4.สมบัติ บั ติ ของลอการิทึ ริ ทึ ม 1 log a 1 = 0 เมื่อ มื่ a > 0 สมบัติ บั ติ ของฟัง ฟั ก์ชัน ชั ลอการิทึ ริ ทึ ม
5.สมบัติ บั ติเลขยกกำ ลังของลอการิทึริ ทึ ม log a MP = P • ( log a M ) 6.คุณ คุ สมบัติ บั ติฐานลอการิทึริ ทึ มที่เขีย ขี นเป็นเลข ยกกำ ลังได้ log a P M = (1/P)( log a M ) 7.คุณ คุ สมบัติ บั ติการเปลี่ยนฐานของลอการิทึริ ทึ ม log b a = (log e a /log e a) เมื่อ มื่ a,b,c > 0 และ c,b, ≠ 1 – ลอการิทึริ ทึ มสามัญ มั คือ ลอการิทึริ ทึ มที่มีฐ มี าน เท่ากับ 10
โดยอาศัยลอการิทึริ ทึ มฐาน10 ดัง ดั นี้ ln x = logex = (log x/log e) = (log x/0.4343) = 2.3026 log x สมบัติ บั ติของลอการิทึริ ทึ มธรรมชาติ ให้ M ห้ และN เป็นจำ นวนจริงริบวก ส่ว ส่ น p เป็น ป็ จำ นวนจริงริ 1.ln MN = ln M + ln N 2.ln (M/N) = ln M – ln N การเขีย ขี น log 10 N แทนด้วย log N
3.LN M P = P LN M 4.LN 1 = 0 5.LN E = 1 6.LN X = (LOG X/LOG E) เมื่อ มื่ X เป็น ป็ จำ นวนจริง ริ บวก 7.E LN X = X
เวกเตอร (อังกฤษ: vector) เป็น ป็ ปริม ริ าณในทางคณิตศาสตร์ และ ฟิสิ ฟิ ก สิ ส์
แปะรูป รู ได้น ด้ ะ
แบบทดสอบ เรื่อ รื่ ง คณิตศาสตร์ม ร์ .5 1.−2 5+3 5)(2 5−3 5)=? ก.1 ข.-1 ค.5 ง.-5 จ.0
ข้อ ข้ ที่ 2.จงหาค่า x ใน 5x= 52 ก. 1 ข.2 ค.3 ง.4 ข้อ ข้ ที่ 3.22*43 มีค่ มี ค่ าเท่าไร ก.26 ข.27 ค.28 ง.29
ข้อ ข้ ที่ 4. 58/54 มีค่ มี ค่ าเท่าไร ก.51 ข.52 ค.53 ง.54 ข้อ ข้ ที่5〈52〉2 มีค่ มี ค่ าเท่าใด ก.51 ข.52 ค.53 ง.54
ข้อ ข้ ที่6〈22〉5*43 มีค่ มี ค่ าเท่าไร ก.213 ข.216 ค.215 ง.214 ข้อ ข้ ที่7 80+92 มีค่ มี ค่ าเท่าไร ก.81 ข.82 ค.83 ง.84
ข้อ ข้ ที่ 8 32+43มีค่ มี ค่ าเท่าใด ก.73 ข.72 ค.71 ง.70 ข้อ ข้ ที่ 9162=2x จงหาค่าx ก.6 ข.7 ค.8 ง.9
ข้อ ข้ ที่10 815=92x จงหาค่าของx ก.4 ข.5 ค.6 ง.7
เฉลย 1 .2 2. 2 3. 4 4. 1 5. 4 6. 2 7. 2 8. 1 9. 3 10. 2