2. BAHAN AJARAN_Modul Pembelajaran

MODUL

Matematika

TRANSFORMASI ROTASI

2022

Kosasih, S.Pd

XI IPA

Wajib

DAFTAR ISI

Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar ...................................... 1

Tujuan Pembelajaran .................................................................. 2

Petunjuk Pembelajaran ............................................................... 2

Transformasi Rotasi .................................................................... 4
A. Pengertian Rotasi .............................................................. 4
1. Rotasi terhadap titik pusat O(0,0) ................................. 4
2. Rotasi terhadap titik pusat P(a, b) ................................. 5
B. Contoh Soal dan Pembahasan .......................................... 5

Evaluasi ....................................................................................... 7

Rangkuman ................................................................................. 10

Daftar Pustaka ............................................................................. 10

i

KOMPETENSI Kompetensi Inti
INTI
DESKRIPSI KOMPETENSI
Sikap Spritual
Sikap Sosial 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama
yang dianutnya
Pengetahuan
2. Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab,
Keterampilan peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai),
santun, responsif, dan pro-aktif sebagai bagian dari
solusi atas berbagai permasalahan dalam
berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial
dan alam serta
menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam
pergaulan dunia

3. Memahami, menerapkan, menganalisis dan
mengevaluasi pengetahuan faktual, konseptual,
prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa
ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi,
seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan
kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan
peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian,
serta menerapkan pengetahuan prosedural pada
bidangkajian yang spesifik sesuai dengan bakat
dan minatnya
untuk memecahkan masalah

4. Mengolah, menalar, menyaji, dan mencipta dalam
ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan
pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah
secara mandiri serta bertindak secara efektif dan
kreatif, dan mampu menggunakan metoda sesuai
kaidah keilmuan

Kompetensi Dasar

Kompetensi Indikator Pencapaian Kompetensi

Dasar (KD) (IPK)

3.5 Menganalisis dan 3.5.1 Menganalisis konsep rotasi

membandingkan pusat O(0,0) yang berkaitan

transformasi dan dengan matriks (C4)

komposisi transformasi 3.5.2 Membuktikan konsep rotasi

dengan menggunakan pusat O(0,0) yang berkaitan

matriks dengan matriks (C5)

4.5 Menyelesaikan masalah 4.5.1 Menyelesaikan masalah

yang berkaitan dengan kontekstual yang berkaitan dengan

matriks transformasi rotasi pada pusat O(0,0)

geometri (translasi, 4.5.2 Menyelesaikan masalah

refleksi, dilatasi dan kontekstual yang berkaitan dengan

rotasi) rotasi pada pusat O(0,0)

Modul Pembelajaran 1

Tujuan Pembelajaran

Anak-anak setelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan kalian
dapat :
1. Memahami tentang pengertian rotasi.
2. Menentukan rotasi titik terhadap pusat (0,0)
3. Menentukan rotasi kurva terhadap pusat (0,0)

4. Menentukan rPoteatsui tnitijkutkerhPaedmap bpueslaat j(a ,r )an

5. Menentukan rotasi kurva terhadap pusat ( , )

Petujuk Pembelajaran

Modul ini dirancang untuk memfasilitasi kalian dalam melakukan kegiatan
belajar secara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah
petunjuk penggunaan modul berikut.
1. Berdoalah sebelum mempelajari modul ini.
2. Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan
pembelajaran secara berurutan.
3. Perhatikan contoh-contoh soal yang disediakan dan jika memungkinkan
cobalah untuk mengerjakannya kembali.
4. Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil
pekerjaan kalian dengan kunci jawaban dan pembahasan pada modul ini.
5. Jika kalian menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal,
cobalah untuk melihat kembali uraian materi dan contoh soal yang ada.
6. Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk
refleksi dari penguasaan kalian terhadap materi pada kegiatan
pembelajaran.
7. Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan
soal evaluasi tersebut agar kalian dapat mengukur penguasaan kalian
terhadap materi pada modul ini. Cocokkan hasil pengerjaan kalian dengan
kunci jawaban yang tersedia.
8. Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung
pada kesungguhan kalian untuk memahami isi modul dan berlatih secara
mandiri .

Modul Pembelajaran 2

Sekilas Info

Sepertinya sudah banyak yang tahu kalau bumi menjadi satu-satunya planet yang
dihuni oleh manusia serta berbagai macam kehidupan. Hal ini dikarenakan planet bumi
memiliki lingkungan yang dapat mendukung kehidupan manusia dan makhluk hidup
lainnya. Jadi, bumi bisa dikatakan sebagai planet istimewa yang ada di tata surya.

Komposisi yang ada di planet bumi sangat kompleks sehingga ada banyak sekali
lapisan-lapisan yang dapat melindungi manusia dan makhluk hidup lainnya dari sinar
matahari. Setiap lapisan tersebut membentuk permukaan sehingga manusia dan
makhluk hidup dapat berjalan dan melakukan berbagai macam aktivitas.

Singkatnya, kita sebagai manusia sudah seharusnya bertempat tinggal di planet bumi.
Tak bisa dibayangkan apa jadinya kalau seluruh manusia tidak tinggal di bumi.

Planet bumi letaknya berada di urutan ketiga dari dekatnya matahari atau lebih
tepatnya berjarak sekitar 149,6 juta km. Planet bumi menjadi salah satu planet yang
mengelilingi matahari.

Planet bumi sama dengan planet-planet tata surya lainnya yang berputar pada
porosnya dan mengelilingi matahari. Kedua hal tersebut dinamakan dengan rotasi bumi
dan revolusi bumi. (sumber, https://www.gramedia.com/literasi/rotasi-dan-revolusi-
bumi/ )

Tidak hanya bumi dan planet-platet yang berada di tata surya saja yang dapat
berotasi, ternyata koordinat titik, garis, kurva, dan bidang serta ruang juga dapat
kita rotasikan sesuai keinginan kita loh.

Simak uraian materi dan contoh-contoh soal pada halaman selanjutnya :

Modul Pembelajaran 3

TRANSFORMASI ROTASI

A. Pengertian Rotasi
Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-
titik tersebut sejauh terhadap suatu titik tertentu.
Rotasi pada bidang datar ditentukan oleh :
1. Titik pusat rotasi
2. Besar sudut rotasi
3. Arah sudut rotasi

Sudut rotasi merupakan sudut antara garis yang menghubungkan titik asal dan pusat
rotasi yang menghubungkan titik bayangan dan pusat rotasi.
Jika arah rotasi diputar searah jarum jam maka besar sudut rotasi negatif
(− )
Jika arah rotasi diputar berlawanan jarum jam maka besar sudut rotasi poitif ( )

Rotasi dinotasikan dengan ( , ) dimana P merupakan pusat rotasi dan besar sudut
rotasi.

1. Rotasi terhadap titik pusat O( , )
untuk memahami bentuk rotasi pada titik pusat O(0, 0), kita bisa amati perpindahan
titik A pada gambar 1.

Misalkan terdapat sebuah titik ( , ) akan dirotasikan sebesar dengan pusat (0,0)
dan akan menghasilkan titik ′( ′, ′) dan dapat dituliskan sebagai berikut.

( , ) [ (0,0), ] ′( ′, ′)

→

Titik A( , ) dirotasikan sebesar terhadap titik pusat O(0,0) menghasilkan bayangan
titik A’( ′, ′) dapat juga ditulis dengan aturan sebagai berikut:

൬ ′′൰ = ቀcsoins −cosisn ቁ ቀ ቁ


Modul Pembelajaran 4

2. Rotasi terhadap titik pusat P(a,b)
untuk memahami bentuk rotasi pada titik pusat P(a, b), kita bisa melakukan
pergeseran (translasi) titik pusat O(0, 0) sejauh ቀ ቁ. Dapat dituliskan sebagai berikut
:

( , ) [ ( , ), ] ′( ′, ′)

→

Titik ( , ) dirotasikan sebesar terhadap titik pusat P(a, b) menghasilkan bayangan
titik ( ′, ′) dapat juga ditulis dengan aturan sebagai berikut:

൬ ′′ − ൰ = ቀcsoins −cosisn ቁ −
− ቀ − ቁ

atau

൬ ′′൰ = ቀcsoins −cosisn ቁ − + ቀ ቁ
ቀ − ቁ

B. Contoh Soal dan Pembahasan

Rotasi titik

1. Diketahui titik (−3, 5), tentukan bayangan titik tersebut oleh rotasi

pada pusat O(0, 0) sebesar :

a. 900 b. 1800

Pembahasan :

a. Titik (−3, 5) dirotasi pada pusat O(0, 0) sebesar 900

Dengan menggunakan matriks transformasi rotasi :
൬ ′′൰
= ቀcsoins −cosisn ቁ ቀ ቁ

൬ ′′൰
= ቀcsoins 900 −cosisn990000ቁ ቀ−53ቁ
900
.൬ ′′൰ = ቀ10 −01ቁ ቀ−53ቁ = ቀ0−+3(+−50)ቁ = ቀ−−35ቁ

Jadi, bayangan titik Titik (−3, 5) oleh rotasi pada pusat O(0, 0)

sebesar 900 adalah ′(−5, −3)

b. Titik (−3, 5) dirotasi pada pusat O(0, 0) sebesar 1800

Dengan menggunakan matriks transformasi rotasi :
൬ ′′൰
= ቀcsoins −cosisn ቁ ቀ ቁ

൬ ′′൰
= ቀcsoins 1800 −cosisn11880000ቁ ቀ−53ቁ
1800
.൬ ′′൰ = ቀ−01 −01ቁ ቀ−53ቁ = ൬0 +3 +(−05)൰ = ቀ−35ቁ

Modul Pembelajaran 5

Jadi, bayangan titik Titik (−3, 5) oleh rotasi pada pusat O(0, 0)
sebesar 1800 adalah ′(3, −5)

2. Diketahui titik (−1, −7), tentukan bayangan titik tersebut oleh rotasi

pada pusat P(-3, 2) sebesar :
a. 900 berlawanan arah jarum jam
b. 900 searah jarum jam

pembahasan :

a. Titik (−1, −7) dirotasi pada pusat P(-3, 2) sebesar 900 berlawanan

arah jarum jam maka bernilai positif

Dengan menggunakan matriks transformasi rotasi :
൬ ′′൰ −
= ቀcsoins −cosisn ቁ ቀ − ቁ + ቀ ቁ

൬ ′′൰
= ቀcsoins 900 −cosisn990000ቁ ቀ−−17 + 32ቁ + ቀ−23ቁ
900 −
.൬ ′′൰ = ቀ01
−01ቁ ቀ−29ቁ = ቀ20 + 90ቁ = ቀ29ቁ
+

Jadi, bayangan titik Titik (−1, −7) oleh rotasi pada pusat

P(-3, 2) sebesar 900 berlawanan arah jarum jam adalah ′(9, 2)

b. Titik (−1, −7) dirotasi pada pusat P(-3, 2) sebesar 900 searah

jarum jam maka bernilai negatif

Dengan menggunakan matriks transformasi rotasi :
൬ ′′൰ −
= ቀcsoins −cosisn ቁ ቀ − ቁ + ቀ ቁ

൬ ′′൰ = ൬scions((−−990000)) −cosisn((−−990000))൰
ቀ−−71 + 32ቁ + ቀ−23ቁ
−

൬ ′′൰ = ൬−csoisn((99000)0) csoins((990000))൰ ቀ−29ቁ + ቀ−23ቁ
.൬ ′′൰ = ቀ−01 01ቁ ቀ−29ቁ + ቀ−23ቁ = ቀ−02−+90ቁ = ቀ−−92ቁ + ቀ−23ቁ = ቀ−012ቁ

Jadi, bayangan titik Titik (−1, −7) oleh rotasi pada pusat

P(-3, 2) sebesar 900 berlawanan arah jarum jam adalah ′(−12, 0)

Rotasi garis dan kurva

3. Diketahui persamaan garis lurus 2 − 3 − 6 = 0. Tentukan
Bayangan garis tersebut jika di rotasi pada pusat P(2, -1) Sebesar 2700

berlawanan arah jarum jam.

Pembahasan :

Misal titik A(x, y) terletak pada garis 2 − 3 − 6 = 0

Kita cari bayangan titik A.

Titik ( , ) dirotasi pada pusat P(2, -1) sebesar 2700 berlawanan arah

jarum jam maka bernilai positif

Dengan menggunakan matriks transformasi rotasi :
൬ ′′൰ −
= ቀcsoins −cosisn ቁ ቀ − ቁ + ቀ ቁ


Modul Pembelajaran 6

൬ ′′൰ = ቀcsoins 2700 − sin 2700 ቁ ൬ − 12൰ + ቀ−21ቁ
2700 cos 2700 +
.൬ ′′൰ = ቀ−01
01ቁ ൬ − 21൰ + ቀ−21ቁ
+
൬ ′′൰ = ቀ− ++12ቁ + ቀ−21ቁ
൬ ′′൰ = ቀ− ++31ቁ
′ = + 3 → = ′ + 3

′ = − + 3 → = − ′ + 1

Substitusi x dan y ke persamaan garis awal

2 − 3 − 6 = 0

2(− ′ + 1) − 3( ′ + 3) − 6 = 0
−2 ′ + 2 − 3 ′ − 9 − 6 = 0
−2 ′ − 3 ′ − 13 = 0
3 ′ + 2 ′ + 13 = 0

Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah

3 + 2 + 13 = 0

EVALUASI

1. Titik (−2,3) dirotasikan sebesar 90° terhadap titik pusat (0,0). Hasil rotasi
titik adalah …

2. Titik (6 3) dirotasikan sebesar 270° terhadap titik pusat (2,4). Hasil rotasi
titik adalah …

3. Titik dirotasikan sebsar 90° terhadap titik pusat (2,1) menghasilkan bayangan
′(−2,4). Koordinat titik adalah …

4. Persamaan garis 2 + + 3 = 0 dirotasikan dengan pusat (0,0) sebesar 90°
berlawanan arah jarum jam. Tentukan persamaan bayangannya

5. Lingkaran : 2 + 2 = 9 dirotasikan sebesar 90° terhadap titik (2,−1).
Persamaan lingkaran hasil rotasi tersebut adalah …

No Pembahasan : Skor
Pembahasan
1 2
Diketahui: Titik (−2,3) dirotasikan [ (0,0),90°] 4
Ditanya : bayangan titik A
4
൬ ′′൰ = ቀcsoins −cosisn ቁ
ቀ ቁ

൬ ′′൰ = ቀcsoins 900 −cosisn990000ቁ ቀ−32ቁ
900

൬ ′′൰ = ቀ10 −01ቁ ቀ−32ቁ = ቀ0−+2(+−30)ቁ = ቀ−−23ቁ
Jadi, bayangan titik Titik (−2, 3) oleh rotasi pada
pusat O(0, 0) sebesar 900 adalah ′(−3, −2)

Modul Pembelajaran 7

2 Diketahui : Titik (6 3) dirotasikan sebesar 270°

terhadap titik pusat (2, 4). 2
4
Ditanya : bayangan titik D 4
൬ ′′൰ − 2
= ቀcsoins −cosisn ቁ ቀ − ቁ + ቀ ቁ 4
4
൬ ′′൰
= ቀcsoins 2700 −cosisn22770000ቁ ቀ63 − 42ቁ + ቀ24ቁ 1
2700 − 2
2
.൬ ′′൰ = ቀ−01 10ቁ ቀ−41ቁ + ቀ24ቁ = ቀ−04−+10ቁ + ቀ42ቁ = ቀ01ቁ 2

Jadi, bayangan titik Titik D(6, 3) oleh rotasi pada 2
pusat P(2, 4) sebesar 900 adalah ′(1, 0)

3 Diketahui :Titik dirotasikan sebsar 90° terhadap

titik pusat (2,1) menghasilkan bayangan ′(−2,4).

Ditanya : titik asal B

Misal titik B(X, Y)
൬ ′′൰ −
= ቀcsoins −cosisn ቁ ቀ − ቁ + ቀ ቁ

ቀ−42ቁ = ൬scions990000) −cosisn990000൰
൬ − 21൰ + ቀ21ቁ
−

ቀ−42ቁ = ቀ10 −01ቁ ൬ − 21൰ + ቀ12ቁ
−

ቀ−42ቁ = ቀ− −+21ቁ + ቀ21ቁ
ቀ−42ቁ = ቀ− −+13ቁ
− + 3 = −2 → = 5

− 1 = 4 → = 5

Jadi, koordinat titik Titik B adalah (5, 5)

4 Diketahui : Persamaan garis 2 + + 3 = 0 dirotasikan
dengan pusat (0,0) sebesar 180° berlawanan arah
jarum jam.
Ditanya : bayangan garis 2 + + 3 = 0

Misal titik A(x, y) terletak pada garis 2 + + 3 = 0

Kita cari bayangan titik A.
Titik ( , ) dirotasi pada pusat O(0, 0) sebesar 1800
berlawanan arah jarum jam maka bernilai positif

Dengan menggunakan matriks transformasi rotasi :
൬ ′′൰
= ቀcsoins −cosisn ቁ ቀ ቁ

൬ ′′൰
= ቀcsoins 1800 −cosisn11880000ቁ ቀ ቁ
1800
.൬ ′′൰ = ቀ−01
−01ቁ ቀ ቁ

൬ ′′൰ = −
ቀ− ቁ

′ = − → = − ′
′ = − → y= − ′

Substitusi x dan y ke persamaan garis awal

2 + + 3 = 0

Modul Pembelajaran 8

2(− ′) + (− ′) + 3 = 0 1
−2 ′ − ′ + 3 = 0
2 ′ + ′ − 3 = 0

Jadi, persamaan bayangan garis tersebut
adalah

2 + − 3 = 0

5 diketahui : 2 + 2 = 9 dirotasikan sebesar 90° 2

terhadap titik (2,−1). 1
Ditanya : bayangan : 2 + 2 = 9 2
Misal titik A(x, y) terletak pada : 2 + 2 = 9
2
Kita cari bayangan titik A. 2
1
൬ ′′൰ = ቀcsoins −cosisn ቁ − + ቀ ቁ 100
ቀ − ቁ

൬ ′′൰ = ቀcsoins 900 − sin 900 ቁ ൬ − 21൰ + ቀ−21ቁ
900 cos 900 +
.൬ ′′൰ = ቀ01
−01ቁ ൬ − 21൰ + ቀ−21ቁ
+
൬ ′′൰ = ቀ− −−21ቁ + ቀ−21ቁ
൬ ′′൰ = ቀ− −+31ቁ
′ = − + 1 → = − ′ + 1

′ = − 3 → = ′ + 3

Substitusi x dan y ke persamaan lingkaran awal

2 + 2 = 9

( ′ + 3)2 + (− ′ + 1)2 − 6 = 0
′2 + 6 ′ + 9 + ′2 − 2 ′ + 1 − 6 = 0
′2 + ′2 − 2 ′ + 6 ′ + 4 = 0

Jadi, persamaan bayangan garis tersebut

adalah

2 + 2 − 2 + 6 + 4 = 0

Total nilai

Modul Pembelajaran 9

Rangkuman

Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar

titik-titik tersebut sejauh terhadap suatu titik tertentu.

Sudut rotasi merupakan sudut antara garis yang menghubungkan titik asal dan

pusat rotasi yang menghubungkan titik bayangan dan pusat rotasi.

Jika arah rotasi diputar searah jarum jam maka besar sudut rotasi negatif

(− )

Jika arah rotasi diputar berlawanan jarum jam maka besar sudut rotasi poitif ( )

Titik A( , ) dirotasikan sebesar terhadap titik pusat O(0,0) menghasilkan

bayangan titik A’( ′, ′) dapat juga ditulis dengan aturan sebagai berikut:
൬ ′′൰ −cosisn ቁ ቀ ቁ
= ቀcsoins


Titik A( , ) dirotasikan sebesar terhadap titik pusat P(a, b) menghasilkan

bayangan titik A’( ′, ′) dapat juga ditulis dengan aturan sebagai berikut:
൬ ′′൰ −
= ቀcsoins −cosisn ቁ ቀ − ቁ + ቀ ቁ


Daftar Pustaka

Noormandiri, 2017. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Wajib. Jakarta : Erlangga
Istiqomah, 2020. Modul Pembelajaran SMA Matematika Umum Kelas XI. Direktorat SMA, Direktorat

Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
https://maths.id/pembuktian-rumus-transformasi-rotasi

https://www.gramedia.com/literasi/rotasi-dan-revolusi-bumi/ )

Modul Pembelajaran 10