ค33101-Sttstc

คําชแี้ จงการศกึ ษาทางเลือก
รายวิชาคณิตศาสตรพ น้ื ฐาน 5 รหัสวชิ า ค33101 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 6

นายอนุวฒั น ออนนา้ํ คํา
…………………………………………………………………….
1. คําชแ้ี จง
1.1 ใหน กั เรียนศึกษาใบความรูเร่ือง สถติ แิ ละขอมลู และสบื คน ความรูเพิ่มเติมแลว ตอบคาํ ถามลงในใบ
แบบฝกหดั ใหถ กู ตองทกุ ขอ
1.2 นําแบบฝก หดั ทั้ง 13 ชดุ สง ท่ีครูประจาํ ช้นั ตามกําหนด
1.3 สอบปลายภาคตามปฏิทินที่กลมุ บรหิ ารวชิ าการกาํ หนด
2. ตวั ชี้วัด มี 13 ขอดงั น้ี
1. ค 5.3 ม.4-6/1 ใชข อมลู ขา วสารและคา สถิติชว ยในการตดั สนิ ใจ
2. ค 5.1ม.4-6/2 หาคาเฉลยี่ เลขคณติ มัธยฐาน ฐานนยิ ม สวนเบีย่ งเบนมาตรฐาน
และเปอรเซน็ ไทลข องขอ มลู
3. ค 5.1 ม.4-6/3 เลือกใชคา กลางทเี่ หมาะสมกบั ขอมลู และวัตถุประสงค
4. ค 5.1 ม.4-6/1 เขา ใจวธิ ีการสาํ รวจความคดิ เหน็ อยางงาย
5. ค 5.2 ม.4-6/1 นําผลท่ไี ดจ ากการสํารวจความคดิ เห็นไปใชค าดการณในสถานการณท่ีกําหนดให
3. ใบความรู 13 ชดุ ประกอบดวย
1. สถติ ภิ าคบรรยาย
2. การแจกแจงความถี่
3. แผนภาพตน -ใบ
4. คา กลางขอมลู
5. คา เฉล่ีย
6. มธั ยฐาน
7. ฐานนิยม
8. การวัดตาํ แหนงขอมลู
9. การวดั การกระจายสมั บรู ณ
10. พิสัย
11. สว นเบยี่ งเบนมาตรฐาน
12. สมบัติของสวนเบีย่ งเบนมาตรฐาน
13. แผนภาพกลอ ง

4. แบบฝกหดั ประกอบดวย คะแนน หมายเหตุ
1. แบบฝก หดั สถติ ิภาคบรรยาย (100 คะแนน)
2. แบบฝกหัดการแจกแจงความถี่ 5
3. แบบฝกหดั แผนภาพตน-ใบ 10
4. แบบฝกหัดคา เฉลยี่ 5
5. แบบฝก หัดมธั ยฐาน 5
6. แบบฝกหัดฐานนิยม 5
7. แบบฝก หัดการวัดตําแหนงขอมูล 5
8. แบบฝกหัดพิสัย 10
9. แบบฝกหัดสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5
10. แบบฝก หดั สมบัติของสว นเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10
11. แบบฝกหดั แผนภาพกลอ ง 5
15
5. การวัดผลประเมนิ ผล 20
5.1 การวดั ผล 100

ลําดบั ท่ี รายการ

1 แบบฝกหัดสถติ ิภาคบรรยาย
2 แบบฝก หดั การแจกแจงความถ่ี
3 แบบฝกหัดแผนภาพตน-ใบ
4 แบบฝก หดั คาเฉล่ยี
5 แบบฝก หัดมธั ยฐาน
6 แบบฝกหดั ฐานนิยม
7 แบบฝกหัดการวดั ตําแหนงขอมูล
8 แบบฝกหัดพสิ ยั
9 แบบฝก หัดสวนเบีย่ งเบนมาตรฐาน
10 แบบฝกหัดสมบัติของสว นเบ่ียงเบนมาตรฐาน
11 แบบฝกหัดแผนภาพกลอง
12 สอบปลายภาค
รวม

5.2 การประเมินผลการเรยี น

ผลการเรียน ชวงคะแนน ผลการเรียน ชว งคะแนน
1 50 - 59
2 70 - 100 0 0 - 49

1.5 60 - 69

6. แบบทดสอบปลายภาค ประกอบดวยแบบทดสอบจํานวน 2 ตอน คือ
ตอนที่ 1 เปน แบบปรนัยชนิด 5 ตวั เลือก จาํ นวน 20 ขอ
ตอนท่ี 2 เปน แบบอตั นัย จํานวน 2 ขอ ใชเวลาสอบ 60 นาที คะแนนเตม็ 20 คะแนน

สารบัญ

สถิตภิ าคบรรยาย...................................................................................................................................................................... 1
การแจกแจงความถี่. .................................................................................................................................................................3
แผนภาพตน้ - ใบ. .....................................................................................................................................................................5
คา่ กลางขอ้ มลู ...........................................................................................................................................................................6
ค่าเฉลี่ย. ....................................................................................................................................................................................7
มธั ยฐาน.....................................................................................................................................................................................9
ฐานนิยม . ................................................................................................................................................................................12
การวดั ตําแหนง่ ขอ้ มลู . ........................................................................................................................................................... 13
การวดั การกระจายสมั บรู ณ์ .................................................................................................................................................. 17
พิสยั ....................................................................................................................................................................................... 18
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ........................................................................................................................................................ 19
สมบตั ิของสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน ....................................................................................................................................... 22
แผนภาพกล่อง. ...................................................................................................................................................................... 24

หน้า 1

สถิติภาคบรรยาย

สถิติ จะแปลวา่ “ข้อมลู ” ก็ได้ หรือจะแปลวา่ “วิธีจดั การข้อมลู ” ตามระเบยี บวิธีการทางสถิติ ก็ได้
สถิติมีหลายชนดิ ตามลกั ษณะการนาไปใช้ เช่น

 สถิตเิ ชงิ พรรณนา = สถิติที่มงุ่ อธิบายภาพรวมของข้อมลู
 สถิตเิ ชิงอนมุ าน = สถิตทิ ่ศี กึ ษากลมุ่ ตวั อยา่ งเลก็ ๆ เพ่ือเดาข้อสรุปของข้อมลู ทงั้ หมด
 สถิติเพอ่ื การตดั สนิ ใจ = สถิติชนิดนี ้จะไมต่ ้องการภาพรวมของข้อมลู แตจ่ ะมงุ่ เน้นเพ่ือตดั สนิ ใจบางเร่ือง

โดยจะกาหนดก่อนวา่ ต้องใช้คา่ สถิติใดในการตดั สนิ ใจ แล้วจงึ เก็บข้อมลู เทา่ ทจี่ าเป็น

ระเบียบวธิ ีการทางสถิติ ประกอบด้วย การเก็บข้อมลู → นาเสนอข้อมลู → วิเคราะห์ → ตคี วาม

การเก็บข้อมลู สามารถเก็บจากทะเบยี นประวตั ิ จากการสารวจ จากการทดลอง หรือ จากการสงั เกต
โดยเราแบง่ ประเภทข้อมลู ตามวธิ ีเก็บได้เป็น 2 ชนดิ

 ข้อมลู ปฐมภมู ิ = ข้อมลู ทเี่ ก็บจากต้นกาเนดิ ข้อมลู โดยตรง
 ข้อมลู ทตุ ยิ ภมู ิ = ข้อมลู ทเ่ี ก็บจากผลการเก็บข้อมลู ของคนอ่ืนอกี ที เชน่ เก็บจากเอกสาร หรือทะเบยี นทม่ี อี ยู่
ซง่ึ ก่อนเก็บข้อมลู เราต้องเลอื กอกี วา่ จะเก็บจาก “ประชากร” หรือเก็บจาก “ตวั อยา่ ง”
 ประชากร = ข้อมลู “ทงั้ หมด”
 ตวั อยา่ ง = ข้อมลู “บางสว่ น”
การเก็บข้อมลู จากประชากร จะได้ผลครบถ้วนสมบรู ณ์กวา่ เก็บจากตวั อยา่ ง แตก่ ็ใช้เวลามากกวา่
ในชีวติ จริง เรามกั นยิ มเก็บข้อมลู จากจากตวั อยา่ ง
โดยจะมวี ิธีเลอื กตวั อยา่ งตามหลกั สถิติ เพ่ือให้ตวั อยา่ งทเ่ี ลอื ก สามารถเป็นตวั แทนของประชากรได้ใกล้เคียงทส่ี ดุ

การนาเสนอข้อมลู คอื การเอาข้อมลู มาจดั เป็นรูปแบบที่เข้าใจงา่ ย ซง่ึ แบง่ ได้เป็น 2 แบบ คือ
 ไมเ่ ป็นแบบแผน ได้แก่ การนาเสนอในรูปบทความ หรือ แบบกึง่ ตาราง
 เป็นแบบแผน ได้แก่ การนาเสนอด้วยตาราง แผนภมู ิ หรือ กราฟ

การวเิ คราะห์ข้อมลู คือ การหาข้อสรุปเกี่ยวกบั ลกั ษณะตา่ งๆ (คา่ เฉลย่ี , มธั ยฐาน, ฐานนยิ ม, ฯลฯ) ของข้อมลู
คา่ ทว่ี เิ คราะห์ได้ จะมชี ื่อเรียก 2 ชื่อ ขนึ ้ กบั วา่ เอาข้อมลู ระดบั ไหนมาวเิ คราะห์

 พารามเิ ตอร์ = คา่ ที่ได้จาก “ประชากร”
 คา่ สถิติ = คา่ ท่ีได้จาก “ตวั อยา่ ง”
ปกติ เราจะไมว่ เิ คราะห์ประชากร แตเ่ ราจะวเิ คราะห์ตวั อยา่ ง เพอื่ หาคา่ สถิติแล้วนามาประมาณพารามเิ ตอร์
โดยข้อมลู ท่นี ามาวเิ คราะห์ จะแบง่ ได้เป็น 2 ประเภท
 ข้อมลู เชงิ ปริมาณ คือ ข้อมลู ทบี่ อกปริมาณ เช่น อายุ สว่ นสงู นา้ หนกั
 ข้อมลู เชิงคณุ ภาพ คอื ข้อมลู ที่แสดงคณุ สมบตั ิ เชน่ เพศ กรุ๊ปเลอื ด ข้อมลู ประเภทนี ้จะไมส่ ามารถ บวก ลบ

คณู หาร หรือเทียบมากกวา่ น้อยกวา่ ได้ จึงหาไมส่ ามารถหาคา่ เฉลยี่ หรือ มธั ยฐาน ได้

การตคี วามข้อมลู คอื การหาข้อสรุปจากคา่ ที่ได้จากการวเิ คราะห์

หนา้ 2

แบบฝึกหดั
1. ข้อใดถกู ต้อง

1. เบอร์โทรศพั ท์ เป็นข้อมลู เชงิ ปริมาณ
2. การเก็บข้อมลู ของชมุ ชน จากท่ีวา่ การเขต จดั เป็นการเก็บข้อมลู แบบปฐมภมู ิ
3. การหาคา่ เฉลยี่ ของข้อมลู เป็นสว่ นหนงึ่ ของการนาเสนอข้อมลู
4. สถิตเิ ชงิ อนมุ าน คอื สถิตทิ ี่มงุ่ อธิบายลกั ษณะกว้างๆของข้อมลู
5. พารามเิ ตอร์ คอื คา่ ทีไ่ ด้จากการนากลมุ่ ตวั อยา่ งมาคานวณ
6. ประโยชน์ของการนาเสนอข้อมลู คือ ทาให้เข้าใจข้อมลู ได้ง่ายขนึ ้

2. ข้อตอ่ ไปนมี ้ ผี ลกระทบตอ่ ความถกู ต้องของการตดั สนิ ใจโดยใช้สถติ ิ ยกเว้นข้อใด [O-NET 52/34]

1. ข้อมลู 2. สารสนเทศ 3. ขา่ วสาร 4. ความเชื่อ

3. ข้อใดเป็นขนั้ ตอนหนงึ่ ของการสารวจความคิดเห็น [O-NET 57/28]
1. ตงั้ สมมตุ ิฐานของปัญหาที่ทาการสารวจ
2. กาหนดขอบเขตของการสารวจ
3. ประมาณการคา่ ใช้จา่ ยในการสารวจความคิดเหน็
4. คดั เลอื กผ้เู ก็บข้อมลู การสารวจ
5. นาผลการสารวจความคดิ เหน็ ไปใช้ประโยชน์

4. ข้อใดไมอ่ ยใู่ นขนั้ ตอนของการสารวจความคดิ เห็น [O-NET 56/30]

1. กาหนดขอบเขตของการสารวจ 2. กาหนดวธิ ีเลอื กตวั อยา่ ง

3. สร้างแบบสารวจความคดิ เห็น 4. ประมวลผลและวิเคราะห์ผลการสารวจ

5. เผยแพร่ผลการสารวจความคิดเหน็

5. ในการใช้สถิตเิ พือ่ การตดั สนิ ใจและวางแผน สาหรับเร่ืองทจ่ี าเป็นต้องมกี ารใช้ข้อมลู และสารสนเทศ ถ้าขาดข้อมลู และ

สารสนเทศดงั กลา่ ว ผ้ตู ดั สนิ ใจควรทาขนั้ ตอนใดกอ่ น [O-NET 53/36]

1. เก็บรวบรวมข้อมลู 2. เลอื กวธิ ีวิเคราะห์ข้อมลู

3. เลอื กวิธีเก็บรวบรวมข้อมลู 4. กาหนดข้อมลู ท่ีจาเป็นต้องใช้

หน้า 3

การแจกแจงความถ่ี

“ตารางแจกแจงความถ่ี” คอื ตารางท่ีบอกวา่ มขี ้อมลู กี่ตวั ตกอยใู่ นแตล่ ะช่วง

คา่ ของข้อมลู ( ) คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (คน) ความถี่ ( )
ในท่ีนีค้ อื คะแนนสอบ เป็นคา่ ทบ่ี อกวา่ มขี ้อมลู กี่ตวั ตกอยู่
ของนกั เรียนแตล่ ะคน 1 - 10 3 ในแตล่ ะชว่ ง ในท่นี ีค้ อื จานวน
11 - 20 12 นกั เรียนในแตล่ ะชว่ งคะแนน
21 - 30 15
31 - 40 24 อนั ตรภาคชนั้
41 - 50 6 เรียกสนั้ ๆวา่ “ชนั้ ” หมายถงึ
แตล่ ะแถวของชว่ งข้อมลู
เชน่ ในตารางนี ้จะมี 5 ชนั้

บางตารางจะใจดี บวกจานวนข้อมลู มาให้ข้างลา่ ง บางตารางกม็ ชี อ่ ง “ความถ่ีสะสม” มาให้ คา่ พวกนเี ้ราคานวณเองได้

คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (คน) ความถี่สะสม ( ) ความถ่ีสะสม ( )
ได้จากการนาชอ่ ง “ความถี่” มาบวก
1 - 10 3 3 สะสม โดยเร่ิมสะสมตงั้ แตช่ นั้ แรก
11 - 20 12 15
21 - 30 15 30
31 - 40 24 54
41 - 50 6 60
60
จานวนข้อมลู ทงั ้ หมด ( )

นอกจากนี ้ยงั มชี อ่ งอนื่ ๆท่ีไมค่ อ่ ยจะได้ใช้อกี ดงั นี ้

 ความถ่ีสมั พทั ธ์ = ความถ่ี = สมั พทั ธ์ → ÷
จานวนข้อมลู ทงั้ หมด

 ความถี่สะสมสมั พทั ธ์ = ความถ่ีสะสม =
จานวนข้อมลู ทงั้ หมด

 ร้อยละของความถี่สมั พทั ธ์ = ความถี่สมั พทั ธ์ × 100 ร้อยละ → × 100

 ร้อยละของความถี่สะสมสมั พทั ธ์ = ความถี่สะสมสมั พทั ธ์ × 100

÷ × 100

คะแนน จานวน ความถี่ ความถี่ ความถี่สะสม ร้ อยละของ ร้ อยละของ
สอบ นกั เรียน สะสม สมั พทั ธ์ สมั พทั ธ์ ความถี่ ความถ่ีสะสม
(คน) ( ) สมั พทั ธ์
1 - 10 3/60 = 0.05 3/60 = 0.05 สมั พทั ธ์
11- 20 3 3 12/60 = 0.20 15/60 = 0.25 0.05 × 100 = 5
21 - 30 12 15 15/60 = 0.25 30/60 = 0.50 0.20 × 100 = 20 0.05 × 100 = 5
31 - 40 15 30 24/60 = 0.40 54/60 = 0.90 0.25 × 100 = 25 0.25 × 100 = 25
41 - 50 24 54 60/60 = 1.00 0.40 × 100 = 40 0.50 × 100 = 50
60 6/60 = 0.10 0.10 × 100 = 10 0.90 × 100 = 90
6 1.00 × 100 = 100
60 1.00 100

กลอ่ ง ความถ่ีสมั พทั ธ์ ร้อยละของความถี่สมั พทั ธ์
รวมกนั ได้ 1 เสมอ รวมกนั ได้ 100 เสมอ

หน้า 4

ในตารางแจกแจงความถ่ี มคี าศพั ท์ท่ตี ้องรู้ดงั นี ้

 ขอบลา่ ง = ค่าตา่ สดุ ของชนั้ +คา่ สงู สดุ ของชนั้ ก่อนหน้า

2

 ขอบบน = ค่าสงู สดุ ของชนั้ +คา่ ต่าสดุ ของชนั้ ถดั ไป

2

 จดุ กงึ่ กลางชนั้ = คา่ สงู สดุ ของอนั ตรภาคชนั้ +ค่าต่าสดุ ของอนั ตรภาคชนั้
=
ขอบบน+ขอบลา่ ง 2

2
 ความกว้างชนั้ ( ) = ขอบบน − ขอบลา่ ง

= คา่ ข้อมลู ตาแหนง่ เดยี วกนั ระหวา่ ง 2 ชนั้ ท่ีตดิ กนั ลบกนั

คะแนนสอบ ขอบลา่ ง ขอบบน จดุ กง่ึ กลางชนั้ ความกว้างชนั ้ ( )

1 - 10 0.5 (10+11)/2 = 10.5 (1+10)/2 = 5.5 10.5 − 0.5 = 10
11 - 20 (10+11)/2 = 10.5 (20+21)/2 = 20.5 (11+20)/2 = 15.5 20.5 − 10.5 = 10
21 - 30 (20+11)/2 = 20.5 (30+31)/2 = 30.5 (21+30)/2 = 25.5 30.5 − 20.5 = 10
31 - 40 (30+31)/2 = 30.5 (40+41)/2 = 40.5 (31+40)/2 = 35.5 40.5 − 30.5 = 10
41 - 50 (40+41)/2 = 40.5 (41+50)/2 = 45.5 50.5 − 40.5 = 10
50.5

หมายเหต:ุ ขอบลา่ งของชนั้ ตา่ สดุ จะคานวณจากแนวโน้มความหา่ งของขอบบน
ขอบบนของชนั้ สงู สดุ จะคานวณจากแนวโน้มความหา่ งของขอบลา่ ง

แบบฝึกหดั

1. จงเติมตารางแจกแจงความถี่ให้สมบรู ณ์

1. 27 1 14 8 30 20 8 27 12 14
27 3 55 19 2 17 15 14
12
ความถี่
คา่ ข้อมลู ความถี่ ความถ่ี สมั พทั ธ์ ความถ่ีสะสม ร้ อยละของ ร้ อยละของ
สะสม สมั พทั ธ์ ความถี่ ความถ่ีสะสม
สมั พทั ธ์
สมั พทั ธ์

1 - 10
11 - 20
21 - 30

2. 5 12 10 22 11 20 16 8 14 29
6 16 12 9 18 18 15 34 34
20

คา่ ข้อมลู ความถี่ ความถี่สะสม จดุ กึง่ กลางชนั้ ความกว้างชนั้ ขอบลา่ ง ขอบบน

1 - 10
11 - 20
21 - 30
31 - 40

หน้า 5

แผนภาพต้น - ใบ

แผนภาพต้นใบ เป็นวธิ ีนาเสนอข้อมลู อีกแบบหนง่ึ ทสี่ ะดวกในการดแู นวโน้มของคา่ ข้อมลู
โดยเราจะนา “หลกั หนว่ ย” ของข้อมลู มาเขยี นเป็น “ใบ” และนา หลกั สบิ , ร้อย, พนั , ... มาเขียนเป็น “ลาต้น”
เช่น ข้อมลู 15 24 8 10 32

10 23 18 31 25
9 22 21 37 22

จะนามาสร้างแผนภาพต้น - ใบ ได้ดงั นี ้

089 ในแตล่ ะแถว จะ
15008 เรียงลาดบั ข้อมลู
2435122 ยงั ไงก็ได้
3217

หลกั สิบ หลกั หนว่ ย

และในกรณีที่มีข้อมลู 2 กลมุ่ เราสามารถนาข้อมลู ทงั้ 2 กลมุ่ มาเขียนลงใน “ลาต้นเดียวกนั ” ได้
เช่น ถ้ามีคะแนนสอบของนกั เรียน 2 ห้อง

คะแนนสอบห้อง 5/1 130 คะแนนสอบห้อง 5/2 115
123 120
98 102 121 133 121 110 91 102
105 111 115 116 124 114
119 124 120 138 124 99

จะนามาเขยี นแผนภาพต้น - ใบ โดยใช้ลาต้นเดียวกนั ได้ ดงั นี ้

ห้อง 5/1 ห้อง 5/2

8919
5 2 10 2
9 5 1 11 0 5 6 4
0 4 3 1 12 1 4 0 4
3 0 13 8

แบบฝึกหดั คา่ ข้อมลู ความถ่ี
1. จงเขยี นตารางแจกแจงความถี่ จากแผนภาพต้นใบตอ่ ไปนี ้
80 - 88
86 2 0 3 89 - 97
98 3 1 2 7 98 - 106
10 4 9 3 107 - 115
11 2 3

2. ในกรณีทีม่ ีข้อมลู จานวนมาก การนาเสนอข้อมลู ในรูปแบบใดตอ่ ไปนที ้ าให้เห็นการกระจายของข้อมลู ได้ชดั เจนน้อย

ทส่ี ดุ [O-NET 52/32]

1. ตารางแจกแจงความถ่ี 2. แผนภาพต้นใบ

3. ฮิสโทแกรม 4. การแสดงคา่ สงั เกตทกุ คา่

หนา้ 6

คา่ กลางข้อมลู

เวลาเรามขี ้อมลู หลายๆตวั (เช่น นา้ หนกั ของเด็ก 30 คน) เรามกั จะสนใจวา่ “ตรงกลาง” ของข้อมลู ชดุ นนั้ มีคา่ เทา่ ไหร่
และเรามกั ใช้คา่ “ตรงกลาง” นี ้เป็นตวั แทนของข้อมลู ทงั้ กลมุ่ เพอื่ นาไปวเิ คราะห์ หรือ เปรียบเทยี บกบั ข้อมลู ชดุ อื่น ตอ่ ไป

“คา่ กลางข้อมลู ” แปลตรงๆตวั วา่ คา่ ท่ีอยตู่ รงกลางของกลมุ่ ข้อมลู
คา่ กลางข้อมลู มอี ยหู่ ลายชนดิ ขนึ ้ กบั วา่ เราจะวดั ความกลางยงั ไง
ซงึ่ ในบทนี ้เราจะได้เรียนคา่ กลาง 3 ชนิด ได้แก่

 “คา่ เฉลยี่ ” คือ คา่ ท่ีอยตู่ รงกลาง โดยใช้ “คา่ ของข้อมลู ” เป็นตวั วดั
 “มธั ยฐาน” คือ คา่ ท่ีอยตู่ รงกลาง โดยใช้ “ตาแหนง่ ของข้อมลู ” เป็นตวั วดั
 “ฐานนยิ ม” คอื คา่ ที่ “ซา้ บอ่ ยท่ีสดุ ” ในกลมุ่ ข้อมลู

คา่ กลางข้อมลู แตล่ ะชนดิ มขี ้อดขี ้อเสยี ตา่ งกนั ขนึ ้ กบั วา่ จะเอาไปใช้ทาอะไร
ข้อมลู บางประเภท ก็ไมส่ ามารถหาคา่ กลางบางชนดิ ได้
การเลอื กคา่ กลาง จงึ ต้องคานงึ ถงึ ลกั ษณะข้อมลู และการนาไปใช้

หน้า 7

คา่ เฉลย่ี

คา่ เฉลยี่ (Mean) คือ คา่ ทีไ่ ด้จากการเอาข้อมลู ทกุ ตวั มา “รวม” กนั แล้ว “เฉลย่ี ” ด้วยจานวนตวั
คา่ เฉลยี่ ยงั แบง่ ตอ่ ไปได้อกี หลายชนิด ขนึ ้ กบั วา่ จะ “รวม” และ “เฉลยี่ ” ยงั ไง เชน่

 คา่ เฉลย่ี เลขคณิต (Arithmetric Mean: A.M.) ได้จากการเอาข้อมลู ทกุ ตวั มา “บวก” กนั แล้ว “หาร” ด้วย
จานวนตวั

 คา่ เฉลยี่ เรขาคณิต (Geometric Mean: G.M.) ได้จากการเอาข้อมลู ทกุ ตวั มา “คณู ” กนั แล้ว “ถอดรูท” อนั ดบั
ทตี่ ามจานวนตวั

 คา่ เฉลยี่ ฮาร์โมนิค (Harmonic Mean: H.M.) ได้จาก เอาข้อมลู มากลบั เศษ - สว่ น แล้วนาไปหาคา่ เฉลย่ี เลข
คณิต แล้วนาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตทไ่ี ด้ มากลบั เศษ - สว่ น กลบั ไปเป็นแบบเก่า

ตวั อยา่ ง ข้อมลู ชดุ หนงึ่ มี 4 จานวน ประกอบด้วย 2 , 4 , 9 , 18 จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณติ คา่ เฉลยี่ เรขาคณิต และ

คา่ เฉลย่ี ฮาร์โมนิค ของข้อมลู ชดุ นี ้

วิธีทา คา่ เฉลยี่ เลขคณิต = 2+4+9+18 = 33 = 8.25
44
คาเฉลยี่ เรขาคณิต = 4√2 × 4 × 9 × 18 = 6

คา่ เฉลย่ี ฮาร์โมนคิ → เอาข้อมลู มากลบั เศษ - สว่ น ได้เป็น 1 , 1 , 1 , 1
2 4 9 18

→ หาคา่ เฉลยี่ เลขคณิต ได้ =21+41+19+118 18+9+4+2 = 33 × 1 = 11
36

4 4 36 4 48

→ กลบั เศษ - สว่ น อีกรอบ แล้วตอบ จะได้ 48 #
11

คา่ เฉลย่ี เลขคณิต จะเป็นคา่ กลางทใ่ี ช้บอ่ ยกวา่ คา่ กลางอนื่
ดงั นนั้ ถ้าได้ยินคาวา่ “คา่ เฉลย่ี ” เฉยๆ ก็ให้หมายถงึ “คา่ เฉลย่ี เลขคณิต” โดยอตั โนมตั ิ

ในเรื่องสถติ ินี ้อีกเดย๋ี วจะมสี ตู รมากมาย โผลอ่ อกมาให้เราทาความเข้าใจ และ ทอ่ ง (ถ้าไมเ่ ข้าใจ)
ดงั นนั้ เราควรทาความค้นุ เคยกบั สญั ลกั ษณ์ทนี่ ยิ มใช้ในเร่ืองนกี ้ นั ก่อน
ในเร่ืองสถิติ เรานยิ มใช้ แทน “จานวนข้อมลู ” และใช้ แทน “คา่ ของข้อมลู ”
โดยเรานิยมให้ 1 แทนคา่ ของข้อมลู ตวั ที่ 1

2 แทนคา่ ของข้อมลู ตวั ท่ี 2

⋮

แทนคา่ ของข้อมลู ตวั ที่
เช่น ถ้าข้อมลู ชดุ หนง่ึ ประกอบด้วย 2 , 6 , 9 , 18

จะได้วา่ = 4 และ 1 = 2 , 2 = 6 , 3 = 9 , 4 = 18

เราจะใช้สญั ลกั ษณ์ ̅ แทนคา่ เฉลย่ี เลขคณิต
ดงั นนั ้ เราจะเขยี นสตู รได้เป็น ̅ = 1+ 2+ … +



หนา้ 8

อยา่ งไรก็ตาม เรานิยมใช้สญั ลกั ษณ์ ∑ มาชว่ ยเขยี นสตู รให้กระชบั ขนึ ้ ได้

โดยสญั ลกั ษณ์ N = ผลบวกของ ทงั้ หลาย โดยเร่ิมตงั้ แต่ = 1 จนถงึ = ”


i 1

= 1 + 2 + 3 + … + นน่ั เอง

N
 xi
ดงั นนั้ สตู รคา่ เฉลยี่ เลขคณติ จะนยิ มเขยี นเป็น ̅ = i1 หรือเขยี นแบบยอ่ ๆได้วา่ ̅ =  xi
NN

สตู รนี ้เป็นความสมั พนั ธ์ของปริมาณ 3 อยา่ ง คือ “คา่ เฉลยี่ ” “ผลรวมข้อมลู ” และ “จานวนข้อมลู ”

ถ้าโจทย์บอก 2 อยา่ งใดๆมา เราต้องสามารถหาตวั ที่เหลอื ได้ทนั ที ดงั นี ้

̅ = ∑ = ∑ ***
∑ = ∙ ̅
̅

ตวั อยา่ ง นกั เรียนห้องหนงึ่ มี 40 คน มีคา่ เฉลย่ี ของคะแนนสอบเทา่ กบั 7.8 คะแนน ตอ่ มาพบวา่ ตรวจคะแนนผดิ โดย

จะต้องเพม่ิ คะแนนให้นกั เรียนคนหนงึ่ 5 คะแนน และลดคะแนนของนกั เรียนอกี คนหนงึ่ 1 คะแนน จงหาคา่ เฉลยี่

หลงั จากทแ่ี ก้ไขคะแนนแล้ว

วิธีทา ตอนแรก ̅ = 7.8 , = 40 ดงั นนั ้ ผลรวมคะแนน = 7.8 × 40 = 312

แตท่ ่ีถกู ต้องมีคะแนนคา่ หนงึ่ เพม่ิ ขนึ ้ 5 และอีกคา่ หนง่ึ ลดลง 1

ดงั นนั้ ผลรวมคะแนนทถ่ี กู ต้อง คอื 312 + 5 − 1 = 316

ดงั นนั ้ ̅ หลงั แก้คะแนน = 316 = 7.9 คะแนน #
40

แบบฝึกหดั
1. จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณติ ของข้อมลู 5 , 8 , 12 , 12 , 16

2. นกั เรียน 8 คน มคี า่ เฉลยี่ เลขคณิตของคะแนนสอบคือ 7.5
ถ้าคะแนนของนกั เรียน 7 คนแรก คอื 5 , 8 , 7.5 , 8 , 6 , 7 , 9 แล้ว จงหาคะแนนของอีกหนงึ่ คนท่เี หลอื

หน้า 9

มธั ยฐาน

คา่ กลางตวั ถดั มาทต่ี ้องเรียน คือ “มธั ยฐาน” (Median) หรือเรียกสนั้ ๆวา่ Med
มธั ยฐาน เป็นคา่ มี “ตาแหนง่ ” อยตู่ รงกลาง เมือ่ เรียงลาดบั ข้อมลู จากน้อยไปมาก (หรือมากไปน้อยก็ได้)
หรือพดู งา่ ยๆก็คอื Med จะเป็นจดุ ทแ่ี บง่ จานวนข้อมลู ออกเป็น 2 สว่ น เทา่ ๆกนั

การหา Med ประกอบด้วย 2 ขนั้ ตอน
ขนั้ แรก ต้องหาก่อนวา่ “ตาแหนง่ ตรงกลาง” คือตาแหนง่ ที่เทา่ ไหร่
เชน่ ถ้ามขี ้อมลู 3 ตวั ตาแหนง่ ตรงกลางคือตวั ที่ 2

ถ้ามีข้อมลู 4 ตวั ตาแหนง่ ตรงกลางคือตวั ท่ี 2.5 (คอื อยรู่ ะหวา่ งตวั ที่ 2 กบั ตวั ที่ 3)
ถ้ามีข้อมลู 5 ตวั ตาแหนง่ ตรงกลางคือตวั ท่ี 3

จะได้สตู ร คือ ตาแหนง่ มธั ยฐาน = +1
2

ขนั้ ถดั มา เอาตาแหนง่ ที่ได้ไปหาคา่
โดยต้องเรียงข้อมลู จากน้อยไปมาก (หรือมากไปน้อยก็ได้) แล้วจมิ ้ นวิ ้ ไลน่ บั จนกวา่ จะถึงตาแหนง่ ที่ต้องการ
ถ้าตาแหนง่ ทค่ี านวณได้ ไปตกอยตู่ รงกลางระหวา่ งข้อมลู สองคา่ ให้เอาสองคา่ นนั้ บวกกนั หารด้วยสอง

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ มธั ยฐานของข้อมลู ชดุ หนง่ึ ซง่ึ ประกอบด้วย 5 , 15 , 12 , 21 , 13 , 9 , 18 #
วิธีทา มีข้อมลู 7 ตวั ดงั นนั้ มธั ฐานจะอยตู่ าแหนง่ ท่ี 7+1 = 4 #

2

เรียงข้อมลู จากน้อยไปมาก จะได้ 5 , 9 , 12 , 13 , 15 , 19 , 21 จะเหน็ วา่ ตวั ที่ 4 มีคา่ = 13
(จริงๆไมต่ ้องเรียงข้อมลู จนหมดทกุ ตวั ก็ได้ แคเ่ รียงให้ถึงตาแหนง่ ที่ 4 ก็พอ)
ดงั นนั ้ จะได้ Med = 13

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ มธั ยฐานของข้อมลู ชดุ หนง่ึ ซงึ่ ประกอบด้วย 12 , 18 , 22 , 25
วิธีทา มีข้อมลู 4 ตวั ดงั นนั้ มธั ฐานจะอยตู่ วั ท่ี 4+1 = 2.5

2

จะเห็นวา่ ข้อนใี ้ จดี เรียงข้อมลู มาให้แล้ว และตาแหนง่ ที่ 2.5 จะอยตู่ รงกลางระหวา่ งตวั ที่ 2 กบั ตวั ที่ 3
ถ้าเป็นแบบนี ้ให้เอาตวั ที่ 2 กบั ตวั ที่ 3 บวกกนั หารด้วย 2 จะได้ Med = 18+22 = 20

2

ในกรณีทขี่ ้อมลู มาในรูปตารางแจกแจงความถ่ี เราจะหา “ตาแหนง่ ” ของข้อมลู ยากขนึ ้ นิดหนอ่ ย
สงิ่ ที่ต้องราลกึ อยเู่ สมอ คือ ตาแหนง่ ของข้อมลู จะมคี วามเก่ียวข้องโดยตรงกบั “ความถ่ี”

คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน ( ) ตวั ท่ี 1 , 2
ตวั ท่ี 3 , 4 , 5
14 2 ตวั ท่ี 6 , 7 , 8 , 9 , 10
15 3 ตวั ท่ี 11 , 12 , 13
16 5
17 3

จะเห็นวา่ “ตาแหนง่ ” ของข้อมลู จะได้จากการนา “ความถ่ี” มาบวกสะสมไปเร่ือยๆ

หนา้ 10

บางคนจะนิยมสร้างชอ่ ง “ความถ่ีสะสม” เพ่อื ความสะดวกรวดเร็วในการระบตุ าแหนง่ ข้อมลู

คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน ( ) ความถี่สะสม ( ) ตวั ท่ี 1 , 2
ตวั ที่ 3 , 4 , 5
14 2 2 ตวั ที่ 6 , 7 , 8 , 9 , 10
15 3 5 ตวั ที่ 11 , 12 , 13
16 5 10
17 3 13

ความถ่ีสะสม จะบอกวา่ “ตวั สดุ ท้ายของชนั้ ” คอื ตวั ทีเ่ ทา่ ไหร่
ดงั นนั้ ถ้าอยากหา “ตวั ที่ ” ก็แคด่ วู า่ ความถี่สะสม “เลย ” ไปในชนั้ ไหน
เชน่ ข้อมลู ตวั ท่ี 4 จะอยใู่ นชนั้ ท่ี 2 เพราะ ความถ่ีสะสม เลย 4 ในชนั้ ที่ 2 ( = 5)

ข้อมลู ตวั ที่ 8 จะอยใู่ นชนั้ ที่ 3 เพราะ ความถี่สะสม เลย 8 ในชนั้ ท่ี 3 ( = 10)
ข้อมลู ตวั ท่ี 10 จะอยใู่ นชนั้ ท่ี 3 และเป็นตวั สดุ ท้ายของชนั้ ที่ 3
ข้อมลู ตวั ท่ี 11 จะอยใู่ นชนั้ ท่ี 4 เพราะ ความถ่ีสะสม เลย 11 ในชนั้ ที่ 4 ( = 13) เป็นต้น

ตวั อยา่ ง จงหามธั ยฐานของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้

นา้ หนกั จานวนนกั เรียน ( )

50 6
51 13
52 11
53 5

วิธีทา อนั ดบั แรก สร้างช่อง “ความถ่ีสะสม” ก่อน เพอ่ื ความสะดวกในการอ้างตาแหนง่

นา้ หนกั จานวนนกั เรียน ( ) ความถ่ีสะสม ( )

50 6 6
51 13 19
52 11 30
53 5 35

จะเหน็ วา่ มขี ้อมลู ทงั้ หมด 35 ตวั ดงั นนั้ Med จะอยตู่ าแหนง่ ท่ี 35+1 = 18 #
2

ยา้ อกี ที วา่ 18 ไมใ่ ช่ “คา่ ” มธั ยฐาน แตเ่ ป็น “ตาแหนง่ ” มธั ยฐาน
ถดั มา หาวา่ ตวั ท่ี 18 มคี า่ เทา่ ไหร่ เราต้องหากอ่ น วา่ ตวั ที่ 18 อยใู่ นชนั้ ไหน
จะเหน็ วา่ ความถี่สะสม เลย 18 ในชนั้ ท่ี 2 ( = 19) ดงั นนั้ ตวั ท่ี 18 อยใู่ นชนั้ ที่ 2
ดงั นนั ้ จะได้ Med = 51

หมายเหต:ุ นกั เรียนจานวนมาก มกั สบั สนระหวา่ ง “ตาแหนง่ ” กบั “คา่ ”
สตู ร +1 เป็นสตู รทใ่ี ช้หา “ตาแหนง่ ” มธั ยฐาน เทา่ นนั้ ไมใ่ ช่ “คา่ ” มธั ยฐาน

2

เรายงั ต้องเอาตาแหนง่ ดงั กลา่ ว ไปหา “คา่ ” ตอ่ อีก

หน้า 11

ตวั อยา่ ง จงหามธั ยฐานของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้

คะแนนสอบ ความถี่สะสม

6 5
10 12
12 20
15 32
18 40

วิธีทา ข้อนี ้โจทย์ตงั้ ใจหลอก โดยให้ “ความถี่สะสม” มา แทนที่จะเป็น “ความถี่” เฉยๆ เหมอื นปกติ

ถ้าไมส่ งั เกตดๆี เราอาจคิดวา่ โจทย์ให้ “ความถ่ี” มา แล้วดนั ไปสร้างช่อง “ความถ่ีสะสม” เพิม่ จะได้คาตอบท่ีผิด

จะเหน็ วา่ ข้อนมี ้ ขี ้อมลู ทงั้ หมด 40 ตวั ดงั นนั้ Med จะอยตู่ าแหนง่ ท่ี 40+1 = 20.5
2

ยา้ อกี ที วา่ 20.5 ไมใ่ ช่ “คา่ ” มธั ยฐาน แตเ่ ป็น “ตาแหนง่ ” มธั ยฐาน

ตวั ที่ 20.5 จะอยตู่ รงกลาง ระหวา่ งตวั ท่ี 20 กบั ตวั ที่ 21 → ต้องเอาตวั ท่ี 20 กบั 21 มาบวกกนั แล้ว ÷2

ตวั ที่ 20 → เป็นตวั สดุ ท้ายของชนั้ ท่ี 3 พอดี ดงั นนั้ ตวั ที่ 20 มีคา่ = 12

ตวั ท่ี 21 → ความถี่สะสม เลย 21 ในชนั้ ท่ี 4 ( = 32) ดงั นนั้ ตวั ที่ 21 อยใู่ นชนั้ ที่ 4 มคี า่ = 15

ดงั นนั ้ จะได้ Med = 12+15 = 13.5 #
2

แบบฝึกหดั 2. 5 , 2 , 8 , 10 , 7 , 11 , 9
1. จงหามธั ยฐานของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้

1. 2 , 5 , 8 , 13 , 14 , 14 , 18 , 20

3. 0 5 8 4. คะแนน ความถ่ี

1022 72
25677 88
31 9 12
10 6

หน้า 12

ฐานนยิ ม

คา่ กลางตวั สดุ ท้ายที่ต้องเรียน คอื “ฐานนิยม”
ฐานนิยม (Mode) คอื คา่ ท่ีข้อมลู สว่ นใหญ่นิยมเป็น
เราสามารถหาฐานนยิ มโดยหาข้อมลู ที่ “ซา้ มากสดุ ”

 ถ้ามขี ้อมลู ทีซ่ า้ มากสดุ เทา่ กนั สองตวั กใ็ ห้ตอบเป็นฐานนยิ มไปทงั้ สองตวั
 ถ้ามีข้อมลู ท่ซี า้ มากสดุ เทา่ กนั เกินสองตวั นิยมตอบวา่ “ไมม่ ฐี านนยิ ม”
 ถ้าข้อมลู ไมซ่ า้ กนั เลย ตอบวา่ “ไมม่ ฐี านนิยม”

เช่น 5 , 6 , 6 , 7 , 8 , 8 , 8 , 6 , 7 , 7 , 11 , 12 , 15 , 6 , 6 , 10 , 11 , 12 , 12 ,
17 , 20 , 20 , 24 , 28
10 , 10 , 11 , 12 , 12 13 , 15 , 15 , 16 , 18
→ Mode = 7, 20
→ Mode = 8 → Mode = ไมม่ ี

คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน ( ) อายุ จานวนนกั เรียน ( )

11 6 14 25
12 12 15 53
13 15 16 31
14 18 17 53
15
2 → Mode = 15 , 17

→ Mode = 14

แบบฝึกหดั 2. 0 2
1. จงหาฐานนยิ มของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้
11231
1. 3 , 4 , 8 , 12 , 19 , 13 , 16 , 12
24994

34

3. จานวนพนกั งาน 4. คะแนน ความถี่

4 72
3 88
2 9 12
1 10 6

0 56789 เบอร์รองเท้า

5. คะแนน ความถ่ีสะสม

23 2
24 7
25 12
26 13

หนา้ 13

การวดั ตาแหนง่ ข้อมลู

ในหวั ข้อกอ่ นหน้า เราได้เรียนเกี่ยวกบั มธั ยฐาน ซง่ึ เป็นวธิ ีวดั ตาแหนง่ ข้อมลู อยา่ งหนงึ่
มธั ยฐาน จะหมายถึง ข้อมลู ทีม่ ี “ตาแหนง่ ตรงกลาง” นน่ั เอง

Med
10 11 15 17 18 21 26 27 32 33 35 39 40 43 44 45 46 49 51

ในเรื่องนี ้เราจะได้เรียนข้อมลู ในตาแหนง่ อน่ื ๆ ซงึ่ เราวดั ได้โดยใช้ ควอไทล์ เดไซล์ และ เปอร์เซ็นไทล์

ควอไทล์ Q3
ถ้าเราแบง่ ข้อมลู ออกเป็น 4 สว่ นเทา่ ๆกนั จะมีจดุ แบง่ อยู่ 3 จดุ
เราจะเรียกข้อมลู ตรงจดุ แบง่ ทงั้ 3 จดุ วา่ Q1 Q2 และ Q3 ตามลาดบั ดงั นี ้

Q1 Q2

10 11 15 17 18 21 26 27 32 33 35 39 40 43 44 45 46 49 51

หมายเหตุ : จะเหน็ วา่ Q2 = Med เสมอ

ตาแหนง่ ของ Q จะหาได้จากสตู ร ∙ ( + 1)
4
เช่น จากตวั อยา่ งด้านบน มีข้อมลู 19 ตวั ( = 19)

จะได้ Q1 อยตู่ วั ท่ี 1 ∙ (19 + 1) = 5 Q2 อยตู่ วั ที่ 2 ∙ (19 + 1) = 10
4 4

Q3 อยตู่ วั ท่ี 3 ∙ (19 + 1) = 15

4

เดไซล์
ถ้าเราแบง่ ข้อมลู ออกเป็น 10 สว่ นเทา่ ๆกนั จะมจี ดุ แบง่ อยู่ 9 จดุ
เราจะเรียกข้อมลู ตรงจดุ แบง่ ทงั้ 9 จดุ วา่ D1 D2 D3 … D9 ตามลาดบั ดงั นี ้

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

10 11 15 17 18 21 26 27 32 33 35 39 40 43 44 45 46 49 51

หมายเหตุ : จะเหน็ วา่ D5 = Q2 = Med เสมอ

ตาแหนง่ ของ D จะหาได้จากสตู ร ∙ ( + 1)

10
เชน่ จากตวั อยา่ งด้านบน มีข้อมลู 19 ตวั ( = 19)

จะได้ D1 อยตู่ วั ท่ี 1 ∙ (19 + 1) = 2 D2 อยตู่ วั ที่ 2 ∙ (19 + 1) = 4

10 10

D5 อยตู่ วั ท่ี 5 ∙ (19 + 1) = 10 D9 อยตู่ วั ท่ี 9 ∙ (19 + 1) = 18 เป็นต้น

10 10

หนา้ 14

เปอร์เซ็นไทล์
ถ้าเราแบง่ ข้อมลู ออกเป็น 100 สว่ นเทา่ ๆกนั จะมจี ดุ แบง่ อยู่ 99 จดุ
เราจะเรียกข้อมลู ตรงจดุ แบง่ ทงั้ 99 จดุ วา่ P1 P2 P3 … P99 ตามลาดบั

P10 P18 P62 P87.5
... ... ...
...

10 11 15 17 18 21 26 27 32 33 35 39 40 43 44 45 46 49 51

หมายเหตุ : จะเห็นวา่ P10 = D1 P20 = D2 P30 = D3 P40 = D4 P50 = D5
P60 = D6 P70 = D7 P80 = D8 P90 = D9
และ P25 = Q1 P50 = Q2 P75 = Q3
และ P50 = Med

ตาแหนง่ ของ P จะหาได้จากสตู ร ∙ ( + 1)
100
เช่น จากตวั อยา่ งด้านบน มขี ้อมลู 19 ตวั ( = 19)

จะได้ P10 อยตู่ วั ท่ี 10 ∙ (19 + 1) = 2 P18 อยตู่ วั ท่ี 18 ∙ (19 + 1) = 3.6
100 100

P62 อยตู่ วั ท่ี 62 ∙ (19 + 1) = 12.4 P87.5 อยตู่ วั ที่ 87.5 ∙ (19 + 1) = 17.5 เป็นต้น

100 100

ในการหาคา่ ของ ควอไทล์ เดไซล์ และ เปอร์เซน็ ไทล์ จะมีขนั้ ตอน คล้ายๆตอนทเี่ ราหา Med ดงั นี ้
1. หา “ตาแหนง่ ”

Q → ∙ ( + 1) D → ∙ ( + 1) P → ∙ ( + 1)
4 10 100

2. เอาตาแหนง่ ทไี่ ด้ ไปหา “คา่ ”
โดยต้องเรียงข้อมลู จากน้อยไปมาก นบั จนถงึ ตาแหนง่ ที่ต้องการ แล้วตอบคา่ ข้อมลู ณ ตาแหนง่ นนั้
ถ้าตาแหนง่ ไมเ่ ป็นจานวนเต็ม ให้ประมาณเอาจากสองตวั ทคี่ ร่อมตาแหนง่ นนั้ อยู่
เช่น ถ้าต้องการหาคา่ ข้อมลู ตวั ท่ี 5.62 จะหาได้ดงั นี ้

ข้อมลู ตวั ท่ี 5.62 = ตวั ท่ี 5 + 0.62 × (ตวั ที่ 6 − ตวั ที่ 5)

เราต้องหดั ใช้สตู รนใี ้ ห้คลอ่ ง เช่น ตวั ที่ 10.3 = ตวั ท่ี 10 + 0.3 × (ตวั ท่ี 11 − ตวั ท่ี 10)
ตวั ที่ 8.03 = ตวั ที่ 8 + 0.03 × (ตวั ที่ 9 − ตวั ที่ 8)
ตวั ที่ 3.45 = ตวั ที่ 3 + 0.45 × (ตวั ที่ 4 − ตวั ท่ี 3) เป็นต้น

หนา้ 15

ตวั อยา่ ง จงหา Q3 , D2 และ P83 ของข้อมลู 15 , 18 , 18 , 19 , 20 , 24 , 24

วธิ ีทา มีข้อมลู 7 ตวั → Q3 จะอยตู่ วั ท่ี 3 ∙ (7 + 1) = 6

4
นบั ดู จะได้ตวั ที่ 6 มีคา่ 24 ดงั นนั้ Q3 = 24

→ D2 อยตู่ วั ท่ี 2 ∙ (7 + 1) = 1.6

10
ตวั ที่ 1.6 = ตวั ที่ 1 + 0.6 × (ตวั ท่ี 2 − ตวั ท่ี 1)

= 15 + 0.6 × ( 18 − 15 ) = 16.8

ดงั นนั ้ D2 = 16.8

→ P83 อยตู่ วั ท่ี 83 ∙ (7 + 1) = 6.64

100
ตวั ท่ี 6.64 จะอยรู่ ะหวา่ งตวั ท่ี 6 กบั ตวั ท่ี 7 แตบ่ งั เอญิ ตวั ท่ี 6 กบั ตวั ที่ 7 เทา่ กนั = 24

ดงั นนั้ ไมต่ ้องคดิ เลข ตอบได้เลยวา่ P83 = 24 #

สดุ ท้าย ถ้าเราเจอประโยคพวกนี ้ต้องรู้วา่ เป็นเรื่อง ควอไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นไทล์

“มขี ้อมลู ประมาณ 3 ใน 4 ได้คะแนนน้อยกวา่ สมชาย” → สมชาย = Q3
“มขี ้อมลู ประมาณครึ่งหนง่ึ ได้คะแนนน้อยกวา่ สมหญิง” → สมหญิง = Med

“มขี ้อมลู ประมาณ 7 ใน 10 ได้คะแนนน้อยกวา่ สมหวงั ” → สมหวงั = D7
“มีข้อมลู ประมาณ 60% ได้คะแนนมากกวา่ สมปอง” → สมปอง = P40
“สมศรี ได้คะแนนสงู ท่ีสดุ ในกลมุ่ 20% ทีไ่ ด้คะแนนต่าสดุ ” → สมศรี = P20
“สมหมาย ได้คะแนนตา่ ทส่ี ดุ ในกลมุ่ 30% ท่ีได้คะแนนสงู สดุ ” → สมหมาย = P70
“โอกาสที่จะสมุ่ ได้คนทีค่ ะแนนน้อยกวา่ สมบตั ิ เทา่ กบั 3 ใน 10” → สมบตั ิ = D3

สงิ่ ทต่ี ้องรู้ เวลาใช้คาศพั ท์พวกนี ้คือ เราจะไมจ่ กุ จิกเร่ือง “เทา่ กบั ”
นนั่ คือ เราจะถือวา่ ประโยคตา่ งๆตอ่ ไปนี ้อนโุ ลมให้มคี วามหมายเหมอื นกนั ได้

“มขี ้อมลู ประมาณ 3 ใน 4 ได้คะแนนน้อยกวา่ สมชาย”
“มีข้อมลู ประมาณ 3 ใน 4 ได้คะแนนน้อยกวา่ หรือเทา่ กบั สมชาย”
“มขี ้อมลู ประมาณ 1 ใน 4 ได้คะแนนมากกวา่ สมชาย”
“มีข้อมลู ประมาณ 1 ใน 4 ได้คะแนนมากกวา่ หรือเทา่ กบั สมชาย”

อยา่ งไรก็ตาม การไมจ่ กุ จิกแบบนี ้สร้างปัญหาให้เราได้พอสมควร
เพราะบางที เราต้องเดาเอาเอง วา่ โจทย์หมายถงึ แบบไหน วา่ โจทย์จะนบั สมชายเป็นหนง่ึ ในข้อมลู หรือไม่
สว่ นใหญ่ มกั จะต้องเลือกแบบทคี่ ิดแล้วมตี วั เลอื กให้กา และ / หรือ ได้คาตอบเป็นเลขลงตวั

หนา้ 16

ตวั อยา่ ง จากข้อมลู คะแนนสอบตอ่ ไปนี ้

20 22 25 25 27 29 31 33 33 34
38 39 39 41 45 48 49 51 54 55
57 59 59

จงหาวา่ นกั เรียนทไี่ ด้คะแนนมากที่สดุ ในกลมุ่ 10% ตา่ สดุ ได้คะแนนน้อยกวา่ นกั เรียนท่ีได้คะแนนน้อยทส่ี ดุ ใน

กลมุ่ 10% สงู สดุ อยกู่ ่ีคะแนน

วธิ ีทา คะแนนมากท่ีสดุ ในกลมุ่ 10% ต่าสดุ → P10 ข้อนี ้โจทย์ให้หา P90 − P10 นน่ั เอง
คะแนนน้อยที่สดุ ในกลมุ่ 10% สงู สดุ → P90

นบั ดู จะมีข้อมลู ทงั้ หมด 23 ตวั → P10 จะอยตู่ วั ที่ 10 ∙ (23 + 1) = 2.4
100
ตวั ท่ี 2.4 = ตวั ที่ 2 + 0.4 × (ตวั ท่ี 3 − ตวั ท่ี 2)

= 22 + 0.4 × ( 25 − 22 ) = 23.2

→ P90 จะอยตู่ วั ที่ 90 ∙ (23 + 1) = 21.6
100
ตวั ที่ 21.6 = ตวั ท่ี 21 + 0.6 × (ตวั ที่ 22 − ตวั ที่ 21)

= 57 + 0.6 × ( 59 − 57 ) = 58.2

ดงั นนั ้ P10 น้อยกวา่ P90 อยู่ 58.2 − 23.2 = 35 #

แบบฝึกหดั
1. จงหาคา่ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้เม่อื กาหนดข้อมลู ให้ดงั นี ้

10 12 15 20 25 26 28 29
33 34 36 38 40 42 42

1. Med 2. Q3

3. D3 4. P15

2. ข้อมลู ชดุ หนงึ่ มี 10 จานวนประกอบด้วยจานวนตอ่ ไปนี ้

4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25

ควอไทลท์ ่สี ามของข้อมลู ชดุ นมี ้ ีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 49/2-5]

หนา้ 17

การวดั การกระจายสมั บรู ณ์

อกี หลายๆหวั ข้อตอ่ จากนี ้จะสนใจวา่ ข้อมลู ในกลมุ่ มีความแตกตา่ งกนั มากน้อยขนาดไหน
 ถ้า ข้อมลู ในกลมุ่ มคี วามแตกตา่ งกนั มาก → ข้อมลู กระจายมาก
 ถ้า ข้อมลู ในกลมุ่ มีความแตกตา่ งกนั น้อย → ข้อมลู กระจายน้อย

คะแนนสอบห้อง 5/1 (ข้อมลู กระจายมาก) คะแนนสอบห้อง 5/2 (ข้อมลู กระจายน้อย)

30 95 21 80 5 72 81 80 76 75
20 85 15 75 12 80 75 75 72 71
51 84 62 7 11 81 74 82 77 81

วธิ ีวดั การกระจายของข้อมลู จะมหี ลายวธิ ี ได้แก่

1. พสิ ยั (Range)

2. สว่ นเบ่ียงเบนควอไทล์ (Quatile Deviation: Q.D.)

3. สว่ นเบีย่ งเบนเฉลย่ี (Mean Deviation: M.D.)

4. สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation: S.D.)

ในคณิตศาสตร์พนื ้ ฐานนี ้จะพดู ถงึ เฉพาะ พสิ ยั และ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานเทา่ นนั้

หน้า 18

พสิ ยั

พิสยั (Range) เป็นวธิ ีทว่ี ดั การกระจายทงี่ ่ายทสี่ ดุ

ซงึ่ หาได้จากสตู ร พิสยั = ข้อมลู มากสดุ − ข้อมลู น้อยสดุ

ตวั อยา่ ง จงหาพสิ ยั ของคะแนนสอบห้อง 5/1 และ ห้อง 5/2 ตอ่ ไปนี ้

คะแนนสอบห้อง 5/1 คะแนนสอบห้อง 5/2

30 95 21 80 5 72 81 80 76 75
20 85 15 75 12 80 75 75 72 71
51 84 62 7 11 81 74 82 77 81

วิธีทา ห้อง 5/1: คะแนนมากสดุ = 95 คะแนนสอบน้อยสดุ = 5 #
ดงั นนั ้ พิสยั = 95 − 5 = 90

ห้อง 5/2: คะแนนมากสดุ = 82 คะแนนสอบน้อยสดุ = 71
ดงั นนั ้ พสิ ยั = 82 − 71 = 11

พสิ ยั จะเป็นวธิ ีวดั การกระจายแบบหยาบๆ คิดงา่ ย แตไ่ มค่ อ่ ยแมน่
เพราะ พิสยั หาจากข้อมลู แค่ 2 ตวั (คือข้อมลู มากสดุ กบั ข้อมลู น้อยสดุ ) ข้อมลู ตวั อ่ืนจะไมม่ ีผลกบั พิสยั
เชน่ 2 7 7 8 8 9 → พิสยั = 9 − 2 = 7

2 3 4 5 7 9 → นา่ จะกระจายมากกวา่ แต่ พิสยั = 9 − 2 = 7 เทา่ กนั
ดงั นนั้ เราจงึ ไมค่ อ่ ยนิยมใช้พสิ ยั ในการวดั การกระจาย

แบบฝึกหดั

1. จงหาพสิ ยั ของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้

1. 5 12 10 22 2. 8 6 2 0 3
20 16 8
11 29 20 6 98 3 1 2 7
12 9 18 10 4 9 3
14 15 34 34
11 2 3
16

18

2. คะแนนสอบของนกั เรียน 3 คน มีพิสยั เทา่ กบั 8 คะแนน ถ้ามธั ยฐานคือ 12 คะแนน และ คา่ เฉลยี่ เลขคณิตคือ 14
คะแนน แล้ว จงหาคะแนนของนกั เรียนทงั้ 3 คนนี ้

หน้า 19

สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน

สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation: S.D.) หรือเรียกสนั ้ ๆวา่
สตู รสาหรับหา จะมี 2 สตู ร คือ

= √∑( − ̅)2 = √∑ 2 − ̅ 2 ใช้สตู รไหนก็ได้
ได้ผลลพั ธ์เทา่ กนั


สตู รนี ้อา่ นสตู รเข้าใจยากนดิ หนอ่ ย ดจู ากตวั อยา่ งจะเข้าใจกวา่
เช่น ถ้าต้องการหาสว่ นเบ่ียงเบนสามาตรฐานของข้อมลู 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9

ถ้าหาด้วยสตู ร √∑( − ̅)2 จะมขี นั ้ ตอนดงั นี ้

1. หา ̅ จะได้ ̅ = 2+3+4+5+7+9 = 5
6
2. หาผลตา่ งของข้อมลู แตล่ ะตวั กบั ̅ แล้วยกกาลงั สอง ได้เป็น ( − ̅)2

23457 9

−3 −2 −1 0 2 4
̅ = 5

(ผลตา่ งของข้อมลู แตล่ ะตวั กบั ̅)2 คอื 9 , 4 , 1 , 0 , 4 , 16

3. เอาผลในข้อ 2 มาหาคา่ เฉลยี่ แล้วถอดรูท ตอบ

→ 9+4+1+0+4+16 = 34 = 17

6 63

ดงั นนั ้ = √17 = √17 × √3 = √51
3 √3 √3 3

หรือถ้าจะหาด้วยสตู ร √∑ 2 − ̅2 จะมีขนั ้ ตอนดงั นี ้


1. หา ̅ จะได้ ̅ = 2+3+4+5+7+9 = 5
6

2. หา 2 โดยเอาข้อมลู แตล่ ะตวั มายกกาลงั สอง แล้วหาคา่ เฉลยี่ ของผลยกกาลงั สอง ได้เป็น ∑ 2


234579

4 9 16 25 49 81

∑ 2 = 4+9+16+25+49+81 = 184 = 92

6 6 3

3. เอาผลจากข้อ 2 มาลบ ̅2 แล้วถอดรูท ตอบ

→ 92 − 52 = 92 − 25 = 92−75 = 17
33 33

ดงั นนั้ = √17 = √17 × √3 = √51
√3 √3 3
3

หนา้ 20

จะเหน็ วา่ คา่ มกั ติด √ ทาให้ได้ตวั เลขไมล่ งตวั อ้างองิ ลาบาก
เราจะใช้คาวา่ “ความแปรปรวน” (Variance) หรือ ในการเรียก แบบที่ไมต่ ้องถอด √
ดงั นนั ้ ข้อมลู 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 จะมี ความแปรปรวน ( ) = 17

3

อีกอยา่ งที่ควรทราบคือ ในกรณีทตี่ ้องการหา จากกลมุ่ ตวั อยา่ ง เราจะใช้สตู ร = √∑( − ̅)2

−1

= √∑ 2 − ̅2

−1

สตู รอกี ชดุ ท่ีไมจ่ าเป็นต้องรู้ แตถ่ ้ารู้จะทาให้ชว่ ยทาข้อสอบบางข้อได้เร็วขนึ ้ คอื สตู ร “ความแปรปรวนรวม”

ถ้ามีข้อมลู 2 ชดุ ชดุ แรก มขี ้อมลู 1 ตวั มคี า่ เฉลย่ี = ̅1 และมคี วามแปรปรวน = 12

ชดุ ทสี่ อง มีข้อมลู 2 ตวั มคี า่ เฉลย่ี = ̅2 และมคี วามแปรปรวน = 22

ถ้ารวมข้อมลู ทงั้ 2 ชดุ เป็นข้อมลู ชดุ ใหญช่ ดุ เดยี ว จะได้จานวนข้อมลู ทงั้ หมด 1 + 2 ตวั

ถ้า 1̅ = ̅2 แล้ว จะได้ คา่ เฉลย่ี รวม ̅รวม = 1̅ = ̅2

ความแปรปรวนรวม ร2วม = 1 12+ 2 22
1+ 2

แตถ่ ้า 1̅ ≠ ̅2 แล้ว จะได้ คา่ เฉลย่ี รวม ̅รวม = 1 ̅1+ 2 ̅2
1+ 2
1( 12+( ̅1− ̅รวม)2)+ 2( 22+( ̅2− ̅รวม)2)
ความแปรปรวนรวม ร2วม = 1+ 2

ตวั อยา่ ง นกั เรียนห้องหนง่ึ เป็นชาย 16 คน เป็นหญิง 20 คน ถ้ากลมุ่ นกั เรียนชายมีคะแนนเฉลยี่ 22 คะแนน มสี ว่ น

เบ่ยี งเบนมาตรฐาน 2 คะแนน และกลมุ่ นกั เรียนหญิงมคี ะแนนเฉลย่ี 22 คะแนน มีสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน 3

คะแนน จงหาสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของนกั เรียนห้องนี ้

วิธีทา เนอื่ งจากกลมุ่ นกั เรียนชายและหญิง มีคา่ เฉลยี่ เทา่ กนั (= 22 คะแนน)

ดงั นนั้ จะใช้สตู รความแปรปรวนรวม ร2วม = 1 12+ 2 22 ได้
1+ 2

จะได้ ร2วม = ช ช2+ ญ ญ2 = (16)(22) + (20)(32) = 64 + 180 = 244 = 61
ช+ ญ 16+20 36 36 9

ถอดรูท จะได้ รวม = √61 = √61 #
3
9

ตวั อยา่ ง นกั เรียนห้องหนงึ่ เป็นชาย 16 คน เป็นหญิง 20 คน ถ้ากลมุ่ นกั เรียนชายมคี ะแนนเฉลย่ี 15 คะแนน มีสว่ น

เบยี่ งเบนมาตรฐาน 2 คะแนน และกลมุ่ นกั เรียนหญิงมคี ะแนนเฉลย่ี 24 คะแนน มีสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน 3

คะแนน จงหาสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของนกั เรียนห้องนี ้

วธิ ีทา เนือ่ งจากกลมุ่ นกั เรียนชายและหญิง มคี า่ เฉลยี่ ไมเ่ ทา่ กนั (15 และ 24 คะแนน)

ดงั นนั ้ ต้องหา ̅รวม และใช้สตู รความแปรปรวนรวม ร2วม = 1( 12+( ̅1− ̅รวม)2)+ 2( 22+( ̅2− ̅รวม)2)

1+ 2

จะได้ ̅รวม = 1 ̅1+ 2 ̅2 = 16(15)+20(24) = 240+480 = 720 = 20
1+ 2 16+20 36 36

จะได้ ร2วม = 1( 12+( ̅1− ̅รวม)2)+ 2( 22+( ̅2− ̅รวม)2)
1+ 2
= (16)(22+(15−20)2) + (20)(32+(24−20)2) = (16)(29)+ (20)(25) = 964 = 241
16+20 36 36 9

ถอดรูท จะได้ รวม = √241 = √241 #
3
9

หน้า 21

แบบฝึกหดั

1. จงหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน และ ความแปรปรวน ของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้

1. 2 , 3 , 4 , 5 , 6 2. 3 , 6 , 9 , 10

2. ข้อมลู ชดุ หนง่ึ มจี านวน 12 ตวั ถ้า 12 ( − ̅)2 = 192 แล้ว จงหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมลู ชดุ นี ้



i 1

้

หน้า 22

สมบตั ิของสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน มีสมบตั ทิ ี่นา่ สนใจดงั นี ้
 จะไมม่ ีทางตดิ ลบ ถึงแม้ข้อมลู จะเป็นเลขตดิ ลบ ก็ไมม่ ีทางได้ ติดลบ
เพราะการยกกาลงั สอง จะทาให้เลขลบกลายเป็นบวก

 ถ้า = 0 แปลวา่ ข้อมลู ชดุ นนั้ “ไมก่ ระจาย” เกิดขนึ ้ ได้เม่ือข้อมลู ทกุ ตวั เทา่ กนั หมด

 “กระจายแบบปกต”ิ ของข้อมลู สว่ นใหญ่ทมี่ อี ยตู่ ามธรรมชาติ มกั จะ “กองอยตู่ รงกลางแบบสมมาตร” เสมอ

จะมีข้อมลู ประมาณ 68% อยรู่ ะหวา่ ง ̅ − กบั ̅ + กฎ 68 - 95 - 99
จะมีข้อมลู ประมาณ 95% อยรู่ ะหวา่ ง ̅ − 2 กบั ̅ + 2
จะมขี ้อมลู ประมาณ 99% อยรู่ ะหวา่ ง ̅ − 3 กบั ̅ + 3

เช่น ถ้ามขี ้อมลู 1000 ตวั กระจายแบบปกติ โดยที่ ̅ = 25 และ = 3

68% = 68 × 1000 680 340 340
22 28 160 160
100
22 25 28
= 680 คน
อยรู่ ะหวา่ ง 22 กบั 28

95% = 95 × 1000 950 475 475
19 31 25 25
100
19 25 31
= 950 คน
อยรู่ ะหวา่ ง 19 กบั 31

99% = 99 × 1000 990 495 495
55
100
16 25 34
= 990 คน
อยรู่ ะหวา่ ง 16 กบั 34

16 34

 จะมีคา่ ประมาณ พิสยั (สตู รนจี ้ ะใช้เวลาต้องการประมาณคา่ แบบเร็วๆ)
4

 การเพม่ิ หรือลดข้อมลู ทกุ ตวั อยา่ งเทา่ ๆกนั โดยการบวกหรือลบด้วยคา่ คงท่ี จะไมท่ าให้คา่ การกระจายเปลย่ี น
เชน่ ถ้าเอาข้อมลู 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 มาบวก 50 เพม่ิ ให้ข้อมลู ทกุ ตวั
จะได้เป็น 52 , 53 , 54 , 55 , 57 , 59
ข้อมลู ชดุ ใหมห่ ลงั บวก จะมี เทา่ กบั ข้อมลู ชดุ เดมิ ทยี่ งั ไมไ่ ด้บวก

 การเปลยี่ นข้อมลู ทกุ ตวั อยา่ งเทา่ ๆกนั โดยการคณู ด้วย จะทาให้การกระจายเปลย่ี นเป็น | | เทา่ ของของเดมิ

การเปลย่ี นข้อมลู ทกุ ตวั อยา่ งเทา่ ๆกนั โดยการหารด้วย จะทาให้การกระจายเปลยี่ นเป็น 1 เทา่ ของของเดมิ
| |
เชน่ ถ้าเอา 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 มาคณู −10 ได้เป็น −20 , −30 , −40 , −50 , −70 , −90

ข้อมลู ชดุ ใหม่ จะมี เป็น |−10| = 10 เทา่ ของของเดมิ

หน้า 23

ตวั อยา่ ง ข้อมลู อณุ หภมู ิประจาวนั ในหนว่ ย °C ชดุ หนง่ึ ประกอบด้วย 28 , 27 , 29 , 27 , 24 มสี ว่ นเบีย่ งเบน

มาตรฐาน 2.8 เมอื่ แปลงข้อมลู นใี ้ ห้อยใู่ นหนว่ ย °F ด้วยสตู ร (C × 59) + 32 จะกลายเป็น 47.56 ,
47.00 , 48.11 , 47.00 , 45.33 จงหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมลู ชดุ นี ้หลงั จากทแ่ี ปลงเป็นหนว่ ย

°F แล้ว

วิธีทา ข้อนี ้จะหา ตรงๆ จาก 47.56 , 47.00 , 48.11 , 47.00 , 45.33 ตรงๆ ก็ได้ แตใ่ ช้แรงเยอะมาก

จะเห็นวา่ ข้อมลู 28 , 27 , 29 , 27 , 24 จะถกู แปลงโดย คณู 5 แล้วบวกด้วย 32
9

การคณู ด้วย 5 จะทาให้ เปลยี่ นไป 5 เทา่
9 9
แตก่ ารบวกด้วย 32 จะไมท่ าให้ เปลย่ี น

ดงั นนั้ ข้อมลู หลงั แปลง จะมี ใหม่ = เดิม × 5 = 2.8 × 5 = 1.56 #
9
9

แบบฝึกหดั
1. ชว่ งก่อนสอบ นา้ หนกั ของนกั เรียน ม. 5/1 จานวน 40 คน มสี ว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 4 กก. เมอ่ื สอบเสร็จพบวา่

นกั เรียนทกุ คนนา้ หนกั เพ่ิมขนึ ้ คนละ 2 กก. จงหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของนา้ หนกั นกั เรียน ม. 5/1 หลงั สอบเสร็จ

2. นกั เรียนกลมุ่ หนง่ึ ประกอบด้วยผ้ชู าย 3 คน และผ้หู ญิง 2 คน โดยกลมุ่ ผ้ชู ายมคี วามแปรปรวนเทา่ กบั 0 และมอี ายุ
เฉลย่ี 25 ปี ถ้าผ้หู ญิงทงั้ สองคน มีอายุ 15 และ 20 ปี ตามลาดบั แล้ว ความแปรปรวนของอายนุ กั เรียนกลมุ่ นี ้
เทา่ กบั เทา่ ใด

3. พนกั งานบริษัทจานวน 800 คน มเี งินเดือนเฉลยี่ 10,000 บาท สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน 1,500 บาท ถ้าเงินเดือน
พนกั งานกลมุ่ นี ้มีการกระจายแบบปกติแล้ว มพี นกั งานประมาณก่ีคน ทไี่ ด้เงินเดอื นน้อยกวา่ 7,000 บาท

หนา้ 24

แผนภาพกลอ่ ง
แผนภาพกลอ่ ง เป็นแผนภมู ริ ูปภาพเพ่อื บอก คา่ น้อยสดุ , Q1 , Q2 , Q3 และ คา่ มากสดุ ดงั รูป

คา่ น้อยสดุ Q1 Q2 Q3 คา่ มากสดุ

0 20 40 60 80 100 120 140

จากแผนภาพกลอ่ ง เราจะสามารถคานวณ พิสยั (= คา่ มากสดุ − คา่ น้อยสดุ )
สว่ นเบี่ยงเบนควอไทล์ (= Q3−Q1)

2

สมั ประสทิ ธ์ิของสว่ นเบ่ยี งเบนควอไทล์ (= Q3−Q1) ได้
Q3+Q1

ซง่ึ คา่ เหลา่ นี ้ใช้บอกการกระจายของข้อมลู ได้
นนั่ คอื ถ้าคา่ มากสดุ กบั คา่ น้อยสดุ อยหู่ า่ งกนั มาก แปลวา่ ข้อมลู มกี ารกระจายมาก

และเนอื่ งจาก ควอไทล์ เป็นจดุ ทแี่ บง่ ข้อมลู ออกเป็น 4 สว่ นเทา่ ๆกนั
สง่ิ ที่ต้องเข้าใจให้แมน่ คอื “แตล่ ะสว่ น มขี ้อมลู 25% เทา่ กนั หมด” ไมข่ นึ ้ กบั วา่ สว่ นไหนยาว สว่ นไหนสนั้
ความยาว ความสนั้ จะมีผลกบั “ความแออดั ” ของข้อมลู
เนือ่ งจาก แตล่ ะสว่ น มีข้อมลู 25% เทา่ กนั ดงั นนั้ “สว่ นทส่ี นั้ จะแออดั กวา่ สว่ นท่ียาว”
ดงั นนั้ เราจะบอกลกั ษณะ “การเบ้” ได้ด้วย โดยดวู า่ “สว่ นสนั้ อยทู่ างซ้ายหรือทางขวา”

ถ้า สว่ นสนั้ อยทู่ างซ้าย แปลวา่ ทางซ้ายแออดั แปลวา่ โค้งโดง่ ซ้าย แปลวา่ ข้อมลู เบ้ขวา
ถ้า สว่ นสนั้ อยทู่ างขวา แปลวา่ ทางขวาแออดั แปลวา่ โค้งโดง่ ขวา แปลวา่ ข้อมลู เบ้ซ้าย

ตวั อยา่ ง จากแผนภาพกลอ่ งแสดงคะแนนสอบของนกั เรียน จานวน 60 คน ตอ่ ไปนี ้

20 40 60 80 100 120

จงพิจารณาวา่ ข้อใดผดิ

1. พสิ ยั ของคะแนนสอบ คือ 90 คะแนน

2. ข้อมลู มีลกั ษณะการกระจายแบบเบ้ขวา

3. นกั เรียนทีไ่ ด้คะแนนในชว่ ง 60 - 80 มีน้อยกวา่ 15 คน

4. นกั เรียนท่ไี ด้คะแนนมากกวา่ 60 มจี านวนมากกวา่ นกั เรียนทีไ่ ด้คะแนนน้อยกวา่ 60

วธิ ีทา จากแผนภาพ จะได้ ข้อมลู น้อยสดุ = 25 , Q1 = 40 , Q2 = 60 , Q3 = 90 , ข้อมลู มากสดุ = 115
1. พิสยั = ข้อมลู มากสดุ − ข้อมลู น้อยสดุ = 115 − 25 = 90 ดงั นนั้ ข้อ 1 ถกู ต้อง

2. จะเหน็ วา่ สว่ นสนั้ อยทู่ างซ้าย ดงั นนั้ ทางซ้ายแออดั แปลวา่ โค้งโดง่ ซ้าย

ดงั นนั้ ข้อมลู นเี ้ป็นแบบเบ้ขวา ดงั นนั้ ข้อ 2 ก็ถกู อกี

หน้า 25

3. เนอ่ื งจากมีนกั เรียน 60 คน แบง่ เป็น 4 สว่ น สว่ นละเทา่ ๆกนั จะได้แตล่ ะสว่ นจะมนี กั เรียน 15 คน

15 คน 15 คน 15 คน 15 คน

20 40 60 80 100 120

จากภาพ จะได้วา่ ชว่ ง 60 - 90 มนี กั เรียน 15 คน
ดงั นนั้ ข้อ 3 ถกู เพราะ ชว่ ง 60 - 80 เลก็ กวา่ 60 - 90 จึงนา่ จะมนี กั เรียนน้อยกวา่ 15 คน

4. นกั เรียนที่ได้น้อยกวา่ 60 คะแนน จะมี 2 สว่ น (25 - 40 และ 40 - 60) → มี 15 + 15 = 30 คน

นกั เรียนที่ได้มากกวา่ 60 คะแนน ก็มี 2 สว่ น (60 - 90 และ 90 - 115) → มี 15 + 15 = 30 คน

ดงั นนั้ ข้อ 4 ผดิ #

ตวั อยา่ ง จากแผนภาพกลอ่ งแสดงข้อมลู คะแนนสอบ วิชาคณิตศาสตร์ และ ภาษาองั กฤษ ของนกั เรียนห้องหนงึ่

คณิตศาสตร์
ภาษาองั กฤษ

0 20 40 60 80 100 #

จงพิจารณาวา่ ข้อใดถกู
1. คะแนนวชิ าภาษาองั กฤษ มกี ารกระจายน้อยกวา่
2. คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของคะแนนสอบทงั้ สองวชิ า เทา่ กนั
3. จานวนนกั เรียนทไี่ ด้คณิตศาสตร์ น้อยกวา่ 65 คะแนน มนี ้อยกวา่
จานวนนกั เรียนทไี่ ด้ภาษาองั กฤษ น้อยกวา่ 65 คะแนน
4. คะแนนสงู สดุ ที่อยใู่ นกลมุ่ 25 % ตา่ สดุ ของวิชาคณิตศาสตร์ มากกวา่
คะแนนสงู สดุ ท่ีอยใู่ นกลมุ่ 25 % ต่าสดุ ของวิชาภาษาองั กฤษ

วธิ ีทา 1. ภาษาองั กฤษ มชี ่วงคะแนน มากสดุ - น้อยสดุ กว้างกวา่
ดงั นนั้ ภาษาองั กฤษมีการกระจายมากกวา่ ข้อ 1 จงึ ผิด

2. เนอื่ งจากแผนภาพกลอ่ ง บอกแตค่ วอไทล์
ข้อมลู ทีโ่ จทย์ให้ ไมส่ ามารถนาไปสรุปเกี่ยวกบั คา่ เฉลย่ี ได้ ดงั นนั้ ข้อ 2 จะจริงหรือเปลา่ ก็ไมร่ ู้

3. นกั เรียนท่ไี ด้คณิตศาสตร์ น้อยกวา่ 65 คะแนน จะมี 3 สว่ น
แตน่ กั เรียนที่ได้องั กฤษ น้อยกวา่ 65 คะแนน จะมแี ค่ 2 สว่ นกวา่ ๆ ดงั นนั้ ข้อ 3 ผดิ

4. “คะแนนสงู สดุ ทีอ่ ยใู่ นกลมุ่ 25 % ตา่ สดุ ” หมายถงึ Q1 นนั่ เอง
จะเห็นวา่ วชิ าคณิตศาสตร์ มี Q1 = 20
วิชาภาษาองั กฤษ มี Q1 = 15 ดงั นนั้ ข้อ 4 ถกู ต้อง

หน้า 26

แบบฝึกหดั
1. จากแผนภาพกลอ่ งแสดงคะแนนสอบ 2 วิชา ของนกั เรียนห้อง ม. 5/1 ตอ่ ไปนี ้จงพิจารณาวา่ ข้อใดถกู ต้องบ้าง

วิชาท่ี 1
วชิ าท่ี 2

0 20 40 60 80 100

1. Q1 ของวิชาท่ี 1 มากกวา่ Q1 ของวชิ าท่ี 2
2. Q2 ของวชิ าท่ี 1 มากกวา่ Q2 ของวชิ าที่ 2
3. Q3 ของวชิ าท่ี 1 มากกวา่ Q3 ของวชิ าท่ี 2
4. คะแนนเฉลยี่ ของวชิ าที่ 1 มากกวา่ คะแนนเฉลยี่ ของวชิ าที่ 2
5. คะแนนต่าสดุ ในกลมุ่ 25% สงู สดุ ในวชิ าท่ี 1 มากกวา่ วชิ าท่ี 2
6. มนี กั เรียนที่สอบได้คะแนน 30 - 40 คะแนน ในวชิ าท่ี 1 มากกวา่ วิชาท่ี 2
7. มีนกั เรียนท่ีสอบได้คะแนน 50 - 70 คะแนน ในวชิ าท่ี 1 มากกวา่ วิชาท่ี 2
8. มีนกั เรียนที่สอบได้คะแนนน้อยกวา่ 40 คะแนน ในวชิ าท่ี 1 มากกวา่ วชิ าที่ 2
9. มนี กั เรียนทสี่ อบได้คะแนนน้อยกวา่ 50 คะแนน ในวชิ าท่ี 1 มากกวา่ วชิ าท่ี 2
10. มนี กั เรียนทส่ี อบได้คะแนนน้อยกวา่ 70 คะแนน ในวชิ าที่ 1 มากกวา่ วชิ าท่ี 2

2. คะแนนสอบความรู้ทว่ั ไปของนกั เรียน 200 คนนาเสนอโดยใช้แผนภาพกลอ่ งดงั นี ้

10 12 16 18 24

ข้อใดเป็นเทจ็ [O-NET 53/32]

1. จานวนนกั เรียนที่ทาได้ 12 ถึง 16 คะแนน มเี ทา่ กบั จานวนนกั เรียนท่ที าได้ 16 ถึง 18 คะแนน

2. จานวนนกั เรียนท่ีทาได้ 12 ถงึ 18 คะแนน มีเทา่ กบั จานวนนกั เรียนที่ทาได้ 18 ถึง 24 คะแนน

3. จานวนนกั เรียนท่ที าได้ 10 ถงึ 12 คะแนน มีเทา่ กบั จานวนนกั เรียนท่ีทาได้ 18 ถึง 24 คะแนน

4. จานวนนกั เรียนที่ทาได้ 10 ถงึ 16 คะแนน มีเทา่ กบั จานวนนกั เรียนทท่ี าได้ 16 ถึง 24 คะแนน

หนา้ 27

3. จากการทดสอบนกั เรียนจานวน 100 คนใน 2 รายวชิ า แตล่ ะรายวิชามคี ะแนนเตม็ 150 คะแนน ถ้าผลการทดสอบ
ทงั้ สองรายวิชา เขยี นเป็นแผนภาพกลอ่ งได้ดงั นี ้ [O-NET 50/40]

คะแนนสอบรายวิชาท่ี 1

คะแนนสอบรายวชิ าที่ 2

0 20 40 60 80 100 120 140

แล้ว ข้อสรุปในข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู
1. คะแนนสอบทงั้ สองรายวชิ ามกี ารแจกแจงแบบปกติ
2. จานวนนกั เรียนทไ่ี ด้คะแนนไมเ่ กิน 80 คะแนน ในรายวชิ าที่ 1 มากกวา่

จานวนนกั เรียนทไ่ี ด้คะแนนไมเ่ กิน 80 คะแนน ในรายวิชาท่ี 2
3. คะแนนสงู สดุ ท่อี ยใู่ นกลมุ่ 25 % ตา่ สดุ ของผลการสอบรายวชิ าที่ 1 น้อยกวา่

คะแนนสงู สดุ ท่ีอยใู่ นกลมุ่ 25 % ตา่ สดุ ของผลการสอบรายวชิ าท่ี 2
4. จานวนนกั เรียนท่ีได้คะแนนระหวา่ ง 60 - 80 คะแนน ในการสอบรายวชิ าที่ 2 น้อยกวา่

จานวนนกั เรียนท่ีได้คะแนนในช่วงเดยี วกนั ในการสอบรายวชิ าที่ 1

4. จากแผนภาพกลอ่ งของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรียนจาแนกตามเพศเป็นดงั นี ้

คะแนนสอบของนกั เรียนหญิง

คะแนนสอบของนกั เรียนชาย

0 คะแนนสอบ 100

ข้อสรุปในข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้อง [O-NET 49/1-32]

1. คะแนนสอบเฉลยี่ วชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียนชาย

สงู กวา่ คะแนนสอบเฉลยี่ วิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรียนหญิง

2. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรียนชายมีการกระจายเบ้ขวา

3. คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียนหญิงมีการกระจาย

มากกวา่ คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียนชาย

4. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรียนหญิงมกี ารกระจายเบ้ขวา