การคูณ และหาร เลขยกกำลัง

1 จ ำนวนเชิงซ้อน ช ุ ดที่ 12 เรื่อง กำรค ู ณ กำรหำร และเลขยกก ำลัง ชั้นมัธยมศึกษำปี ที่ 5 โดย นำงคนึงนิจ อัครปัญญำ โรงเรียนอ ุ ดรธรรมำน ุ สรณ ์ อ ำเภอเมือง จ ั งหวด ั อ ุ ดรธำน ี ส ำนักงำนเขตพื้นที่กำรศึกษำมัธยมศึกษำอ ุ ดรธำน ี

2 ค ำน ำ หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (e-book)ชุดน้ีไดจ ้ ดันำ ข้ึ นเพื่อเป็ นสื่อกำร เรียนสำระกำรเรียนรู้คณิตศำสตร์ หน่วยกำรเรียนรู้จ ำนวนเชิงซ้อน ส ำหรับ เรียนด้วยตนเองของนกัเรียนช้นั มัธยมศึกษำปี ที่ 5 โดยแบง่ออกเป็ น 15 เล่ม ใชเ ้ วลำศ ึ กษำเล่มละประมำณ 1 ชวั่โมง ผเู้ ขียนไดท ้ ำ ใหเ ้ น้ื อหำ เช ื่อมโยงกนัแต่ละเล่ม จะมีใบควำมรู้ มีตวัอยำ่ง แลว ้ จะมีแบบฝึ กทกัษะ และมีเฉลย หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (e-book)ชุดน้ีนอกจำกใช้ศึกษำด้วย ตนเองแลว ้ ครูอำจจะนำ ไปใชเ ้ป็ นกิจกรรมกำรเรียนกำรสอนในห้องเรียน ได้ ซึ่งเล่มที่12 น้ีไดน ำเสนอเรื่อง ้ กำรคูณ กำรหำร และเลขยกกำ ลงั ผเู้ ขียนไดอ ้ อกแบบใหค ้ รูใชว ้ิธีกำรสอนเรียนรู้ แบบร่วมม ื อ (Cooperative Learning) ซึ่งเป็ นกำรจัดกำรเรียนกำรสอนโดยเน้นผู้เรียนเป็ น สำ คญัอำจจะทำ ใหผ ้ ลสัมฤทธ์ิทำงกำรเรียนสูงข้ึ น และมีคุณลกัษณะที่พ ึ ง ประสงคข ์ องนกัเรียนดีกวำ่กำรเรียนโดยวิธีอ ื่น หวงัเป็ นอยำ่งยงิ่วำ่นกัเรียนและผใู้ ชจ ้ ะไดร ้ับประโยชน ์ จำกหนังสือ อิเล็กทรอนิกส์ (e-book) ชุดน้ีและหำกมีขอ ้ แนะนำ ผเู้ ขียนขอขอบคุณไว้ สำ หรับแกไ้ ขต่อไป คนึงนิจ อัครปัญญำ

3 สำรบัญ เรื่อง หน้ำ จุดประสงค์ ก ค ำแนะน ำส ำหรับนักเรียน ข แบบทดสอบก่อนเรียน 3 ใบควำมรู้ที่ 12.1 4 แบบฝึ กทักษะที่ 12.1 5 ใบควำมรู้ที่ 12.2 6 แบบฝึ กทักษะที่ 12.2 7 สรุป 8 แบบทดสอบหลังเรียน 9 เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 12.1 10 เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 12.2 11 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน/หลังเรียน 12 พระบรมรำโชวำท 13 บรรณำนุกรม 14

4 กำรคูณและหำรเลขยกก ำลัง ของจ ำนวนเชิงซ ้ อนในรูปเชิงข้ัว

5 จุดประสงค ์ 1. นักเรียนใช้ทฤษฎีเกี่ยวกบักำรคูณและหำร จำ นวนเชิงซอ ้ น ในรูปเชิงข้วัได ้ 2. นักเรียนใช้ทฤษฎี หำค่ำจำ นวนเชิงซอ ้ นในรูปเลขยกกำ ลงัได ้

6 รูปเชิงข้วัของ z = a +bi คือ r(cos + isin ) ใช่ไหม เอ่ย

7 แบบทดสอบก่อนเรียน 1. จงหำ 1 2 z z และ 2 1 z z 1) ) 3 5 sin 3 5 2(cos 1 z = + i และ ) 6 sin 6 6(cos 2 z = + i 2) 2(cos135 sin135 ) 1 z = +i และ 2(cos315 sin315 ) 2 z = + i 2. จงหำคำ่ 5 ( 2 − 2i) นักเรียนท ำแบบทดสอบ ก่อนเรียนแล้วไปดูเฉลย กนัเถอะ

8 ทฤษฎีบท ให้ 1 z และ 2 z เป็ นจ ำนวนเชิงซ้อน โดยที่ (cos sin ) 1 1 1 1 z = r + i และ (cos sin ) 2 2 2 2 z = r + i จะได้ 1. [cos( ) sin( )] 1 2 = 1 2 1 + 2 + 1 + 2 z z rr i 2. [cos( 1 2 ) sin( 1 2 )], 2 0 2 1 2 1 = − + i − z r r z z ตัวอย่ำง จงเขียนจำ นวนเชิงซอ ้ นต่อไปน้ีในรูป a +bi 1. [2 3cos(330 sin330 )][4(cos240 sin240 )] +i +i 2. 8(cos240 sin 240 ) 2(cos30 sin30 ) i i + + วิธีท ำ 1. จำก [2 3cos(330 sin330 )][4(cos240 sin240 )] +i +i โดย ทฤษฎีบท จะได้ (2 3)(4)[cos(330 240 ) sin(330 240 )] + + i + i i i i ] 12 4 3 2 1 2 3 8 3[ 8 3[cos210 sin 210 ] 8 3[cos570 sin570 ] = − − = − − = + = + 2. จำก 8(cos240 sin 240 ) 2(cos30 sin30 ) i i + + โดยทฤษฎีบท จะได้ ( 3 1) 8 1 ] 2 1 2 3 [ 4 1 [cos( 210 ) sin( 210 )] 4 1 [cos(30 240 ) sin(30 240 )] 8 2 = − + = − + = − + − − + − i i i ใบควำมร ู้ท ี่12.1

9 จงหำผลคูณ และผลหำรของจำ นวนเชิงซอ ้ นแต่ละขอ ้ ต่อไปน้ี 1. (cos90 sin90 ) 1 z = + i และ 4 2(cos45 sin45 ) 2 z = + i 2. ) 3 2 sin 3 2 4(cos 1 z = + i และ ) 3 5 sin 3 5 6(cos 2 z = + i 3. ) 6 5 sin 6 5 2(cos 1 z = + i และ ) 6 sin 6 4(cos 2 z = + i จะตอบกันได้หรือเปล่ำนะ ถ้ำยังท ำแบบฝึ กทักษะ ที่12.1 ไม่ได้กลับไปทบทวนใบควำมร ู้ท ี่ 12.1 นะครับ แบบฝึ กทักษะที่ 12.1

10 ต่อไปเป็นจ ำนวนเชิงซ ้ อนในรูปเลขยกกำ ลงัซ่ึ งตอ ้ งใชท ้ ฤษฎีดงัน้ี ทฤษฎีบท ถ้ำ z = r(cos + isin ) และ n เป็ นจ ำนวนเต็มบวก จะได้ z r (cosn isin n) n n = + ทฤษฎี น้ีมีช ื่อเรียกวำ่ ทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์ (De Moivre’s Theorem) ตัวอย่ำง จงหำคำ่ของ 10 (1+ 3i) วิธีท ำ เนื่องจำก ) 3 sin 3 (1 3 ) 2(cos + i = + i ดงัน้นั ) 2 2 3 2 3 2 1 2 ( ) 3 sin10 3 (1 3 ) 2 (cos10 10 9 9 10 10 = − − = − − + = + i i i เข้ำใจดีแล้ว ท ำใบงำนนะ ครับ จะเห็นว่ำ กำรคูณ กำรหำร ใช้รูปเชิงข้ัว ท ำได้เร็วกว่ำ จ ำนวนเชิงซ้อนในรูป a +bi ใบควำมร ู้ท ี่12.2

11 จงหำค่ำของ 1. 12 ) 2 3 2 3 ( + i 2. 8 (1− i) 3. 10 (1+ 3) ตั้งใจท ำแบบฝึ กทักษะนะครับ นักเรียน แบบฝึ กทักษะที่ 12.2

12 สรุป 1. ให้ 1 z และ 2 z เป็ นจ ำนวนเชิงซ้อน โดยที่ (cos sin ) 1 1 1 1 z = r + i และ (cos sin ) 2 2 2 2 z = r + i จะได้ 1) [cos( ) sin( )] 1 2 = 1 2 1 + 2 + 1 + 2 z z rr i 2) [cos( 1 2 ) sin( 1 2 )], 2 0 2 1 2 1 = − + i − z r r z z 2. ถ้ำ z = r(cos + isin ) และ n เป็ นจ ำนวนเต็มบวก จะได้ z r (cosn isin n) n n = + ท ำแบบทดสอบหลังเรียนนะครับ ขอให้โชคดี

13 แบบทดสอบหลังเรียน 1. จงหำ 1 2 z z และ 2 1 z z 1) ) 3 5 sin 3 5 2(cos 1 z = + i และ ) 6 sin 6 6(cos 2 z = + i 2) 2(cos135 sin135 ) 1 z = +i และ 2(cos315 sin315 ) 2 z = + i 2. จงหำค่ำ 5 ( 2 − 2i) ท ำได้หรือเปล่ำครับ

14 1. z1 z2 = − 4 + 4i i z z 8 1 8 1 2 1 = + 2. z z 12 3 12i 1 2 = + 3 2 2 1 = − z z 3. z1 z2 = −8 i z z 4 3 4 1 2 1 = − + ตอบถูกกนัหร ื อเปล่ำครับ เฉลยแบบฝึ กทักษะที่12.1

15 2 16 3 2 2 3 9 9 + 1. 12 − 3 2. 16 3. 2 2 3 9 9 + ค ำตอบตรงกับนักเรียนหรือเปล่ำ ครับ เฉลยแบบฝึ กทักษะที่12.2

16 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน / หลังเรียน 1. ตอบ 1) z z 6 3 6i 1 2 = − , i z z 3 1 2 1 = − 2) z z 2i 1 2 = , 2 2 1 = − z z 2. ตอบ 2 2 2 2 4 4 − +

17 “...กำรที่จะกระทำ กำรใดสิ่งใดใหส้ ำ เร ็ จผลไดส้ มบูรณ ์ ดีงำม ไม่บกพร่อง ด่ำงพร ้ อยน้นัสำ คญัอยทู่ ี่จะตอ ้ งมีกำ ลงักำ ลงัน้ีเป็ นกำ ลงัภำยในตวับุคคล ซ่ึงบุคคลจะตอ ้ งสร ้ ำงใหแ ้ ก่ตนเอง เพรำะไม่มีใครจะสำมำรถสร ้ ำงใหไ้ ด ้ กำ ลงั อยำ่งหน่ึงไดแ ้ ก่ศรัทธำ คือควำมเชื่อที่ถูกตอ ้ งวำ่กำรงำนที่เป็ นภำระหนำ ้ ที่ ของตนมีประโยชน ์ จริง อยำ่งที่สอง ไดแ ้ ก่ควำมมีวินยัที่ดีและมนั่คง ที่จะควบคุม ประคบั ประคองตนเองให ้ปฏิบตัิภำรกิจน้นั โดยเขม ้ แขง ็ และสุจริต อยำ่งที่สำม ได้แก่ควำมมีสติรอบคอบที่จะป้ องกนัมิใหเ ้ กิดควำมประมำทและควำมผิดพลำด เสียหำย อยำ่งที่สี่ไดแ ้ ก่ควำมมีใจต้งัมนั่แน่วแน่ที่จะปฏิบตัิใหเ ้ ที่ยงตรงสม่ำ เสมอ โดยไม่ขำดสำย จนบรรลุผลสำ เร ็ จ อยำ่งที่หำ ้ ไดแ ้ ก่ควำมมีวิชำควำมรู้ พร ้ อมท้งั เฉลียวฉลำดในเหตุผล ที่จะน ำมำใช้พิจำรณำวินิจฉัยในกำรประกอบกำรงำน ใหบ ้ รรลุผลเลิศ กำ ลงัดงักล่ำวต่ำงเป็ นปัจจยัอำศยัและส่งเสริมซ่ึงกนัและกนั จะอำ นวยผลสำ เร ็ จสมบูรณ ์ได ้ ตอ ้ งประกอบกนัพร ้ อมท้งั 5 ประกำร ถำ ้ อยำ่งหน่ึงอยำ่งใดบกพร่องขำดไป ก ็ จะพำใหอ ้ ยำ่งอื่น เสื่อมถอยตำมกนัไปหมด...” พระบรมรำโชวำท ในพิธีพระรำชทำนปริญญำบตัรแก่ผสู้ำ เร็จกำรศึกษำจำก มหำวิทยำลัยศรีนครินทรวิโรฒ วิทยำเขตสงขลำ ณ มหำวิทยำลัยศรีนครินทรวิโรฒ วิทยำเขตสงขลำ วันพฤหัสบดีที่ 25 กันยำยน 2523

18 บรรณำนุกรม กระทรวงศึกษำธิกำร. ผังมโนทศัน ์ และสำระกำรเร ี ยนร ู้แกนกลำง กลุ่มสำระกำรเร ี ยนร ู้คณิตศำสตร ์ หลกัสูตรกำรศ ึ กษำข้ันพ ื้นฐำน พุทธศักรำช 2544. พิมพค ์ ร้ังที่2.กรุงเทพฯ (เอกสำรอัดส ำเนำ), 2546. กระทรวงศ ึ กษำธิกำร. สถำบนัส่งเสริมกำรสอนวิทยำศำสตร ์ และเทคโนโลยี. หนังสือเรียนสำระ กำรเร ี ยนร ู้คณิตศำสตร ์ เพมิ่เติม เล่ม 2 กลุ่มสำระกำรเร ี ยนร ู้คณิตศำสตร ์ ช้ันมัธยมศ ึ กษำปี ท ี่5. พิมพ์คร้ังที่ 4. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์คุรุสภำ ลำดพร้ำว, 2547. สถำบนัส่งเสริมกำรสอนวิทยำศำสตร ์ และเทคโนโลย.ี กำรจัดสำระกำรเร ี ยนร ู้กลุ่มคณิตศำสตร์ ช่วงชั้นที่ 3-4 หลกัสูตรกำรศ ึ กษำข้ันพ ื้นฐำน. พิมพค ์ ร้ังที่2.กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์กรำฟฟิ คโกรบำงบอน, 2546. สมำคมคณิตศำสตร์แห่งประเทศไทยในพระบรมรำชูปถมัภ.์ กำรพัฒนำทักษะกำรคิดค ำนวณ ของนักเรียนระดับมัธยมศึกษำ. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์จุฬำลงกรณ์มหำวิทยำลัย, 2538.