การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

1 จ ำนวนเชิงซ้อน ช ุ ดที่ 11 เรื่อง กำรเข ี ยนจ ำนวนเช ิ งซ ้ อนในร ู ปเช ิ งข ้ ั ว ชั้นมัธยมศึกษำปี ที่ 5 โดย นำงคนึงนิจ อัครปัญญำ โรงเรียนอ ุ ดรธรรมำน ุ สรณ ์ อ ำเภอเมือง จ ั งหวด ั อ ุ ดรธำน ี ส ำนักงำนเขตพื้นที่กำรศึกษำมัธยมศึกษำอ ุ ดรธำนี

2 กำรเข ี ยนจ ำนวนเชิงซ ้ อนในรูปเชิงข้ัว

3 จุดประสงค ์ นักเรียนสามารถเขียนจ านวนเชิงซ้อน ในรูป a +bi เป็ นรูปเชิงข้วัได ้

4 เรำไปท ำข้อสอบก่อนเรียนกันเลย

5 แบบทดสอบก่อนเรียน จงเขียนจา นวนเชิงซอ ้ นต่อไปน้ีในรูปเชิงข้วั 1. 1−i 2. 3 + i 3. −1− 3i 4. 2 − 2 3i 5. − 3 3 + 3i ลองท ำข้อสอบก่อนเรียนดูก่อนนะครับ แล้วตรวจค ำตอบกันนะครับ

6 ทบทวน ฟังก์ชัน sine cosine tangent อัตรำส่วนตรีโกณมิติ r r b sin = B C r a cos = cos sin tan = = a b ตัวอย่ำง ฟังก ์ ชันตร ีโกณมิติของจ ำนวนจริงและของมุม อ ื่นๆ 2 1 4 sin = , 2 1 4 cos = , 1 4 tan = , 2 1 sin45 = , 2 1 cos45 = , tan 45 = 1 , 2 3 3 sin = , 2 1 3 cos = , 3 3 tan = 2 3 sin60 = , 2 1 cos60 = , tan 60 = 3 2 1 6 sin = , 2 3 6 cos = , 3 1 6 tan = , 2 1 sin30 = , 2 3 cos30 = , 3 1 tan 30 = , 1 2 sin = , 0 2 cos = , sin90 = 1 , cos90 = 0 , sin0 = 0 , cos0 =1 A a b ใบควำมร ู้ท ี่ 11.1

7 1. จากรูปสามเหลี่ยมมมุฉาก ที่กา หนดความยาวของดา ้ น จงหาค่า อตัราส่วนตรีโกณมิติแต่ละขอ ้ ต่อไปน้ี 1) sin 2) cos 3) tan 2. จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่กา หนดความยาวของดา ้ น จงหาค่า อตัราส่วนตรีโกณมิติแต่ละขอ ้ ตอ่ ไปน้ี 1) sin 2) cos 3) tan 3. เติมจา นวนในช่องวา่ง 1) ... 2 sin = 2) ... 2 cos = 3) sin0 = ... 4) cos0 = ... 5) sin30 = ... 6) cos60 = ... 1 1 2 1 2 3 พวกเรำไปดูเฉลยกันเถอะ แบบฝึ กทักษะที่ 11.1

8 ถ้า z = a +bi เป็ นจ านวนเชิงซ้อน ซึ่งแสดงกราฟเป็ นเวกเตอร์ดังภาพ a b 0 y z(a,b) x r เม ื่อกา หนดให ้ เป็ นมุมบวกที่เล็กที่สุดที่วัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x ทางด้านบวกไปยัง oz และให้ 2 2 oz = r = z = a + b จากภาพ ได้ a b tan = r b sin = นนั่ค ื อ b = rsin r a cos = นนั่ค ื อ a = r cos จาก z = a +bi จะได้ z = r cos + irsin = r(cos + isin ) จะเรียก r(cos + isin ) วา่รูปเชิงข้วั (polarform)ของจ านวนเชิงซ้อน a +bi และเรียก วา่อาร ์ กิวเมนต์ของ z (argument of z) และเนื่องจาก cos = cos( + 2k ) และ sin = sin( + 2k ) เมื่อ k เป็ นจา นวนเตม ็ เพราะฉะน้นั r{cos( + 2k ) + isin( + 2k )} จึงเป็ นรูปเชิงข้วัของจา นวนเชิงซอ ้ น a +bi ด้วย ใบควำมร ู้ท ี่11.2

9 ตัวอย่ำง จงเขียนจ านวนเชิงซ้อน −1+ 3i เป็ นรูปเชิงข้วั วิธีท ำ ให้ z = −1+ 3i จะได้ ( 1) ( 3) 2 2 2 z = r = − + = และ 1 3 tan − = จะได้ = 120 ดงัน้นั 1 3 2(cos120 sin120 ) z = − + i = +i สามารถเขียนกราฟได ้ ดงัน้ี -1 3 y x r = 2 120 ใบควำมร ู้ท ี่11.2 (ต่อ)

10 จงเขียนจา นวนเชิงซอ ้ น ในแต่ละขอ ้ ต่อไปน้ีในรูปเชิงข้วั 1) 2+ 2i 2) 3 − i 3) − 4 − 4 3i ช่วยกันท ำแบบฝึ กทักษะให ้ ถูกต ้ องเสร็จแล้ว ไปดูเฉลยกนั นะครับ แบบฝึ กทักษะที่11.2

11 สรุป z = a +bi เป็ นจา นวนเชิงซอ ้ น เขียนเป็ นรูปเชิงข้วั ได ้ r(cos + isin ) เมื่อ 2 2 r = z = a + b และ a b tan = อ่ำนสรุปก่อนไปท ำแบบทดสอบหลงัเร ี ยนนะครับ

12 แบบทดสอบหลังเรียน จงเขียนจา นวนเชิงซอ ้ นต่อไปน้ีในรูปเชิงข้วั 1. 1−i 2. 3 + i 3. −1− 3i 4. 2 − 2 3i 5. − 3 3 + 3i ท ำแบบทดสอบหลังเรียนเสร็จแล้ว ไปดูเฉลยกันเถอะ

13 1. 1) 2 3 2) 2 1 3) 3 2. 1) 2 1 2) 2 1 3) 1 3. 1) 1 2) 0 3) 0 4) 1 5) 2 1 6) 2 1 ตรวจค ำตอบแล้ว ไปศึกษำใบควำมร ู้ที่ 11.2 กันนะคะ เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 11.1

14 1) 2 2(cos45 sin45 ) + i 2) 2(cos330 sin330 ) + i 3) 8(cos240 sin240 ) + i ตอบถูกกนัหร ื อเปล่ำครับ เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 11.2

15 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน / หลังเรียน 1 2(cos 315 sin 315 ) + i 2 2(cos30 sin30 ) + i 3 2(cos240 sin240 ) + i 4 4(cos300 sin300 ) + i 5 6(cos120 sin120 ) + i ท ำแบบทดสอบถูกกนัหร ื อเปล่ำครับ

16 “…การพิจารณาเรื่องราวหรือกิจการงานใด ๆ น้นัควรอยา่งยงิ่ที่จะตองกระท า ้ โดยละเอียดรอบคอบและเที่ยงตรงถูกตอ ้ งจึงจะไดผ ้ ลที่เป็ นประโยชน ์ แทแ ้ ละยงั่ยนื ถาวร ท่านผรูู้้ แต่ก่อนไดว ้ างหลกัสั่งสอนกนัสืบ ๆ มาวา่เมื่อจะพิจารณาสิ่งใด เรื่องใดให้วางใจของตัวให้เป็ นกลาง คือ ปลดอคติความล าเอียงทุก ๆ ประการ ออกจากใจใหห ้ มดก่อน แลว ้ เขา ้ไปเพ่งพินิจดูสิ่งเหล่าน้นัเรื่องน้นั ใหถ ้ี่ถว ้ น จึงจะมองเห ็ นไดป้ ระจกัษท ์ุกแง่ทุกมุม ไม่ใช่เห ็ นแต่เพียงแง่ใดแง่หน่ึง ตามความชอบใจ หรือไม่ชอบใจที่มีอยู่เมื่อเห ็ นประจกัษท ์ วั่ดว ้ ยใจที่เป็ นกลาง แลว ้ ความรู้ ที่ชดัเจนก ็ จะบงัเกิดข้ึน และช่วยใหล ้ งความเห ็ นและปฏิบัติได้ โดยถูกต้องเป็ นธรรม...” พระราชด ารัส พระราชทานแก่สามคัคีสมาคม ในพระบรมราชูปถมัภ์ ในการเปิ ดการประชุมใหญ่ ประจ าปี 2523 วันที่ 15 เมษายน 2523

17 บรรณำนุกรม ชาญณรงค์ วิเศษสัตย์ และ วาสนาไทย วิเศษสัตย์. (2563) แนวทำงกำร จัดกำรเร ี ยนร ู้เพื่อส่งเสริมควำมเข้ำใจทำงคณิตศำสตร์. วารสาร คณิตศาสตร์, 65(702),27-44. สิริพร ทิพย์คง. (2562) เทคนิคกำรสอนคณิตศำสตร์. วารสารคณิตศาสตร์, 64(699),6-24. สา นกังานคณะกรรมการการศ ึ กษาข้นัพ้ื นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ. ตัวชี้วัดและสำระกำรเร ี ยนร ู้แกนกลำงกล่มุสำระกำรเร ี ยนร ู้ คณิตศำสตร์ (ฉบบัปรับปรุง พ.ศ.2562)ตำมหลกัสูตรแกนกลำง กำรศึกษำขั้นพื้นฐำน พุทธศักรำช 2551. พิมพค ์ ร้ังที่1. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ชุมนุมสหกรณ ์ การเกษตรแห่งประเทศไทยจา กดั, 2560. สถาบนัส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี.หนังสือเรียน รำยวิชำ เพิ่มเติมคณิตศำสตร์ชั้นมัธยมศึกษำปี ที่ 5 เล่ม 2. พิมพค ์ ร้ังที่1. กรุงเทพฯ : ส านักพิมพ์จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2562.