การหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

1 จ ำนวนเชิงซ้อน ช ุ ดที่ 13 เรื่อง กำรหำรำกที่ n ของจ ำนวนเชิงซ้อน ชั้นมัธยมศึกษำปี ที่ 5 โดย นำงคนึงนิจ อัครปัญญำ โรงเรียนอ ุ ดรธรรมำน ุ สรณ ์ อ ำเภอเมือง จ ั งหวด ั อ ุ ดรธำน ี ส ำนักงำนเขตพื้นที่กำรศึกษำมัธยมศึกษำอ ุ ดรธำน ี

2 ค ำน ำ หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (e-book) ชุดน้ีไดจ ้ ดันำ ข้ึ นเพื่อเป็ นสื่อกำรเรียน สำระกำรเรียนรู้ คณิตศำสตร ์ หน่วยกำรเรียนรู้ จำ นวนเชิงซอ ้ น สำ หรับเรียน ด้วยตนเองของนกัเรียนช้นัมธัยมศ ึ กษำปีที่5โดยแบ่งออกเป็ น 15 เล่ม ใช้เวลำ ศึกษำเล่มละประมำณ 1 ชวั่โมง ผเู้ ขียนไดท ้ ำ ใหเ ้ น้ื อหำเช ื่อมโยงกนัแต่ละ เล่ม จะมีใบควำมรู้ มีตวัอยำ่ง แลว ้ จะมีแบบฝึ กทกัษะ มีเฉลยแบบฝึ กทกัษะ หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (e-book) ชุดน้ีนอกจำกใชศ้ึ กษำดว ้ ยตนเองแลว ้ ครู อำจจะนำ ไปใชเ ้ป็ นกิจกรรม กำรเรียนกำรสอนในหอ ้ งเรียนได้ ซ่ึ งชุดน้ีเป็ น เล่มที่13ได้น ำเสนอเรื่องกำรหำรำกที่nของจ ำนวนเชิงซ้อน ผเู้ ขียนไดอ ้ อกแบบใหค ้ รูใชว ้ิธีกำรสอนเรียนรู้ แบบร่วมม ื อ(Cooperative Learning) ซึ่งเป็ นกำรจัดกำรเรียนกำรสอนโดยเน้นผู้เรียนเป็ นส ำคัญ อำจจะท ำ ใหผ ้ ลสัมฤทธ์ิทำงกำรเรียนสูงข้ึ น และมีคุณลกษณะที่พึงประสงค์ของนักเรียน ั ดีกวำ่กำรเรียนโดยวิธีอื่น หวงัเป็ นอยำ่งยงิ่วำ่นกัเรียนและผใู้ ชจ ้ ะไดร ้ับประโยชน ์ จำกหนังสือ อิเล็กทรอนิกส์ (e-book)ชุดน้ีและหำกมีขอ ้ แนะนำ ผเู้ ขียนขอขอบคุณไว ้ สำ หรับแกไ้ ขต่อไป คนึงนิจ อัครปัญญำ

3 สำรบัญ เรื่อง หน้ำ จุดประสงค์ ก ค ำแนะน ำส ำหรับนักเรียน ข แบบทดสอบก่อนเรียน 3 ใบควำมรู้ที่ 13.1 4 แบบฝึ กทักษะที่ 13.1 6 สรุป แบบทดสอบหลังเรียน 7 8 เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 13.1 9 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน/หลังเรียน 10 พระบรมรำโชวำท 11 บรรณำนุกรม 12

4 กำรหำรำกที่ n ของจ ำนวนเชิงซ้อน

5 จุดประสงค ์ นักเรียนสำมำรถหำรำกที่ n ของจ ำนวนเชิงซ้อน โดยใช้ทฤษฎีบทได้

6 ก่อนเข ้ ำสู่บทเร ี ยนนักเร ี ยนมำท ำแบบทดสอบก่อนเรียนนะครับ

7 แบบทดสอบก่อนเรียน 1. จงหำรำกที่ 3 ของ -8 2. จงหำรำกที่ 4 ของ 16i 3. จงหำรำกที่ 4 ของ −1+ 3i 4. จงหำรำกที่ 3 ของ 2 3 − 2i 5. จงหำรำกที่ 3 ของ 8i

8 จำกเรื่องที่แล้ว (1 i) 4 4 2i 5 + = − + เรำใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์ มำใชป้ ระโยชน ์ และกล่ำวไดอ ้ีกอยำ่งหน่ึ งวำ่ 1+ i เป็ นรำกที่ 5 ของ − 4 + 4 2i ซึ่งมีนิยำม ดงัน้ี จำกบทนิยำมจะเห ็ นวำ่คำ ตอบของสมกำรก ็ ค ื อรำกที่ n ของ z นนั่เอง และในกำรหำรำกที่ n ท้งัหมดของ z เรำใช้ทฤษฎีบทต่อไปน้ี บทนิยำม ให้ x และ z เป็ นจ ำนวนเชิงซ้อน และ n เป็ นจ ำนวนเต็มบวก x เป็ นรำกที่ n ของ z ก ็ ต่อเม ื่อ x z n = ทฤษฎีบท ถ้ำ z = r(cos + isin ) แล้วรำกที่ n ของ z มีท้งัหมด n รำกที่แตกต่ำงกัน คือ )] 2 ) sin( 2 [cos( n k i n k x r n + + + = เมื่อ k {0,1,2,..., n −1} ใบควำมร ู้ท ี่ 13.1

9 ตัวอย่ำง 1 จงหำรำกที่ 3 ของ −8i วิธีท ำ เปลี่ยน −8i เป็ นรูปเชิงข้วั ได ้ ) 2 3 sin 2 3 8(cos + i ถ้ำให้ x เป็ นรำกที่ 3 ของ −8i จำกทฤษฎี จะได้ )] 3 2 2 3 ) sin( 3 2 2 3 8[cos( 3 k i k x + + + = เมื่อ k {0,1,2} ดงัน้นั ถ้ำ x = 0 จะได้ x i ) 2(0 i) 2i 2 sin 2 = 2(cos + = + = ถ้ำ x =1 จะได้ x = + i = − − i) = − 3 − i 2 1 2 3 ) 2( 6 7 sin 6 7 2(cos ถ้ำ x = 2 จะได้ x = + i = − i) = 3 − i 2 1 2 3 ) 2( 6 11 sin 6 11 2(cos ศึกษำตัวอย่ำงให้เข้ำใจ แล้ว เรำมำท ำแบบฝึ กทักษะกัน นะครับ ใบควำมร ู้ท ี่13.1 (ต่อ)

10 1. จงหำรำกที่ 3 ของ -64 2. จงหำรำกที่ 4 ของ 81i 3. จงหำรำกที่ 4 ของ − 2 + 2 3i 4. จงหำรำกที่ 3 ของ 3 − i 5. จงหำรำกที่ 3 ของ i ท ำแบบฝึ กทักษะที่ 13.1 เสร็จแล้ว นักเรียนตรวจค ำตอบกันเลยนะครับ แบบฝึ กทักษะที่13.1

11 สรุป รำกที่ n ของ z = r(cos + isin ) มีท้งัหมด n รำกที่แตกต่ำงกนั คือ )] 2 ) sin( 2 [cos( n k i n k x r n + + + = เมื่อ k {0,1,2,..., n −1} ศึกษำให้ดีๆ แล้วไปท ำแบบทดสอบ หลังเรียนนะคะ

12 แบบทดสอบหลังเรียน 1. จงหำรำกที่ 3 ของ -8 2. จงหำรำกที่ 4 ของ 16i 3. จงหำรำกที่ 4 ของ −1+ 3i 4. จงหำรำกที่ 3 ของ 2 3 − 2i 5. จงหำรำกที่ 3 ของ 8i ท ำแบบทดสอบหลังเรียนเสร็จแล้ว ไปดูเฉลยกนัเลยครับ

13 1. 2 + 2 3i,−4,2 − 2 3i 2. ) 8 1 3 sin 8 1 3 ),3(cos 8 9 sin 8 9 ),3(cos 8 5 sin 8 5 ),3(cos 8 sin 8 3(cos + i + i + i + i 3. ) 3 5 sin 3 5 ), 4(cos 6 7 sin 6 7 4(cos ), 8 2 sin 3 2 ), 4(cos 6 sin 6 4(cos 4 4 4 4 i i i i + + + + 4. ) 1 8 3 5 sin 1 8 3 5 ), 2(cos 1 8 2 3 sin 1 8 2 3 ), 2(cos 1 8 1 1 sin 1 8 1 1 2(cos 3 3 3 + i + i + i 5. + i − + i,−i 2 1 2 3 , 2 1 2 3 เฉลยแบบฝึ กทักษะที่13.1

14 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน / หลังเรียน 1. 1+ 3i,−2,1− 3i 2 . ) 8 1 3 sin 8 1 3 ),2(cos 8 9 sin 8 9 ),2(cos 8 5 sin 8 5 ),2(cos 8 sin 8 2(cos + i + i + i + i 3. ) 3 5 sin 3 5 ), 2(cos 6 7 sin 6 7 2(cos ), 8 2 sin 3 2 ), 2(cos 6 sin 6 2(cos 4 4 4 4 i i i i + + + + 4. ) 1 8 3 5 sin 1 8 3 5 ), 4(cos 1 8 2 3 sin 1 8 2 3 ), 4(cos 1 8 1 1 sin 1 8 1 1 4(cos 3 3 3 + i + i + i 5. 3 + i,− 3 + i,−2i

15 “...รำกฐำนที่นบัวำ่สำ คญัคือรำกฐำนทำงจิตใจ อนัไดแ ้ ก่ควำมหนกัแน่นมนั่คง ในสุจริตธรรมอยำ่งหน่ึง ในควำมมุ่งมนั่ที่จะประกอบกิจกำรงำนใหด ้ีจนสำ เร ็ จ อีกอยำ่งหน่ึง เหตุใดจึงตอ ้ งมีควำมสุจริตและควำมมุ่งมนั่ก ็ เพรำะควำมสุจริตน้นั ยอ่มกีดก้นับุคคลออกจำกควำมชวั่และควำมเสื่อมเสียท้งัหมดได ้ จึงช่วยให ้ บุคคล มีโอกำสใชค ้ วำมรู้ ควำมสำมำรถแต่ในทำงที่ถูกที่เจริญแต่เพียงทำงเดียว ส่วนควำมมุ่งมนั่ในกำรทำ งำนน้นัถำ ้ ขำดไปก ็ ทำ ใหย ้ อ่ทอ ้ เหนื่อยหน่ำย หรือไม่ก ็ มกัง่ำยหยำบคำย ไม่วำ่จะทำ สิ่งใด ก ็ มกัไม่สำ เร ็ จเด ็ ดขำด หรือบกพร่อง เสียหำย ที่สุดก ็ จะไม่มีโอกำสสร ้ ำงสรรคป์ ระโยชน ์ และควำมเจริญกำ ้ วหนำ ้ อนั ใด ใหแ ้ ก่ตวัเองหรือแก่ใคร ๆ ได.้..” พระบรมรำโชวำท ในพิธีพระรำชทำนปริญญำบัตร ของมหำวิทยำลัยรำมค ำแหง ณ อำคำรใหม่สวนอัมพร วันพุธที่ 11 มีนำคม 2524

16 บรรณำนุกรม กระทรวงศึกษำธิกำร. ผังมโนทศัน ์ และสำระกำรเร ี ยนร ู้แกนกลำง กลุ่มสำระกำรเร ี ยนร ู้คณิตศำสตร ์ หลกัสูตรกำรศ ึ กษำข้ันพ ื้นฐำน พุทธศักรำช 2544. พิมพค ์ ร้ังที่2. กรุงเทพฯ (เอกสำรอัดส ำเนำ), 2546. กระทรวงศึกษำธิกำร. สถำบนัส่งเสริมกำรสอนวิทยำศำสตร ์ และเทคโนโลยี. หนังสือเรียนสำระกำรเร ี ยนร ู้คณิตศำสตร ์ เพมิ่เติม เล่ม 2 กลุ่มสำระกำรเร ี ยนร ู้คณิตศำสตร ์ ช้ันมัธยมศึกษำปี ที่ 5. พิมพค ์ ร้ังที่4. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์คุรุสภำ ลำดพร้ำว, 2547. สถำบนัส่งเสริมกำรสอนวิทยำศำสตร ์ และเทคโนโลย.ี กำรจัดสำระกำรเร ี ยนร ู้กลุ่มคณิตศำสตร์ ช่วงชั้นที่ 3-4 หลกัสูตรกำรศ ึ กษำข้ันพ ื้นฐำน. พิมพค ์ ร้ังที่2. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์กรำฟฟิ คโกร บำงบอน, 2546. สมำคมคณิตศำสตร ์ แห่งประเทศไทยในพระบรมรำชูปถมัภ.์ กำรพัฒนำทักษะกำรคิดค ำนวณ ของนักเรียนระดับมัธยมศึกษำ. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์จุฬำลงกรณ์มหำวิทยำลัย, 2538.