1 จ ำนวนเชิงซ้อน ช ุ ดที่ 15 เรื่อง กำรแยกต ั วประกอบสมกำรพห ุ นำมกำ ลง ั มำกกว ่ ำ 2 ชั้นมัธยมศึกษำปี ที่ 5 หน ่ วยกำรเร ี ยนร ้ ู จ ำนวนเชิงซ้อน โดย นำงคนึงนิจ อัครปัญญำ โรงเรียนอ ุ ดรธรรมำน ุ สรณ ์ อ ำเภอเมือง จ ั งหวด ั อ ุ ดรธำน ี ส ำนักงำนเขตพื้นที่กำรศึกษำมัธยมศึกษำอ ุ ดรธำน ี
2 ค ำน ำ หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (e-book) ชุดน้ีไดจ ้ ดัทำ ข้ึ นเพื่อเป็ นสื่อกำร เรียนสำระกำรเรียนรู้คณิตศำสตร์ หน่วยกำรเรียนรู้จ ำนวนเชิงซ้อน ส ำหรับ เรียนด้วยตนเองของนกัเรียนช้นั มัธยมศึกษำปี ที่ 5 โดยแบง่ออกเป็ น 15 เล่ม ใชเ ้ วลำศ ึ กษำเล่มละประมำณ 1 ชวั่โมง ผเู้ ขียนไดท ้ ำ ใหเ ้ น้ื อหำ เช ื่อมโยงกนัแต่ละเล่ม จะมีใบควำมรู้ มีตวัอยำ่ง มีแบบฝึ กทักษะ มีเฉลย แบบฝึ กทักษะ หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (e-book) ชุดน้ีนอกจำกใชศ้ึ กษำดวย ้ ตนเองแลว ้ ครูอำจจะนำ ไปใชเ ้ป็ นกิจกรรม กำรเรียนกำรสอนในห้องเรียน ได้ ซึ่งเล่มที่15 น้ีไดน ำเสนอเรื่อง ้ กำรแยกตัวประกอบสมกำรพหุนำม กำ ลงัมำกกวำ่2 ผเู้ ขียนไดอ ้ อกแบบใหค ้ รูใชว ้ิธีกำรสอนเรียนรู้ แบบร่วมม ื อ (Cooperative Learning) ซึ่งเป็ นกำรจัดกำรเรียนกำรสอนโดยเน้นผู้เรียนเป็ น สำ คญัอำจจะทำ ใหผ ้ ลสัมฤทธ์ิทำงกำรเรียนสูงข้ึ น และมีคุณลกัษณะที่พ ึ ง ประสงคข ์ องนกัเรียนดีกวำ่กำรเรียนโดยวิธีอ ื่น หวงัเป็ นอยำ่งยงิ่วำ่นกัเรียนและผใู้ ชจ ้ ะไดร ้ับประโยชน ์ จำกหนังสือ อิเล็กทรอนิกส์ (e-book) ชุดน้ีและหำกมีข้อแนะน ำ ผู้เขียนขอขอบคุณไว้ สำ หรับแกไ้ ขต่อไป คนึงนิจ อัครปัญญำ
3 สำรบัญ เรื่อง หน้ำ จุดประสงค์ ก ค ำแนะน ำส ำหรับนักเรียน ข แบบทดสอบก่อนเรียน 3 ใบควำมรู้ที่ 15.1 4 แบบฝึ กทักษะที่ 15.1 5 ใบควำมรู้ที่ 15.2 6 แบบฝึ กทักษะที่ 15.2 8 ใบควำมรู้ที่ 15.3 9 แบบฝึ กทักษะที่ 15.3 สรุป 10 11 แบบทดสอบหลังเรียน 12 เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 15.1 13 เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 15.2 14 เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 15.3 15 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน/หลังเรียน 16 พระบรมรำโชวำท 17 บรรณำนุกรม 18
4 กำรแยกตัวประกอบ สมกำรพหุนำมกำ ลงัมำกกว ่ ำ 2
5 จุดประสงค ์ 1. นักเรียนแยกตัวประกอบโดยใช้ทฤษฏีบทได้ 2. นกัเรียนแกส ้ มกำรพหุนำมดีกรีมำกกวำ่สองได ้
6 เรำมำร ู้จัก สมกำรพหุนำมกำ ลงัมำกกว่ำ 2
7 แบบทดสอบก่อนเรียน 1. ให้ ( ) 2 2 1 4 3 f x = x − x + x − หำรด้วย x + 2 เหล ื อเศษเทำ่ ใด 2. จงหำค ำตอบ ของสมกำร 2 1 0 3 x − x + = 3. i เป็ นรำกของสมกำร 1 0 3 2 x + x + x + = จงหำรำกที่เหลือ 4. ให้ ( ) 7 9 18 4 3 2 f x = x − x + x − x − จงหำค่ำ f (−2) 5. ให้ ( ) 2 6 4 8 4 3 2 f x = x − x − x + x − หำรด้วย x + 2 เหล ื อเศษเทำ่ ใด ก่อนจะไปร ู้จักกบัสมกำรพหุนำมกำ ลงัมำกกว่ำ 2 นักเรียนมำท ำแบบทดสอบก่อนเรียนก่อนนะคะ
8 พหุนำมดีกรี 1 หรือดีกรี 2 จะเป็ นตัวประกอบของพหุนำมดีกรี มำกกวำ่2 หร ื อไม่ทฤษฎีตอ่ ไปจะช่วยในกำรหำดงักล่ำว ตัวอย่ำง กำ หนดให ้ ( ) 3 2 1 3 2 f x = x − x + x + หำรด้วย x +1 เหล ื อเศษเท่ำใด วิธีท ำ เนื่องจำก x +1 = x − (−1) โดยทฤษฎี ได้ ( 1) ( 1) 3( 1) 2( 1) 1 5 3 2 f − = − − − + − + = − ดงัน้นั f (x) หำรด้วย x +1 เหลือเศษ -5 ทฤษฎี 1 ทฤษฎีบทเศษเหลือ (Remainder Theorem) เมื่อ 1 0 1 1 f (x) a x a x ... a x a n n n = n + + + + − − โดยที่ n เป็ น จ ำนวนเต็มบวก 1 1 0 an ,an− ,..., a ,a เป็ นจ ำนวนจริง ซึ่ง an 0 ถ้ำหำรพหุนำม f (x) ด้วย พหุนำม x − c เมื่อ c เป็ นค่ำคงตัวใดๆ แล้ว เศษจะเท่ำกับ f (c) ท ำแบบฝึ กทักษะก่อน นะคะ ใบควำมร ู้ท ี่15.1
9 1. ให้ ( ) 3 2 1 3 2 f x = x − x + x + หำรด้วย x −1 เหล ื อเศษเท่ำใด 2. ให้ ( ) 2 2 1 4 3 f x = x − x + x − หำรด้วย x + 2 เหล ื อเศษเท่ำใด 3. ให้ ( ) 2 6 4 8 4 3 2 f x = x − x − x + x − หำรด้วย x + 2 เหล ื อเศษเท่ำใด นักเรียนท ำแบบฝึ กทักษะที่15. 1 เสร็จแล ้ วดูเฉลยกันเถอะ แบบฝึ กทักษะที่15.1
10 พหุนำมด ี กร ี 1 หร ื อดก ี ร ี 2 จะเป็ นตัวประกอบของพหุนำมดีกรี มำกกวำ่2 หร ื อไม่ทฤษฎีบทที่2 ตอ่ ไปน้ีจะช่วยในกำรหำ ตัวอย่ำง ให้ ( ) 2 6 4 8 4 3 2 f x = x − x − x + x − พหุนำมน้ีจะมี x − 2 เป็ นตวัประกอบหร ื อไม่ วิธีท ำ จะหำวำ่ x − 2 เป็ นตัวประกอบของ f (x) หร ื อไม่โดยหำ f (2) ได้ (2) 2(2) (2) 6(2) 4(2) 8 0 4 3 2 f = − − + − = แสดง x − 2 เป็ นตัวประกอบของ f (x) ทฤษฎีบทที่ 2 ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem) เมื่อ 1 0 1 1 f (x) a x a x ... a x a n n n = n + + + + − −โดยที่ n เป็ นจ ำนวนเต็มบวก 1 1 0 an ,an− ,..., a ,a เป็ น จ ำนวนจริง ซึ่ง an 0 พหุนำม f (x) น้ีจะมี x − c เป็ นตวัประกอบ ก ็ ต่อเม ื่อ f (c) = 0 ใบควำมร ู้ท ี่15.2
11 ตัวอย่ำง ให้ ( ) 2 6 4 8 4 3 2 f x = x − x − x + x − และมี x − 2 เป็ นตัวประกอบ ซึ่ง 1 2 2 = จะเห ็ นวำ่2 เป็ นตวัประกอบของ 8 = a0 และ 1 เป็ นตัวประกอบ ของ 2 = an = a4 ตัวอย่ำง จงหำค ำตอบของสมกำร 2 6 4 8 0 4 3 2 x − x − x + x − = วิธีท ำ ให้ ( ) 2 6 4 8 4 3 2 f x = x − x − x + x − แยกตัวประกอบของ ( ) 2 6 4 8 4 3 2 f x = x − x − x + x − เนื่องจำก f (2) = 32 − 8 − 24 + 8 − 8 = 0 และ f (−2) = 32 + 8 − 24 − 8 − 8 = 0 ดงัน้นั 2 6 4 8 ( 2)( 2)(2 2) 4 3 2 2 x − x − x + x − = x − x + x − x + นนั่ค ื อ ( 2)( 2)(2 2) 0 2 x − x + x − x + = จะได้ x = 2 หรือ x = −2 หรือ (2 2) 0 2 x − x + = จำก (2 2) 0 2 x − x + = ได้ 4 1 15i x + = หรือ 4 1 15i x − = ดงัน้นัคำ ตอบของสมกำรค ื อ 2 , − 2 , 4 1+ 15i , 4 1− 15i ทฤษฎีบทที่ 3 ทฤษฎีบทตัวประกอบจ ำนวนตรรกยะ เมื่อ 1 0 1 1 f (x) a x a x ... a x a n n n = n + + + + − − โดยที่ n เป็ น จ ำนวนเต็มบวก 1 1 0 an ,an− ,..., a ,a เป็ นจ ำนวนเต็ม ซึ่ง an 0 ถ้ำ m k x − เป็ นตัวประกอบของพหุนำม f (x) โดยที่ m และ เป็ นจ ำนวนเต็มซึ่ง m 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ำกบั1 แล้ว m จะเป็ นตัวประกอบของ n a และ k เป็ นตัวประกอบของ ใบควำมร ู้ท ี่15.2 (ต่อ)
12 1. x − 2 เป็ นตัวประกอบของ 8 3 x + หรือไม่เพรำะเหตุใด 2. ให้ ( ) 7 9 18 4 3 2 f x = x − x + x − x − จงหำค่ำ f (−2) 3. จงหำค ำตอบ ของสมกำร 2 1 0 3 x − x + = นักเรียนท ำแบบฝึ กทักษะที่ 15.2 เสร็จแล ้ วไปดู เฉลยนะคะ แบบฝึ กทักษะที่ 15.2
13 ทฤษฎีบทต่อไป บอกให้เรำทรำบว่ำอีกรำกหนึ่งของสมกำรคืออะไร เมื่อทรำบรำกหนึ่ง ตัวอย่ำง 3− i เป็ นค ำตอบของสมกำร 6 5 10 0 3 x − x + x + = จงหำรำกที่เหลือ วิธีท ำ เนื่องจำก 3− i เป็ นค ำตอบของสมกำร 6 5 10 0 3 x − x + x + = จำกทฤษฎีบทที่ 4 จะมี 3+i เป็ นรำกอีกรำกหนึ่ง ดงัน้นั เมื่อน ำ [x − (3 − i)][x − (3 + i)] จะได้ x +1 ( 3 )( 3 )( 1) 6 5 10 0 3 x − − i x − + i x + = x − x + x + = รำกท้งัหมด ค ื อ 3− i , 3+i , −1 ทฤษฎีบทที่4 ถ้ำสมกำรพหุนำมก ำลัง n ... 1 0 0 1 + 1 + + + = − a x a − x a x a n n n n เมื่อ n เป็ นจ ำนวนเต็มบวก 1 1 0 an ,an− ,..., a ,a เป็ นจ ำนวนจริง ซึ่ง an 0 มี a +bi เป็ น ค ำตอบของสมกำรแล้ว a −bi จะเป็ นค ำตอบของสมกำรด้วย เมื่อ a และ b เป็ นจ ำนวนจริง โดยที่ b 0 ท ำแบบฝึ กทักษะที่15.3 นะคะ ใบควำมร ู้ท ี่15.3
14 1. i เป็ นรำกของสมกำร 1 0 3 2 x + x + x + = จงหำรำกที่เหลือ 2. − 2i เป็ นรำกของสมกำร 4 4 0 3 2 x + x + x + = จงหำรำกที่เหลือ นักเรียนลองหำค ำตอบ แบบฝึ กทักษะที่ 15.3 ดูนะคะ แบบฝึ กทักษะที่ 15.3
15 สรุป 1. เมื่อ 1 0 1 1 f (x) a x a x ... a x a n n n = n + + + + − − โดยที่ n เป็ นจ ำนวนเต็มบวก 1 1 0 an ,an− ,..., a ,a เป็ นจ ำนวนจริง ซึ่ง an 0 พหุนำม f (x) น้ีจะมี x − c เป็ น ตัวประกอบ กต ็ ่อเม ื่อ f (c) = 0 2. ถำ ้สมกำรพหุนำมกำ ลงั n ... 1 0 0 1 + 1 + + + = − a x a − x a x a n n n n เมื่อ n เป็ นจ ำนวนเต็มบวก 1 1 0 an ,an− ,..., a ,a เป็ นจ ำนวนจริง ซึ่ง an 0 มี a +bi เป็ นค ำตอบของสมกำรแล้ว a −bi จะเป็ นค ำตอบของสมกำรด้วย เมื่อ a และ b เป็ นจ ำนวนจริง โดยที่ b 0 อ่ำนสรุปเสร็จแล้วท ำ แบบทดสอบหลังเรียนกันนะคะ
16 แบบทดสอบหลังเรียน 1. ให้ ( ) 2 2 1 4 3 f x = x − x + x − หำรด้วย x + 2 เหล ื อเศษเทำ่ ใด 2. จงหำค ำตอบ ของสมกำร 2 1 0 3 x − x + = 3. i เป็ นรำกของสมกำร 1 0 3 2 x + x + x + = จงหำรำกที่เหลือ 4. ให้ ( ) 7 9 18 4 3 2 f x = x − x + x − x − จงหำค่ำ f (−2) 5. ให้ ( ) 2 6 4 8 4 3 2 f x = x − x − x + x − หำรด้วย x + 2 เหล ื อเศษเทำ่ ใด ไปดูเฉลยกนันะคะ
17 1. 1 2. 35 3. 0 นักเร ี ยนท ำถูกกข ี่้ อคะ เฉลยแบบฝึ กทักษะที่15.1
18 1. x − 2 ไม่เป็ นตัวประกอบของ 8 3 x + เพรำะถ้ำให้ ( ) 8 3 f x = x + จะ ได้ (2) 2 8 16 0 3 f = + = 2. ( 2) ( 2) ( 2) 7( 2) 9( 2) 18 52 4 3 2 f − = − − − + − − − − = 3. วิธีท ำ 2 1 0 3 x − x + = ( 1)(2 2 1) 0 2 x + x − x + = ได้ x = −1 หรือ (2 2 1) 0 2 x − x + = จำก (2 2 1) 0 2 x − x + = ได้ 4 2 4i x + = หรือ 4 2 4i x − = เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 15.2
19 1. − i,−1 2. 2i,−1 นักเรียนท ำแบบฝึ กทักษะที่ 15.3 ถูกกันกี่ข้อคะ เฉลยแบบฝึ กทักษะที่15.3
20 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน / หลังเรียน 1. 35 2. วิธีท ำ 2 1 0 3 x − x + = ( 1)(2 2 1) 0 2 x + x − x + = ได้ x = −1 หรือ (2 2 1) 0 2 x − x + = จำก (2 2 1) 0 2 x − x + = ได้ 4 2 4i x + = หรือ 4 2 4i x − = 3. − i,−1 4. ( 2) ( 2) ( 2) 7( 2) 9( 2) 18 52 4 3 2 f − = − − − + − − − − = 5. 0 นักเรียนตรวจแล้วท ำถูกกี่ข้อ
21 “...คนท ำงำนดีคือคนมีระเบียบ ไดแ ้ ก่ระเบียบในกำรคิด และในกำรทำ ผไู้ ม่ฝึกระเบียบไว ้ ถึงจะมีวิชำ มีเรี่ยวแรง มีควำมกระตือรือร ้ น อยเู่พียงไร ก ็ มกัทำ งำนใหส้ ำ เร ็ จดีไม่ได ้ เพรำะควำมคิดอ่ำนสับสน วำ ้ วนุ่ ทำ อะไรก ็ไม่ถูกลำ ดบัข้นัตอน มีแต่ควำมลงัเลและขดัแยง ้ ท้งัในควำมคิด ท้งัในกำรปฏิบตัิงำน ทุกคนจึงจำ เป็ นตอ ้ งฝึกระเบียบในตนเองข้ึน ระเบียบน้นัจกัไดช ้่วยประคบั ประคองส่งเสริมให ้ ตนทำ งำนไดด ้ีข้ึน และประสบควำมเจริญมนั่คงในงำน...” พระบรมรำโชวำท พระรำชทำนแก่ขำ้รำชกำรพลเรือน เนื่องในวนัขำ้รำชกำรพลเรือน 1 เมษำยน 2527
22 บรรณำนุกรม กระทรวงศึกษำธิกำร. ผังมโนทศัน ์ และสำระกำรเร ี ยนร ู้แกนกลำง กลุ่มสำระกำรเร ี ยนร ู้คณิตศำสตร ์ หลกัสูตรกำรศ ึ กษำข้ันพ ื้นฐำน พุทธศักรำช 2544. พมิพค ์ ร้ังที่2.กรุงเทพฯ (เอกสำรอัดส ำเนำ), 2546. กระทรวงศ ึ กษำธิกำร. สถำบนัส่งเสริมกำรสอนวิทยำศำสตร ์ และเทคโนโลยี. หนังส ื อเร ี ยนสำระกำรเร ี ยนร ู้คณิตศำสตร ์ เพมิ่เติม เล่ม 2 กลุ่มสำระกำรเร ี ยนร ู้คณิตศำสตร ์ ช้ันมัธยมศ ึ กษำปี ท ี่5. พิมพค ์ ร้ังที่4.กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์คุรุสภำ ลำดพร้ำว, 2547. สถำบนัส่งเสริมกำรสอนวิทยำศำสตร ์ และเทคโนโลย.ี กำรจัดสำระกำรเร ี ยนร ู้กลุ่มคณิตศำสตร์ ช่วงชั้นที่ 3-4 หลกัสูตรกำรศ ึ กษำข้ันพ ื้นฐำน. พิมพค ์ ร้ังที่2.กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ กรำฟฟิ คโกร บำงบอน, 2546. สมำคมคณิตศำสตร ์ แห่งประเทศไทยในพระบรมรำชูปถมัภ.์ กำรพัฒนำทักษะกำรคิดค ำนวณ ของนักเรียนระดับมัธยมศึกษำ. กรุงเทพฯ :โรงพิมพ์จุฬำลงกรณ์มหำวิทยำลัย, 2538.